Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019. 2. feladatsor 5.-6. évfolyam A TERMÉSZETES SZÁMOK A természetes számok tanulmányozása már a legrégebbi időktől foglalkoztatja az embereket. A számokkal kapcsolatos problémák megoldása mindig izgalmas kihívást jelentett. A különböző tulajdonságú számoknak a vizsgálata végigkísérte a matematikatudomány fejlődését. Felvetődtek olyan kérdések is, amelyek bizonyos típusú számok összeszámlálására vonatkoznak. Az összeszámlálási problémák vizsgálatával a matematikának egyik ága, a kombinatorika foglalkozik. A kombinatorikai feladatok nagyon szerteágazóak, éppen ezért nehéz őket típusfeladatok szerint rendezni. Ennek ellenére igyekszünk egy kezdetleges betekintést nyújtani az ilyen típusú feladatok világába. Vizsgálat tárgyává tesszük, hogy miként kell összeszámlálni bizonyos speciális tulajdonságokkal rendelkező természetes számokat. Mintapéldák 1.) Pontoskodónak nevezzük azt a természetes számot, amelyben a számjegyek pontosan annyiszor szerepelnek, amennyi a számjegy alaki értéke. Például egy ilyen pontoskodó szám az 1333244244. Hány olyan legfeljebb hatjegyű pontoskodó szám van, amelyeket ezres kerekítés esetén fölfelé kerekítünk? A fölfelé kerekítéshez szükséges, hogy a százasok helyén 5-ösnél nagyobb számjegy szerepeljen. Ezért a legfeljebb négyjegyű pontoskodó számok között nincs ilyen tulajdonságú szám. Az ötjegyű pontoskodó számokban a következő számjegyek szerepelhetnek: öt darab 5-ös számjegy, ebben az esetben az egyetlen szám az 55555; egy darab 1-es és négy darab 4-es számjegy, az ilyen típusú pontoskodó számok közül egy sem felel meg az említett tulajdonságoknak; két darab 2-es és három darab 3-as számjegy, ezekből sem alkothatunk az adott tulajdonsággal rendelkező számot. A hatjegyű pontoskodó számokban a következő számjegyek szerepelhetnek: hat darab 6-os számjegy, ebben az esetben az egyetlen szám a 666666; egy darab 1-es és öt darab 5-ös számjegy, ebben az esetben összesen öt olyan szám van, amely megfelel a feltételeknek: 155555; 515555; 551555; 555515; 555551 két darab 2-es és négy darab 4-es számjegy, az ilyen típusú pontoskodó számok közül egy sem felel meg az említett tulajdonságoknak. Tehát, a fentieket összefoglalva, összesen hét olyan legfeljebb hatjegyű pontoskodó szám van, amelyeket ezres kerekítés esetén fölfelé kerekítünk.
2.) Palindrom számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek számjegyeit fordított sorrendben olvasva ugyanazt a számot kapjuk. Például ilyen palindrom szám az 56865. Hány olyan páros ötjegyű palindrom szám van, amelyben szerepel legalább egy páratlan számjegy? A megoldás során könnyebben célt érünk, ha meghatározzuk, hogy hány ötjegyű páros palindrom szám van, majd ebből kivonjuk azoknak a számát, amelyekben csak páros számjegyek szerepelnek. Mivel páros ötjegyű palindrom számokat keresünk, ezért az utolsó számjegy csak 2, 4, 6 vagy 8 lehet, mivel az utolsó számjegy az első számjeggyel egyenlő. A második számjegy a negyedik számjeggyel egyenlő, ezért erre a két helyre tíz számjegy közül választhatunk. A harmadik számjegy esetében szintén 10 lehetőség közül választhatunk. Így összesen 4 10 10 = 400 páros palindrom szám van. Most vizsgáljuk meg azokat az ötjegyű palindrom számokat, amelyekben csak páros számjegyek szerepelnek! Az utolsó számjegy esetében (ez egyenlő az első számjeggyel) a 2, 4, 6 és 8 számjegyek valamelyikét választhatjuk (4 lehetőség), a második és negyedik számjegyek egyenlők, ide a 0, 2, 4, 6 és 8 számjegyek közül választhatunk (5 lehetőség). A harmadik számjegy esetében is a 0, 2, 4, 6 és 8 számjegyek közül választhatunk (5 lehetőség). Így összesen 4 5 5 = 100 olyan ötjegyű páros palindrom szám van, amelynek minden számjegye páros. Tehát összesen 400 100 = 300 olyan ötjegyű páros palindrom szám van, amelyben szerepel legalább egy páratlan számjegy. 3.) A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekkel négyjegyű számokat képezünk, úgy, hogy minden számjegyet legfeljebb egyszer használunk fel. Hány olyan négyjegyű természetes számot írhatunk fel, amely: a) 3000 nél kisebb; b) ezresekre kerekített értéke 2000. a) A 3000-nél kisebb négyjegyű számok képzésénél az ezresek helyére két számjegy (1 és 2) közül egyet választhatunk. A százasok helyére a megmaradt 5 számjegy, a tízesek helyére az így megmaradt 4 számjegy, míg az egyesek helyére a továbbiakban megmaradt 3 számjegy közül választhatunk. Tehát összesen 2 5 4 3 120 számot képezhetünk. b) A négyjegyű szám ezresekre kerekített értéke két esetben lehet 2000: az ezresek helyén 1-es, a százasok helyén pedig 5-ös van. Ebben az esetben a tízesek helyére a megmaradt 4 számjegyből, míg az egyesek helyére a továbbiakban megmaradt 3 számjegyből választhatunk. Így 4 3 = 12 ilyen szám van. az ezresek helyén 2-es szerepel. Ebben az esetben a százasok helyén négy lehetséges számjegy (0; 1; 3 vagy 4) közül, a tízesek helyén az így megmaradt négy számjegy, míg az egyesek helyén a továbbiakban megmaradt 3 számjegy közül választhatunk. Így 4 4 3 = 48 ilyen tulajdonságú szám van. A fentieket összegezve 12 + 48 = 60 olyan számot alkothatunk, amelyek ezresekre kerekített értéke 2000.
4.) Nevezzük összeférhetetlen számoknak az összes olyan természetes számot, amelyben az őt alkotó számjegyek mindegyike legalább kétszer szerepel, de az azonos számjegyek nem állhatnak egymás mellett. Például egy ilyen összeférhetetlen szám a 2352535. Hány összeférhetetlen szám van 50000 és 60000 között? Mivel az említett szám 50000-nél nagyobb, de 60000-nél kisebb, ezért a tízezresek helyén 5- ös szerepel. Ezért még legalább egy 5-ös számjegynek szerepelnie kell és a két 5-ös nem állhat egymás mellett. A maradék három helyi értékre viszont csak 5-ösökből és legfeljebb egy másik alaki értékű számjegyből választhatunk, mivel ellenkező esetben olyan számjegy is létezne, amelyik csak egyszer szerepel. Tehát, egy ilyen összeférhetetlen szám szigorúan csak 5-ösökből és egy másik alaki értékű számjegyből állhat. Így az ezresek helyére 9 lehetséges számjegy közül válogatunk. A százasok helyére viszont csak 5-ös kerülhet, mivel az ezresek helyén álló számjegyet nem választhatjuk. Folytatva a gondolatmenetet, a tízesek helyére az ezresek helyén álló számjegy, míg az egyesek helyére az 5-ös számjegy kerül. Tehát 50000 és 60000 között a következő összeférhetetlen számok vannak: 50505; 51515; 52525; 53535; 54545; 56565; 57575; 58585 és 59595. Tehát összesen kilenc összeférhetetlen szám van 50000 és 60000 között. Gyakorló feladatok 1.) Egy digitális óra több palindrom időpontot mutat a nap során. Palindrom időpont az, amelyiket balról jobbra olvasva ugyanazt kapjuk, mint jobbról balra olvasva, nem tekintve a kettőspontot. Például a 3:03 palindrom időpont. (Az órán 12 óra után mindig 1 óra jön.) Mennyi a legkisebb különbség két palindrom időpont között? 2.) Hány olyan legfeljebb hétjegyű pontoskodó szám van, amelyekben az egyik számjegy sem nagyobb, mint az őt megelőző? 3.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek összege legfeljebb 10, és a számjegyek növekvő sorrendben követik egymást? 4.) Hány hatjegyű összeférhetetlen szám létezik?
Kitűzött feladatok 1.) Mennyi az ötjegyű pontoskodó számok összege? 2.) Hány olyan palindrom szám van, amely: a) kétjegyű; b) háromjegyű; c) négyjegyű; d) legalább 5000 és legfeljebb 9500? 3.) Hány olyan háromjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek összege páratlan? 4.) Hány olyan ötjegyű összeférhetetlen szám van, amelynél az őt alkotó számjegyek szorzata páratlan? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: 2018.12.15. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019. 2. feladatsor 7.-8. évfolyam PITAGORASZ-TÉTEL A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alapvető állítása: Bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. Másként megfogalmazva: A két befogóra emelt két négyzet területének összege egyenlő az átfogó fölé emelt négyzet területével. Sok számítási feladat alapszik a tételben megfogalmazott összefüggésre. Ezek közül néhány egyszerű alkalmazást próbálunk az érdeklődőknek bemutatni. A tétel egy szemléletes bizonyítása itt látható: Érvényes a tétel megfordítása is: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Mintapéldák 1.) Számítsd ki az ábrán látható legkisebb kör sugarát! Kössük össze az egymást érintő körök középpontjait! Az ábra szerinti derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt: 2² + (4 r)² = (2 + r)², ebből 16 = 12r, r = 4 3.
2.) Egy 7 egység sugarú körhöz egy külső pontból érintőt húztunk. Az érintőszakasz hossza 24 egység. Milyen távol van a P pont a kör középpontjától? A kör középpontja, az érintési pont és a P pont egy derékszögű háromszög csúcsai. (Az érintő merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra.) Így felírhatjuk a Pitagorasz-tételt: x² = 7² + 24², ahonnan a kért távolság: x = 25 egység. 3.) Az ABCD téglalap belsejében felvettünk egy P pontot. Mutasd meg, hogy: PA² + PC² = PB² + PD²! A P ponton át húzzunk párhuzamosokat az oldalakkal. A kapott derékszögű háromszögekben felírjuk a Pitagorasz-tételt: PA² = c² + b², PC² = a² + d², PB² = a² + b², PD² = c² + d². Ebből adódik, hogy PA² + PC² = PB² + PD² = a² + b² + c² + d². 4.) Az ABCD négyzet belsejében levő P pont távolsága a három csúcstól sorra PA = 7, PB = 13, PC = 17. Számítsd ki a négyzet területét! Az előző feladat alapján kiszámítom a PD távolságot PD² = 7² + 17² - 13² = 169, ezért PD = 13 és mivel PB = PD, P rajta van a BCD szög felezőjén, azaz az AC átlón. Így AC = AP + PC = 7 + 17 = 24, a négyzet területe pedig AC² = 288 területegység. (Használva a deltoid területképletét.) 2
Gyakorló feladatok 1.) Számítsd ki az ábrán látható legkisebb kör sugarát! 2.) Számítsd ki a téglatest testátlójának a hosszát, ha az élek hossza 3, 4 és 12 egység! 3.) Mekkora az egységsugarú körbe írt szabályos hatszög területe? 4.) Szerkessz olyan négyzetet, amelynek területe az adott két négyzet területének az összegével egyenlő! Kitűzött feladatok 1.) Az ABCD konvex négyszög AB, BC, CD és DA oldala rendre 3, 4, 12 és 13 egység, továbbá a CBA szög derékszög. Mekkora a négyszög területe? 2.) Egy 10 cm sugarú körbe a lehető legnagyobb négyzetet írtuk. Mekkora a négyzet területe? 3.) Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra és a négyszög három egymás utáni oldala rendre 10, 14 és 11 egység hosszú. Mekkora a negyedik oldal? 4.) Egy P pont 9 egységnyire van egy 15 egységnyi sugarú kör középpontjától. Hány P-n áthaladó, egész hosszúságú húrja van a körnek? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: 2018.12,15. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.