Számrendszerek Tízes számrendszer: Ez az általános, informatikán kívül is használt legelterjedtebb számrendszer. Alapja 10 szám 0,1,2,3 9. Decimális számrendszernek is nevezzük. Egyik felhasználása az informatikában a BCD-kód (Binary Coded Decimal).Alapelve, hogy a tízes számrendszerben felírt számot számjegyenként binárisan kódoljuk, majd rendre egymás mellé írjuk az így kapott számsorokat. Kettes számrendszer: Bináris számrendszernek is nevezzük. Ez a számrendszer felel meg leginkább a számítógépes jelreprezentálásnak. Alapja a kettő, jelei 0 és 1. A számítógép végső soron mindent így tárol. Egyfajta végletes számrendszer, mely a köztes állapotokat nem ábrázolja. Pl. vagy alacsony vagy magas feszültség van. Vagy van fényvisszaverődés vagy pedig nincs. Tizenhatos számrendszer: Hexadecimális számrendszernek is hívjuk. A byte szervezésű adatkezeléshez jobban illeszkedik. Alapszáma a 16, jelei 0,1,2,3 8, 9, A(10), B(11), C, D, E,F(15) Lejegyzés, jelölés: Egy szám alakja nem feltétlenül jelzi, hogy milyen számrendszerben van. A 10-es számrendszerbeli lejegyzés a leggyakoribb, ezért azzal kapcsolatban jelzés nincs. Legelterjedtebb szokás, hogy a szám lejegyzett formája mellé jobb alsó indexbe ábrázoljuk a számrendszer alapszámát. Átváltás a számrendszerek között: Általában 10-es számrendszerből váltunk tetszőlegesre és tetszőlegest 10-esre. 4510 >1011012 1011012 >4510 Kivétel 1 byte=8 bit-nél: 1011012 >16-os számrendszerbe
A legegyszerűbb számrendszer az egyes számrendszer, unáris számrendszer, amelyben minden természetes számot megfelelő számú szimbólummal ábrázolnak. Ha a megjelenítésre a szimbólumot választjuk, akkor például a hetes számot a következő képen jeleníthető meg:. Az unáris rendszer jól használható kisebb számok esetén. A számítástechnika néhány területén, például az Elias gamma kódolásnál, valamint az adattömörítési algoritmusok esetében gyakran használt számrendszer. Az unáris ábrázolás rövidebbé tételéhez gyakran használnak speciális szimbólumokat, amelyek különleges jelentéssel bírnak. Ezek a speciális szimbólumok gyakran a 10 különböző hatványait (10, 100, 1000 stb.) jelentik. Így például, ha jelenti az 1-et, a jelenti a 10-et, és + jelenti a 100-at, akkor a számok tömörített formában a következő képen ábrázolhatók: a 304 szám +++ a 123 szám pedig + - formában jelenik meg. A régi egyiptomiak is hasonló rendszerű számrendszert használtak, és a római számrendszer ennek a számábrázolási rendszernek egy módosítása. Használatosak voltak olyan rendszerek is, amelyekben speciális rövidítéseket használtak a szimbólumok többszörös előfordulása esetén. Például ha az ABC első 9 betűjét használjuk a többszörös előfordulás rövidítésére, akkor A jelenti az egyszeres előfordulást, B jelenti a kétszeres előfordulást, és így tovább. Ebben az esetben az előzőekben +++ formában ábrázolt 304-es számot most C+ D formában írjuk le. Még elegánsabb a helyiértékes rendszer: a világszerte használt 10-es alapú számrendszer csak a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeket használja. A felsorolás egyben a számok un. alaki értéke, a számjegy tényleges értéke helyiértéke attól függ, hogy a szám melyik pozíciójában áll, mert ekkor az alaki érték még megszorzódik a 10 alapszám adott pozíciója szerint hatványával. A 304 = 3 100 + 0 10 + 4. Meg kell jegyezni, hogy a zéró, amelynek használatára az előzőekben említett rendszerekben nem volt szükség, itt alapvetően fontos, mivel lehetővé teszi egy hatvány nagyságrend kihagyását, illetve "átugrását". A ma világszerte elterjedt arab számrendszer, amely valójában indiai eredetű, a 10-et alapszámnak tekintő helyiértékes rendszer. Az aritmetikai műveletek is sokkal egyszerűbbek a helyiérték rendszerekben, mint az előzőekben megismert, un. additív számrendszerekben, ugyanis az additív rendszerek elméletileg végtelen számú különböző szimbólumot kell, hogy használjanak a 10 különböző hatványainak ábrázolásához, míg a helyiérték rendszerben ehhez elegendő 10 különböző szimbólum (10-es számrendszert feltételezve). A számítástechnika néhány területén egy módosított helyiérték rendszert használnak, az u.n. k alapú helyiérték rendszert, amit bijektív számrendszernek neveznek, melyben a használható számjegyek az 1, 2,, k (k 1), és a nullának egy üres karaktersorozat string felel meg. Ez a módszer biztosítja a bijekciót minden számjegyekből álló string halmaza és a nem-negatív egészek halmaza között, és elkerülhetővé teszi a nem-egyértelműséget a vezető nullák használata esetén. A bijektív k-alapú számrendszert k-adik jelölésnek is nevezik, de ez nem tévesztendő össze az un. p-adikus számokkal. A bijektív 1-es alapú rendszer megegyezik az unáris rendszerrel.
A történelem előtti időkben a számokat fából vagy kövekből faragott pálcikák reprezentálták. A kőkorszaki kultúrákban, ideértve az ősi amerikai indián csoportokat, a pálcikákat lovak, szolgák, személyes szolgáltatások adás-vételénél, illetve szerencsejátékoknál használták. A legelső írott emlékeket a pálcikák használatáról a sumerek hagyatékai között találták, agyagtáblákba karcolták, amelyeket később néha kiégettek. A sumerek a kissé különleges, a 10-es, 12-és és 60-as alapú számrendszer kombinációját használták az asztronómiai és egyéb számításaiknál. Ezt a rendszer átvették és az asztronómiában használták az ősi mediterrán nemzetek (akkádok, görögök, rómaiak és egyiptomiak). A rendszer maradványait könnyen felismerhetjük a mai idő- (órák, percek) és a szögmérésben (szögpercek). Kínában, a katonák és a gazdálkodók már a maradékokat is használták a számításaikban (prímszámok). A csapatok számának, illetve a rizs mennyiségének méréséhez a pálcikák egyedi kombinációi szolgáltak. A számításokat kényelmesebbé tette a moduláris aritmetika, ami megkönnyítette a szorzást. A moduláris aritmetika használata egyszerűvé tette a számításokat. A moduláris aritmetikát ma a digitális jelfeldolgozás használja. A Római Birodalomban a pálcikákat viaszba vagy kőbe karcolták, vagy papiruszra írták és a számok ábrázolására a görögöktől átvett rendszert használták, de egyes számokra saját jeleket vezettek be. A római számrendszer használata a helyiérték rendszer bevezetése előtt (1500-as évek) általános volt. A közép-amerikai maja kultúra egy 20 vagy 18 alapú számrendszert használt, ismerték már a helyiértékeket és a nulla fogalmát. Nagyon pontos asztronómiai számításokat végeztek, különösen az év hosszával és a Vénusz pályájával kapcsolatban. Az Inka Birodalom kiterjedt gazdaságirányítási rendszert működtetett kipu, ahol pálcikák helyett színes fonalakra kötött csomókat használtak. A csomók és színek használata a spanyol hódítók a 16. században történt megjelenésével feledésbe merült, ennek ellenére egy kipuhoz hasonló, egyszerű jelzésrendszer még ma is használatos az Andok területén. Néhány szerző azt feltételezi, hogy a helyiérték rendszert széles körben az abakusz használatával a kínaiak terjesztették el. Az első írásos emlékek a pálcikákról, illetve az abakusz használatáról 400 körüliek. A kínai matematikusok a nullát csak 932 körül írták le. Indiából, ahol már ismerték a modern helyiértékes rendszert, valószínűleg egy Indiába küldött követ által, egy 773 körül vásárolt asztronómiai táblázat közvetítésével jutott el a rendszer az arabokhoz. A rendszerek részleteit lásd arab számok és indiai számok. A iszlám fejedelmek és Afrika, valamint az India közötti élénk kereskedelem juttatta el az indiaiak által használt rendszert Kairóba. Az arab matematikusok kibővítették az általuk addig használt rendszert a decimális hatványokkal, amit al-hvárizmi a 9. században már írásban rögzített. A rendszerrel Európát Fibonacci a Liber Abaci 1201-ben, Spanyolországban megjelent munkájában ismertette meg, lefordítva az arab forrást. Így Európába a 12. században jutott el arab közvetítéssel a nullával kiegészített teljes indiai rendszer. A 2-es alapú bináris rendszert már a 17. században Gottfried Leibniz ismertette, aki Kínában hallott róla, de általános használata a 20. században, a számítógépek megjelenésével terjedt el. Alapszámok használata[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése]
Manapság a 10-es alapú számrendszer a legelterjedtebben használt számrendszer. Feltehetően a rendszer elterjedtségének az az oka, hogy az embereknek tíz ujjuk van (kezükön). A 8-as alapú rendszert az észak-kaliforniai yuki indiánok találták ki, akik feltehetőleg az ujjak közét is használták a számláláskor. Vannak nyelvészeti bizonyítékok, amelyek alapján feltehető, hogy a bronzkorban korai indo-európaiak (akiktől a legtöbb európai és indiai nyelv ered) helyettesíthették az addig használt 8-as alapú rendszert (ami csak a 8-ig történő számlálást engedte meg) a 10-es alapú rendszerrel. Bizonyíték erre, hogy az angol nyelvben ekkor merül fel a 9-et jelentő, newan, mint ami az 'új'at jelentő 'new', newo szavakból származik, feltehetőleg a nemrégen kitalált 9-es számot úgy nevezték el 'új szám'nak (Mallory & Adams 1997). (Franciául a neuf szó máig is egyaránt jelent 9-et és 'új'at.) A maja, valamint a pre-kolumbiai és közép-amerikai civilizációk 20-as alapú számrendszereket használtak, (ennek eredete feltehetőleg összefügg az emberek kéz- és lábujjainak számával). A 60-as alapú rendszert a sumér és az azt követő mezopotámiai kultúrák használták, de mint túlélőt, a ma használt időmérő rendszerben is ezt a rendszert használjuk (egy órát 60 percre osztunk, illetve 1 percet 60 másodpercre). A 60-nak, mint alapszámnak a használata azzal magyarázható, hogy elég nagy szám, ugyanakkor meglehetősen sok osztója van, különösen igaz ez az első hat természetes számra, illetve sok törzstényezője van. A 12-es számrendszer nagyon népszerű volt, mert a 12 maradék nélkül osztható 2-vel (felezhető), 3-mal (harmadolható), 4-gyel (negyedelhető), 6-tal (hatodolható). A ma használt naptárban az év 12 hónapra oszlik, 12 óra a nappal és 12 óra az éjszaka az év mind a 365 napján. Csaknem minden nyelvben külön szó van a 12 dologból álló csoportra, például a magyar tucat, az angol dozen, a német das Dutzend, az orosz djuzsina stb. A kapcsolók/relék (és elektronikus követőik, az elektroncsövekből, majd később a tranzisztorokból álló kapcsolóáramkörök) csak két állapotúak lehetnek : nyitottak és zártak. A nyitott=1 és a zárt=0 helyettesítéssel (vagy fordítva) nyerjük a bináris számjegyek sorozatát. (A tranzisztorok esetében a feszültségekre gyakran használatos a magas és az alacsony kifejezés a 'be' és 'ki' helyett). A bináris rendszer az alapja a digitális számítógépek működésének. Ezt a számrendszert használja csaknem minden digitális számítógép az egészekkel való aritmetikai műveleteknél, kivéve néhány, a kezdetekben használt egzotikus 3- as és 10-es alapú számítógépet. A számítógépek nem minden tárolt adatot értelmeznek számnak van, amit szövegnek, van, amit programnak értelmeznek. Valós számokat (amelyek közé az egészek is tartoznak) általában lebegőpontos számokként tárolnak és dolgoznak fel, amelyekre külön műveleti szabályok vonatkoznak, ez az ún. lebegőpontos aritmetika. A múltban és ma leggyakrabban használt számrendszerek alapszámai a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20 és 60.
Bináris (kettes) számrendszer Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek: 0 és 1 A kettes számrendszer is a súlyozott, helyiértékes számrendszerekhez tartozik. Alapja a 2, ennek egész számú hatványai adják a helyiértékeket. Tört számokat is lehet konvertálni kettes számrendszerbe, ilyenkor a 'tizedes vessző' után következő (decimális számrendszerben az egynél kisebb) érték kettőnek szintén hatványaként lesz kifejezve, de a negatív hatványokat használjuk. Oktális[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése] Bővebben: Nyolcas számrendszer Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek: 0-tól 7-ig. Több programozási nyelv (pl. C/C++) és futtatókörnyezet (pl. bash) a nullával kezdődő számokat nem decimálisként, hanem oktálisként értelmezi. Ez alól a hexadecimális kivétel, amelyet 0x-szel kell kezdeni. A UNIX-szerű operációs rendszereken a jogosultságokat oktálisan is megadhatjuk illetve kiolvashatjuk. Lásd chmod. Hexadecimális[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése] Képernyőkép egy tipikus hexadecimális szövegszerkesztőről (hex editor) Tizenhatos számrendszer Bővebben: Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek: 0-tól 9-ig és az A, B, C, D, E, F betűk, melyek értéke rendre 10, 11, 12, 13, 14, 15. Az azonos kis és nagy betűk ugyanazt az értéket jelölik. Számkonstansok megadásakor 0x-szel (C/C++ stílus), #-tel (HTML stílus), $ (Pascal stílus) szokták kezdeni vagy h-val (Assembly stílus) szokták zárni. Főként programozók és informatikusok kedvelik, bináris fájlok értelmezésében van segítségükre. Egy hexadecimális számjegy pontosan 4 bitet ír le, kettő pedig egy bájtot. Átszámítások[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése] Decimálisból binárisba[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése] Adott számjegyet (decimális, azaz tízes számrendszer) sorozatosan elosztunk 2-vel. Az osztás maradékát feljegyezzük (0, vagy 1), majd az osztás során az eredmény egészrészét osztjuk tovább. Pl.: dec maradék dec maradék maradék 1 0 1 1 1 1 ------------ ------------ ----------------------- hányados 1 2 5 11 23 47 47 1 24 0 23 1 12 0 11 1 6 0 5 1 3 1 2 0 1 1 1 1 A maradékoszlop számsorát a decimális sor utolsó egyesével együtt felírjuk lentről felfelé és megkapjuk az adott decimális szám bináris megfelelőjét.
47 101111 (informatikában: 00101111) jelen esetben a két 0 eléírása csak abban az esetben igaz, ha a 32 bites IP címzésnél az oktetenkénti nyolcbitnyi értékre van szükségük. Abban az esetben a valóban hiányzó (jelen esetben) két 0 értéket a bináris számsor elé kell írni. 24 11000 (informatikában: 00011000)jelen esetben a három 0 eléírása csak abban az esetben igaz, ha a 32 bites IP címzésnél az oktetenkénti nyolcbitnyi értékre van szükségük. Abban az esetben a valóban hiányzó (jelen esetben) három 0 értéket a bináris számsor elé kell írni. Binárisból decimálisba[szerkesztés forrásszöveg szerkesztése] Mint minden számrendszer, a bináris is helyiértékek összegével írható fel. Azaz 20-on, 21- őn Azokat a helyiértékeket, melyek 1-essel vannak jelölve, decimálisan összeadjuk, az összeg a decimális érték lesz. Pl.: "helyiértékesítve": 25 24 23 22 21 20 bináris: 1 0 1 1 1 1 A számjegyek helyiértékeinek összegét számolva: 25+23+22+21+20=32+8+4+2+1=47 Szokásos, hogy az informatikában a byte kódolás miatt nyolc számjegyen (vagy annak egész számú többszörösén) számolnak, azaz az iménti számot így lehet 8 bites alakban felírni: bináris: 00101111