CCS-10 p. 1/1 Számítógéppel irányított rendszerek elmélete A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Folyamatirányítási Kutató Csoport MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete Budapest e-mail: hangos@scl.sztaki.hu
BASIC NOTIONS (from previous lectures) PARAMETER ESTIMATION OF DT-LTI SYSTEMS CCS-10 p. 2/1
CCS-10 p. 3/1 Prediction error minimization Parameter estimation method: D N ˆθ N Problem statement: Given measured data: D[1, N] = D N = {(y(k), u(k)) k = 1,...N} predictive parametrized model: ŷ(k θ) = g(k, D[1, k 1]; θ) prediction error sequence (discrete signal): ε(k, θ) = y(k) ŷ(k θ), k = 1,...,N norm on the prediction error: V N (θ, D N ) = 1 N N k=1 l(ε(k, θ)) where l(.) is a positive scalar-valued function, most often: l(ε) = 1 2 ε2 From the known measured data D N and from the parameter vector θ one can compute the norm V N (θ, D N ). At k = N let us choose the estimated parameter vector ˆθ N such that ˆθ N = ˆθ N (D N ) = arg min θ V N (θ, D N )
CCS-10 p. 4/1 Simplest case: SISO ARX models BASIC CASE: The MA term in the general I/O model is zero, i.e. the output noise is a white noise process Predictive form: A (q 1 )y(k) = B (q 1 )u(k) + e(k) ŷ(k θ) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2) a n y(k n)+b 0 u(k)+ +b m u(k m) Parameter vector: Prediction error (white noise!): θ = [ a 1 a 2... a n b 0 b 1... b m ] T ε(k) = ŷ(k θ) y(k) = e(k)
CCS-10 p. 5/1 Least-squares (LS) parameter estimation Linear in parameter model: ŷ(k θ) = θ T ϕ(k) where ϕ(.) is the so called regressor. For ARX models ϕ(k) = [y(k 1) y(k 2)... y(k n) u(k) u(k 1)... u(k m)] T In ARX case (in the linear-in-parameters case) the estimation can be computed explicitely as ˆθ LS = [ 1 N ] 1 N 1 ϕ(k)ϕ T (k) N k=1 N ϕ(k)y(k) k=1
A RENDSZER- ÉS IRÁNYÍTÁSELMÉLET RÉSZTERÜLETEI CCS-10 p. 6/1
CCS-10 p. 7/1 Rendszer- és irányításelmélet: Részterületek rendszermodellezés (realizáció-elmélet) identifikáció kísérlettervezés, jelfeldolgozás modell paraméter és struktúra becslés rendszer-analízis: megfigyelhetoség, irányíthatóság, stabilitás irányítástervezés szabályozások: értéktartó, zavarelnyomó, stabilizáló stb. optimális irányítások diszkrét vezérlési szekvenciák diagnosztika
CCS-10 p. 8/1 Identifikáció: Modell paraméter becslés Adott: Egy parametrizált explicit dinamikus rendszermodell: y (M) = M(x; p (M) ) (1) ahol p (M) R ν az ismeretlen modell paraméterek, x R n a jelen és múltbeli bemenetek és kimenetek és y (M) R µ jövobeli kimenet vektora. A mért adatok egy rekordja D[0, k] = { (x(i), y(i)) i = 0,, k } (2) Egy. jelnorma és a veszteségfüggvény: L = y y (M) (3) Feladat: Számítsuk ki a p (M) ismeretlen modell paraméterek egy ˆp (M) becslését úgy, hogy az L veszteségfüggvény minimális legyen.
CCS-10 p. 9/1 Identifikáció: Modell struktúra becslés Adott: Egy M elemu parametrizált explicit dinamikus rendszermodellekbol álló M (S) modell-halmaz (a lehetséges struktúrák) y (Mj) = M j (x; p (Mj) ), j = 1,, M ahol p (Mj) R ν az ismeretlen modell paraméterek, x R n a jelen és múltbeli bemenetek és kimenetek és y (Mj) R µ jövobeli kimenet vektora. A mért adatok egy rekordja D[0, k] = { (x(i), y(i)) i = 0,, k } Egy. jelnorma és a veszteségfüggvény: L (j) (p (Mj) ) = r (j), r (j) (τ) = y(τ) y (Mj) (τ), τ = 0,, k Feladat: Határozzuk meg azt a j modell-indexet, amelyre az L (j) veszteségfüggvény minimális (Ehhez M paraméterbecslési feladatot kell megoldani.)
CCS-10 p. 10/1 Predikción alapuló diagnosztika Elvi feladatkituzés Adott: A meghibásodási módok száma NF (0=normal) Prediktív rendszermodellek minden meghibásodási módra y (Fi) (k + 1) = M (Fi) (D[1, k]; p (Fi) ), k = 1,2,... A mért adatok egy rekordja: D[0, k] = { (u(τ), y(τ) τ = 0,, k} Veszteségfüggvény J (Fi), i = 0,, N F J (Fi) (y y (Fi), u) = kx τ=1 [ r (i)t (τ)qr (i) (τ) ], r (i) (τ) = y(τ) y (Fi) (τ), τ = 1,2, Kiszámítandó: A rendszer aktuális meghibásodási módja, amely az a modell index i amelyikre a veszteségfüggvény minimális. Meghibásodás-azonosítás
CCS-10 p. 11/1 Identifikáción alapuló diagnosztika Elvi feladatkituzés Adott: A meghibásodási módok száma NF (0=normal) Prediktív parametrikus rendszermodellek minden meghibásodási módra y (Fi) (k + 1) = M (Fi) (D[1, k]; p (Fi) ), k = 1,2,... A mért adatok egy rekordja: D[0, k] = { (u(τ), y(τ) τ = 0,, k} egy paraméterektol függo veszteségfüggvény J (Fi), i = 0,, N F J (Fi) (p (estfi) p (Fi) ) = ρ (i)t Qρ (i), ρ (i) = p (estfi) p (Fi) Kiszámítandó: A rendszer aktuális meghibásodási módja, amely az a modell index i amelyikre a veszteségfüggvény minimális. Meghibásodás-azonosítás
CCS-10 p. 12/1 Rendszer- és irányításelmélet: kapcsolódó tantárgyak MI BSc alapfogalmak: "Irányítástechnika" (Gerzson Miklós, VIRT) modellezés, diagnosztika: "Modell alapú diagnosztika diszkrét módszerekkel" (Hangos Katalin, VIRT Piglerné Lakner Rozália, SzTA) MI MSc rendszer-analízis, irányítástervezés: "Computer controlled systems" (Hangos Katalin, VIRT, Piglerné Lakner Rozália, SzTA) identifikáció: "Dinamikus rendszerek paramétereinek becslése" (Hangos Katalin, Magyar Attila, VIRT) diagnosztika "Intelligens irányitórendszerek" (Piglerné Lakner Rozália, SzTA, Hangos Katalin, VIRT) 5 éves egyetemi képzés rendszermodellezés: "Folyamatmodellezés és model analízis" (Piglerné Lakner Rozália, SzTA)