LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag

COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné dr. Kis Piroska Dunaújvárosi Főiskola Központi Oktatási Intézet Matematika Tanszék Creative Commons NonCommercial-NoDerivs. (CC BY-NC-ND. A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható terjeszthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-..-8//A-9-8 számú Tananyagfejlesztés mérnök informatikus programtervező informatikus és gazdaságinformatikus képzésekhez című projekt keretében. ISBN 978-9-79-- KÉSZÜLT: a Typote Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Benkő Márta KULCSSZAVAK: az R tér geometriája n dimenziós euklideszi vektortér mátriok lineáris egyenletrendszerek lineáris leképezések és transzformációk. ÖSSZEFOGLALÁS: A példatár a Lineáris algebra c. tantárgy törzsanyagához szorosan kapcsolódó feladatokat tartalmaz. Az egyes fejezetekben számos részletesen kidolgozott minta feladat és gyakorló feladatok találhatóak. Utóbbiak végeredményei megtalálhatóak A gyakorló feladatok megoldásai c. fejezetben. A példatár Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására c. fejezete a teljesség igénye nélkül olyan problémákat gyűjt össze amelyekkel az informatikus szakos hallgatók tanulmányaik során különböző szaktárgyakban találkoznak és amelyeknek megoldásához alkalmazni kell a tanult lineáris algebrai ismereteket. A példatár digitális mellékletének első része a Lineáris algebra tantárgy előadásain használt ppt file-okat tartalmazza. Ezekben megtalálhatóak az adott anyagrész fogalmai állításai az alkalmazott jelölések. A digitális melléklet második része néhány típusfeladat animált megoldását mutatja be.

Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Bevezetés... Az R tér geometriája... Vektorműveletek... Egyenes és sík: illeszkedési feladatok... 8 Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja... Térelemek távolsága és szöge... Vegyes feladatok... 8 Elméleti kérdések... Az R n vektortér... Elméleti kérdések... 9 Mátriok... Elméleti kérdések... 7 Lineáris egyenletrendszerek... 9 Elméleti kérdések... 8 Lineáris leképezések... 8 Elméleti kérdések... Skaláris szorzat az R n vektortérben... Elméleti kérdések... Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására... A GYAKORLÓ FELADATOK MEGOLDÁSAI... Az R tér geometriája... Vektorműveletek... Egyenes és sík: illeszkedési feladatok... Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja... Térelemek távolsága és szöge... Vegyes feladatok... 7 Elméleti kérdések... 8 Az R n vektortér... 9 Elméleti kérdések... Mátriok... Elméleti kérdések... 9 Lineáris egyenletrendszerek... Elméleti kérdések... Lineáris leképezések... Elméleti kérdések... 9 Skaláris szorzat az R n vektortérben... Elméleti kérdések... A digitális melléklet leírása... Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Bevezetés A Lineáris algebra tantárgy az informatikus alapszakok tanterveinek egyik alapozó matematika tárgya. Ezen példatárban a Pannon Egyetemen oktatott törzsanyaghoz szorosan kapcsolódó feladatokat gyűjtöttem össze. Az egyes fejezetek számos részletesen kidolgozott minta feladatot és gyakorló feladatokat tartalmaznak. Utóbbiak végeredményei megtalálhatóak A gyakorló feladatok megoldásai c. fejezetben. A példatár fejezetei elméleti kérdésekkel zárulnak. Ezek a tananyag elméleti részéhez kötődően állításokat fogalmaznak meg amelyekről el kell dönteni hogy azok igazak vagy hamisak. Ezek a kérdések egyrészt alkalmasak a hallgatók számára annak ellenőrzésére hogy megértették-e az elméleti ismereteket másrészt segítik a vizsgára való felkészülést. A példatár érdekessége a Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására c. fejezet amelyben a teljesség igénye nélkül olyan problémákat gyűjtöttem össze amelyekkel az informatikus szakos hallgatók tanulmányaik során különböző szaktárgyakban találkoznak és amelyeknek megoldásához alkalmazni kell a tanult lineáris algebrai ismereteket. Itt a problémák megfogalmazása olyan hogy a még laikusnak számító első féléves hallgatók is megérthessék azokat és a kiemelt részfeladatokon gyakorolhassák a tanult lineáris algebrai ismeretek alkalmazását. Ezen összeállítás célja kettős: egyrészt a hallgatók motiválása tanulmányaik elején jelezve hogy a matematikai ismeretek elsa játítása nem öncélú másrészt néhány szaktárgyi probléma egyes részleteinek megoldása remélhetőleg könnyebbé teszi a sikeres feladatmegoldást a későbbi szaktárgyakban. Ezúton is köszönöm kollégáimnak hogy segítették a szakmai ismeretek elmagyarázásával e fejezet problémáinak megfogalmazását. A példatár digitális mellékletének első része a Lineáris algebra tantárgy elő adásain használt ppt file-okat tartalmazza. Ezekben megtalálhatóak az adott anyagrész fogalmai állításai az alkalmazott jelölések. A példatárban mind a minta feladatok megoldása során mind a gyakorló feladatok megfogalmazásában az itt bemutatott jelöléseket alkalmaztam és az összeállított elméleti ismeretekre támaszkodtam. A példatár digitális mellékletének második része néhány feladat animált meg oldását tartalmazza. A példatár a TÁMOP..-8//A program keretében készült. Köszönöm a példatár elkészítéséhez nyújtott támogatást. Bízom abban hogy a példatárat hasznos segédeszközként használhatják mind az érintett hallgatók mind a lineáris algebrai ismeretek iránt érdeklődők. Veszprém. január. dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Matematika Tanszék www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája Az R tér geometriája Vektorműveletek. Minta feladat: Legyen a = ( és b = ( - két térbeli vektor. a Vázoljuk fel a fenti vektorok elhelyezkedését a térbeli koordináta-rendszerben! b Határozzuk meg a a+b vektort! c Határozzuk meg az a és a b vektorok hosszát! d Mekkora szöget zárnak be az a és b vektorok? e Adjuk meg az a vektor ellentettjét! Adjunk meg a-val párhuzamos ill. a-ra merőleges vektorokat! Hol helyezkednek el ezek a koordináta-rendszerben? f Adjuk meg az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! g Adjuk meg az a vektorral megegyező irányú illetve / hosszúságú vektorokat! Megoldás: a A vektorokat koordináta-rendszerben helyvektorokként helyezzük el így az a és b vektorok kezdőpontja az origó végpontja az A=( illetve B=( - pont lesz (. ábra. Mivel a b vektor második koordinátája így az az -z koordináta-síkban helyezkedik el. z A = ( a b y B = ( -. ábra: Helyvektorok a térbeli koordináta-rendszerben b a+b = ( + ( - = ( + ( - = ( c Az a vektor hossza: A b vektor hossza: Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak d Jelölje az a és b vektorok által bezárt szöget. Ekkor: innen 78. e Az a vektor ellentettje: a = (a = (- - - Az a vektorral párhuzamos vektorok az a vektor skalárszorosai például a = ( 8 /a = (. -a = (- - -. Ezek a vektorok helyvektorként elhelyezve a koordináta-rendszerben egy origón átmenő egyenesre illeszkednek melynek irányvektora az a vektor. Az a vektorra merőleges vektorok olyan = ( vektorok melyeknek a skaláris szorzata az a vektorral. Így teljesülnie kell az alábbi egyenlőségnek: A fenti feltételnek megfelelő vektort úgy találhatunk hogy két koordinátát szabadon megválasztunk a harmadikat pedig a fenti egyenlet alapján számoljuk. Például legyen. Ekkor innen Így az = ( -8 vektor merőleges az a vektorra. Hasonlóan további merőleges vektorokat is kaphatunk pl. az y = (. - vagy a z = ( - vektor is merőleges a-ra. Az a ra merőleges vektorok a koordináta-rendszerben egy olyan origón átmenő síkon helyezkednek el (helyvektorként amely sík merőleges az a vektorra. f Az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor: ( = ( g Az a vektorral megegyező irányú egység hosszúságú vektor:. Minta feladat: ( = ( Az a vektorral megegyező irányú / egység hosszúságú vektor: ( = ( Legyen v = ( - a = ( -. a Határozzuk meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsuk fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre! Megoldás: a Legyen a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektora (. ábra amely az képlettel számolható ahol az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 7 v y = (va e a e a e a. ábra: Vetületvektor meghatározása Az a vektor hossza: így ( - = (. Továbbá így a keresett vetületvektor: (. b A v vektor a-val párhuzamos összetevője éppen az vetületvektor:. Minta feladat: míg az a-ra merőleges összetevő: =(-/ -/ / y = v = ( - (-/ -/ / = (/ -/ /. Legyen Végezzük el az alábbi műveleteket! Megoldás: Emlékeztető: a vektoriális szorzat számolása koordinátásan az alábbi képlettel történik: Így: a b = (ab ab -ab + ab ab ab Ellenőrizhető hogy az vektor merőleges az a és a b vektorokra: illetve Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A vektoriális szorzás tulajdonságait felhasználva: Vegyük észre hogy az a és c vektorok párhuzamosak (egymás skalárszorosai így a vektoriális szorzás tulajdonságait felhasználva: Megjegyezzük hogy ez az eredmény is megsejthető volt előre hiszen az vektor merőleges az a vektorra így az a -val párhuzamos c-re is. Ezért a c és az vektorok skaláris szorzata kell hogy legyen. Gyakorló feladatok:. Legyen v = ( - és u = ( - két térbeli vektor. a Vázolja fel a fenti vektorok elhelyezkedését a térbeli koordináta-rendszerben! b Határozza meg a v-u vektort! c Határozza meg a v és az u vektorok hosszát! d Mekkora szöget zárnak be a v és u vektorok? e Adja meg a v vektor ellentettjét! Adjon meg v-vel párhuzamos ill. v-re merőleges vektorokat! f Adja meg a v vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! g Adja meg a v vektorral megegyező irányú illetve / hosszúságú vektorokat!. Legyen v = ( - a = (. a Határozza meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsa fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre!. Legyen v = ( 7 9 a = ( -. a Határozza meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsa fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre!. Legyen a = ( - b = ( - c = ( -. Számítsa ki az alábbi vektorokat! a + b a b a -c a + b + (-c a b a c a b b a a c a (b c. Legyen a = ( - b = ( - c = (8 -. Számítsa ki az alábbi vektorokat! a + b a b a -c a + b + (-c a b a c a b b a a c a (b c Egyenes és sík: illeszkedési feladatok. Minta feladat: Írjuk fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres és paramétermentes egyenletrendszerét ha a é ; b é ; c é ; d é www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 9 Megoldás: a A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: b A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: Az irányvektor harmadik koordinátája nulla így ez az egyenes párhuzamos az -y koordináta-síkkal. c A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: Az irányvektor második koordinátája nulla így ez az egyenes párhuzamos az -z koordináta-síkkal. d A paraméteres egyenletrendszer: tr Mivel az irányvektornak két koordinátája is nulla így paramétermentes egyenletrendszer nem írható fel. Az irányvektor az tengely irányába mutat így ez az egyenes párhuzamos az tengellyel.. Minta feladat: Legyen A=( és B=( két térbeli pont. Írjuk fel az A és B pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét! Megoldás: Először egy irányvektort kell felírnunk: A v irányvektorú A ponton átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszere: Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: tr Tekintsük az alábbi e egyenest! tr Adjuk meg az e egyenes egy irányvektorát és az egyenes néhány pontját! Illeszkedik-e az e egyenesre a P=( - és a Q=(- pont? Megoldás: Az egyenes egy irányvektorának koordinátáit a paraméteres egyenletrendszerből a t paraméter együtthatói adják: v=( -. Különböző t értékeket helyettesítve az egyenletrendszerbe az egyenes pontjainak koordinátáit kapjuk: Például t=-ra: A=( t=-re: B=(7 t=--re: C=(- - A P=( - pont rajta van az e egyenesen mert t=-re az egyenletrendszerből éppen P koordinátáit kapjuk. A Q=(- pont nincs az e egyenesen mert nincs olyan t érték amely az egyenletrendszerből Q koordinátáit adná. Az koordinátára ugyanis t=--re kaphatnánk --et de t=--re y és z. 7. Minta feladat: Tekintsük az alábbi két egyenest: e: és f : Adjuk meg mindkét egyenes egy irányvektorát és egy pontját! Illeszkedik-e az e illetve az f egyenesre a P=( pont? Megoldás: Az e egyenes paramétermentes egyenletrendszerének alakjából látható hogy irányvektorának van nulla koordinátája. Mivel az egyenes pontjainak első koordinátája állandó ( így v =. A másik egyenlet alakra hozható itt a nevezőkből olvasható ki az egyenes egy irányvektorának másik két koordinátája: v = és v =. Így az e egyenes egy irányvektora: ve = (. Az e egyenes egy pontja: Pe = (. A P=( pont koordinátái kielégítik az e egyenes egyenletrendszerét így P illeszkedik az e egyenesre. Az f egyenes egyenletrendszerét először a szabályos alakra kell hozni. Ehhez az alábbi átalakításokat végezzük el: www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája Így az f egyenes egyenletrendszere az alábbi alakra hozható: Az egyenes egy irányvektorának koordinátái a nevezőkből olvashatók ki: vf = (/ - míg egy pontnak a koordinátáit a számlálók alapján írhatjuk fel: Pf = (-. A P=( pont koordinátái nem elégítik ki az f egyenes egyenletrendszerét így P illeszkedik az f egyenesre. 8. Minta feladat: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( - pontra és amelynek normálvektora az n = ( vektor! Illeszkednek-e erre a síkra az A = ( és a B = ( pontok? Megoldás: A sík egyenlete: ami rendezés után az alakra hozható. Az A pont koordinátái kielégítik ezt az egyenletet így A illeszkedik a síkra. A B pont koordinátái nem elégítik ki a sík egyenletét így B nincs a síkon. 9. Minta feladat: Egy sík egyenlete pontot a síkon!. Adjuk meg a sík egy normálvektorát és néhány Megoldás: A sík egy normálvektorának koordinátáit adják az egyenletből y és z együtthatói: n = ( -. A sík pontjainak koordinátái kielégítik a sík egyenletét így olyan y és z értékeket kell keresnünk amelyek kielégítik a fenti egyenletet. Ehhez két ismeretlen értékét szabadon megválaszthatjuk a harmadikat pedig az egyenlet alapján számoljuk ki. Például: legyen = z = ekkor az egyenlet alapján y =. Így a P = ( pont illeszkedik a síkra. Legyen = y = ekkor az egyenlet alapján z =. Így a P = ( pont illeszkedik a síkra. Legyen y = z = ekkor az egyenlet alapján = 7. Így a P = (7 pont illeszkedik a síkra.. Minta feladat: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az e: és illeszkedik a P = ( - pontra! egyenesre Megoldás: Mivel a keresett sík merőleges az e egyenesre így a sík normálvektora egyben az e egyenes irányvektora. Így n = ve = ( -. A sík egyenlete: ami rendezve:. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: Megoldás: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az e: egyenesre és a P = ( pontra! Az adatok alapján ellenőrizhető hogy a P pont nincsen rajta az e egyenesen így egyetlen olyan sík van a térben amelyik a feltételeknek eleget tesz. A sík egyenletének felírásához szükségünk van egy normálvektorára. Keressünk először két olyan vektort amelyek kifeszítik a síkot. Legyen egyik az e egyenes egy irányvektora: ve = ( - a másik a vektor ahol P az e egyenes egy pontja: P = (. Így A keresett normálvektor merőleges kell hogy legyen a ve és a vektorokra. Ilyen vektor például a ve és a vektorok vektoriális szorzata: Így a keresett sík egyenlete: ami rendezve: Gyakorló feladatok:. Legyen P = ( - v = ( -. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! c Illeszkedik-e a fenti egyenesre az A = ( - ill. a B = ( pont? 7. Legyen P = ( - v = (. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! 8. Legyen P = ( - v = (. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! 9. Legyen P = ( P = ( -. a Írja fel a P és P pontokon átmenő egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját!. Adja meg az alábbi egyenesek egy irányvektorát és egy pontját! Írja fel az egyenesek paramétermentes egyenletrendszerét! = + t = t = e: y = -+ t f: y = - + 7t g: y = + t z = t z = z = www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája. Adja meg az alábbi egyenesek egy irányvektorát és egy pontját! Írja fel az egyenesek paraméteres egyenletrendszerét! a y z b c d e z y y z y z y z. Legyen S : y z. a Adja meg az S sík egy normálvektorát és néhány pontját! b Illeszkedik-e az S síkra a P = (-8 ill. a Q = ( - pont?. Hol helyezkednek el a térbeli koordinátarendszerben az alábbi síkok? a S : - y b S : - y c S : y. Írja fel annak a síknak az egyenletét melynek a egy pontja P = ( - és egy normálvektora n = ( -; b egy pontja P = ( és egy normálvektora n = ( ; c egy pontja P = ( - és egy normálvektora n = (!. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az egyenesre és átmegy a P = ( - ponton! e: z y. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az z e: y egyenesre és átmegy a P = ( - ponton! 7. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az t e : y t egyenesre és átmegy a P = ( ponton! z t Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak 8. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az egyenesre és a P = ( - pontra! e: - y z 9. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( - P = (- és P = ( - pontokra!. Írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét amely a merőleges az S : y z síkra és áthalad a P = ( - ponton; b merőleges az S : y síkra és áthalad a P = (- ponton!. Írja fel annak az egyenesnek a paramétermentes egyenletrendszerét amely a merőleges az S : y z síkra és áthalad a P = ( ponton; b merőleges az S : z síkra és áthalad a P = ( ponton! Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja. Minta feladat: Legyenek adottak a következő egyenesek: t e : y t z t f : - y z t g : y t z t t h : y t z t Határozzuk meg az e egyenesnek a többi egyeneshez viszonyított kölcsönös helyzetét továbbá vizsgáljuk meg a g és h egyenesek kölcsönös helyzetét! Ahol van metszéspont határozzuk meg! Megoldás: Két egyenes kölcsönös helyzetét a. ábrán látható módon vizsgálhatjuk. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája. ábra: Két egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Az e és f egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Először az egyenesek egyenletrendszereiből kiolvassuk azok egy irányvektorát: ve = ( - és vf = ( -. Látható hogy a két irányvektor skalárszorosa egymásnak így párhuzamosak. Eszerint az e és f egyenesek vagy párhuzamosak vagy azonosak. Ezután keresünk egy pontot az e egyenesen: Pe = ( ( t = paraméterértékhez tartozik majd megvizsgáljuk hogy ez a pont illeszkedik-e az f egyenesre. Mivel a Pe = ( pont koordinátái kielégítik az f egyenes egyenletrendszerét így a pont rajta van az f egyenesen is. Következésképpen az e és f egyenesek azonosak minden pontjuk közös pont. Az e és g egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Az e egyenes irányvektora ve = ( - ami párhuzamos a g egyenes irányvektorával: vg= (- -. Így az e és g egyenesek vagy párhuzamosak vagy azonosak. Megvizsgáljuk hogy az e egyenes egy pontja illeszkedik-e a g egyenesre. A Pe = ( pont nincs rajta a g egyenesen ugyanis nincs olyan t paraméter amely a g egyenes paraméteres egyenletrendszeréből a Pe pont koordinátáit adná. Következésképpen az e és g egyenesek párhuzamosak nincsen közös pontjuk. Az e és h egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Az e egyenes egy irányvektora ve = ( - a h egyenes egy irányvektora vh = ( -. Ez a két vektor nem párhuzamos így az e és a h egyenesek vagy metszők vagy kitérők. Nézzük meg hogy van-e a két egyenesnek közös pontja. Ehhez az egyenesek paraméteres egyenletrendszereit kell használnunk. Megkülönböztetjük a két egyenletrendszerben a paramétereket (t és t és megnézzük hogy vannak-e olyan t és t paraméterértékek amelyek ugyanazon y z értékeket szolgáltatják a két egyenletrendszerből. Így a következő egyenletrendszerhez jutunk: Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak t t t t t t A második és harmadik egyenletet összeadva és rendezve t = értéket kapunk amit visszahelyettesíthetünk a második egyenletbe így t = adódik. A t = és t = értékek az első egyenletet is kielégítik így a teljes egyenletrendszer megoldásai. Mivel a fenti egyenletrendszer megoldható így az e és a h egyeneseknek van közös pontja tehát metszők. A metszéspont koordinátáit megkapjuk ha a t = értéket az e egyenes egyenletrendszerébe illetve a t = értéket a h egyenes egyenletrendszerébe visszahelyettesítjük. Így az M = ( metszéspont adódik. A g és h egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: A g egyenes egy irányvektora vg = (- - a h egyenes egy irányvektora vh = ( -. Ez a két vektor nem párhuzamos így a g és h egyenesek vagy metszőek vagy kitérőek. Megvizsgáljuk hogy van-e a két egyenesnek közös pontja. Az egyenletrendszerekben a paraméterértékeket megkülönböztetve és közös y z értékeket keresve az alábbi egyenletrendszert kapjuk: t t t t t t Itt az első és harmadik egyenlet felhasználásával a t = -/ t = / értékek adódnak amik viszont nem elégítik ki a második egyenletet. Így az egyenletrendszer nem oldható meg azaz nincs a két egyenesnek közös pontja. Következésképpen a g és h egyenesek kitérőek.. Minta feladat: Legyenek S : y z e : y t z t f : y z. Milyen az e egyenes és az S sík illetve az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozzuk meg a metszéspontot! Megoldás: Egyenes és sík kölcsönös helyzetét a. ábrán látható módon vizsgálhatjuk. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 7. ábra: Egyenes és sík kölcsönös helyzetének vizsgálata Az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete: Az e egyenes egy irányvektora: v e = ( az S sík egy normálvektora: n = ( -. Először megnézzük hogy ez a két vektor merőleges-e. Skaláris szorzatuk: ve n = + (- + = azaz a két vektor merőleges. Így az e egyenes vagy párhuzamos az S síkkal vagy benne van az S síkban. Megnézzük hogy az e egyenes egy pontja a Pe =( pont illeszkedik-e az S síkra. Mivel a Pe pont koordinátái kielégítik az S sík egyenletét így a Pe pont és a teljes e egyenes is rajta van a síkon. Az e egyenes tehát része az S síknak és így az e egyenes minden pontja közös pontja a két alakzatnak. Az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete: Az f egyenes egy irányvektora: vf = (- az S sík egy normálvektora: n = ( -. Skaláris szorzatuk: vf n = - + (- + = azaz a két vektor merőleges. Így az f egyenes vagy párhuzamos az S síkkal vagy benne van az S síkban. Megvizsgáljuk hogy az f egyenes egy pontja a Pf =( - pont illeszkedik-e az S síkra. Mivel a Pf pont koordinátái nem elégítik ki az S sík egyenletét így a Pf pont nincs rajta az S síkon. Következésképpen az f egyenes és az S sík párhuzamos.. Minta feladat: Legyenek S : y z t e : y t z Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozzuk meg a metszéspontot! Megoldás: Az e egyenes egy irányvektora: v e = (- az S sík egy normálvektora: n = ( -. Ez a két vektor nem merőleges mert skaláris szorzatuk nullától különböző. Így az e egyenes és az S sík metszők. A metszéspont meghatározásához az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből y és z t-től függő kifejezését behelyettesítjük a sík egyenletébe: Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak (-t + +t = Innen t = - adódik amit visszahelyettesítve az egyenes paraméteres egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (7.. Minta feladat: Tekintsük az alábbi síkokat: S : y z 8 S : y z 8 S : y z Határozzuk meg az S sík helyzetét a többi síkhoz képest! S : y z Megoldás: S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - egymással nem párhuzamosak így az S és S síkok metszők. S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - párhuzamosak egymással így az S és S síkok vagy azonosak vagy párhuzamosak. Az S sík egyenletének baloldala kétszerese az S sík egyenletében baloldalon álló kifejezésnek ugyanakkor a jobboldalon álló konstansok aránya nem kettő így a két sík párhuzamos. S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - párhuzamosak egymással így az S és S síkok vagy azonosak vagy párhuzamosak. Az S sík egyenlete (bal- és jobboldal is háromszorosa az S sík egyenletének így a két sík azonos.. Minta feladat: Legyenek S y z 9 S : y z Határozzuk meg a két sík metszésvonalának paraméteres egyenletrendszerét! Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két sík normálvektora nem párhuzamos tehát S és S metszők metszésvonaluk egy egyenes. Ezen egyenes paraméteres egyenletrendszerének felírá - sához szükségünk van egy pontra és egy irányvektorra. A metszésvonal egy pontja rajta van az S és S síkok mindegyikén így koordinátái mindkét sík egyenletét ki kell hogy elégítsék. Keressük tehát a következő egyenletrendszer egy megoldását: - y z 9 y z www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 9 Mivel a két egyenletből álló egyenletrendszer három ismeretlenes így egy megoldásának megkereséséhez az egyik ismeretlent szabadon megválaszthatjuk legyen például =. Ezt behelyettesítve az egyenletrendszerbe a másik két ismeretlenre y = és z = értékek adódnak. Tehát a P = ( pont rajta van a metszésvonalon. Keressünk ezután egy irányvektort! A metszésvonal irányvektora merőleges az S sík normálvektorára is és az S sík normálvektorára is. Ilyen vektor például a két normálvektor vektoriális szorzata: v = n n = ( - ( - = (- 7 Így a metszésvonal paraméteres egyenletrendszere: t e : y t. z 7t Gyakorló feladatok:. Legyen - t e : y t z t t f : y t z t -t g : y t z t. Vizsgálja meg az e és f az e és g valamint az f és g egyenesek kölcsönös helyzetét! A metsző egyeneseknél határozza meg a metszéspontot!. Legyen S : y z és e : y z. Milyen az S sík és az e egyenes kölcsönös helyzete? Ha van adja meg a metszéspontjukat!. Legyen S : y S : y z S : y z S : y 9z. Milyen az S síknak a többi síkhoz viszonyított helyzete?. Legyen S : y z S : - y z 8. Határozza meg a két sík metszésvonalának az egyenletrendszerét! Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Térelemek távolsága és szöge 7. Minta feladat: Határozzuk meg a P = (. pont és az egyenes távolságát! Megoldás: Ellenőrizhető hogy a P pont nincs rajta az e egyenesen. t v P P v d Pont és egyenes távolságát a. ábra: Pont és egyenes távolsága összefüggéssel számolhatjuk (. ábra ahol v az egyenes egy irányvektora P pedig az egyenes egy pontja. Az egyenes egyenletrendszeréből a v = ( irányvektort és a P = (. pontot olvashatjuk ki. Így továbbá Innen. A P pont és az e egyenes távolsága. 8. Minta feladat: Határozzuk meg az 8t z e: y és f : y t z t egyenesek távolságát! www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két egyenes párhuzamos. Két párhuzamos egyenes távolságának számolása visszavezethető pont és egyenes távolságának meghatározására: felveszünk egy pontot az egyik egyenesen és meghatározzuk annak távolságát a másik egyenestől. Az f egyenes egy pontja a P = ( pont. Az e egyenes egy pontja a P = ( pont egy irányvektora a v = ( vektor. Így továbbá Innen. Tehát a két egyenes távolsága. 9. Minta feladat: Határozzuk meg az t e : y t és z f : y z egyenesek távolságát! Megoldás: Ellenőrizhető hogy az e és f egyenesek kitérőek. Vegyünk fel mindegyik egyenesen egy-egy pontot: az e egyenes egy pontja P = ( az f egyenes egy pontja P = ( -. A két kitérő egyenes távolsága a vektornak a normáltranzverzális irányába eső merőleges vetületének hosszával egyenlő (. ábra. Keressünk egy a normáltranzverzális irányába mutató vektort! A normáltranzverzális az e és az f egyenesre is merőleges így az n = ve vf vektor a normáltranzverzális irányába mutat: n = ve vf = (- ( = (( - Határozzuk meg ezután az n vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! Ehhez az n vektor hossza: így (. A hossza: vektor normáltranzverzális irányába eső merőleges vetületének 7 Tehát az e és f egyenesek távolsága 7. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: Megoldás:. ábra: Két kitérő egyenes távolsága Határozzuk meg a P = ( - pont és az S: +y+z = sík távolságát! Ellenőrizhető hogy a P pont nincs rajta az S síkon. Írjuk fel először annak az e egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét amely átmegy a P ponton és merőleges az S síkra (7. ábra. 7. ábra: Pont és sík távolsága Az e egyenes irányvektora egyben az S sík normálvektora: ve = n = ( így az e egyenes paraméteres egyenletrendszere. t e : y t z t Ezután meghatározzuk az e egyenes és az S sík metszéspontját. Az egyenes egyenletrendszeréből a sík egyenletébe helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk: www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája (+t + (-+t + (+t = innen t =. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az e egyenes egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (.. Ezután a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát a P pont és az S sík távolsága.. Minta feladat: Legyenek: t f : y t z t S : - y z -7. Megoldás: Határozzuk meg az f egyenes és az S sík távolságát! Ellenőrizhető hogy az f egyenes és az S sík párhuzamos.. Sík és vele párhuzamos egyenes távolságának meghatározása visszavezethető pont és sík távolságának számolására. Először felveszünk egy pontot az f egyenesen: P = (. Ezután meghatározzuk P és az S sík távolságát. Írjuk fel a P-n átmenő S síkra merőleges e egyenes paraméteres egyenletrendszerét! Az e egyenes irányvektora: ve = n = ( - így: e : y t z t t Ezután meghatározzuk az e egyenes és az S sík metszéspontját. Az egyenes egyenletrendszeréből a sík egyenletébe helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk: t (-t + (+t = -7 innen t = -. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az e egyenes egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (-. -. Így a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát az f egyenes és az S sík távolsága.. Minta feladat: Határozzuk meg az é síkok távolságát! Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két sík párhuzamos. Párhuzamos síkok távolságának meghatározása visszavezethető pont és sík távolságának számolására. Vegyünk fel egy pontot az S síkon: P = (. majd keressük a P pont és az S sík távolságát. Felírjuk a P-n átmenő S-re merőleges e egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Ehhez ve = ns = ( - így: t e : y t z t Az e egyenes és az S sík metszéspontjának meghatározásához a sík egyenletébe helyettesítünk: (+t (t + t = Innen t = amit az e egyenletrendszerébe visszahelyettesítve megkapjuk a metszéspontot: M = ( -. Így a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát a két sík távolsága.. Minta feladat: Határozzuk meg az e és f egyenesek szögét ha t z a e: y f : y t z t b t e : y t z t f : z y Megoldás: Két egyenes szögét irányvektoraik szögéből határozhatjuk meg (8. ábra. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája a b 8. ábra: Két egyenes szögének meghatározása a Jelölje a két egyenes szögét. A két egyenes irányvektora: ve = ( és vf = (-. Számoljuk ki először az irányvektorok szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektorok szöge hegyesszög (8.a ábra így. b Jelölje a két egyenes szögét. A két egyenes irányvektora: ve = (- és vf = ( -.Számoljuk ki először az irányvektorok szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektorok szöge tompaszög (8.b ábra így.. Minta feladat: Határozzuk meg az e egyenes és az S sík szögét ha a t e : y t z S : - y z b t e: y t z t S : z Megoldás: Egyenes és sík szögét az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögéből kiindulva kaphatjuk meg (9. ábra. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak a b 9. ábra: Egyenes és sík szögének meghatározása a Jelölje az egyenes és a sík szögét. Az egyenes irányvektora: v = (- a sík normálvektora: n = (- -. Számoljuk ki a két vektor szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektor és a normálvektor szöge hegyesszög (9.a ábra így. b Jelölje az egyenes és a sík szögét. Az egyenes irányvektora: v = (- a sík normálvektora: n = ( -. Számoljuk ki a két vektor szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektor és a normálvektor szöge tompaszög (9.b ábra így. Minta feladat: Határozzuk meg az S és S síkok szögét ha a S : y + z = és S : y + z = ; b S : - + y z = és S : + y + z =. Megoldás: Síkok szögére normálvektoraik szögéből következtethetünk. a Jelölje a két sík szögét. Az S sík normálvektora: n = ( - az S sík normálvektora: n = ( -. Határozzuk meg először a két normálvektor szögét (: = innen. Mivel a normálvektorok szöge hegyesszög így. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 7 b Jelölje a két sík szögét. Az S sík normálvektora: n = (- - az S sík normálvektora: n = (. Határozzuk meg először a két normálvektor szögét (: = innen. Mivel a normálvektorok szöge tompaszög így. Gyakorló feladatok:. Legyen P = ( és t e : y t z t. a Határozza meg a P pont és az e egyenes távolságát! b Írja fel annak a síknak az egyenletét amely tartalmazza a P pontot és az e egyenest! 7. Legyen -t e : y t z t és -t f : y t. z t a Ellenőrizze hogy az e és az f egyenesek párhuzamosak! b Határozza meg a két egyenes távolságát! 8. Legyen -t e : y t z t és f: y z. a Ellenőrizze hogy az e és az f egyenesek kitérők! b Határozza meg a két egyenes távolságát! 9. Legyen S : y z és Q = ( -. Határozza meg a Q pont és az S sík távolságát!. Legyen S : y z és f : y t z t. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak a Milyen helyzetű az f egyenes és az S sík? b Határozza meg az f egyenes és az S sík távolságát!. Legyen S : y z S : - y. a Milyen a két sík kölcsönös helyzete? b Határozza meg a két sík távolságát!. Legyen e : y t z t és f: y z. a Határozza meg az e és f egyenesek metszéspontját (ha van! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét!. Legyen S : y z és z Határozza meg az S sík és az e egyenes szögét! -t e : y t.. Legyen S : y z és -t e : y t z. Határozza meg az S sík és az e egyenes szögét!. Legyen S : y z S : - y z 8. Határozza meg a két sík szögét! Vegyes feladatok Gyakorló feladatok:. Legyen t e : y t z t t f : y t z t S : y z. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája 9 a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! 7. Legyen e: y z S : y z S : y z. a Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az e egyenesre és tartalmazza a P = ( - pontot! b Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! c Milyen az S és S sík kölcsönös helyzete? Ha párhuzamosak akkor határozza meg a távolságukat ha metszők akkor adja meg a metszésvonal paraméteres egyenletrendszerét! d Határozza meg az S és S sík szögét! 8. Legyen S : y z e : y z t f : y t z t. a Határozza meg a Q = ( - pont és az S sík távolságát! b Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az e és f egyenesekre! c Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! d Határozza meg az e és f egyenesek szögét! 9. Legyen - t e : y t z t f z : y. a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét!. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( P = ( és P = ( - pontokra! Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Legyen t - t e : y t f : y t S : y z 8. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét!. Legyen t e : y t z S : y z S : y z 8. a Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! c Milyen az S és S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg a Q = ( - pont és az S sík távolságát! e Határozza meg az S és S síkok szögét!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! e Határozza meg a P = ( pont f egyenestől való távolságát! www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R tér geometriája. Legyen t t e : y t f : y t S : - y z. z z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! e Határozza meg a P = ( pont e egyenestől való távolságát!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Határozza meg az e és f egyenesek távolságát! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az f egyenes és az S sík szögét! Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja akkor párhuzamosak. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy irányvektora.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy pontja és egy rá merőleges nem nulla vektor.. Ha az e és e térbeli kitérő egyenesek akkor léteznek olyan S és S síkok hogy e S e S és S S.. Ha a térben egy sík normálvektorának és egy egyenes irányvektorának a vektoriális szorzata nullvektor akkor az egyenes merőleges a síkra.. Ha két sík párhuzamos akkor a normálvektoraiknak a skaláris szorzata negatív. 7. Ha egy sík és egy vele párhuzamos térbeli egyenes távolsága d akkor bármely PS és Qe esetén a P és Q pontok távolsága d. 8. Egy térbeli síkot meghatározza egy pontja és egy vele párhuzamos nem nulla vektor. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér Az R n vektortér. Minta feladat: Legyen a = ( - b = ( 7 8 - c = ( -. a Határozzuk meg az alábbi vektorokat! a + b a c a -b a +bc b Adjuk meg az a b és c vektorok - és skalárokkal vett lineáris kombinációját! Megoldás: a Az R vektortérben az összeadást kivonást és skalárral való szorzást komponensenként végezzük el így: a + b = ( - + ( 7 8 - = (9 a c = ( - ( - = ( - a = ( - = ( - -b = -( 7 8 - = (- -7-8 a +bc = ( - + ( 7 8 - ( - = (8 - + + ( - ( - = ( b Az a b és c vektorok - és skalárokkal vett lineáris kombinációja: a + (-b +c = ( - ( 7 8 - + ( - = ( - 9 8 ( 7 8 - + (8-8 = ( -7. Minta feladat: Legyen a = ( - b = (. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjaként az = (9 - illetve az y = (7 - vektor? Geometriailag is értékeljük az eredményt! Megoldás: Olyan és skalárokat keresünk amelyekre a + b = teljesül azaz ( - + ( = (9 -. Ez a vektoregyenlet ekvivalens a megfelelő komponensekre felírt egyenlőségekkel így: 9 A második egyenletből = ezt az első egyenletbe helyettesítve = adódik. Ezek az értékek kielégítik a harmadik egyenletet is azaz a teljes egyenletrendszer meg - oldásai. Így az vektor előáll az a és b vektorok lineáris kombinációjaként: = a + b. Ez geometriailag azt jelenti hogy az vektor benne van az a és b vektorok által kifeszített síkban. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Ezután olyan és skalárokat keresünk amelyekre a + b = y teljesül azaz ( - + ( = (7 -. Ez a vektoregyenlet ekvivalens a megfelelő komponensekre felírt egyenlőségekkel így: 7 A második egyenletből = ezt az első egyenletbe helyettesítve = adódik. Ezek az értékek azonban nem elégítik ki a harmadik egyenletet azaz a teljes egyenletrendszernek nincs megoldása. Így az y vektor nem állítható elő az a és b vektorok lineáris kombinációjaként. Geometriailag ez azt jelenti hogy y nincs benne az a és b vektorok által kifeszített síkban.. Minta feladat: Legyen a = ( - b = (- c = ( d = ( -. H := {a b c} és H := {a b d}. Állapítsuk meg hogy lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H illetve a H vektorhalmaz? Megoldás: Megvizsgáljuk hogy milyen lineáris kombinációval lehet a H vektorhalmaz elemeiből az R vektortér nullvektorát előállítani: a + b + c = o azaz ( - + (- + ( = (. A vektoregyenletet átírjuk a komponensekre vonatkozó egyenlőségekre: - - Az első egyenletből =. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve = adódik. Ezt a negyedik egyenletbe írva = -t kapunk s így a korábbiak szerint =. Ezek az értékek a még fel nem használt harmadik egyenletet is kielégítik. Így a teljes egyenletrendszer megoldása: = = =. Vagyis a H vektorhalmaz elemeiből csak a triviális lineáris kombinációval lehet a nullvektort előállítani azaz a H vektorhalmaz lineárisan független. A H vektorhalmazt vizsgálva: a + b + d = o azaz ( - + (- + ( - = (. A vektoregyenletet átírjuk a komponensekre vonatkozó egyenlőségekre: www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér - - A negyedik egyenletből = - adódik. Ezt beírva az első egyenletbe a = - összefüggést kapjuk. Ezeket behelyettesítve a második és harmadik egyenletbe mindkét esetben azonosságot kapunk. Ez azt jelzi hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van: = -t = -t = t ahol tr. Így a H vektorhalmaz vektoraiból triviálisan és nem triviálisan is előáll a null vektor. Például egy nem triviális előállítás: -a b + d = o. Tehát a H vektorhalmaz lineárisan összefüggő. Megjegyezzük hogy vektorhalmazok lineáris függetlensége illetve összefüggősége a bázistranszformáció algoritmusával is vizsgálható (lásd. minta feladat. Gyakorló feladatok:. Legyen a = ( - b = (. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával a c = (- vektor?. Legyen a = ( - b = (-. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával a c = ( vektor?. Legyen a = ( - b = ( - c = ( -. a Végezze el az alábbi műveleteket! a + b -c -a + b + c b Adja meg azt a vektort amely az a b és c vektorok - skalárokkal vett lineáris kombinációja! c Előállítható-e az a b és c vektorok lineáris kombinációjával az = ( 9 vektor?. Legyen a = (- b = ( c = (-. a Állítsa elő a a -b c lineáris kombinációt! b Legyen H = {a b c}. Hogyan állítható elő a H vektorhalmaz elemeiből az R vektortér nullvektora? Lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H vektorhalmaz? c Legyen = ( 9 y = ( -. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával az illetve az y vektor? Geometriailag is értékelje az eredményt!. Minta feladat: Legyen a = ( - a = ( a = ( a = ( -. Bázist alkotnak-e az R vektortérben az a a a és a vektorok? Ha igen akkor határozzuk meg a v = ( - vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Megoldás: Tekintsük az R vektortér kanonikus bázisát. Elemi bázistranszformációk sorozatával próbáljuk meg kicserélni a kanonikus bázis vektorait az a a a és a vektorokra. Az induló táblázat: bázis a a a a v e a = e e - e - - Észrevehetjük hogy az a vektor azonos az e vektorral így lényegében már indu láskor a bázisban van. Válasszuk generáló elemnek az a vektor első koordinátáját azaz vonjuk be a bázisba a-et az e vektor helyére (jelölés: a e és a bázistranszformációs képleteknek megfelelően számoljuk a vektorok új koordinátáit. Így az alábbi táblázathoz jutunk: bázis a a a a v a a e - - - e Ezután hajtsuk végre az a e vektorcserét a bázisban így a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a v a - a - a e - Végül bevonhatjuk a bázisba az a vektort az e helyére: bázis a a a a v a a a a Mivel a kanonikus bázis vektorai kicserélhetőek voltak az a a a és a vektorokkal így azok bázist alkotnak az R vektortérben. A végső táblázatból kiolvashatóak a v vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátái: és. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 7. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = ( a = (8 a = (. a Bázist alkotnak-e az R vektortérben az a a és a vektorok? Ha igen akkor határozzuk meg az a és a vektorok ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! b H:= {a a a} és H:= {a a a}. Lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H illetve a H vektorhalmaz? Megoldás: a Tekintsük az R vektortér kanonikus bázisát. Elemi bázistranszformációk sorozatával próbáljuk meg kicserélni a kanonikus bázis vektorait az a a és a vektorokra. Az induló táblázat: bázis a a a a a e 8 e e Válasszuk generáló elemnek az a vektor első koordinátáját azaz vonjuk be a bázisba a-et az e vektor helyére (jelölés: a e és a bázistranszformációs képleteknek megfelelően számoljuk a vektorok új koordinátáit. Így az alábbi táblázathoz jutunk: bázis a a a a a a 8 e - - e - - - Ezután az a e vektorcserét végrehajtva a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a a 8 a - - e - -9 - Végül vonjuk be a bázisba az a vektort az e vektor helyére (a e: bázis a a a a a a a a Mivel a kanonikus bázis vektorai kicserélhetőek voltak az a a és a vektorokkal így azok bázist alkotnak az R vektortérben. A végső táblázatból kiolvashatóak az a és a vektorok ezen bázisra vonatkozó koordinátái: Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak az a vektor koordinátái az a a és a vektorokra vonatkozóan: ; az a vektor koordinátái az a a és a vektorokra vonatkozóan:. b Mivel a H vektorhalmaz vektorai bázist alkotnak az R vektortérben így H lineárisan független. A végső táblázatból kiolvasható hogy a = a + a azaz az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként. Vagyis a H vektorhalmazban található olyan vektor amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként így H lineárisan összefüggő.. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = ( a = ( a = (9. H:= {a a a a a}. a Határozzuk meg a H vektorhalmaz rangját! b Adjuk meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! c Van-e olyan vektor az R vektortérben amely nem fejezhető ki H-beli vektorok lineáris kombinációjával? d Van-e illetve vektorból álló lineárisan független részhalmaza H-nak? e Van-e illetve vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza H-nak? Megoldás: a A rang a vektorhalmazból kiválasztható lineárisan független vektorok maimális számát jelenti. Bázistranszformációval a bázisba bekerülő vektorok mivel bázis részhalmazát képezik lineárisan függetlenek. Igazolható hogy a bázisba bevonható vektorok maimális száma független a bevonandó vektorok konkrét kiválasztásától. Így igaz hogy bármely vektorhalmaz esetén a rang egyenlő a bázisba bevonható vektorok maimális számával függetlenül attól hogy éppen melyik vektorokat vontuk be a bázisba. Igyekezzünk tehát H vektorai közül minél többet bevonni a kanonikus bázis vektorainak helyébe. Az induló táblázat: bázis a a a a a e 9 e e Az a e vektorcsere végrehajtása után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a e - - - - a e Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 9 bázis a a a a a e - - a a Végül a-t bevonva az e helyére: bázis a a a a a a a a Mivel a kanonikus bázis mindhárom vektorát ki tudtuk cserélni H-beli vektorokkal így r(h =. b A H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmaza: H ={a a a}. c Mivel a fenti H részhalmaz bázis R -ban így minden R -beli vektor kifejezhető H- beli vektorok lineáris kombinációjával. Így nincs olyan vektor az R vektortérben amely nem fejezhető ki H-beli vektorok lineáris kombinációjával. d vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a a a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: nincs mert R -ban négy vektor mindig lineárisan összefüggő. e vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: nincs mert egyik vektor sem nullvektor; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: nincs mert H-ban nincs két párhuzamos vektor; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: van {a a a} mert a táblázatból látszik hogy a előáll a másik két vektor lineáris kombinációjaként; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: pl. {a a a a} hiszen R - ban négy vektor mindig lineárisan összefüggő. 7. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = (- - - a = ( a = (. a H:= {a a a a a}. Határozzuk meg a H vektorhalmaz rangját! b Van-e a H vektorhalmaznak két vektorból álló lineárisan független és két vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza? c Megadható-e olyan R -beli vektor amelyet H-hoz csatolva megnöveli a rangot? Megoldás: a A bázistranszformáció során a bázisba bevonható vektorok maimális száma adja a rangot (lásd. minta feladat így igyekezzünk minél több vektort a bázisba bevonni! Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Az induló táblázat: bázis a a a a a e - e - e - Hajtsuk végre az a e vektorcserét a bázisban: Vonjuk be ezután a t az e helyére: bázis a a a a a a - e - e - bázis a a a a a a a - e Több vektort nem lehet bevonni a bázisba így r(h =. b Két vektorból álló lineáris független részhalmaz: {a a} mivel bázis részhalmaza lineárisan független. Két vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: {a a} mivel az a és a vektorok párhuzamosak. c Igen minden olyan vektor növeli a rangot amely nem áll elő az a és a vektorok lineáris kombinációjával. Ilyen vektor például az e hiszen e az a és a vektorokkal bázist alkot. Gyakorló feladatok:. Legyen a = ( a = ( a = (. Bázist alkotnak-e az R térben az a a és a vektorok? Ha igen akkor határozza meg a v = ( 7 8 vektor rájuk vonatkozó koordinátáit!. Legyen a = ( b = (- c = ( - d = (. a Hogyan állítható elő az a b és c vektorokból az R vektortér nullvektora? b Hogyan állítható elő az a b és d vektorokból az R vektortér nullvektora? c Megadható-e olyan R vektor amely nem állítható elő az a b és c (illetve az a b és d vektorok lineáris kombinációjaként? d Bázist alkotnak-e az R térben az a b és c (illetve az a b és d vektorok? Ha igen akkor határozza meg a v = ( vektor rájuk vonatkozó koordinátáit! www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 7. Legyen a = ( a = ( a = ( -. Megadható-e olyan R vektor amely az a a és a vektorok lineáris kombinációjával nem fejezhető ki? Ha igen akkor adjon példát ilyen vektorra! 8. Legyen H = { ( ( } H = { ( ( ( } H = { ( ( ( ( }. A fenti vektorhalmazokra mi illik az alábbi felsorolásokból? lineárisan független lineárisan összefüggő bázis a vektorhalmaz vektoraiból lineáris kombinációval előállítható az R vektortér összes vektora. 9. Adjon példát az R vektortérben olyan vektorhalmazra amely lineárisan összefüggő és nem generátorrendszer lineárisan összefüggő és generátorrendszer lineárisan független és nem bázis lineárisan független és bázis.. Legyen a = ( a = (- a = (- a = (- a = ( H = {a a a a a}. Mennyi a H vektorhalmaz rangja?. Legyen a = ( b = ( c = (- d = ( 7. a Bázist alkotnak-e a térben az a b és c vektorok? Ha igen akkor határozza meg az = (-8 - vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! b Hogyan állítható elő az a b és d vektorok lineáris kombinációjával az R tér nullvektora? c Mennyi a H = a b d vektorhalmaz rangja?. Legyen a = ( - a = (- - - a = ( 7 - - a = ( - a = ( - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Adjon meg olyan a o vektort amelyet a H vektorhalmazhoz csatolva nem növeli a vektorhalmaz rangját!. Legyen a = ( - a = ( - - a = ( - a = ( a = (. H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Adjon meg olyan a R vektort amely nem állítható elő a H vektorhalmaz vektorainak lineáris kombinációjaként!. Legyen a = (- a = ( a = ( - a = (- 7 H = {a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? c Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Legyen a = ( - a = (- - a = (- - a = (- - a = ( - - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Van-e a H vektorhalmaznak olyan legalább elemű részhalmaza amelynek rangja kisebb a H rangjánál? c Van-e a H vektorhalmaznak ill. elemű lineárisan független részhalmaza? (Ha van akkor adjon példát ha nincs akkor indoklást! d Van-e a H vektorhalmaznak ill. elemű lineárisan összefüggő részhalmaza? (Ha van akkor adjon példát ha nincs akkor indoklást!. Legyen a = ( a = (- a = ( a = ( - a = ( - - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Válasszon ki H-ból egy maimális lineárisan független részhalmazt és annak elemeivel állítsa elő H elemeit! c Előállítható-e az R vektortér minden vektora H elemeinek lineáris kombinációjaként? Ha igen: adjon meg olyan részhalmazt H-ban amely bázis az R térben! Ha nem: egészítse ki H-t úgy további vektorokkal hogy az R tér minden vektora előállítható legyen! 7. Legyen a = ( a = ( - a = ( a = ( - a = ( H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Válasszon ki H-ból egy maimális lineárisan független részhalmazt és annak elemeivel állítsa elő H elemeit! c Előállítható-e az R vektortér minden vektora H elemeinek lineáris kombinációjaként? Ha igen: adjon meg olyan részhalmazt H-ban amely bázis az R térben! Ha nem: egészítse ki H-t úgy további vektorokkal hogy az R tér minden vektora előállítható legyen! 8. Legyen a = ( - a = ( - a = ( a = ( - -9 a = ( - 8 H = {a a a a a} H = a. a H = a a a. a Mennyi a H H és H vektorhalmazok rangja? b Adjon meg egy maimális lineárisan független részhalmazt a H H és H vektorhalmazokban! c Adjon meg egy olyan R vektort amely nem fejezhető ki a H elemeivel! d Adjon meg egy olyan R vektort amelyet H-hez csatolva nem növeli meg a vektorhalmaz rangját! 9. Legyen a = ( a = (- a = ( 7 a = (- - a = ( H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b El lehet-e hagyni egy vektort a H vektorhalmazból úgy hogy a maradék halmaz rangja kisebb legyen H rangjánál?. Legyen a = (- - a = (- a = ( - a = ( - a = ( -9 H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér b El lehet-e hagyni egy vektort a H vektorhalmazból úgy hogy a maradék halmaz rangja kisebb legyen H rangjánál?. Legyen a = ( - a = ( - a = (- - a = ( - a = ( - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Megadható-e H-nak ill. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza? Ha igen adjon meg ilyen(eket! 8. Minta feladat: Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a a e e a Számolás nélkül válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltsük ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adjuk meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként? f Előállítható-e az a vektor az a és a lineáris kombinációjaként? g Előállítható-e az a vektor az a és a lineáris kombinációjaként? Megoldás: a Mivel négy vektor alkotja a bázist ezért az a a a a a vektorok az R vektortér elemei. b A hiányzó koordináták bázisban lévő vektorok koordinátái így: bázis a a a a a a e e a c Maimálisan két vektort lehet H elemei közül bevonni a bázisba így r(h =. d A H vektorhalmaz egy maimálisan lineárisan független részhalmaza: {a a}. e a = a+a; a = a+a; a = a+a; a = a+a; a = a+a. f A táblázatból látható hogy az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként. Mivel az a és a vektorok párhuzamosak így az a és a vektorokból pontosan azok a vektorok állíthatók elő lineáris kombinációval mint az a és a vektorokból. Tehát az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként is. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak g Mivel az a és a vektorok párhuzamosak így az a és a vektorokból pontosan azok a vektorok állíthatók elő lineáris kombinációval mint amelyek csak az a vektorból előállíthatóak. Mivel az a vektor nem állítható elő csak az a vektor lineáris kombinációjaként ezért nem áll elő az a és a vektorokból sem. Gyakorló feladatok:. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a a - e a a Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adja meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként?. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a e a - a - e Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adja meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként?. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a e a - a - e www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 9. Minta feladat: Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Mennyi a H ={a a a} vektorhalmaz rangja? e Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? f Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? g Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? a Az alábbi vektorhalmazok közül melyek alterek az R térben? Az altereknél adjuk meg az altér dimenzióját és egy bázisát! H = { ( z R z R } H = { λ( - λ } H = { λ( - λ R } H = { ( R = = } H = { λ( λ R } H = { λ( + ( λ R } H7 = { λ( + λ ( λ λ R } H8 = { ( R }. b Melyek azok az alterek a fentiek közül amelyeknek direkt összege az R vektortér? Megoldás: a Az alterek olyan vektorhalmazok amelyek zártak a vektorösszeadásra és a skalárral való szorzásra. Az R vektortérben az dimenziós alterek olyan vektorhalmazok melyek vektorai egy origón átmenő egyenesre esnek míg a dimenziós alterek vektorai egy origón átmenő síkra esnek. Ezek alapján: H az -z koordinátasík vektorait tartalmazza altér dim(h = egy bázis H- ben: B = {( ( }; H vektorai a ( - irányvektorú origóból induló félegyenesre esnek H zárt az összeadásra de nem zárt a skalárral való szorzásra így nem altér; H vektorai a ( - irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( -}; H vektorai a z tengelyre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( }; H vektorai az ( irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( }; H vektorai nem zártak sem az összeadásra sem a skalárral való szorzásra nem altér; H7 vektorai az ( és a ( vektorok által kifeszített síkra esnek altér dim(h7 = egy bázis H7-ben: B7 = {( ( }; H8 vektorai az első tér-nyolcadban helyezkednek el az összeadásra zártak de a skalárral való szorzásra nem nem altér. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak b A fenti alterek közül egy dimenziós és egy dimenziós vagy három dimenziós altérnek lehet direkt összege az R vektortér feltéve hogy a megfelelő alterek bázisainak uniója bázis R -ban. Ez bázistranszformációval ellenőrizhető. Például a H és H alterek esetén a B = BB = {( ( ( -} bázis R -ban hiszen az induló táblázatból látható hogy az első két vektor eleve bázisban van a harmadik pedig bevonható e helyére: bázis b b b b=e e b= e - Így R = HH. Ugyanakkor a H és H alterek esetén a B = BB = {( ( } ami nem bázis R -ban így R HH. Hasonló vizsgálatokat elvégezve a többi esetben is a következő altereknek lesz még direkt összege az R vektortér: R = HH R = H7H R = H7H R = HHH.. Minta feladat: Adjuk meg az alábbi alterek dimenzióját és egy bázisát! Igaz-e hogy R direkt összege a V és V altereknek? Ha igen akkor bontsa fel az = ( - vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre! Megoldás: a V = { λ( - + λ ( λ λ R } V = { λ( λ R }; b V = { λ( + λ ( λ λ R } V = { λ( + λ ( λ λ R }; c V = { λ( + λ ( λ λ R } V = { λ( + λ ( λ λ R }; a dim(v = B = { ( - ( } és dim(v = B = { ( }. A szükséges (de nem elégséges feltétel teljesül: dim(v + dim(v = + = dim(r. Ellenőrizzük ezután hogy az alterek bázisainak uniója B = BB bázis-e R -ban és közben számoljuk az vektor koordinátáit is. Az induló táblázat: bázis b b b b= e e - - e A b vektor bent van a kanonikus bázisban (b= e vonjuk be b-t az e vektor helyére: www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 7 bázis b b b b - - e - - b Végül vonjuk be a b vektort az e helyére: bázis b b b b b b Mivel a B = BB vektorhalmaz bázis R ban így R = VV. Az vektor előállítása a B bázison: = b + b + b. Mivel b és b a V altér bázisvektorai így az vektor V-be eső összetevője: v = b + b = ( -. A b vektor a V altér bázisvektora így az vektor V-be eső összetevője: v = b = (. b dim(v = B = { ( ( } és dim(v = B = { ( ( }. A szükséges feltétel nem teljesül: dim(v + dim(v = + dim(r így R VV. c dim(v = B = { ( ( } és dim(v = B = { ( }. Utóbbi esetben vegyük észre hogy az ( és ( vektorok párhuzamosak így lineáris kombinációik dimenziós alteret határoznak meg. Ellenőrizzük ezután hogy az alterek bázisainak uniója B = BB bázis-e R ban és közben számoljuk az vektor koordinátáit is. Az induló táblázat: bázis b b b e b= e - e A b vektor bent van a kanonikus bázisban (b= e vonjuk be b-t az e vektor helyére: bázis b b b b b - - e Látható hogy b nem vonható be a bázisba az e vektor helyére azaz a B = BB vektorhalmaz nem bázis R ban így R VV. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Gyakorló feladatok:. a Az alábbi vektorhalmazok közül melyek alterek az R térben? Az altereknél adja meg az altér dimenzióját és egy bázisát! H = { λ( + λ( λ λ R } H = { λ( - λ R + } H = { λ( - λ R } H = { ( R } H = { λ( - λ R } H = { λ( - + ( λ R } H7 = { λ( - + λ ( λ λ R } H8 = { (λ λ R }. b Melyek azok az alterek a fentiek közül amelyeknek direkt összege az R vektortér?. Legyen V = ( y z R y = és V = ( - R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( - vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 7. Legyen V = (t t t R tr és V = ( +(- R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 8. Legyen V = ( - R és V = ( +( R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( - vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 9. Legyen V = ( R V = ( - +( R V = ( - +( R. a Adjon meg egy-egy bázist a V V és V alterekben! b Igaz-e hogy V V = R illetve V V = R? (Indoklás! Ha igen akkor bontsa fel az = (8 vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre!. Legyen V = ( - R V = ( +( R V = ( - R. a Adja meg a fenti alterek dimenzióját és egy-egy bázisát! b Igaz-e hogy V V = R illetve V V V = R? (Indoklás! Ha igen akkor bontsa fel az = (7 vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre!. Adjon meg az R vektortérben illetve db olyan alteret amely altereknek direkt összege az R vektortér! www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Az R n vektortér 9 Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. R n -ben bármely vektorhalmaz rangja n.. Ha egy H vektorhalmaz rangja k akkor H nem tartalmazhat k- darab lineárisan összefüggő vektort.. Ha egy vektorhalmaz rangja megegyezik az elemszámával akkor a vektorhalmaz lineárisan független.. Ha a H R n vektorhalmazra r(h = r akkor H-nak nem lehet r-nél kevesebb vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza.. Ha egy vektorhalmaz rangja r akkor a vektorhalmazt egy vektorral bővítve a rang r+-re nő.. Ha egy vektorhalmaz generátorrendszer akkor az bázis is. 7. Ha LR n lineárisan független GR n generátorrendszer akkor G-ben legalább annyi vektor van mint L-ben. 8. Egy lineárisan független vektorhalmazt további vektorokkal bővítve a függetlenség megőrződik. 9. R n ben minden bázis generátorrendszer.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer akkor H nem lehet lineárisan összefüggő.. R n -ben n darab lineárisan független vektor bázist alkot.. R n -ben létezik n-nél kevesebb vektorból álló lineárisan független vektorhalmaz.. R n -ben létezik n-nél kevesebb vektorból álló generátorrendszer.. R n -ben létezik n-nél több vektorból álló generátorrendszer.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer és Hn akkor H lineárisan összefüggő.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer és H = n akkor H bázis. 7. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan független és H = n akkor H generátorrendszer. 8. Lineárisan összefüggő vektorhalmaz részhalmaza is lineárisan összefüggő. 9. Ha egy R n beli generátorrendszer n vektorból áll akkor az bázis.. Minden lineárisan összefüggő vektorhalmaz tartalmazza a nullvektort.. R n ben minden bázis n vektorból áll.. Ha egy vektorhalmaz minimális generátorrendszer akkor az lineárisan független.. Ha egy vektorhalmaz minimális generátorrendszer akkor az lineárisan összefüggő. Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. R n ben minden bázis tartalmazza a nullvektort.. R n ben minden generátorrendszer legalább n vektorból áll.. R n -ben létezik olyan B bázis hogy valamely a R n vektorra ab és -ab. 7. Ha H R n lineárisan összefüggő és a R n \ H akkor H {a} is lineárisan összefüggő. 8. Legyen A={a ak} R n lineárisan összefüggő. Ekkor r(a < k. 9. Ha A={a ak} R n lineárisan független akkor k n.. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan összefüggő akkor van H-nak olyan részhalmaza amely bázis R n -ben.. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan összefüggő akkor van olyan R n -beli vektor amely többféleképpen áll elő H-beli vektorok lineáris kombinációjaként.. Van olyan R n -beli generátorrendszer amely nem tartalmaz bázist.. R n -ben nincs -dimenziós altér.. Ha dim(v=k akkor a V altér vektorai közül maimálisan k darab lineárisan független vektor választható ki.. R n minden altere tartalmazza a nullvektort.. Ha R n V V akkor dim(v+ dim(v = n. 7. Ha dim(v+dim(v=n akkor. R n = V V. 8. R és R altere R -nak. 9. Ha a V vektorhalmaz altér R n ben akkor V lineárisan független.. Ha a V vektorhalmaz altér R n ben akkor V lineárisan összefüggő.. Két R -beli vektor lineáris kombinációi mindig egy origón átmenő síkot határoznak meg.. Alterek metszete is altér.. Alterek uniója is altér. www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Mátriok Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu Mátriok. Minta feladat: Adjuk meg azt a A -es mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i j! Írjuk fel a fenti mátri transzponáltját! Megoldás: Számoljuk ki a megadott összefüggést felhasználva a mátri elemeit! a= = a= = a= = a= =- a= = a= = a= = a= = a= =8 a= =7 a= = a= = Így az A mátri: 7 8 A A fenti mátri transzponáltját a sorok és oszlopok felcserélésével kapjuk: 7 8 T A. Minta feladat: Legyen A B. a Írjuk fel a fenti mátriok transzponáltjait! b Határozzuk meg az A+B AB A T -B T A+B A T B T mátriokat! Megoldás: a A transzponált mátriok: T A T B. b A mátriösszeadás definíciója szerint az azonos méretű mátriokat elemenként adjuk össze míg egy mátri skalárszorosát úgy kapjuk meg hogy minden mátrielemet az adott skalárral megszorzunk. Így: B A

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE B A 8 T T B A 9 8 B A T A T B. Minta feladat: Legyen A B C D. a Adjuk meg a fenti mátriok méretét (típusát! b Írjuk fel a fenti mátriok transzponáltját! c Melyik létezik az alábbi mátriszorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsuk ki! AB BA BC CD C T D CC CC T C T C A A Megoldás: a Az A mátri -es a B mátri -as a C mátri -es a D mátri -es. b A transzponált mátriok: T A T B T C T D c Két mátri összeszorozhatóságának feltétele hogy az első mátri oszlopainak a száma egyezzen meg a második mátri sorainak a számával. Ez a fenti mátri - szorzatok közül a BA CD és CC szorzatok esetén nem teljesül így ezek a mátriszorzatok nem léteznek. Ha az összeszorozhatóság feltétele teljesül a szorzatmátri (ij-edik elemét ún. sor-oszlop szorzással számoljuk azaz az első mátri i-edik sorát és a második mátri j-edik oszlopát felhasználva a megfelelő elemeket rendre összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk. (Számoláskor hasznos az ún. Falk-féle elrendezést használni.

Mátriok Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu Ennek megfelelően: 9 B A 7 C B 8 9 D C T 8 8 T C C C C T 8 A A A 8 A A A A.. Minta feladat: Legyenek A B C. Melyik létezik az alábbi szorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsuk ki! BA T C T C T AB T C T AB Megoldás: Először is megjegyezzük hogy a mátriszorzás asszociatív művelet azaz a többtényezős szorzatok tetszés szerint zárójelezhetőek illetve a zárójelek el is hagyhatóak. A BA T C T szorzatban a B mátri -es az A T mátri -es ezért a BA T szorzás nem végezhető el (első mátri oszlopainak száma nem egyenlő a második mátri sorainak számával. Így a BA T C T szorzat sem létezik.

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A C T AB T szorzatban a C T mátri -es az A mátri -as ezért a C T A szorzás elvégezhető és a szorzatmátri -as mátri lesz. Ez a mátri viszont nem szorozható meg jobbról a B T -as mátriszal így a C T AB T szorzat sem létezik. A C T AB szorzatot vizsgálva láttuk hogy a C T A szorzás elvégezhető és -as mátriot eredményez. Ez megszorozható jobbról a B -es mátriszal és eredményül -es mátriot kapunk. A számolást elvégezve: C T C T A A B. Minta feladat: Megoldás: Tekintsük az A mátriot! Határozzuk meg az A mátri rangját! Bármely mátrira az oszloprang azaz az oszlopvektorok alkotta vektorhalmaz rangja megegyezik a sorranggal azaz a sorvektorok halmazának rangjával. Ezt a közös értéket hívjuk röviden a mátri rangjának. Jelölje a a a a az A mátri oszlopvektorait. Bázistranszformációval határozzuk meg az A mátri oszloprangját. Az induló táblázat: bázis a a a a e e e Az a vektort bevonva a bázisba az e helyére a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a e - - e Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: bázis a a a a a a - - e 9 www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE

Mátriok Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu Végül az a e vektorcsere után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a. a - a. Mivel az A mátri oszlopvektorai közül hármat lehetett a bázisba bevonni így az A mátri rangja: r(a =. Gyakorló feladatok:. Adja meg azt a -as mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i+ j!. Adja meg azt a -as mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i+ j ha i j aij = ha i j.. Legyen A B. Határozza meg az A+B AB A -B A+B mátriokat!. Legyen A B. Melyik létezik az AB és a BA szorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki!. Legyen A B 7 C. Mutassa meg hogy (ABC=A(BC!. Legyen A B C. Mutassa meg hogy a fenti mátriokra: AB=BA= AC=A CA=C.

Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE 7. Legyen A B. C. Ellenőrizze az A(B+C=AB+AC disztributív tulajdonságot! 8. Legyenek A és B nn-es mátriok. Igazolja hogy általában (A+B(AB AABB (A+B( A+B AA+AB+BB Adja meg mindkét esetben az egyenlőség teljesüléséhez szükséges feltételt! 9. Legyen A. B C D E F. Melyik létezik az alábbi mátriok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki! AC C+D C+D T B+E AB AC AD EB BE B E AE EA CF DC CD DE.. Legyen A 8 B 7 C D E F. Melyik létezik az alábbi mátriok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki! A+B C+B C+D E+F E+F T A F BC BC T B T C BA AB BD BE AD DE EE EF FE.. Megválaszthatóak-e az a és b valós paraméterek úgy hogy AA=A teljesüljön ha b a A b a A.

Mátriok 7 Leitold Adrien PE www.tankonyvtar.hu. 8 A B C. D 7 7 E F Határozza meg a fenti mátriok rangját!. Mutassa meg hogy általában r(ab r(ba! Útmutatás: -es mátriokkal próbálkozzon!. Minta feladat: Legyen A és / / / / B. Mutassuk meg hogy az A és B mátriok egymás inverzei! Megoldás: Elég megmutatni hogy az AB illetve BA szorzat egységmátriot ad eredményül: / / / / A B / / / / B A bbá tová. Minta feladat: Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozzuk meg az inverzét! Megoldás: Egy nn-es mátri pontosan akkor invertálható ha teljes rangú azaz oszlopvektorai bázist alkotnak az R n vektortérben. Továbbá az inverz mátri a kanonikus bázis vektorainak az A mátri oszlopvektoraira mint bázisra vonatkozó koordinátáiból épül fel. Ennek megfelelően az inverz mátri bázistranszformációval történő számolása a. ábrán látható séma szerint történhet.

8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. ábra: Mátri inverzének meghatározása bázistranszformációval Ennek megfelelően az induló táblázat: bázis a a a e e e e e e A bázistranszformáció során az A mátri oszlopvektorait igyekezünk a bázisba bevonni. Mátriinvertálásnál a bázisba bekerülő a vektorok oszlopát a következő táblázatból elhagyhatjuk. Vonjuk be az a vektort a bázisba az e helyére: bázis a a e e e a e - e - Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: bázis a e e e a - - a - e - Végül vonjuk be az a vektort az e helyére. Megjegyezzük hogy itt már látszik hogy az A mátri rangja azaz teljes rangú így invertálható. bázis e e e a. -. a -. -. a -.. A kapott táblázat alapján felírható az A mátri inverze. Az inverzmátri felírásánál arra kell figyelnünk hogy a kanonikus bázis vektorainak az a a és a vektorokra www.tankonyvtar.hu Leitold Adrien PE