XIV. Bolyai Konferencia 2009. Március 14. Bodnár József IV. matematikus, ELTE TTK Eötvös Collegium Színes papíroktól a narancspakolásig a blokkrendszerek szimmetrikus világa
1873-ban Émile Mathieu kivételes permutációcsoportokat fedez fel 5-tranzitív Mathieu-csoportok 1938-ban Ernst Witt különleges általánosításait fedezi fel véges geometriáknak Witt-blokkrendszerek 1979-ben a Voyager űrszonda képeket küld a Szaturnuszról Golay-kód
Hibajavító kódok 011001100 011001100 Zajos csatorna 011001100 010010100 0 1 0 0 1 0 Kódolás Zajos csatorna Dekódolás 000 111 000 001 011 010???
Hibajavító kód mint részhalmaz: Kódszavak: 000, 111 Nem kódszavak: 001, 010, 100, 110, 101, 011 Az összes 3 hosszúságú szó listájában Ha nem kódszót kapunk: javítsuk azt a legközelebbi kódszóra! A Hamming-távolság ( 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 ) = u ( 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 ) = v Az eltérések száma d(u, v) = 5
Lineáris kód: a kódszavak alteret alkotnak egy véges test fölötti vektortérben. Rácsszerű szerkezet: Kódszó Javítható szó Nem javítható szó Minél sűrűbb térkitöltés gömbökkel meglepően nehéz probléma Véges test fölött megvalósítható a hézagmentesség: Perfekt kód minden szó közel esik (Hamming-távolság) valamelyik kódszóhoz
A Golay-kód 12 lap, 12x12-es mátrix Az identitásmátrix és a dodekaéder lapszomszédsági mátrixának komplementere A sorok generálják: 12 dimenziós altér a 24 dimenziós térben Az utolsó koordinátát elhagyva: bármely 23 hosszúságú 0-1 sorozat legfeljebb 3 helyen tér el egy kódszótól perfekt kód Ha nem hagyunk el koordinátát: a csupa 0 szó kódszó, minden más kódszó legalább 8 darab 1-est tartalmaz
Blokkrendszerek Véges (v darab pontból ) halmaz k elemű részhalmazainak rendszere - blokkok Bármely t darab ponthoz pontosan λ darab olyan blokk létezik, ami tartalmazza őket Nagyfokú szimmetria Jelölés: t (v, k, λ) Példa: Fano-sík t = 2, v = 7, k = 3, λ = 1: 2-(7, 3, 1) blokkrendszer Algebrai összefüggések a paraméterek között Nem minden paraméterre létezik, és nem is mindig egyértelmű Egyre nagyobb t-re egyre ritkábbak Speciális eset: λ = 1 Steiner-rendszer
Konstrukciók: Deriválás: Egy kiválasztott pontot tartalmazó blokkokat hagyok meg Törlöm a kiválasztott pontot t (v, k, λ) (t - 1) (v - 1, k - 1, λ) Minden blokkrendszerre elvégezhető Példa: 3 (8, 4, 1) 2 (7, 3, 1)
Blokkrendszer bővítése: Olyan blokkrendszer keresése, melyből deriválással kapható t (v, k, λ) (t + 1) (v + 1, k + 1, λ) Nem mindig végezhető el! A bővíthetőség nyomai olyan k + 1 elemű részhalmazok, hogy bármely, nem egy blokkba eső v + 1 pontra pontosan λ darab illeszkedik
A Witt-blokkrendszerek PG(2, 4) a négyelemű test fölötti projektív geometria egy 2 (21, 5, 1) rendszer Háromszor is bővíthető egymás után! 2 (21, 5, 1) 3 (22, 6, 1) 4 (23, 7, 1) 5 (24, 8, 1) Az utolsó blokkrendszer: 24 elemű halmaz 8 elemű részhalmazai, bármely 5 elemhez egyértelműen létezik őt tartalmazó nyolcas A Golay-kód nyolc súlyú szavainak 1-esei! 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Miracle Octad Generator Richard T. Curtis, 1976 Nyolcelemű halmaz két részre bontásai 35 féle A kételemű test fölötti négydimenziós vektortér affin két dimenziós altereinek párhuzamossági osztályai 35 darab Mind a 759 darab nyolc elemű blokk (oktád) előáll valamelyik párból: választunk párt, részhalmazt, affin alteret, permutációt. Plusz még három tégla oktád
Kódok és blokkrendszerek szimmetriái Kód szimmetriája: a jelsorozat jeleinek olyan cseréje, mellyel kódszóból kódszót kapunk, és nem kaphatunk kódszót nem kódszóból Permutációcsoport Például: 7 hosszúságú sorozatban a 3. és a 6. pozíción álló jel cseréje: 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 Ez a csere megengedett, ha: kódszó kódszó és nem kódszó nem kódszó minden egyes szóra Blokkrendszer szimmetriája: a pontok olyan cseréje, ami blokkot blokkba visz Szintén permutációcsoport
A Mathieu-csoport A Golay-kód és az 5 (24, 8, 1) Steiner-rendszer automorfizmuscsoportja (azaz ezeknek a szimmetriái alkotják) 24 fokú permutációcsoport 5-tranzitív! Rendje 244 823 040 A hiperbolikus sík hétszínű háromszögekkel való parkettázásából konstruálható egy poliéder
A kis kubikuboktaéder 20 lap 24 csúcs Már két permutáció generálja a Mathieucsoportot a csúcsokon
Források: J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups J. H. Conway, N. J. A. Sloane: Sphere Packings, Lattices and Groups B. Polster: A Geometrical Picture Book Internetes források: David A. Richter honlapja: http://homepages.wmich.edu/~drichter/ Steven H. Cullinane honlapja: http://finitegeometry.org/sc/24/mog.html http://en.wikipedia.org/wiki/file:small_cubicuboctahedron.png http://www.software3d.com/stella.html