Matematika 11. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018

. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria........................... 4 45. Vektor fogalma, vektorműveletek........................ 4 46. Vektorfelbontás, vektorkoordináták....................... 5 47. Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai.................... 6 48. Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal............... 7 49. Vektorok skaláris szorzata feladatokban..................... 8 50. Vegyes feladatok................................. 9 51. Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel.............. 10 5. Szinusztétel.................................... 11 53. Feladatok..................................... 1 54. A koszinusztétel.................................. 13 55. Feladatok koszinusztételre............................ 14 56. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre.................. 15 57. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre.................. 16 58. Vegyes feladatok................................. 17 59. Addíciós tételek.................................. 18 60. Trigonometrikus egyenletek........................... 19 61. Trigonometrikus egyenletek........................... 0 6. Trigonometrikus egyenletek........................... 1 63. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása..................... 64. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása..................... 3

Tartalomjegyzék 3. 65. Trigonometrikus függvények........................... 4 66. Trigonometrikus függvények........................... 5 67. Összefoglalás................................... 6 68. Dolgozat írása................................... 7

4. 45. óra. Vektor fogalma, vektorműveletek 45. óra Vektor fogalma, vektorműveletek Def Helyvektor). Origóból indított és a sík egy pontjában végződő irányított szakasz. Def Szabad vektor). Irányított szakaszok ekvivalencia osztálya, képviselőik azonos irányításúak és azonos nagyságúak. A kezdőpontjuk bárhova választható. Jele: a, a Def Abszolút érték). A vektort jelképező irányított szakasz hossza. Jele: a Def Két vektor összeadása sorba fűzéssel). Az első vektor végpontjába felmérjük a második vektor kezdőpontját. Az első kezdőpontjából a második végpontjába mutat az összegük. Jele: a + b Def Paralelogramma-módszer). Közös kezdőpontból felmérjük mindkét vektort és paralelogrammát szerkesztünk. Ennek a közös pontból induló átlója a két vektor összege. Def Kivonás). Két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. Jele: a b Def Vektor szorzása skalárral:). Adott a vektor és a λ R skalár. Szorzatuk vektor, amelynek abszolútértéke λ a, és λ > 0 esetén iránya a irányú, λ < 0 esetén az a vektor irányával ellentétes, λ = 0 esetén az iránya tetszőleges. Állítás. A vektorok műveleteinek azonosságai: 1. Kommutativitás: a + b = b + a. Asszociativitás: a + b) + c = a + a + b) 3. Disztributivitás: λ a + b) = λ a + λ b és λ a + b) = λ a + λ b 1. Feladat. Adott a 5; ) és b 4; 1) vektor. Számítsuk ki az alábbi műveleteket! a) a c) a e) a + b g) 10 a + b b) a b d) 3 b f) 3 a 4 b h) 0.5 a b 45. Házi feladat. Befejezni az előző példát. 45. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!

46. óra. Vektorfelbontás, vektorkoordináták 5. 46. óra Vektorfelbontás, vektorkoordináták Def Bázis). A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát bázisnak nevezzük 1. Megjegyzés. Merőleges, egységnyi hosszúságú bázisok a Descartes-féle koordináta rendszerben: az origóból az 1; 0) pontba, illetve a 0; 1)-be mutató vektorok: i és j Tétel Vektorfelbontás). Adott i, j bázis esetén a sík bármely v vektora felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjakén, azaz v = x i + y j alakban, ahol x, y R. Tétel Felezőpont). AB szakasz F felezőpontjába mutató vektor: OF = OA + OB Tétel Osztó). Az AB szakasz AP : P B = p : q arányú osztópontjába mutató vektor 3 : OP = q OA + p OB p + q. Feladat. Határozzuk meg a 4; 0) és a 0; 4) pontok felezőpontját! 3. Feladat. Számítsuk ki a 3; 5) és 7; 9) előbbihez közelebbi 3 : 5 arányú osztópontját! 46. Házi feladat. Határozzuk meg a 4; 0) és a 0; 4) pontok negyedelőpontjait! 46. Szorgalmi. Adjuk meg 3; 0.5) és 4; ) 7 : 6 pontok arányú osztópontjait! 1 Térben három, nem egy síkba eső vektor lehet egy bázis. Az egységnyi hosszúságú bázist normált bázisnak hívjuk. Ha ezen felül merőlegesek is a bázisvektorok egymásra, akkor ortonormált bázisról beszélünk. 3 Ezt úgy könnyű elképzelni, mintha a szakasz egy mérleghinta lenne. Ha az A közelében van a forgástengely, akkor A-re kell több súlyt elhelyezni, hogy egyensúly legyen.

6. 47. óra. Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai 47. óra Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai Def. A v és a w vektorok, ha α szöget zárnak be, akkor skaláris szorzatuk a következő: v w = v w cos α Állítás. A vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai: 1. Kommutativitás: a b = b a. Disztributivitás a vektorösszeadásra: a b + c) = a b + a c 3. Skalárral való szorzással való kapcsolat: λ 1 a) λ b) = λ1 λ a b) 4. Önmagával vett skaláris szorzat: a a = a 4. Feladat. Egy nagy dobozt 5 méterrel toltunk el előre, közben végig 50 N nagyságú erőt fejtettünk ki a haladás irányába. Mekkora az általunk végzett munka? 5. Feladat. János egy szánkót húz, közben testvére a szánkón ül. Összesen 5 métert halad előre a szánkó és János végig 50 N erőt fejt ki. A szánkóra kötött kötél 60 fokos szöget zár be a talajjal. Mekkora munkát végez János? Tétel. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha merőlegesek egymásra: a b = 0 a b 6. Feladat. Határozzuk meg a két vektor bezárt szögét, ha tudjuk, hogy: a) a = 3; b = 4, és a b = 6 3 b) a = ; b = 3, és a b = 3 c) a = ; b = 3, és a b = 0 d) a = 0, 5; b = 1, és a b 3 = 47. Házi feladat. Egy vektor hossza 5 egység és skalárisan szoroztuk egy vele 4 fokot bezáró vektorral és az eredmény 10 lett. Mekkora abszolút értékű vektorral szoroztunk? 47. Szorgalmi. Határozzuk meg e 1 és e egységvektorok szögét, ha tudjuk, hogy az összegük vektora és a különbségük vektora ortogonális.

48. óra. Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal 7. 48. óra Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal 7. Feladat. Határozzuk meg az 5; 0) és 4; 4) vektorok skaláris szorzatát! Def. A v v 1 ; v ) és w w 1 ; w ) pontba mutató vektorok skaláris szorzata: v w = v 1 w 1 + v w Tétel. Az a és b vektorok által bezár α szögre fennáll az alábbi: α = arccos ) a b a b 8. Feladat. Határozzuk meg az v 4; 5) és w ; 3) vektorok szögét! 9. Feladat. Igaz-e, hogy a vektorok skaláris szorzata asszociatív? 10. Feladat. Ellenőrizzük a vektorok skaláris szorzatának azonosságait a 3; 1) és ; 4) valamint 1; ) helyvektorokkal, illetve a és 3 skalárokkal! 48. Házi feladat. Határozzuk meg a v 0, 5; 0, 75) és a w 6; 40) vektorok szögét! 48. Szorgalmi. Igazoljuk konkrét vektorokkal, hogy a skaláris szorzat bilineáris! a λ b + c) = λ a b) + a c)

8. 49. óra. Vektorok skaláris szorzata feladatokban 49. óra Vektorok skaláris szorzata feladatokban 11. Feladat. Adott a következő három helyvektor: u ; 1), v 4; ) és w 3; 1). Számítsuk ki az alábbi skaláris szorzatokat és a vektorok által bezárt szögeket! a) u v = b) w u w v = c) u 3 v) w = 1. Feladat. Adott az a 4; ) és a b 3; y) vektor. Adjuk meg y értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra! Milyen y értékekre lesz a két vektor hajlásszöge hegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög? 13. Feladat. Add meg azokat a vektorokat, melyek merőleges a v 5; 0) vektorra! Tétel. Az a x; y) vektor mindig merőleges a b y; x) vektorra. Bizonyítás. Végezzük el a két vektor között a skaláris szorzást: x; y) y; x) = x y) + y x = 0 A skalárszorzat eredménye nulla, vagyis a vektorok merőlegesek. 14. Feladat. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha pontjainak koordinátái: A 4, 3); B 5, 1); C 1, 3) 49. Házi feladat. Adjuk meg a következő vektorok hajlásszögét! a ) 1 5 ; 3 és b 7 ; 9 4 49. Szorgalmi. Adott a 3; ) és b 4; 1) vektor. Mi lehet c, ha a c = 7 és b c = 1? )

50. óra. Vegyes feladatok 9. 50. óra Vegyes feladatok 15. Feladat. Szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutató vektorok legyenek a és b. Fejezzük ki ezekkel a többi csúcsba mutató vektorokat! 16. Feladat. Mekkora szöget zár be a és b vektor, ha a = 3 és b = 4, valamint a) a + b = 7 b) a + b = 1 c) a + b 17. Feladat. Adott a v vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat! = 5 a) v b) 3 v c) 3 4 v 18. Feladat. Két vektor merőleges egymásra, hosszuk 5 és 1 cm. Számítsuk ki az összegük ill. különbségük vektorainak abszolút értékét! 19. Feladat. Adott az a 5; 0.5) és a b 4; y) vektor. Milyen y értékekre lesz a két vektor hajlásszöge hegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög? 0. Feladat. Határozzuk meg a a 6; 8) vektorral párhuzamos, egységnyi hosszúságú vektor koordinátáit! 1. Feladat. Számítsuk ki az A 6; 1), B ; 5), C ; 3) pontok által meghatározott háromszög súlypontját és a háromszög szögeit és oldalainak hosszúságát!. Feladat. Határozzuk meg a v 1; ; 3) és a w 4; 0; 3) vektorok hajlásszögét! 50. Házi feladat. 15 cm oldalhosszúságú szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutató vektorok legyenek a és b. Mekkora a + b és a b hossza? 50. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!

10. 51. óra. Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel 51. óra Háromszög területe oldallal és a közbezárt szöggel Def. Téglalap területe a két szomszédos oldal hosszának szorzata. Def. Derékszögű háromszög területe a két befogó hosszának szorzatának fele. Def. Háromszög területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzatának fele. T = a m a = T = a b sin γ 3. Feladat. Számítsuk ki a háromszög területét, ha az egyik oldala 6 egység, másik oldala 5 egység hosszúságú és a két oldal által bezárt szög 9 fokos! 4. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 5 egység, másik oldala 4 egység hosszúságú és területe 5 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög? 5. Feladat. Egy háromszög területe 1 területegység, egyik oldala 7 egység és 66 fokos szöget zár be az egyik oldallal. Mekkora ennek az oldalnak a hosszúsága? 6. Feladat. Határozd meg a háromszög területét, ha az egyes csúcsainak koordinátái: A 6; 1) B ; 5) C ; 3) A ; 0) B 4; 6) C 3; 7) 51. Házi feladat. Egy háromszög egyik oldala 7 egység, másik oldala 3 egység hosszúságú és területe 10 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög? 51. Szorgalmi. Határozd meg a paraleogramma területét, melynek egyik oldala 10 cm, másik oldala 6 cm és a közbezárt szög 45 fok!

5. óra. Szinusztétel 11. 5. óra Szinusztétel Tétel. Minden háromszögben két oldal hosszának aránya a velük szemközti szögek szinuszainak arányával egyenlő. Bizonyítás. A háromszög területe kétféleképpen kifejezhető, és az így kapott két összefüggést úgy, mint egyenletet egyszerűsítjük és átrendezzük: T = a c sin β = b c sin α = a b = sin α sin β Megjegyzés. Háromszögben az oldal és a szemközti szög szinuszának hányadosa állandó: a sin α = b sin β = c sin γ 7. Feladat. Mekkora a háromszög területe, ha a = 3, α = 30 és β = 70? 8,33) 8. Feladat. Egy háromszög oldala 10 cm és a rajta fekvő szögek 40 és 60. Mekkora a háromszög területe? 8,6 cm ) 9. Feladat. A háromszög egyik oldala 3 egység, a másik oldala 4 egység hosszúságú. Az előbbivel szemközti szög nagysága 45. Mekkora a két másik szög és az oldal? egyik megoldás: 70,53, 64,47, 3,83 másik: 109,47, 5,53, 1,83) 5. Házi feladat. Mekkorák a háromszög oldalai, ha kerülete 14 cm, két szöge 43,8 és 64,7 nagyságú? 5. Szorgalmi. Egy háromszög szögeinek aránya :3:4, és a kerülete 18 cm. Mekkorák a háromszög oldalai?

1. 53. óra. Feladatok 53. óra Feladatok 30. Feladat. Egy háromszög két oldala 10 cm és 8 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szög 33. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? 4,91 ; 104,09 és 14,5 cm másik megoldás: 9,91 ; 137,09 és,53 cm) 31. Feladat. Egy háromszögben két oldal hosszúságának különbsége 7,5 cm és ezen oldalakkal szemben 34,7 -os, illetve 76, -os szög van. Mekkorák a háromszög oldalai? 9,9164; 13,748; 16,91) 3. Feladat. Egy 50 N nagyságú erőt bontsunk fel két olyan összetevőre, amelyek 54 -os illetve 18 -os szöget alkotnak vele! 1,66 N, 81,3 N) 33. Feladat. Egy 84 cm területű háromszög egyik szöge 67,38, egy másik szöge 53,13. Mekkorák az oldalai? 15, 13, 14) 53. Házi feladat. Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenessel három egyenlő részre osztottuk. Mekkora részekre osztják szét ezen egyenesek a szöggel szemközti oldalt? 53. Szorgalmi. Bizonyítsd be, hogy egy háromszög területére felírható az alábbi összefüggés és írd fel a másik oldalakat tartalmazó hasonló alakú képleteket is! T = a sin β sin γ sin α

54. óra. A koszinusztétel 13. 54. óra A koszinusztétel Tétel. A háromszög oldalainak és egyik szögének összefüggései: c = a + b a b cos γ b = a + c a c cos β a = b + c b c cos α Bizonyítás. Legyen CA = b, CB = a, és AB = c. Ekkor c = b a négyzetre emelve: ) c = b a = b b a + a A vektor önmagával vett skalárszorzata a hossznégyzet, valamint megjelent a képletben az a és b skaláris szorzata. A tétel a másik két szögre is felírható és ugyanígy belátható. 34. Feladat. Egy teste két erő hat, az egyik 4 N, a másik 18 N nagyságú. Mekkora a testre ható eredő erő, ha tudjuk, hogy két vektor által bezárt szög 87 54? 35. Feladat. Két hajó 110 -ot bezáróan indul el a kikötőből. Az egyik sebessége 18 km/h, a másiké 48 km/h. Milyen messze vannak egymástól 3 óra 40 perc múlva? 36. Feladat. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha oldalai 6; 9; 1 egység hosszúságúak! 37. Feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 1,5 dm; 63 cm; 0,98 m? 54. Házi feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 51 dm; 40 cm; m? 54. Szorgalmi. Bizonyítsd be a koszinusztételt geometriai úton! 1 1 Ötlet: a háromszöget bontsd fel két derékszögű háromszögre!

14. 55. óra. Feladatok koszinusztételre 55. óra Feladatok koszinusztételre 38. Feladat. Egy R sugarú körben egy 1 cm hosszúságú húr 4 -os szöget zár be a kör 15 cm hosszúságú húrjával. Mekkora a kör sugara? 39. Feladat. Egy háromszög területe 96 cm, egyik oldala 1 cm, a rajta fekvő egyik szög 30. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei? 40. Feladat. Egy háromszög területe 30,64cm, egyik oldala 8 cm, másik 10 cm hosszúságú. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei? 55. Házi feladat. Falióra kismutatója 10 cm, nagymutatója 14 cm hosszúságú. Milyen távol van egymástól a két mutató végpontja 10 órakor? 55. Szorgalmi. Húrnégyszög oldalai rendre 40cm, 5cm, 68cm és 60cm hosszúak. Mekkorák a szögei?

56. óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 15. 56. óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 41. Feladat. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 8 cm és ez 38 15 -es szöget zár be a trapéz 1,6 cm hosszú átlójával. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek? 4. Feladat. Egy háromszög két oldalának hossza 14,8 cm és 8, cm. A harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 10,4 cm. Határozzuk meg a harmadik oldal hosszát! 43. Feladat. Egy paralelogramma egyik oldala 4 cm, másik oldala 7 cm hosszúságú és két átló hossza közötti különbség cm. Mekkorák az átlók? 44. Feladat. Egy síktükörtől az A pont 38 cm-re van, míg a B pont 65 cm-re. Az A pontból kiinduló fénysugár 1 45 -es beesési szögben érkezik a síktükörre, majd a visszaverődés után B pontba jut. Mekkora az AB távolság? 45. Feladat. Egy 00 méter magas toronyból A pont 38 17 -es lehajlási szög alatt látszik, míg B pontnál ez 46 4. A lehajlási szögek mérése során vízszintesen 78 36 -es szöggel kellett elforgani a távcsövet. Mekkora az A és B távolsága? 56. Házi feladat. Egy paralelogramma területe 457,6 cm, egyik oldala 14, cm, egyik szöge 3 18. Számítsuk ki a másik oldalt és a hosszabbik átlót! 56. Szorgalmi. Milyen hosszúak az óramutatók, ha végpontjaik órakor 13 cm-re, míg 9 órakor 17 cm-re vannak egymástól?

16. 57. óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 57. óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 46. Feladat. Egy háromszög oldalai 6 és 7 egység hosszúak. A rövidebbel szemközti szög 40. Mekkora a beírt kör sugara? 47. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 50 cm és a rajta fekvő szöveg 75 és 70 fokosak. Mekkora a megadott oldalhoz tartozó súlyvonal hossza? 48. Feladat. Egy háromszög két oldalának összege 1 cm és 30 -os szöget zárnak be. A háromszög területe 8 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 49. Feladat. Egy háromszög két oldalának aránya 3 : 5 és az általuk bezárt szög 4,7. A háromszög területe 50,4 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 50. Feladat. Egy háromszög területe 4 cm. Két oldala 7,3 cm és 1,8 cm. Mekkora a harmadik oldala? Mekkorák a szögei? 57. Házi feladat. Egy háromszög területe 58 dm. Egyik oldala 8,7 dm és az ezen az oldalon lévő egyik szöge 4,15. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei? 57. Szorgalmi. Egy paralelogramma átlóinak hossza e és f, az átlók által bezárt szög nagysága ϕ. Igazold, hogy a paralelogramma területe: T = e f sin ϕ

58. óra. Vegyes feladatok 17. 58. óra Vegyes feladatok 51. Feladat. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög pedig 40. Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja legyen D. a) Számítsd ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! 7,7 cm) b) Számítsd ki az AB oldal hosszát! 9,1 cm) c) Határozd meg az AEDC négyszög területét! 40,5 cm ) 5. Feladat. Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög 50 és 60. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira. E három pont a háromszög csúcsaival együtt egy konvex hatszöget alkot. a) Mekkorák a hatszög szögei? 115 ; 10 ; 15 ; 115 ; 10 ; 15 ;) b) Számítsd ki a hatszög azon két oldalának hosszát, amely a háromszög 60 -os szögének csúcsából indul! 3,1 cm mindkettő) c) Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? 5,4 cm ) 53. Feladat. Egy ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, CDA = 47 a) Számítsd ki az ABC háromszög területét! 70 mm ) b) Számítsd ki háromszög BC oldalának hosszát 60 mm) c) Számítsd ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! 30 ) 58. Házi feladat. Az ABC háromszög körülírt körének sugara 6 cm, BAC = 60 a) Számítsd ki a BC oldal hosszát! b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal 3b cm hosszúságú? A keresett értékeket egy tizedesjegyre kerekítve add meg! 58. Szorgalmi. Az ABC háromszögben AB=, AC=1, a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. Mekkora a BC oldal és a terület?

18. 59. óra. Addíciós tételek 59. óra Addíciós tételek Állítás. A szögfüggvények periodikusak, így minden k Z esetén: sinx) = sinx + kπ) cosx) = cosx + kπ) tgx) = tgx + kπ) ctgx) = ctgx + kπ) Állítás. A szögfüggvények fontosabb szimmetriái a következők: sin x) = sinx) sin π x) = cosx) sin π x) = + sinx) cos x) = + cosx) cos π x) = sinx) cos π x) = cosx) tg x) = tgx) tg π x) = ctgx) tg π x) = tgx) ctg x) = ctgx) ctg π x) = tgx) ctg π x) = ctgx) Tétel. A trigonometria alaptétele: cos α + sin α = 1 Tétel. Az addíciós összefüggések összegre vonatkozóan: a) cosx y) = cosx) cosy) + sinx) siny) b) cosx + y) = cosx) cosy) sinx) siny) c) sinx + y) = sinx) cosy) + cosx) siny) d) sinx y) = sinx) cosy) cosx) siny) 54. Feladat. Írd fel a cos x és a sin x addíciós összefüggését! 55. Feladat. Az addíciós tételek segítségével számold ki a 75 és a 15 koszinuszának illetve szinuszának pontos értékét! 59. Házi feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket! a) sinπ α) + sinπ + α) π ) π ) b) cos 3 α + cos 3 + α 59. Szorgalmi. Igazold, hogy x R -re teljesül: sin x = sin x cos x

60. óra. Trigonometrikus egyenletek 19. 60. óra Trigonometrikus egyenletek 56. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) sin x = 1 e) cos x = 1 b) sin x = 0, 5 f) cos x = 0, 5 c) sin x = 1 g) cos x = 1 d) sin x = 0, 5 h) cos x = 0, 5 57. Feladat. Adjuk meg az alábbi egyenletek megoldását fokban és radiánban is! a) sin x + π ) = 3 3 b) cos 3x π ) = 1 4 60. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! π ) a) sin 3 x 1 = 0 b) cos 4x π ) = 3 3 x c) sin 3 π ) = 1 4 60. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! tg x + π ) 3 = 0 4

0. 61. óra. Trigonometrikus egyenletek 61. óra Trigonometrikus egyenletek 58. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a [ 4π; 4π] intervallumon! a) sin 3x = sin x b) cos x = cos 4x c) tg 5x = tg x d) sin x π ) = sin x + π ) 4 3 e) cos x π ) = cos x π ) 4 3 61. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin x π ) = sin x 4 59. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! tg x = cos x

6. óra. Trigonometrikus egyenletek 1. 6. óra Trigonometrikus egyenletek 60. Feladat. Használd a másodfokú egyenletet megoldóképletét! a) sin x + 11 sin x 6 = 0 b) cos x + 11 cos x 6 = 0 c) cos x = 5 cos x + 3 d) sin x = 3 cos x + sin x 6. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin x = 7 sin x + 61. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! cos x + 3 sin x = 3

. 63. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 63. óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 61. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! ) π a) cos x + 4 cos x = 3 sin x 3 + kπ; 5π 3 + kπ; k Z b) cos x = 4 5 sin x ) π 6 + kπ; 5π 6 + kπ; k Z c) sin x = sin x + 3 ) 3π + kπ; k Z d) sin x π ) = 1 6 ) π 3 + kπ; kπ; π + kπ; 4π 3 + kπ; k Z 63. Házi feladat. Add meg a következő egyenleteket [0; π] intervallumon! a) sin α = 1 c) sin α = b) cos α = 0, 5 d) cos x + 3 cos x = 0 6. Szorgalmi. Oldd meg a valós számok halmazán! cos x = sin x

64. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 3. 64. óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 6. Feladat. Add meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre az alábbi kifejezés nem értelmezhető: k = 5 cos x 90 + n 180 ; n Z) 63. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 1 sin x = cos x x = π ) 6 + k π; k Z b) 1 sin x cos x = 1 x 0, 6435 + k π; k Z) c) ctgx sin x = 3 π 6 + kπ; π 6 + kπ; k Z ) d) cos x π ) = sin x 3 5π 9 + 4 ) 3 kπ; π 3 + 4kπ; k Z 64. Házi feladat. Oldd meg az alábbi feladatot! 3 sin x = 4 cos x 63. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi feladatot! 1 cos x sin x = 1

4. 65. óra. Trigonometrikus függvények 65. óra Trigonometrikus függvények 64. Feladat. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) fx) : R R; x sinx π) b) gx) : R R; x cos x π ) c) hx) : R R; x 1 cosx) + 1 d) ix) : ]0; π[ R; x tg x π ) e) jx) : ] π ; π [ R; x ctg x + π ) 65. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt! kx) : R R; x 1 sinx) + 1 64. Szorgalmi. Adott a gx) = ctg x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke? π ) π ) g + g 6 4

66. óra. Trigonometrikus függvények 5. 66. óra Trigonometrikus függvények 65. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket grafikus és algebrai úton! a) sin x + π ) 3 = 3 b) tg π ) 6 x = 3 c) cos x = 1 d) sin x ) = 1 66. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt! kx) : R R; x 1 cosx) + 1 65. Szorgalmi. Adott a hx) = tg x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke? π ) π ) g + g 6

6. 67. óra. Összefoglalás 67. óra Összefoglalás 66. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) cos 4x π ) = 3 5π 1 + kπ ; π 3 + kπ ) ; k Z b) sin x 3π 4 ) = π 4 + k π; k π; k Z ) c) tg x + π ) = 1 3 3 π 4 + kπ ; 5π 1 + kπ ) ; k Z d) sin x + 5 cos x 4 = 0 ) π 3 + kπ; 5π 3 + kπ; k Z 67. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin 10x + π ) = sin x + 3π ) 66. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! sin 3x + 3π 4 ) = sin x 5π 3 )

68. óra. Dolgozat írása 7. 68. óra Dolgozat írása kedd