Vllamosságtan Dr. adács László főskola docens A3 épület,. emelet, 7. ajtó Telefon: -3 e-mal: Honlap: elkrad@un-mskolc.hu www.un-mskolc.hu/~elkrad
Ajánlott rodalom Demeter Károlyné - Dén Gábor Szekér Károly Varga Andrea: Vllamosságtan. Demeter Károlyné: Vllamosságtan. Hollós Edt - Vágó stván: Vllamosságtan Fodor György: Elmélet elektrotechnka -.
S mértékrendszer Alapegységek: m, kg, s, A, K, cd, mól Kegészítő egységek: rad, sr Nem használható egységek: q, kp, kp/cm (at), mmhg, LE, cal
Önálló nevű származtatott egységek/ Mennység neve Jele Egység neve, jele frekvenca f hertz, Hz f=/t, [s - ] Kfejezés más egységekkel erő F newton, N F=m. a, [mkgs - ] munka, energa, hőmennység W joule, J W=F. s, [Nm] teljesítmény P watt, W P=W/t, [J/s] vllamos töltés Q coulomb, C Q=. t, [As] vllamos feszültség volt, V =P/, [W/A]
Önálló nevű származtatott egységek/ Mennység neve Jele Egység neve, jele Kfejezés más egységekkel ellenállás ohm, Ω =/, [V/A] vezetés G semens, S G=/, [A/V] kapactás C farad, F C=Q/, [As/V] mágneses fluxus Φ weber, Wb Φ= u. dt [Vs] mágneses ndukcó B tesla, T B=Φ/A, [Vs/m ] nduktvtás L henry, H L=NΦ/, [Vs/A]
Prefxumok 0 deka da 0 - dec d 0 hekto h 0 - cent c 0 3 klo k 0-3 mll m 0 6 mega M 0-6 mkro μ 0 9 gga G 0-9 nano n 0 tera T 0 - pko p 0 5 peta P 0-5 femto f 0 8 exa E 0-8 atto a
Töltés Vllamos alapmennységek Kémalag tovább nem bontható anyag elem atom Atom atommag neutron proton m p =m n elektronfelhő elektron Q p =-Q e =,6. 0-9 C A töltés kvantált, az elem töltés az elektron töltése. Azonos nemű töltések taszítják, különneműek vonzzák egymást. Semleges atomnál n p =n e, különben on.
Töltéseloszlások Pontszerű - elhanyagolható méretű gömb töltése Elektromos dpólus két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés közel egymáshoz. dpólusmomentum: p=q. l [C. m] Vonalment: λ=dq/dl Felület: σ=dq/da Térfogat: ρ=dq/dv
Coulomb törvény Pontszerű töltések között fellépő erőhatás számítására Q r Q A Q -re ható erő: Permttvtás: F 4 Q Q F ε = ε o ε r [F/m] r r r N Vákuumra: o 36 9 8,86*0 0 elatív: ε r > (táblázatokból) F/ m
Különböző anyagok relatív permttvtása: Anyag paraffn,9 -, csllám 4-8 üveg 5-6 porcelán 6 specáls kerámák ~ 00 bárumttanát ~ 000 r víz 8 etlalkohol 4 petróleum, levegő,000 59
Vllamos térerősség A Q töltés maga körül elektromos teret létesít, amelyben egy másk töltésre (Q )erő hat. Elektromos erőtörvény: F Q E E V m Negatív töltés esetén az E és F ránya ellentétes. Térerősség: E F Q Egységny poztív töltésre ható erő.
Vllamos eltolás (Vllamos ndukcó) A térerősség függ a teret ktöltő közegtől, annak permttvtásától Q E 4 r r r V m A közegtől független, a töltés és a vllamos tér kapcsolatára jellemző a vllamos eltolás: Q r D E C/ m 4 r r
Az elektrosztatka Gauss-tétele Pontszerű töltés terében: D Q 4 r r r r sugarú gömbbel körülvéve, a felület mnden pontján azonos nagyságú és a felületre merőleges a D. A felület szorozva az eltolással a közbezárt töltést adja: Q D. A Általánosítva: A D da Q A felület, mnt vektor:
A vllamos tér szemléltetése erővonalak. Az erővonal a + töltés felületéről ndul és a töltés felületén végződk. Az erővonal a töltés felületéről merőlegesen ndul ll. lép be
Két azonos nagyságú ellentétes ll. azonos előjelű töltés erőtere Homogén erőtér: a tér mnden pontjában azonos a térjellemző
Vllamos munka A vllamos tér munkavégzése a töltésen, amíg A-ból B-be vsz A dl szakaszon végzett elem munka: dw F d cos F d QEd A-tól B-g összegezve: W AB B A dw Q B A Ed J W BA = - W AB
Feszültség, potencál Feszültség: egységny töltés által végzett munka A AB W Q AO AB W Q AO Ed O A Ed V E d Potencál: egységny töltésnek a tetszőlegesen felvett vonatkoztatás pontba juttatásához szükséges energa. Az A pont potencálja: B A V 0 Mérése: voltmérővel V Az AB feszültség: AB = A - B
Kapactás, kondenzátor Két, egymástól elszgetelt vezető (elektróda). feszültséget rákapcsolva, az elektródákon +Q ll. Q töltés halmozódk fel. Q = C C kapactás, mértékegysége: [F] farad jele:
Síkkondenzátor kapactása Q -Q A lemezek felülete: A d C Q D.A.E A. A d. A d C A d [F]
Kondenzátorok kapcsolása Párhuzamos kapcsolás: Q Q Q n Q p C C C n C p Q p n Q n C n n C C p C p C
Kondenzátorok kapcsolása C Q C Q C Q s n n n Soros kapcsolás: C C C n C s +Q +Q +Q +Q -Q -Q -Q -Q n n s C C
Kondenzátorban tárolt energa A töltésmentes kondenzátor fegyverzetere töltést juttatunk. Δt dő alatt végzett munka: W u q uc u A tárolt energa, amíg a töltés Q o -ra és a feszültség o -ra nő W Q o o C o Qo C
Áram Töltések rendezett mozgása vllamos tér hatására. Áramerősség: egy A felületen dőegység alatt áthaladó töltésmennység. dq A dt Ha a felület árama dőben állandó egyenáram. Az áram megállapodás szernt ránya: a poztív töltések valóságos, vagy látszólagos elmozdulás ránya. Mérése: ampermérővel Q t A
Szlárdtestek áramvezetése Vezetők: szabad vegyértékelektronok könnyen elmozdulnak a vllamos tér hatására. (ρ 0-7 Ωm) deáls vezetőben a töltések mozgatása munkavégzést nem gényel. Szgetelők: deáls szgetelőben a töltések vllamos tér hatására nem mozdulnak el. (ρ 0 4 Ωm) Félvezetők: alacsony hőmérsékleten szgetelők, termkus gerjesztés hatására nő a vezetőképességük (ρ Ωm)
Áramkör Vllamos + Vezető, termelő, u Terhelés, Generátor - Fogyasztó A feszültség megállapodás szernt ránya: a potencál csökkenés ránya Az u és ránya a generátoron ellentétes, a fogyasztón azonos
Generátor Valamlyen nem vllamos energa hatására a poztív és negatív töltések szétválnak, a pólusok között vllamos teret létesítenek. deáls feszültséggenerátor ( b =0) áramgenerátor ( b = ) + u -
Generátorok osztályozása Forrásmennység dőfüggvénye szernt Egyenáramú Váltakozó áramú (Perodkus, lneárs középértéke=0 Állandó Változó Sznuszos Egyéb (Pl. négyszög) Folyamatos Szaggatott
Ohm-törvény Vezető két végpontja között feszültség arányos a rajta átfolyó árammal. =. - a vezető két pontja között ellenállás [Ω] 0 Jele: az ellenálláson u és ránya azonos u =0 rövdzár = szakadás
A vezető ellenállása az anyagától és geometra méretetől függ A A ρ - fajlagos ellenállás [Ωm] σ - fajlagos vezetés [/Ωm] T (T T o [ o )] α - hőmérséklet együttható Vllamos vezetés: ρ és α értéke táblázatból G A [G] = S (semens)
Anyag Fajlagos ellenállás ρ [0-8 Ωm] Ezüst,59 0,006 éz,68 0,006 8 Hőmérséklet együttható α [/ o C] Alumínum,65 0,004 9 Wofram 5,6 0,004 5 Vas 9,7 0,006 5 Platna 0,6 0,003 97 Mangann 48, 0,000 00 Ólom... Hgany 98 0,000 9 Konstantán 49... Szén (graft) 3 60 0,000 5 Germánum 500 0,05 Szlícum 0, 60 0,07 Üveg 0 000... Kvarc 7,5... Keménygum - 00...
A vezetőben mozgó töltés a vezető atomjaval ütközve energája egy részét átadja hő keletkezk W = Q Ha =állandó, akkor a t dő alatt átáramló összes töltés: Q = t A végzett munka: A teljesítmény: W P t W t [J] [W] Joule-törvény P G G
Vllamos hálózatok (áramkörök) Kétpólusok összekapcsolásával létrehozott alakzatok. észe: Csomópont: kettőnél több hálózat elem kapcsolódás pontja Ág: két csomópont között hálózatrész, amelyen ugyanaz az áram folyk Hurok: azon ágak összessége, amelyeken végghaladva a kndulás pontba jutunk anélkül, hogy bármely ágon többször haladtunk volna
Vllamos hálózatok eleme (kétpólusok) Aktív elemek (források) Passzív elemek - Feszültséggenerátor - Áramgenerátor - Energa fogyasztók: ellenállás - Energa tárolók: nduktvtás kapactás
Hálózatok osztályozása Koncentrált paraméterű Lneárs nvaráns Elosztott paraméterű Nemlneárs Varáns Feladat: Analízs Szntézs Kkötés: csak staconer állapotot vzsgálunk
eferenca (vonatkozás, mérő) rányok Vonatkozás rány: az áramok és feszültségek előre, önkényesen felvett ránya. Ha a számítás eredménye poztív, akkor eltaláltuk a megállapodás szernt rányt, ha negatív akkor nem. Általában a passzív kétpólusoknál a feszültség és áram rányát egyezőre, aktív kétpólusoknál ellentétesre vesszük fel. Ha egyes mennységeknek adott az ránya, akkor azt vesszük fel vonatkozás ránynak.
Krchhoff törvények. Csomópont Töltésmegmaradás Egy csomópontba be- és kfolyó áramok összege zérus. (A vonatkozás rány szernt) n k k 0 Pl: + 3 + 4 5 = 0
Krchhoff törvények. Hurok Energamegmaradás Egy hurokban működő feszültségek összege zérus. Pl: k n u k 0 u L + u u G + u C u 3 +u LM3 + u G3 u C4 + u G4 u 4 = 0
Passzív kétpólusok alapösszefüggése Tetszőleges dőfüggvény Egyenáram Ellenállás u =. =. nduktvtás Kapactás u d L dt du C dt rövdzár szakadás
Egyenáramú hálózatok Valamenny áram és feszültség dőben állandó, ezért a hálózatokban csak dőben állandó forrásmennységű generátorok és ellenállások találhatók. A legegyszerűbb hálózat: P P g g g g P P g 0
Passzív hálózatrészek Ellenállások soros kapcsolása (áramuk azonos) = + +... + n =( + +... + n )= s n s
Passzív hálózatrészek Ellenállások párhuzamos kapcsolása (feszültségük azonos) p n n )... (... n p p * elem esetén: replusz
Feszültség- és áramosztó
Passzív hálózatrészek Csllag-delta, delta-csllag átalakítás Hárompólusok
Y Δ Δ Y Y 3 3 Y 3 3 3 3 Y 3 3 3 Y 3 3 3
Valóságos generátorok t b g b g k h v t b g g P P P t b t t b t g h P P Thevenn generátor Karaktersztka t t b g t h P
Ha: t =0 k =0 P h =0 0 t ntervallumban t = =0 P h =0 P h -nak maxmuma van Szélsőérték-számítással: t = b -nél Teljesítmény llesztés! b g b b b g h max 4 P 0,5 b b b b t
Norton generátor k g g b b g b k b g = g b esetén megegyezk a Thevenn karaktersztkával, tehát mnden ottan megállapítás érvényes. P h max g 4 b
Hálózatszámítás feladatok megoldhatósága Áganként smeretlen: meghatározásuk az ágegyenletekből. (= vagy = o ±) Áganként smeretlen: összesen a darab egyenlet szükséges - a darab ágegyenlet, - (c-) darab független csomópont egyenlet, - h=a-(c-) darab független hurokegyenlet. Áganként 3 smeretlen: nem oldható meg.
Hurokáramok módszere A Krchhoff egyenletek smeretlenjenek a számához képest az egyenletek, ll. az smeretlenek száma kb. a felére csökken (Megegyezk a független hurokegyenletek számával.) Tennvalók:. Felveszünk fktív hurokáramokat (független hurkokra). Kfejezzük velük az ágáramokat 3. Megjegyzés: a hurokáramok a csomópont egyenleteket automatkusan kelégítk 4. Felírjuk a hurokegyenleteket az ágáramokkal 5. A hurokáramokkal kfejezett ágáramokat behelyettesítve rendezzük az egyenletrendszert 6. Megoldjuk a hurokáramokra 7. Vsszahelyettesítjük a.-be, megkapjuk az ágáramokat
A módszer bemutatása. A példahálózat: 5 smeretlen áramú ág c=3 csomópont h=5-(3-)=3 független hurok. = a, = a - b, 3 = a - c, 4 = c - b, 5 =- c 3. Pl: + 5-3 =0, a - c + c - a =0
4. 5. Átrendezve
Mátrx alakban: -Főátlóban a hurkok saját ellenállása; -Azon kívül szmmetrkusan a hurkok közös ellenállása, az áramok vonatkozás rányától függő előjellel; - A jobb oldalon a hurokban működő forrásfeszültségek, a körüljárás ránytól függő előjellel. Ezen törvényszerűségek alapján az. lépés után a mátrxos alak közvetlenül felírható, megoldás után a.-be helyettesítve megkapjuk az ágáramokat.
Csomópont potencálok módszere A Krchhoff egyenletek smeretlenjenek a számához képest az egyenletek, ll. az smeretlenek száma kb. a felére csökken (Megegyezk a független csomópont egyenletek számával.) Tennvalók. Felveszünk egy alappontot és fktív csomópont potencálokat. Kfejezzük velük az ágáramokat 3. Megjegyzés: a csomópont potencálok a hurokegyenleteket automatkusan kelégítk 4. Felírjuk a csomópont egyenleteket az ágáramokkal 5. A csomópont potencálokkal kfejezett ágáramokat behelyettesítve rendezzük az egyenletrendszert 6. Megoldjuk a csomópont potencálokra 7. Vsszahelyettesítjük a.-be, megkapjuk az ágáramokat
A módszer bemutatása. A példahálózat: 5 smeretlen áramú ág c=4 csomópont 3 független csomópont. =G ( A - B ), =G ( C - B ), 3 =G 3 A, 4 =G 4 A, 5 =G 5 C 3. Pl: A - B - =0, A - B -G ( A - B ) =0
4. 5. A + 3 + 4 =0 B - - - g =0 C + 5 - g =0 A G ( A - B )+G 3 A +G 4 A =0 B -G ( A - B )-G ( C - B )= g C G ( C - B )+G 5 C = g Átrendezve A (G +G 3 +G 4 ) A -G B 0 C = 0 B -G A +(G +G ) B -G C = g C 0 A -G B +(G +G 5 ) C = g
Mátrx alakban G G 3 G 0 G 4 G G G G G 0 G G 5 A B C 0 g g - Főátlóban a csomópontok saját vezetése; - Azon kívül szmmetrkusan a csomópontok közös vezetése, mndg negatív előjellel; - A jobb oldalon a csomópontban működő forrásáramok az rányuktól függő előjellel. Ezen törvényszerűségek alapján az. lépés után a mátrxos alak közvetlenül felírható, megoldás után a.-be helyettesítve megkapjuk az ágáramokat.
Szuperpozícó elv Több forrást tartalmazó lneárs, recprok hálózatokban a források együttes hatása meghatározható egyenként hatásak összegzésével. Az egyes források hatásának vzsgálatakor a többt dezaktvzáln kell. (Feszültséggenerátor g =0, áramgenerátor g =0) Akkor lehet és célszerű alkalmazn, ha a hálózatban több generátor működk.
ecproctás Kapcsoljunk az egyk póluspárra feszültségforrást, a máskat zárjuk rövdre és mérjük meg az áramot Kapcsoljunk a másk póluspárra feszültségforrást, az elsőt zárjuk rövdre és mérjük meg az áramot ' '' A hálózat a két kapura nézve recprok, ha
Helyettesítő generátorok tétele Bármely lneárs, nvaráns, aktív hálózat helyettesíthető egy valóságos generátorral. Ha feszültséggenerátor Ha áramgenerátor Thevenn tétel Norton tétel A B L e z á r á s és kapcsolatát kzárólag a lezárás határozza meg.
Thevenn tétel A b A ABo ABer g B B g = ABo és b = ABer esetén ekvvalensek
Norton tétel A A ABz ABer g b B B g = ABz és b = ABer esetén ekvvalensek
Mllmann tétel o n n G G G G o Alkalmazás: pl. háromfázsú rendszer csllagponteltolódásának számítására
Mllmann tétel duálja o n n G o
Soros és párhuzamos feszültséggenerátorok b s G és b s b p p G G G és G b p G
Soros és párhuzamos áramgenerátorok b s s G és b s b p G és G b p G
deáls áramgenerátor áthelyezése
deáls feszültséggenerátor áthelyezése