Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az szög mértékét! 1.1.1. Első megoldás. Szerkesszük meg a pontot úgy, hogy = és m(â ) = 30. Továbbá jelölje Q az metszéspontját -vel és R az Q metszéspontját - vel. szerkesztés alapján m( ) = 120 és m(ĉq) = 15. z háromszögben = 3, tehát =. Így az háromszög egyenlő szárú, tehát m( ) = m( ) = 15. e m( Q) = m( Q) = 30, tehát a Q háromszög egyenlő szárú és derékszögű valamint Q a oldalfelező merőlegese. Így m(ĉq) = 45, tehát az Q négyszög körbeírható. Ebből következik, hogy m(ĉ) = 90 és így az háromszög is egyenlő szárú és derékszögű. 2 = feltétel alapján = =. Q 45 45 60 45 β = 45 α = 30 γ=? 30 120 R 30 z derékszögű háromszögben m(ĉ) = 30, tehát = 2 és így felezi a szakaszt, tehát = és m( ) = 30. 1.1.1. ásodik megoldás. z 1 1 1 egyenlő oldalú háromszög 1 1 és 1 1 oldalaira kifele megszerkesztjük a 1 1 1 egyenlő szárú háromszöget ( 1 1 = 1 1 ) és a 1 1 1 egyenlő szárú háromszöget, amelyben 1 1 = 1 1 és m( 1 1 1 ) = 30. Így a 1, 1, 1 pontok egy egyenesre illeszkednek, és az 1, 1, 1 pontok szintén, tehát az 1 1 1 háromszög hasonló a feladatban megadott háromszöghöz. Ugyanakkor az 1 1 1 háromszögben 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1, tehát 1 1 = 1 1 2 és 1 1 = 1 1 3 = 1 1 3, tehát az, 1 és, 1 pontok szerkesztésének egyértelműsége alapján a és 1 1 1 háromszögek is hasonlók, vagyis m( ) = 30. 1 60 45 1 2 α = 30 γ=? β = 45 120 60 1 30 30 45 1 1 3
2 1.2. Feladat. (V:288,.L. 3/2000) z háromszög síkjában vegyük fel az és pontokat úgy, hogy az háromszög egyenlő oldalú legyen és teljesüljenek az [] [], m(ĉ) = 30 egyenlőségek ( és az háromszögön kívül helyezkednek el úgy, hogy az, és háromszögeknek nincs közös belső pontjuk). Jelöljük K-val az szakasz felezőpontját. izonyítsd be, hogy a K háromszög derékszögű. Hány fokosak a szögei? 1.2. egoldás. Szerkesszük meg az pontnak a -re és a -re vonatkozó illetve Q szimmetrikusát majd jelöljük F -fel illetve E-vel rendre az és szakaszok felezőpontját. z így keletkező Q és háromszögek hasonlók egymással, tehát Q = Q =. Ugyanakkor E, E, F és F középvonalak az, Q, illetve háromszögekben, tehát E F = = Q = E F = 1. 3 Továbbá E és E Q alapján a E mértéke egyenlő az és Q egyenesek által bezárt szög mértékével. Hasonló meggondolás alapján a F mértéke egyenlő az és egyenesek által bezárt szög mértékével. Ha {R} = és {S} = Q, akkor az RS négyszög körbeírható mivel m( RS) = m( RS) = 90, tehát m( E) = m( F ). Ebből következik, hogy a F és a E háromszögek hasonlóak és a hasonlósági arány 3, tehát = 3. F E α = 90 β = 30 Q Hasonló gondolatmenet alapján belátható, hogy = 2,
tehát a háromszög oldalai egyenesen arányosak az 1, 3 és 2 számokkal. Ez alapján állíthatjuk, hogy m( ) = 90, m( ) = 30 és m( ) = 60. 1.3. Feladat. (V:212..L. 1/1999) z háromszögben = és m( ) = 30. Vegyük fel a háromszög síkjában a pontot úgy, hogy m( ) = 15, m( ) = 45 és -hez viszonyítva a és pontok ellentétes félsíkokban legyenek. izonyítsd be, hogy m(â) = 90. 1.3.2. Első megoldás. Szerkesszük meg az szakaszra mint oldalra az E egyenlő oldalú háromszöget, amelynek az E csúcsa az -hez viszonyítva -vel ellentétes félsíkban van. Így az E négyszög körbeírható és a köréje írt kör középpontja éppen. Ebből következik, hogy m( E) = m(ĉ) = 15, vagyis a megfelelő középponti szög mértéke m(ĉ) = 30. Így tehát m( ) = 120 30 = 90. 3 E 45 15 1.3.2. ásodik megoldás. Jelöljük -szel az hosszát. z háromszögben a -ből húzott oldalfelező segítségével (vagy direkt módon a szinusz vagy a koszinusz tétel segítségével) kapjuk, hogy = 3. z háromszögben a szinusz-tétel alapján sin 45 = sin 120, tehát = 2. Így a háromszögben a koszinusz-tétel alapján = és ebből következik, hogy az háromszög egyenlő szárú és derékszögű. 45 15
4 1.4. Feladat. z egyenlő szárú háromszögben ( = ) a szög mértéke 20. Tekintjük az [] és [] pontokat úgy, hogy m( ) = 20 és m( ) = 30. Számítsd ki az szög mértékét! 1.4. egoldás. Legyen [] úgy, hogy m( ) = 20. m( ) = 60, tehát =. Így = = és 30 20 ásrészt =, tehát =, ahonnan m( ) = 70, vagyis m( ) = 30. 1.5. Feladat. (V:104..L. 3/1997) z háromszögben m( ) = 100 és m(â) = 10. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy m(ĉ) = 25 és m( ) = 40 legyen. Számítsd ki az szög mértékét! 1.5. egoldás. Vegyük fel a [] pontot úgy, hogy m( ) = 40. ivel m(â ) = 70, az így keletkező háromszög egyenlő szárú, vagyis =. Ugyanakkor a feltételek alapján az háromszög is egyenlő szárú, tehát =. pont szerkesztése alapján m( ) = 100 -ből következik, hogy m( ) = 60, tehát az háromszög egyenlő oldalú. Így m(â ) = 60 és =. Ugyanakkor m(â ) = 110 és m( ) = 100 25 40 = 35, tehát m( ) = 180 110 35 = 35. Ebből következik, hogy az háromszög is egyenlő szárú, tehát =. Így viszont =, tehát háromszög is egyenlő szárú. ásrészt m( ) = 180 70 60 = 50, tehát m( ) = 65, tehát m( ) = 65 35 = 30. 40 100 25 10 1.6. Feladat. (V:18..L. 2/1996) z O háromszögben m(âo) = 60. z O és O oldalakra, a háromszög külső tartományában megszerkesztjük az O és O, - ban illetve -ben derékszögű háromszögeket, amelyeknek O-ban levő szögeik 60 -osak. Ha a szakasz felezőpontja, bizonyítsd be, hogy az háromszög egyenlő oldalú!
1.6. egoldás. szerkesztés alapján = = O és így mivel = O+O = 2 O + O, következik, hogy + O. z és O háromszögekben tehát = O, = O és m(â) = m(âo) = 60. Így az említett két háromszög kongruens, tehát = és m( ) = m( O) = 60. Ebből következik, hogy az háromszög egyenlő oldalú. 5 O 1.7. Házi feladat. z háromszögben = és m( ) = 20. z száron vegyük fel az E pontot úgy, hogy E =. Számítsd ki az ÂE mértékét! 1.7. egoldás. Szerkesszük meg a pontot úgy, hogy az háromszög egyenlő oldalú legyen és -hez viszonyítva és ne legyen azonos félsíkban. E Így m(ê) = 80 = m(â), E = és = =, vagyis az E háromszög egybevágó az háromszöggel. Ebből következik, hogy E = = és m(ê) = 40, tehát m( E) = 70 és így m(âe) = 10. 1.8. Házi feladat. z egyenlő szárú háromszögben =, m(â) = 30. Legyen továbbá () úgy, hogy = 2. Igazold, hogy m( ) = 60! 1.8. egoldás. Szerkesszük meg az pontot úgy, hogy m( ) = 75 és =. Így az és az háromszögek hasonlók és a hasonlósági arány 2. Ez alapján az háromszögben m( ) = 45 és = 2, tehát ez a háromszög
6 egyenlő szárú és derékszögű. Így viszont = = és m( ) = 60, tehát egyenlő oldalú háromszög. Ebből következik, hogy m( ) = 60 45 = 15 és így m( ) = 60. 1.9. Házi feladat. z egyenlő szárú háromszögben = és m( ) = 20. Tekintjük továbbá az ( és [] pontokat úgy, hogy [] és m( ) = 30 illetve m( ) = 30. Számítsd ki a szög mértékét! 1.9. egoldás. Vegyük fel a pontot úgy, hogy m( ) = 20. Így egyrészt =, másrészt a háromszögben m( ) = 60. Ugyanakor a háromszög egyenlő szárú, tehát =. Így a háromszög egyenlő oldalú, tehát =. háromszögben m( ) = m( ) = 50, tehát = és így az háromszög is egyenlő szárú. ivel m( ) = 140, következik, hogy m( ) = 20 vagyis m( ) = 30. 1.10. Házi feladat. z konve négyszögben = 1, = 2, = 2, m( ) = 105 és m(â) = 60. Számítsd ki a oldal hosszát! 1.10. egoldás. Jelöljük a oldal hosszát -szel, a oldal felezőpontját -mel, és az és egyenesek metszéspontját -nel.
7 2 1 1 1 z előző megoldáshoz hasonlóan megkapjuk, hogy = 75 és Ĉ = 75 + 45 = 120. Tehát az négyszög szemközti szögeinek az összege 180 és így a négyszög körbeírható. négyszög köré írt kör középpontja az pont (és a kör sugara 1), ezért a és szögek 90 -osak. itagorasz tétele alapján az = 3 és 2 = 4 2 (1.1) összefüggéseket kapjuk. ásrészt,  = 90, = 60 és a háromszög egyenlő szárú, tehát = 15. Viszont az négyszög körbeírható, ezért a Ĉ is 15. e az háromszögben az  is 15 -os így az háromszög egyenlő szárú és = = 3 (1.2) az (1.1) összefüggés alapján. ivel a háromszög is egyenlő szárú (a oldalon fekvő szögek 15 -osak), ezért = = y. (1.3) Ha felírjuk az pontnak az négyszög köré írt körre vonatkozó hatványát (vagy direkt hasonlóságból), a (1.2) és (1.3) összefüggések alapján az = y(y + 2) = 3( 3 + 2) összefüggéshez jutunk. z y-ban másodfokú egyenletnek csak az egyik megoldása lesz pozitív (csak ez lehet egyenlő egy szakasz hosszával), és mivel = y, az (1.1) egyenletből megkapjuk az értékét.