1 Kocka perspektivikus ábrázolása Bevezetés Előző három dolgozatunkban ~ melyek címe: 1. Sínpár perspektivikus ábrázolása, 2. Sínpár perspektivikus ábrázolása másként, 3. Sínpár perspektivikus ábrázolása megint másként ~ egyszerűbb helyzetekben igyekeztünk egy sínpár pontos centrális vetületeit előállítani. Az ennek során kapott képeket egy -, illetve két - iránypontos perspektívának nevezzük. Az ezeknél általánosabb három - iránypontos perspektíva felderítését, alkalmazását tűztük célul magunk elé, a jelen dolgozatban. Ezt nem úgy tesszük, hogy az előző dolgozatokban alkalmazottakat fejlesztjük tovább, mert ezt már korábban megtettük. Vagyis elővesszük az évekkel ezelőtt felírt képleteinket, melyeket 4. A perspektivikus ábrázolás alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról 2. rész című dolgozatunkban vezettünk le. A továbbhaladás előtt érdemes lehet ezt átnézni, mert nem ismételjük meg az ottani levezetéseket. A konkrét feladatunk: egy kocka perspektivikus ábrázolása. Mielőtt nekilátnánk a megoldásnak, idézzük fel, mire jutottunk eddig! Az 1. és a 2. előző dolgozatban a képsíkot olyan speciális helyzetben vettük fel, hogy az párhuzamos volt a talpfákkal, vagy másként: merőleges volt a sínekre. Ez eredményezte az egy - iránypontos perspektívát. A 3. előző dolgozatban már elfordítottuk a fejünket, vagyis a képsík egy hegyesszöget zárt be a talpfákkal. Ez eredményezte a két - iránypontos perspektívát. A továbblépés ezekhez képest úgy valósul meg, hogy a képsíkot két tengely körül is elforgatjuk, egy alaphelyzethez képest. Ezek az elforgatási szögek éppen a képsík normális egységvektorának gömbi polárkoordinátái, melyeket az ábrázolandó test leírására szolgáló globális, vagy azzal párhuzamos lokális k. r. - ben értelmezünk, illetve alkalmazunk, a 4. előző dolgozatban részletezett módon. A feladat alaphelyzete és a megoldás alapképletei Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt összefoglaltuk az alkalmazott merőleges perspektíva legfontosabb adatait, illetve geometriai tudnivalóit. Ez alapján készültek a 4. előző dolgozat számításai, melyeket itt nem ismétlünk meg, hiszen ott azok megtalálhatók. Feladatunk általános megfogalmazása az alábbi:
2 1. ábra ~ adott: a P tárgypont ( X, Y, Z ) koordinátáival, a C vetítési középpont ( X C, Y C, Z C ) koordinátáival, a Π képsík és a C centrum t távolsága, a Π képsík v 0 normálvektorának ( 1, ψ, ϑ ) adatai, az L léptéktényező; ~ keresett: a képsíkbeli K képpont ( x K, y K ) képkoordinátái. A megoldás - képletek a 4. előző dolgozat szerint az alábbiak: x y K K X X C sin D Y YC cos D X X Y Y Z Z ' L t. cos sin sin sin cos C D D C D D C D X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z C cos D cos D C sin D cos D C sin D ' L t. cos sin sin sin cos C D D C D D C D ( E1 ) ( E2 )
3 A továbbiakban a D indexet elhagyjuk, így: ( 1 ) ( 2 ) A kocka - ábrázolás kivitelezése Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt egy kocka axonometrikus képét mutatjuk, a csúcsok és az élek betűjelzéseivel. Az él - egyenesek ábrázolásával a kockát is ábrázoltuk, így elegendő az élek egyenleteit felírni, majd ezek segítségével az egyenesüket ábrázolni. Az egységnyi élhosszúságú kocka ( a = 1 m ) 12 él - egyenesének jellemzőit az alábbi táblázatban foglaltuk össze. N o e X Y Z 1. e AB X = X Y = 0 Z = 0 2. e CD X = X Y = 1 Z = 0 3. e AD X = 0 Y = Y Z = 0 4. e BC X = 1 Y = Y Z = 0 5. e EF X = X Y = 0 Z = 1 6. e GH X = X Y = 1 Z = 1
4 7. e EH X = 0 Y = Y Z = 1 8. e FG X = 1 Y = Y Z = 1 9. e AE X = 0 Y = 0 Z = Z 10. e FB X = 1 Y = 0 Z = Z 11. e HD X = 0 Y = 1 Z = Z 12. e CG X = 1 Y = 1 Z = Z ( T ) Az él - egyenesek egyenletei közül az elsőt részletezzük, a többit csak közöljük. Adatok a számításokhoz, a ( T ) táblázaton kívül: ~ a C vetítési középpont koordinátái: ~ a Π képsík szögparaméterei: ~ a C centrum és a Π képsík távolsága: ~ a léptéktényező: ( A ) 1. e AB egyenletei ( 1 ), ( T1 ) és ( A ) szerint: ( 3 ) Hasonlóan:
5 ( 4 ) 2. e CD egyenletei ( 5 ) ( 6 ) 3. e AD egyenletei ( 7 ) ( 8 ) 4. e BC egyenletei ( 9 ) ( 10 ) 5. e EF egyenletei ( 11 ) ( 12 )
6 6. e GH egyenletei ( 13 ) ( 14 ) 7. e EH egyenletei ( 15 ) ( 16 ) 8. e FG egyenletei ( 17 ) ( 18 ) 9. e AE egyenletei ( 19 ) ( 20 ) 10. e BF egyenletei ( 21 ) ( 22 )
7 11. e DH egyenletei ( 23 ) ( 24 ) 12. e CG egyenletei ( 25 ) ( 26 ) Az egyeneseket a Graph rajzoló programmal ábrázoltuk 3. ábra. 3. ábra Látjuk, hogy jól kirajzolódik a 3 db iránypont.
8 Az iránypontok képkoordinátáinak számítása Ehhez bármelyik, az adott iránypontba befutó egyenes használható. Most ( 3 ) - ból: I 1 számítása: ( 29 ) Majd ( 4 ) - ből: ( 30 ) Ezek jól egyeznek a 3. ábráról leolvasható értékekkel. Most ( 7 ) - ből: I 2 számítása: ( 27 ) Majd ( 8 ) - ból: ( 28 )
9 Ezek is jól egyeznek a 3. ábráról leolvasható értékekkel. Most ( 19 ) - cel: I 3 számítása: ( 31 ) Majd ( 20 ) - szal: ( 32 ) Ezek is jól egyeznek a 3. ábráról leolvasható értékekkel. A 4. ábrán csak a kocka képét rajzoltattuk meg a Graph - fal, segédegyenesek nélkül. 4. ábra
10 Megjegyzések: M1. [ 1 ] - ben ezt olvastuk: Perspektívában nem a pont, hanem az egyenes ábrázolása elsődleges; pontot a pontra illeszkedő egyenes segítségével ábrázolunk. Ezt a tanácsot itt mi is megfogadtuk: nem kezdtük el ábrázolni a kocka csúcsait, majd a csúcspontokat egyenesekkel összekötni; ehelyett az él - egyeneseket ábrázoltuk, melyek megfelelő metszéspontjai kiadták a csúcsok képét is. M2. Az 1. ábrán a v 0 egységvektor szakaszát jelentősen nagyobbra rajzoltuk, mint a többi egységvektorét. Tekintsük úgy, mintha ez egy kinagyítás lenne, hiszen egyébként nem tudtuk volna odarajzolni, amit kell. M3. Úgy véljük, hogy az 1. ábrát érdemes alaposan tanulmányozni, róla saját vázlatokat is készíteni. Úgy tűnik, sikerült jól összerakni. M4. Meglepő lehet, hogy ennyit küzdünk egyenletek felírásával, majd egy egyszerűbb függvényábrázoló program használatával. Nos, erre azt mondhatjuk, hogy ez egyfajta átmenet a régi rajzolós és az új és fejlett számítógépes megoldások között. Amúgy meg nem sűrűn lehet találkozni az itteni megközelítéssel. Ami érthető is. Irodalom: [ 1 ] Lőrincz Pál ~ Petrich Géza: Ábrázoló geometria 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985., 106. o. Sződliget, 2015. 12. 21. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár