TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy ebontrúd papírdarabokat, apró porszemcséket, hajszálakat képes magához vonzan, de a tapasztalat szernt a megdörzsölt testek között taszítás s felléphet. dörzsöléssel lyen különleges állapotba hozott testek által kfejtett erőket nem tudjuk megmagyarázn semmlyen mechanka jellegű vagy gravtácós kölcsönhatással. dörzsölés révén tehát az anyagnak egy új tulajdonsága válk érzékelhetővé, amely egy eddg smeretlen kölcsönhatást okoz. zt a kölcsönhatást elektromos- vagy elektrosztatkus kölcsönhatásnak, az anyagnak az elektromos kölcsönhatást okozó sajátságát elektromos töltésnek nevezzük. lektromos erőhatások, az elektromos töltés z elektromos kölcsönhatás megsmeréséhez először az elektromos állapotba hozott testek között fellépő erőhatásokat kell tanulmányozn, mert csak így smerhetjük meg a kölcsönhatást okozó elektromos töltések sajátságat, és így juthatunk el az elektromos kölcsönhatás számszerű leírásához. legegyszerűbb a nyugvó (sztatkus) elektromos töltések között fellépő erőket vzsgáln. Értelemszerűen az elektromos jelenségek kutatásának ezt a területét elektrosztatkának nevezzük. z erőhatásokkal kapcsolatos alapkísérletek egyszerű eszközökkel végrehajthatók. KÍSÉRLT_: Bőrrel megdörzsölt üvegrúd, szőrmével megdörzsölt ebontrúd apró tárgyakat magához vonz, majd eltaszítja azokat. z üvegrúd dörzsölésére használt bőr és az ebontrúd dörzsölésére használt szőrme ugyanlyen erőhatásokat fejt k. KÍSÉRLT_: Üvegrudakat bőrrel, ebontrudakat szőrmével dörzsölünk meg, és megfgyeljük a megdörzsölt rudak lletve a dörzsölő anyagok között fellépő kölcsönhatásokat. hhez a üvegrudat és ebontrudat vízszntes helyzetben felfüggesztünk egy cérnaszálra, majd ezek egyk végéhez egy másk megdörzsölt testet közelítünk. kkor a kölcsönhatás matt a felfüggesztett rúd elfordul. kölcsönható párok között az alább erőhatásokat tapasztaljuk: üveg - üveg kölcsönhatás: taszítás üveg - üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: vonzás ebont ebont kölcsönhatás: taszítás ebont ebontot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: vonzás üveg - ebont kölcsönhatás: vonzás üveg - ebontot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: taszítás ebont üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: taszítás kísérletek alapján a jelenségeket megpróbáljuk értelmezn: görögök kb. 500 évvel ezelőtt már tapasztalták, hogy a megdörzsölt borostyán könnyű tárgyakat (tollphe, szalmaszál) magához vonz. borostyán görög neve elektron : nnen ered az elektron és az elektromosság elnevezés. továbbakban az elektromos töltés kfejezés helyett gyakran a rövdebb töltés kfejezést használjuk.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) dörzsölés az összedörzsölt két testet olyan állapotba hozza, amely valam erőkfejtésre képes anyag dolog megjelenésével jár együtt, ezt nevezzük elektromos töltésnek. kísérletek csak úgy értelmezhetők, ha kétféle elektromos töltést tételezünk fel: az egyk fajta töltés az összedörzsölt testek egykén-, a másk fajta töltés a máskon jelenk meg. Megállapodás szernt a bőrrel megdörzsölt üvegrúdon megjelenő töltést poztívnak, a szőrmével megdörzsölt ebont töltését negatívnak nevezzük. z azonos előjelű töltések taszítják egymást, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást, ennek alapján feltételezhető, hogy az üvegrudat dörzsölő bőrön negatív töltés van, az ebontot dörzsölő szőrmén pedg poztív. Mvel a magukra hagyott testek normáls körülmények között (dörzsölés nélkül) általában elektromos erőhatásokat nem fejtenek k egymásra, fel kell tételeznünk, hogy az anyagokban azonos mennységű poztív és negatív töltés van, amelyek egymás hatását semlegesítk, ezért kfelé az anyagok elektromos töltése nem érzékelhetők. dörzsölés hatására fellépő elektromos jelenségeket eszernt úgy értelmezhetjük, hogy a dörzsölés szétválasztja az anyagban azonos mennységben található poztív és negatív töltéseket, így az összedörzsölt testek egykén többlet poztív-, a máskon többlet negatív töltés jelenk meg. szétválasztott töltések között erőhatás lép fel, amt a töltést hordozó testek kölcsönhatásaként érzékelünk. Ma már azt s tudjuk, hogy az elektromos töltéseket a föld anyagot alkotó két elem részecske, a proton és az elektron hordozza. zek közül a proton töltése poztív (ez jelenk meg a megdörzsölt üvegrúdon), az elektroné pedg negatív (ez jelenk meg a megdörzsölt ebontrúdon). z elektromos töltések tovább tulajdonságat szntén egyszerű kísérletekkel vzsgálhatjuk meg. KÍSÉRLT_3: Cérnaszálra felfüggesztett sztanollemezt (alumínum fólát) a megdörzsölt üvegrúd vagy ebontrúd magához vonzza, majd eltaszítja. taszítás oka az, hogy a fémlemez a megdörzsölt rúd töltését átvesz, tehát a rúddal azonos töltésűre feltölthető. zt, hogy a dörzsölésnél töltésszétválasztás történk, az s mutatja, hogy az üvegrúddal poztívra feltöltött sztanollemezt a dörzsölő bőr vonzza (a bőrön tehát negatív töltés maradt), az ebonttal negatívra feltöltött sztanollemezt a dörzsölő szőrme vonzza (a szőrmén poztív töltés maradt). KÍSÉRLT_4: töltések jelenlétének kmutatására szolgáló egyszerű eszközök az ábrán látható elektroszkópok. zek két vékony, hajlékony fémlemezből (pl. alumínum fóla; a) ábra) vagy cérnaszálakra felfüggesztett két bodzabél (hungarocell) golyóból (b) ábra) állnak, amelyeket egyk végükön egy fém tartón egymáshoz rögzítünk. Ha a közös végre töltést vszünk, a lemezek lletve a bodzabél golyók a közöttük fellépő taszítás matt egymástól eltávolodnak, szétágaznak. a) b) z elnevezés B. Franklntól származk, ak a poztív és negatív számokat tekntette mntának: az ellenkező előjelű töltések egymás hatását koltják, ugyanúgy, ahogy a poztív és negatív számok összeadva egymást megsemmsítk.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 3 zeknek az eszközöknek komolyabb mérésre s alkalmas változata az elektrométerek. zek lényegében egy fémvázból () és a hozzá vízszntes tengellyel csatlakozó, mutatóként működő, vékony fémrúdból () állnak. z eszközt a zavaró külső hatások kküszöbölése érdekében egy fém házban (3) helyezk el, amelyet a fémváztól elszgetelnek (4). z elektroszkóp töltetlen állapotában a mutató függőlegesen lóg (a) ábra). Ha a fémváz tetején lévő fémgömbre töltést vszünk fel, akkor az fémváz és a mutató ugyanolyan előjelű töltést kap, így köztük taszítás lép fel. nnek következtében a mutató eltávolodk a fémváztól, elfordul a tengelye körül, és jelz a töltés jelenlétét (b) ábra). mutató ktérését egy mögötte elhelyezett skálán (5) leolvashatjuk, így az eszköz durván a felvtt a töltés nagyságát s jelz. KÍSÉRLT_5: Két elektrométert egymás mellé helyezünk, és az alább kísérleteket végezzük el. z egyk elektrométert feltöltjük, majd a töltött és töltetlen elektrométer gömbjet fémrúddal összekötjük. kkor az eredetleg töltetlen elektrométer s töltést mutat, vagys a töltés bzonyos anyagokkal egyk helyről a máskra elvezethető. zokat az anyagokat, amelyek a töltést képesek elvezetn vezetőknek nevezzük (lyenek pl. a fémek). Környezetüktől elszgetelt vezetők dörzsöléssel vagy a hozzájuk érntett, töltött állapotba hozott (megdörzsölt) anyagokkal feltölthetők (a környezettől való elszgetelés fontos, mert a felvtt többlet-töltések csak ekkor maradnak meg a vezetőn). Ha a töltött- és töltetlen elektrométert farúddal kötjük össze, akkor a töltetlen elektrométer továbbra s töltetlen marad, nncs töltésvándorlás. Vannak tehát olyan anyagok, amelyek a töltést nem vezetk. zeket szgetelőknek nevezzük. Dörzsöléssel a szgetelőkön tudunk töltéseket könnyen felhalmozn, mert a szgetelőkről a szétválasztott töltések nem vezetődnek el. Ha a két elektrométerre ellenkező előjelű töltést vszünk, majd azokat vezetővel összekötjük, akkor mndkét elektrométer töltése csökken: a kétféle töltés kompenzálja egymás hatását. 4 5 3 a) b) KÍSÉRLT_6: lektromos megosztás: Két töltetlen elektrométert vezető rúddal kötünk össze, és az egykhez feltöltött üvegrudat (poztív töltés) közelítünk. kkor mndkét elektrométer töltést mutat. Ha az üvegrudat eltávolítjuk az elektrométer közeléből, akkor az elektrométerek töltése eltűnk. zt a jelenséget annak a megfgyelésnek a segítségével érthetjük meg, hogy vezetőkben a töltések könnyen elmozdulhatnak: a két elektrométerből és az összekötő rúdból álló összefüggő vezetőben a poztív töltésű üvegrúd a negatív töltéseket a rúdhoz közel elektrométerre vonzza, a távol elektrométeren pedg poztív töltés marad. Így mndkét elektrométer töltést jelez. vezetőkben a közelükben elhelyezett töltések által okozott lyen töltésszétválást elektromos megosztásnak nevezk. megosztó hatás megszűnése után a töltések vsszarendeződnek eredet állapotukba.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 4 KÍSÉRLT_7: megosztott töltések szétválaszthatók, és újra egyesíthetők: z összekötő vezető rudat a megosztott rendszerről levéve, a szétválasztott töltés megmarad az elektrométereken. két elektrométert újra vezetővel összekötve, a megosztott töltések semlegesítk egymást, a töltés mndkét elektrométerről eltűnk. KÍSÉRLT_8: Töltés előjelének meghatározása elektrométerrel a megosztás jelensége alapján: lektrométert smert töltéssel látunk el, majd smeretlen előjelű töltést közelítünk hozzá. kkor a megosztás matt a ktérés nő, ha az smeretlen töltés előjele megegyezk ez elektrométerével, ellenkező előjelű töltésnél a ktérés csökken. z elektrosztatkus kölcsönhatás számszerűsítése, a Coulomb-törvény z elektromos töltések kölcsönhatásának számszerű vzsgálatát először Coulomb (785) végezte el. mérés során töltött vezető gömbök kölcsönhatását mérte az gen ks erők mérésére alkalmas torzós mérleggel. torzós mérleg vékony, rugalmas szálra súlyzószerű elrendezésben, a "súlyzó" tömegközéppontjánál felfüggesztett két azonos méretű fémgömb (ábra). Ha a szál elég vékony, akkor a "súlyzó" egyk gömbjére ható gen ks erő esetén s mérhető módon elfordul. z elfordulás során a rugalmas szálban egy vsszatérítő nyomaték lép fel, amely arányos a szögelfordulással. matt a vsszatérítő nyomaték egy meghatározott szögelfordulásnál kompenzálja a súlyzóra ható erő nyomatékát, és egyensúly alakul k. vsszatérítő nyomaték a szögelfordulásból meghatározható, abból pedg a súlyzóra ható smeretlen erő kszámítható. Coulomb-féle mérésnél a fémgömbök egykére vtték fel (pl. megdörzsölt üvegrudat érntve hozzá) a kölcsönható töltések egykét (Q ), és ennek közelében helyezték el a másk töltött testet (Q töltésű fémgömb). torzós mérleg a gömbök elektromos kölcsönhatása matt elfordul. Megmérve az elfordulás szögét, és smerve a felfüggesztő szál rugalmas tulajdonságat, a golyók között fellépő erő meghatározható. gömb választása azért szerencsés, mert gömbszmmetrkus a töltéseloszlás, am várhatóan leegyszerűsít a mérés kértékelését (később látn fogjuk, hogy a gömb egy pontszerű töltéssel azonos módon vselkedk) egy töltött gömböt ugyanolyan üres gömbhöz érntve a töltés felezhető, vagys mód van a töltés nagyságának mérésére. berendezésben változtatható a kölcsönható testek egymáshoz vszonyított helyzete, vagys tanulmányozható a vonzóerő távolságfüggése, és mód van arra s, hogy a mérést különböző nagyságú töltésekkel végezzük el. mérések szernt a kölcsönhatásnál fellépő erők nagysága arányos a kölcsönható töltések nagyságával, és fordítva arányos a töltések távolságának négyzetével. z ábra jelölésevel: QQ F = F ~. r F r Q Q F
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 5 Szgorúan véve a töltések r távolságának csak akkor van értelme, ha pontszerű töltésekről van szó, vagys ha a töltések mérete sokkal ksebb, mnt a köztük lévő távolság. Később látn fogjuk, hogy gömbszmmetrkus töltéseloszlásnál távolságként a gömbök középpontjanak távolsága használható. F z arányosság tényezőt K e -vel jelölve, az egyes töltésekre ható erő vektor alakban (ábra): u Q QQ r F = F = K e u r F Q z a Coulomb-törvény, ahol r a két test távolsága, u az testtől a testhez mutató egységvektor, Q és Q a testek elektrosztatkus kölcsönhatásának erősségét jellemző elektromos töltések, K e pedg egyelőre smeretlen arányosság tényező. törvény kfejez azt a tapasztalatot s, hogy azonos előjelű töltések ( Q Q > 0 ) taszítják, ellenkező előjelűek ( Q Q < 0 ) pedg vonzzák egymást. tapasztalat szernt a két kölcsönható töltésre ható erő ellentétes rányú és azonos nagyságú (Newton III. törvénye teljesül): F = -F. z a törvény akkor érvényes, ha a két kölcsönható test környezetében nncs más, a kölcsönhatást zavaró pl. elektromosan töltött test. z gyakorlatlag azt jelent, hogy a két töltés kölcsönhatását üres térben vákuumban kellene vzsgálnunk, hszen az anyagokat töltött részecskék építk fel, s ezek a töltések módosítják a kölcsönhatást. Kmutatható azonban, hogy a levegő módosító hatása gen kcs, így a méréseket levegőben végezve, gen jó közelítéssel megkapjuk a vákuumban érvényes törvényt. törvénnyel kapcsolatban két kérdés vetődk fel: m a Q egysége? menny a K e? zt a problémát, hogy egyetlen összefüggésből két új mennységet, a töltést és az arányosság tényezőt kell meghatároznunk, kétféleképpen oldhatjuk meg (ugyanezzel a problémával találkoztunk már Newton II. törvényénél s, ahol a két mennység a tömeg és az erő volt): önkényesen rögzítjük a töltés egységét (pl. egységként egy reprodukálható módon feltöltött test töltését választjuk). kkor a K e arányosság tényező mérés útján határozható meg: ha két, egymástól r =d távolságban lévő, egységny töltésű (Q egys ) test által Fd egymásra kfejtett F =F erőt megmérjük, akkor az arányosság tényezőt a K e = Qegys összefüggésből kapjuk meg. töltés ma használt, törvényben rögzített egysége (az ún. SI egység) Coulomb=C. töltés egységének lyen választása esetén két C nagyságú 9 töltés között m távolságban F = 9 0 N erő lép fel, ezért a Coulomb-törvényben szereplő arányosság tényezőre az SI rendszerben azt kapjuk, hogy 9 9 0 N m 9 Nm K e = = 9 0. C C a másk lehetőség az, hogy önkényesen rögzítjük a K e állandót, ekkor Q egysége a Coulomb-törvényből származtatható. zt az eljárást követk a fzka bzonyos területen még ma s használatos elektrosztatkus CGS rendszerben. Itt önkényesen a K e = egység nélkül értéket választják, amből következk, hogy az elektromos töltés egysége: g / cm 3/ s -. töltések kölcsönhatására vonatkozó Coulomb-törvényt eredetleg levegőben állapították meg. Csak később derült k, hogy az anyag jelenléte módosítja a töltések kölcsönhatását. z s kderült azonban, hogy a levegőben kmért törvények a vákuumban érvényes törvényekkel gyakorlatlag azonosak. z C egységet az SI rendszerben az áramerősség egységéből ( ) származtatjuk: C= s.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 6 Lényegében forma okokból (bzonyos alaptörvények egyszerűbb alakban írhatók fel) az SI rendszerben a K e helyett egy új konstanst vezetnek be (ε 0 ): K e = ε 0 =8.855*0 - C /Nm. 4πε 0 zzel a Coulomb-törvény az QQ F = u 4πε0 r alakot ölt. törvény nyugvó, pontszerű töltések (vagy gömbszmmetrkus töltéseloszlások) között vákuumban fellépő kölcsönhatást ír le. z elektrosztatkus erők jellege, elektromos erőtér és elektromos térerősség Ha egy Q ponttöltés környezetében bárhol elhelyezünk egy másk (q) ponttöltést, akkor arra a Coulomb-törvénynek megfelelő erő hat, vagys egy töltés maga körül a térben olyan fzka állapotot hoz létre, amelynek eredményeképpen bármlyen másk, odahelyezett töltésre elektrosztatkus erő hat. Rövdebben ezt úgy szokás megfogalmazn, hogy a Q elektromos töltés maga körül ún. elektrosztatkus- vagy elektromos erőteret hoz létre. zt, hogy valahol van-e elektromos erőtér, eszernt úgy állapíthatjuk meg, hogy a kérdéses helyre egy mérőtöltést teszünk, és ha erre erő hat, akkor ott az erőtér jelen van, ha nem hat erő, akkor nncs jelen. fent módszerrel tehát az erőtér létezését akkor s meg tudjuk állapítan, ha az erőteret létrehozó töltést nem smerjük. kérdés az, hogy lehet-e ezt az erőteret számszerűen s jellemezn. zt, hogy egy töltés környezetében mlyen "erősségű" erőtér jön létre, megpróbálhatjuk jellemezn például úgy, hogy a tér különböző pontjaban meghatározzuk egy önkényesen kválasztott pontszerű q poztív mérőtöltésre ható erőt (ennek a mérőtöltésnek olyannak kell lenne, hogy jelenléte ne befolyásolja az eredet vszonyokat). Vzsgáljuk meg, hogy mlyen ez az erő különböző töltéselrendeződések által létrehozott elektromos erőtérben. lőször egy Q poztív ponttöltés által létrehozott erőteret vzsgálunk. lkalmazzuk a Coulomb-törvényt erre az esetre. q mérőtöltésre ható erő eszernt Qq Q Fq = u = q u, 4πε 0 r 4πε 0 r ahol u az erőteret létrehozó töltéstől a mérőtöltés felé mutató egységvektor, r a kölcsönható töltések távolsága. Látható, hogy ez az erőhatás nemcsak az erőteret létrehozó Q töltésre jellemző, hanem a q mérőtöltéstől s függ. z s látható azonban, hogy az erőhatás nagysága arányos a mérőtöltés nagyságával: F q ~ q. Következő lépésként vzsgáljuk meg, hogy több ponttöltés által létrehozott erőtérben mlyen erő hat a q mérőtöltésre. zt az erőt megpróbálhatjuk elmélet úton, a szuperpozícó elve alapján kszámítan. szernt az elv szernt a kválasztott q mérőtöltésre az egyes töltések által kfejtett erőt nem befolyásolja a több töltés jelenléte, vagys mnden egyes erő úgy számítható k, mntha a több töltés ott sem lenne. tapasztalat azt mutatja, hogy ez az elv különleges esetektől eltekntve teljesül. nnek alapján a q töltésre ható eredő erőt úgy kaphatjuk meg, hogy az egyes töltések által egyenként kfejtett erőket vektorlag összeadjuk (ez látható az alább a) ábrán), vagys a Q, Q,,...Q... töltések által a mérőtöltésre kfejtett eredő erő (F e ) az alább módon kapható meg:
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 7 F q e = 4πε 0 r Q u. Látható, hogy az erő most s arányos a mérőtöltéssel, a Q u 4 πε 0 r arányosság tényező pedg csak az erőteret létrehozó töltésektől, továbbá a helytől függ. Hasonlóan járhatunk el, ha egy kterjedt testhez tartozó folytonos töltéseloszlás által létrehozott erőteret akarunk jellemezn, csak ekkor a kterjedt testet fel kell osztan gen kcs térfogatelemekre (b) ábra), és az ezekben foglalt töltések által a kszemelt pontszerű töltésre kfejtett erőket kell összegezn. Könnyen belátható, hogy az erő ekkor s arányos lesz a mérőtöltéssel. Fq z azt jelent, hogy a vzsgált esetekben, adott helyen az q u mennység független a mérőtöltéstől, csaks az erőteret létrehozó töltésekre jellemző. töltések által létrehozott erőtér hatásat tehát ezekben az esetekben az F q = q vektorral jellemezhetjük. zt, hogy ez a jellemző valóban mndg használható, kísérletleg kell megvzsgáln. tapasztalat szernt az elektrosztatkus kölcsönhatásra a szuperpozícó elve érvényes, és az előbb meggondolások általában s helyesek. Mndezek alapján az elektromos erőtér jellemzésére bevezethetünk egy vektormennységet, az alább defnícóval: az elektromos töltések közelében létrejövő elektromos erőtérbe elhelyezünk egy pontszerűnek teknthető, az eredet vszonyokat elhanyagolható mértékben zavaró q poztív mérőtöltést, és meghatározzuk (megmérjük vagy kszámítjuk) a rá ható F q elektromos erőt. z elektromos erőtér jellemzésére az adott pontban az = q vektort használjuk, amelyet elektromos térerősségnek nevezünk, és ezt a defnícót mndenféle eredetű elektromos erőtér esetén érvényesnek tekntjük. defnícó alapján a térerősség mértékegységét s meghatározhatjuk, és arra azt kapjuk, hogy N/C. fentek alapján egy erőteret, amelyet valamlyen töltés maga körül létrehoz, úgy tudunk jellemezn, hogy az erőtér mnden pontjában megadjuk az elektromos térerősségvektort. Ha ezt megtettük, akkor ahhoz, hogy egy tetszőleges pontban elhelyezett töltésre ható erőt kszámítsuk, nncs szükségünk az erőteret létrehozó töltött objektumok smeretére, hszen azoknak az "erőkfejtő hatását" a térerősségvektor egyértelműen jellemz. (Például, egy térerősségű helyen elhelyezett q töltésre ható erő F e=q.) bben az értelemben tehát a térerősség-vektorokkal jellemzett erőtér hordozza az erőteret létrehozó objektumok hatásat. nnek alapján két töltött test kölcsönhatását úgy s felfoghatjuk, hogy az egyk maga körül létrehoz egy elektromos erőteret, és ez az erőtér hat a máskra: az erőtér közvetít a F q Q Q r Q u r q u r Q u Q Q (poztív) a) b) u F r F F r F q r F F u Q
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 8 kölcsönhatást. z a felfogás szemben áll azzal a korább elképzeléssel, amely szernt az egymástól távol elhelyezkedő töltések közvetlenül és azonnal hatnak egymásra (ez volt az ún. távolhatás elképzelés). bben a kérdésben csak a tapasztalat dönthet, az pedg azt mutatja, hogy ha valahol töltés jelenk meg, akkor az erőtér először a töltés közelében változk meg, és a változás véges sebességgel halad tovább, a hatásokat az erőtér véges sebességgel közvetít. töltés tehát közvetlenül az erőtérrel áll kapcsolatban, vagys a korább távolhatás elképzeléssel szemben ez az ún. közelhatás működk. térerősséget a defnícó alapján elvleg mérés segítségével határozhatjuk meg. Látn fogjuk azonban, hogy smert töltéselrendeződések által létrehozott térerősség k s számítható. Ha az erőteret pontszerű töltés hozza létre, akkor könnyű helyzetben vagyunk, hszen ekkor a mérőtöltésre ható erőt a Coulomb-törvényből kszámíthatjuk, és ebből a korábban megsmert módon a térerősségvektor helytől való függését s megkapjuk. Bonyolultabb esetekben a számításhoz a térerősségvektor tulajdonságanak megsmerése útján felállított általános törvényekre van szükség. z elektromos erőtér szemléltetése, erővonalkép z elektromos erőtérben a tér mnden pontjához tartozk egy vektor, az elektromos térerősségvektor, amely az elektromos erőteret (az ott fellépő erőhatást) jellemz. Sok esetben nagyon hasznos, ha az erőtér jellegét szemléletessé tudjuk tenn, vagys azt valamlyen módon ábrázoljuk. z erőtér szemléletes megjelenítésének egy lehetséges módja az, hogy különböző pontokhoz tartozó térerősségvektorokat lerajzoljuk, ahogy az pontszerű negatív- és poztív elektromos töltés által létrehozott erőtérben az ábrán látható. Így egy térerősség-térképet kapunk, amely az egyes pontokban mutatja a térerősség nagyságát és rányát. - nnél átteknthetőbb és hasznosabb ábrázolást kapunk a térerősségvonalak (másk szokásos elnevezéssel elektromos erővonalak)bevezetésével. térerősségvonalakat úgy kapjuk, hogy a berajzolt térerősségvektorokhoz olyan görbéket szerkesztünk, amelyekhez egy pontban húzott érntő az adott ponthoz tartozó térerősségvektor rányába mutat. térerősségvonalnak rányt s adunk, am megegyezk a hozzátartozó térerősségvektorok rányával. Más szóval, a térerősségvonal az elektromos erőtér "rányváltozásat" követ és szemléltet. z alább ábrán vázlatosan bemutatjuk az előző ábrán s szereplő ponttöltések (a) és b) ábra) és egymáshoz közel elhelyezett poztív és negatív elektromos töltés egy ún. dpólus (c) ábra) által létrehozott erőtér térerősségvonalat. dpólus esetén a térerősségvektor egy adott pontban a két töltés által létrehozott térerősségek vektor összegeként kapható meg 3 3 - - a) b) c) d)
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 9 (alkalmazzuk a szuperpozícó elvét). Bemutatunk továbbá egy fontos szerepet játszó specáls esetet, amkor egy bzonyos térrészben a térerősségvektor nagysága és ránya mnden pontban azonos (d) ábra). z lyen erőteret, (vagy egy erőtér lyen tartományát) homogén erőtérnek nevezk. Homogén erőtérben a térerősségvonalak párhuzamos egyenesek. zeket az erővonalakat egyszerűbb esetekben (pl. ponttöltés vagy ponttöltésekből álló töltésrendszerek) esetén meghatározhatjuk a térerősségvektorok kszámításával, de az erővonalkép kísérletek segítségével s megvzsgálható. rre az ad lehetőséget, hogy szgetelő anyagszemcsék elektromos erőtérben dpólusokká válnak. Ha ezeket a dpólusokat folyadékba betéve mozgásképessé tesszük, akkor kölcsönhatásuk matt rendeződnek: a dpólusok beállnak a térerősség rányába, ugyanakkor ellentétes végükkel egymáshoz csatlakoznak, és láncokat képezve, dpólus-lánc krajzolják az elektromos erőtér erővonalat (ábra). KÍSÉRLT: gy üvegedénybe daraszemcséket tartalmazó olajat teszünk, majd az edény aljára ponttöltést, dpólust, síklapot vagy kondenzátort modellező fém elektródokat helyezünk el, és azokat feltöltjük (feszültséget kapcsolunk rájuk). kkor a daraszemcsék megmutatják a különböző töltések körül kalakuló elektromos erőtér erővonalat. z üvegedényt vetítő gépre téve, a kapott térerősség-ábra jól láthatóvá tehető. z alább ábrákon a valóságos képhez hasonló grafka látható, amely egy dpólus és két ellentétes töltésű, párhuzamos síklap elektromos erőterét mutatja. z ábrákon bemutatott esetek azt sugallják, hogy a térerősségvonalak sűrűségével az elektromos térerősség nagysága s jellemezhető. z erővonalábrákon ugyans vlágosan látható, hogy a térerősségvektor nagyságának csökkenése rányában haladva (pl. a ponttöltéstől távolodva) a térerősségvonalak rtkulnak. térerősségvonal-képbe elvleg tetszőleges számú térerősségvonalat berajzolhatunk, de célszerűnek látszk, hogy a térerősség nagyságának egyértelmű jellemzése érdekében valamlyen megállapodást fogadjuk el a berajzolt erővonalak sűrűségére vonatkozóan. z általánosan elfogadott megállapodás a következő: a térerősségvonal-képet mndg úgy szerkesztjük meg, hogy bármely pontban a térerősségvonalakra merőleges egységny felületet anny térerősségvonal metssze át, amenny ott a térerősségvektor számértéke. z más szóval azt jelent, hogy a térerősség számértéke az egységny (térerősségre merőleges) felületen átmenő erővonalak számát adja meg. szernt a megállapodás szernt egy elektromos erőtérben az térerősségű helyen a térerősségvonalakra merőleges N nagyságú felületen át rajzolandó erővonalak N számát az N ( ) számért. = ( N ) számért. összefüggésből kaphatjuk meg: N = ( ) ( számért. N ) számért. - - - - - -
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 0 z lyen módon elkészített térerősségvonal-képről a térerősség nagysága az ábrán látható módon olvasható le. = N/C Nylvánvaló, hogy homogén erőtérben egy adott helyen a =3 N/C fent szabály szernt megrajzolt erővonalsűrűség a tér bármelyk pontjában ugyanaz lesz, és a térerősségre merőleges felületet átmetsző erővonalak száma a fent Q módon tetszőleges méretű felület esetén kszámítható. Felmerül azonban a kérdés, hogy nem homogén erőtérben (pl. egy ponttöltés erőterében) gaz-e az, hogy ha egy adott helyen a szabály szernt megrajzoljuk az erővonalakat, majd ezeket meghosszabbítjuk, akkor az erővonalkép másutt s meg fog feleln a szabálynak? Próbáljuk megrajzoln a fent defnícó alapján egy pontszerű, poztív Q ponttöltés körül kalakuló erőtér erővonalképét. hhez meg kell határoznunk, hogy a töltés elektromos erőterét szemléltető sugárrányú erővonalakat mlyen sűrűn kell berajzolnunk, hogy az erővonal-ábra a térerősség nagyságát s tükrözze. bben az erőtérben a térerősség sugárrányú és gömbszmmetrkus, a töltéstől r távolságban a térerősség mndenütt azonos nagyságú. Ha az egyszerűség kedvéért a térerősségre merőleges felületként a töltés körül elképzelt r sugarú gömbfelületet vesszük fel, akkor ennek a felületnek mnden egyes pontján a térerősség nagysága Q =. 4πε0 r Mvel a felület nagysága = 4r π, a berajzolandó erővonalak száma N Q N ( N ) számért. 4r 4 0 r = = π =. πε számért. ε 0 számért. Vegyük észre, hogy a szükséges erővonalak száma nem függ r-től, ezért a berajzolandó erővonalak száma a ponttöltéstől mért tetszőleges távolságban ugyananny. z azt jelent, hogy egy adott helyen a szabály szernt berajzolt erővonalak megszakítás nélkül továbbrajzolhatók, nem kell új erővonalakat bektatn vagy erővonalakat megszakítan. Érdemes megjegyezn, hogy ez az eredmény annak a specáls körülménynek a következménye, hogy pontszerű töltések elektrosztatkus kölcsönhatása és ennek következtében egy ponttöltés térerőssége /r -es távolságfüggést mutat. zért esk k a számolásból az r, vagys az erővonalszámnak az r-től való függése. Tovább meggondolásokból (és a tapasztalatból) az s kderül, hogy a fent megállapítás nem csak ponttöltések, hanem tetszőleges töltéseloszlások erőterére s gaz: az elektrosztatkus erőtér erővonala megszakítás nélkül, folytonos vonalakként rajzolhatók fel. fent számításból kderült, hogy egy poztív Q ponttöltésből összesen Q N e = ε 0 számért. számú erővonalnak kell knduln az erővonalak ábrázolására elfogadott szabály szernt, vagys a gömbfelületet metsző erővonalak száma arányos a gömbfelületen belül található Q töltés nagyságával. bből az a fontos következtetés adódk, hogy ha a Q ponttöltést nem gömb alakú, zárt felülettel vesszük körül, a felületet metsző erővonalak száma akkor s ugyananny lesz, tehát a fent összefüggés általában s érvényes. ( zárt felületre vonatkozóan tt anny megszorítás van, hogy az állítás csak olyan felületre gaz, amelyet a töltésből knduló bármely erővonal csak egyszer metsz.) Q m
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) Ha a töltés negatív, akkor az erővonalak száma ugyanenny, csak most az erővonalak nem a töltésből ndulnak k, hanem abba érkeznek meg. Ha ugyanabban a pontban Q >0 poztív- és Q <0 negatív töltést helyezünk el, akkor az eredő térerősség nagyságát a töltésektől r távolságban az Q Q Q Q = = 4πε0 r 4πε0 r összefüggés adja meg. Ilyenkor a töltéselrendezésből knduló, és a töltéseket körülvevő zárt felületet metsző erővonalak száma Q Q Q Q Q Q N e = = =. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. z a szám úgy s felfogható, hogy a zárt felületből kfelé haladó erővonalak számát poztívnak-, a zárt felületbe befelé haladó erővonalak számát negatívnak tekntjük, és kszámítjuk az erővonalszámok algebra összegét (a kfelé- és befelé haladó erővonalak számának különbségét). llenkező előjelű ponttöltések egydejű jelenléte esetén tehát a töltéseket körülvevő felületet metsző erővonalak előjeles összege arányos a felületbe bezárt eredő töltéssel. Ha a zárt felületet metsző erővonalak számát nem pontszerű töltések esetén vzsgáljuk, akkor kderül, hogy a fent megállapítás tetszőleges töltéseloszlások erőterére s gaz. zt a tapasztalatot érdemes valamlyen praktkusan használható matematka formában megfogalmazn. hhez azonban szükség van egy olyan mennységre, amelynek segítségével automatkusan megkapható egy felületet egyk- lletve másk oldalról átmetsző erővonalak számának különbsége. z a mennység a fluxus, amt a következő pontban vezetünk be. Fluxus elektromos erőtérben, az elektrosztatkus erőtér II. alaptörvénye felületet metsző erővonalakat előjelesen összeszámláló a mennységet az egyszerűség kedvéért először homogén elektromos erőtérben vezetjük be. z homogén erőtérben a térerősségre merőleges felületet (ábra) átmetsző erővonalak számát megadó mennység az elektromos erőtérnek az felületre vonatkozó fluxusa, és jelölésére rendszernt a Φ szmbólumot használják: z alsó ndex arra utal, hogy ez az elektromos térerősség fluxusa, a felső ndex pedg azt mutatja, hogy a fluxus az felületre vonatkozk. z így defnált fluxus a szemléletes jelentését megadó erővonalszámtól eltérően nem dmenzó nélkül szám, hanem Nm /C egységben megadott fzka mennység. vzsgált felület azonban nem mndg merőleges a térerősségre. Ilyenkor a fluxust (és a felületet metsző erővonalak számát) úgy kapjuk meg, hogy a felületnek a térerősségre N N merőleges N vetületét szorozzuk meg a térerősséggel (a) ábra) α Φ = N = cosα. bben az esetben a fluxus kszámítása úgy s történhet, hogy a felület állását a felületre merőleges u N egységvektorral adjuk meg α u N (b) ábra). kkor a fent kfejezés úgy s a) b)
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) felfogható, mnt az vektor és az u N vektor skalárs szorzata (ugyans α éppen e két vektor által bezárt szög): Φ = u cosα. N = legáltalánosabb és eléggé gyakor eset az, hogy az erőtér nem homogén, tehát a térerősség helyről-helyre változk, és a felület sem sík. Ilyenkor a szokásos eljárást követjük: a felületet olyan ks elem részekre ( ) osztjuk, amelyeken belül a térerősség ( ) már u N 3 3 3 3 u 3 u N u N közelítőleg állandónak teknthető, és amely közelítőleg sík, tehát az állása megadható a rá merőleges u egységvektorral (a) ábra). z egyes felületelemekre vonatkozó fluxust így a N a) b) Φ = u N kfejezés adja meg. z a kfejezés rövdebben s felírható, ha bevezetjük a felületvektort: ezt olyan vektorként defnáljuk, amely merőleges a felületre, és nagysága a felület nagyságával egyenlő. szernt a felületelem felületvektora = u N. zzel a felületelemre vonatkozó fluxus (b) ábra) Φ =. teljes felületre vonatkozó fluxus közelítőleg az elem Φ fluxusok összege, vagys: Φ Φ. = ahol a felületelem sorszáma. z felületre vonatkozó fluxus pontos értékét úgy kapjuk meg, hogy a felület felosztását egyre fnomabbá tesszük (ekkor egyre nkább gaz lesz, hogy a felületelemen belül a térerősség már nem változk, és a felületelem síknak teknthető), és megkeressük az így kszámított összeg határértékét: Φ = lm Φ = lm = d. 0 0 matematkában az lyen határérték neve: az vektornak felületre vett felület ntegrálja, amelynek jelölésére az egyenlet jobboldalán álló ntegrál-szmbólumot használják. Kszámításának módszerevel a matematka foglalkozk, az általunk vzsgálandó egyszerű
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 3 esetekben azonban ezekre az smeretekre nem lesz szükségünk: ezt az ntegrál-szmbólumot a továbbakban egy gen fnom felosztáson végrehajtott összegzésként kezelhetjük. Ha a térerősségvonal-képet a tárgyalt megállapodás szernt rajzoljuk meg, akkor egyszerű esetekben az így defnált fluxus számértéke valóban megadja a felületelemet átmetsző térerősségvonalak számát. fluxus azonban több, mnt egyszerű térerősségvonal-szám: egyrészt azért, mert a fluxus láthatóan dmenzóval és egységgel rendelkező fzka mennység, amely az elektromos erőteret jellemz (tehát nem darabszám, mnt a metsző erővonalak száma), másrészt azért, mert a fluxusnak előjele van, hszen ha a térerősség és a felületvektor szöge α, akkor skalárs szorzat smert tulajdonsága matt a fluxus az α<90 0 esetben poztív, az α>90 0 esetben pedg negatív (az előző ábrán pl. az felületelemre vonatkozó fluxus poztív, a felületelemre vonatkozó fluxus pedg negatív). ddg a fluxust hallgatólagosan mndg nyílt (tehát egy görbével határolt, pl. téglalap alakú) felületekre értelmeztük. Vzsgáljuk meg most, hogy egy zárt felületre (pl. egy krumpl héjára) hogyan lehet a fluxust kszámítan. defnícó és az eljárás most s ugyanaz, mnt egy nyílt felület esetén, csak el kell döntenünk, hogy az egyes felületelemek felületvektorat a zárt felületbe befelé (a krumpl belseje felé) vagy onnan kfelé rányítjuk. ttől függn fog a kszámított fluxus előjele, de a nagysága nem. szokás az, hogy a felületvektort a zárt felületből kfelé mutató vektornak tekntk. szernt a defnícó szernt a zárt felületbe befelé mutató elektromos térerősség esetén a fluxus negatív, a felületből kfelé mutató térerősség esetén pedg poztív. teljes zárt felületre vonatkozó fluxust ezek után a korábbakhoz hasonlóan (elem felületekre vonatkozó fluxusok összegeként) kaphatjuk meg. zárt felület tényét a jelölésben s kemelk, a fluxust jelölő felület ntegrálban az ntegrál jelre egy kört rajzolnak: zárt Φ = d. fluxus geometra jelentésének (zárt felület) megfelelően ennek a mennységnek a Φ Ε >0 Φ Ε <0 számértéke a zárt felületet átmetsző erővonalak összegét adja meg. z az összeg azonban előjeles összeg: a zárt felület által határolt térfogatból (a krumplból) kfelé d (kfelé) mutató erővonalakat a fluxusban poztív előjellel, a térfogatba (a krumplba) kívülről Φ Ε =0 Φ Ε =0 befelé mutató erővonalakat pedg negatív előjellel vesszük fgyelembe. zért a zárt felületre vett fluxus számértéke a felület belsejéből klépő és a felület belsejébe belépő erővonalak számának a különbségét adja meg. z azt jelent, hogy egy zárt felületre vett fluxus csak akkor különbözhet nullától, ha a felületen belül erővonalak kezdődnek vagy végződnek, és a kezdődő és végződő erővonalak száma különböző. Szemléltetésül a mellékelt sematkus ábrán bemutatjuk a zárt felületre vett fluxus néhány esetét. Érdemes ezt a szemléletes de egyelőre csupán elmélet érdekességnek tűnő eredményt összevetn az elektromos erővonalakra vonatkozó tapasztalatokkal.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 4 Mnd a térerősségre vonatkozó számítások (pl. ponttöltések esetén), mnd pedg a kísérletek azt mutatják, hogy az elektrosztatkus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek. Vagys egy zárt felületre vonatkozó fluxus akkor lesz nullától különböző, ha a felület töltést zár körül. kérdés az, hogy ez a fluxus hogyan függ a bezárt töltés nagyságától. rre a kérdésre egy specáls esetben már tudjuk a választ: láttuk, hogy egy Q ponttöltésből a Q ε 0 számértékével megegyező számú erővonal ndul k, tehát a töltést körülvevő felületet metsző erővonalak száma és a fluxus számértéke s enny. fluxus kszámításának gyakorlása kedvéért azonban most határozzuk meg, hogy egy poztív Q ponttöltés által keltett elektromos erőtérben menny a fluxus egy olyan r sugarú Q gömbfelületen, amelynek középpontja a töltéssel esk egybe r (ábra). d Mvel a ponttöltés erőterében a térerősség sugárrányú, és a gömbfelület bármely elem részének felületvektora s sugárrányú, a térerősség és a felületvektor a felület mnden helyén párhuzamos egymással. bből a skalárs szorzatra vonatkozó szabály szernt következk, hogy d = d. Másrészt a térerősség nagysága a gömbfelület mnden pontján ugyanakkora, tehát kemelhető, így a gömbfelületre vett fluxus: zárt Φ = d = d = d = 4 r π. z utolsó lépésben azt használtuk k, hogy a gömbfelület felületelemenek összege a gömb felületével egyenlő. fent kfejezésbe a ponttöltés smert térerősségét beírva a várakozásnak megfelelően a zárt Q Q Φ = d = 4r π = 4πε 0 r ε 0 eredményt kapjuk. Vagys ebben a specáls esetben a zárt felületre vett fluxus arányos a felület által bezárt ponttöltés nagyságával. (Itt látszk az ε 0 állandó bevezetésének egyk forma előnye: a törvényből kesett a 4π szorzó.) Korábban láttuk, hogy a szabályosan megrajzolt erővonalképen egy ponttöltésből knduló erővonalak száma csak a ponttöltés nagyságától függ. bből 4 következk, hogy a zárt felületet metsző erővonalak száma és 5 így a fluxus akkor sem változk meg, ha a töltést bezáró zárt felület alakját vagy elhelyezkedését megváltoztatjuk. zt szemléltet a mellékelt ábra, amelyen jól látható, hogy az eredet, koncentrkus gömbfelületet (), az eltolt gömbfelületet 3 () és egy tetszőleges alakú, a töltést körülvevő zárt felületet (3) metsző erővonalak előjeles összege (az ábrán 6), és így a fluxus s ugyanaz. Vagys a fent összefüggés tetszőleges alakú, a ponttöltést körülvevő felület esetén érvényes. Ha a zárt felületet úgy vesszük fel, hogy nem zárja körül a ponttöltést (4,5), akkor a térfogatba bemenő és az abból kmenő erővonalak száma megegyezk, és a fluxus nulla lesz. **************************************************** Itt már valóban tetszőleges alakú lehet a zárt felület. fluxus bevezetésével ugyans megszűnk az a probléma s, hogy bonyolultabb felület esetén egy erővonal kettőnél többször s metszhet a felületet: a zárt felület által határolt térfogatból klépő majd oda újra belépő erővonalak a fluxusban nem adnak járulékot. z látható a fent
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 5 ábra 3 felületénél, ahol a metszések előjeles összege a gömbfelületekhez hasonlóan 6, és az 5 felületnél, ahol ez az összeg nulla (nncs bezárt töltés). ******************************************************************* z s könnyen belátható, hogy több ponttöltés esetén az egyes töltések által keltett erőterekben a metsző erővonalak száma és így a fluxusok s összeadódnak, így a zárt felületre vett fluxus kfejezésében a zárt felület belsejében lévő töltések összege szerepel. Mvel pedg bármlyen töltésalakzat felosztható pontszerű töltésekre, az állítás tetszőleges töltésekre gaz. Ha a felületen belül negatív töltések s vannak, akkor azok a térfogatba befelé mutató térerősséget keltenek, és ennek az erőtérnek az erővonala a térfogatba befelé mutatnak. fluxus kszámításánál ezek negatív járulékot adnak, így végül megállapíthatjuk, hogy a zárt felületre vett fluxusban a felületen belül elhelyezkedő töltések előjeles összege ( Q ) szerepel, ezért érvényes az alább összefüggés = Q d. z összefüggés tetszőleges zárt felületre, és tetszőleges töltéseloszlásra gaz. zt a törvényt gyakran az elektrosztatka Gauss-törvényének, vagy az elektrosztatkus erőtér II. alaptörvényének nevezk. Ha a zárt felület nem zár be töltést vagy a bezárt töltések előjeles összege nulla, akkor a jobboldalon nulla áll: a zárt felületre vett fluxus nulla. törvény lényegében azt a tapasztalatot foglalja össze matematka formában, hogy az elektrosztatkus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és végződnek, kezdő- és végpontjuk között pedg folytonos vonalak. z a megállapítás úgy s megfogalmazható, hogy az elektrosztatkus erőtér forrása a töltés. ********************* ************************ ********************** zárt z elektrosztatkus erőtérben egy zárt felületre vonatkozó Φ fluxust gyakran a zárt felület által határolt térrész forráserősségének nevezk. z elnevezés a fluxus geometra jelentésével hozható összefüggésbe. Ha a felület belsejében lévő eredő töltés poztív, akkor a forráserősség számértéke a térrészből klépő ott keletkező erővonalak számát adja meg, negatív eredő töltés esetén pedg a térrészbe bemenő ott eltűnő erővonalak számával egyenlő. Ha a zárt felületen belül folytonos eloszlású töltés van, akkor a teljes töltést a térfogat töltéssűrűség segítségével határozhatjuk meg. Ha egy elem V térfogatban Q töltés van, akkor ott a térfogat töltéssűrűség közelítő Q értéke ρ. töltéssűrűség egy pontban érvényes értékét úgy kapjuk meg, hogy a pont körül felvett V térfogatot egyre csökkentjük, és meghatározzuk a ρ = ε 0 lm V 0 Q V = dq dv határértéket. z az adott pontban a térfogat töltéssűrűség, amely előjeles mennység, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezk meg. Ha a töltéssűrűséget a zárt felület által határolt térfogat mnden pontjában smerjük, akkor a zárt felület által körülzárt Q töltés meghatározására a szokásos eljárást alkalmazzuk: a teljes V térfogatot elem osztjuk, a Q ρ V így kapott töltéseket összeadjuk (előjelesen): ρ. V térfogatokra = összefüggés segítségével kszámítjuk a töltést az egyes térfogatelemekben, majd az Q = Q V zzel megkaptuk a töltés közelítő értékét. töltés pontos értékét úgy határozhatjuk meg, hogy a V térfogat felosztását egyre fnomítjuk (az elem térfogatokat egyre ksebbre választjuk), és kszámítjuk a fent összeg határértékét, amelynek jelölésére az alább egyenlet jobboldalán álló szmbólumot használják: Q = lm ρ V = V 0 V ρdv.
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 6 z tt használt ntegrált a benne szereplő, helytől függő ( x, y,z) ρ függvény V térfogatra vett térfogat ntegráljának nevezk. gy lyen ntegrál kszámításának részletes szabályaval tt nem foglalkozunk, számunkra elegendő az ntegrál szemléletes, gen fnom felosztáson elvégzett összegzésként történő értelmezése. folytonos töltéseloszlásból származó töltésnek térfogat ntegrállal történő kszámításával az elektrosztatka Gauss-törvénye az általánosabb d = ρdv V alakba írható. ******************************************************************* ε 0