Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018. 3. feladatsor 5.-6. évfolyam Összegek összege, Bűvös négyzet, Bűvös háromszög és egyebek Sok feladatban számokat kell egy geometriai alakzat kijelölt részeiben elhelyezni, melyek így aztán bizonyos számtani szempont alapján bűvösnek neveztettek el. Bűvös négyzetet úgy készíthetünk, hogy egy négyzetet az oldalaival párhuzamos egyenesekkel ugyanannyi sorra és oszlopra osztunk fel. Ezt a négyzetet úgy töltjük ki megadott számokkal, hogy minden sorban, oszlopban és az átlók mentén is ugyanannyi legyen a számok összege. A következő feladatok is bizonyos számok adott helyekre történő szétosztásának módozatait taglalják remélhetően érthető és kellően érdeklődést felkeltő módon. Mindenkinek jó szórakozást a szórakoztató elmecsiszoláshoz! Mintapéldák 1.) Az 1-től 12-ig terjedő számokat írjuk be az ábrán látható kis körökbe úgy. hogy a külső körön levő számok összege kétszerese legyen a belső körön levő számok összegének, és a belső körre csak páros számok kerüljenek! Mivel 1-től 12-ig a számok összege 78 és 78:3 = 26, belső körön levő számok összege 26. Egy lehetséges megoldás, ha a belső körre írjuk a 12, 8, 4 és 2 számot, a többit a külsőre. a 2.) Egy gyorsvonat egyik fülkéjében 7-en utaztak. Két gyerek a hosszú úton azzal szórakozott, hogy a fülkében mindenkit megkérdezett, hány embert ismer (régebbről) a velük egy fülkében utazók közül. Sorra ezeket a válaszokat kapták: 1, 3, 4, 5, 2, 4, 2 (az ismeretség kölcsönös). Rövid gondolkodás után rájöttek, hogy nem mindenki mondott igazat. Hogyan?
Adjuk össze a válaszul kapott számokat: az összeg páratlan. Azonban ennek az összegnek párosnak kell lennie, hiszen ez az ismeretségek számának kétszerese. Emiatt a felsorolt számok között van hibás válasz. 3.) Készítsünk bűvös háromszöget! Írjuk a három csúcsához az 1, 2, 3 számokat! A 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat írjuk úgy a háromszög oldalaira, hogy a csúcsokat is beleszámítva, minden oldalon 17 legyen a számok összege. 1-től 9-ig a számok összege 45. A 3 17 = 51-ből úgy lesz 45, hogy a csúcsokon levő számok összegét, 6-ot, elvesszük, hiszen ezek kétszer szerepelnek. Az egyik oldalon 12, a másikon 13, a harmadikon 14 kell, hogy legyen a ráírt két szám összege. 12 = 9 + 3 = 8 + 4 = 7 + 5, 13 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6, 14 = 9 + 5 = 8 + 6. Ezekből két megoldás adódik: 4.) Egy 4 4-es táblázatba lehet-e számokat írni úgy, hogy mindegyik sorban a számok összege pozitív, s mindegyik oszlopban a számok összege negatív legyen? Ha a táblázatban levő számok összegét úgy számoljuk, hogy a soronkénti összegeket adjuk össze, akkor ez pozitív lesz. Ha az oszloponkénti összegeket adjuk össze, negatív lesz. Tehát nem lehet a táblázatot a kívánt módon kitölteni. Gyakorló feladatok 1.) A táblázat üres mezőibe írj be számokat úgy, hogy bármely oszlopban vagy sorban 3 szomszédos szám összege 123 legyen! 2.) Készíts az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok felhasználásával bűvös háromszöget úgy, hogy minden oldalon 20 legyen a számok összege! 3.) Helyezz el 1-től 9-ig a számokat egy 3 3-as táblázatban úgy, hogy az első sorban a számok összege 6, a másodikban 16, a harmadikban 23, az első oszlopban 14, a másodikban 12, a harmadikban pedig 19 legyen!
4.) Lehet-e egész számokat írni a körökbe úgy, hogy az öt vonal mindegyikén a négy szám összege páratlan legyen? Kitűzött feladatok 1.) Hány különböző bűvös négyzet készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokból? Írj föl ezekből 4-et! 2.) Felírhatjuk-e egy kocka éleire 1-től 12-ig az egész számokat úgy, hogy az egy-egy csúcsba befutó három élen levő szám összege ugyanannyi legyen? 3.) Egy kör alakú asztalnál 17-en ülnek. Mindenki gondol egy egész számra, majd mindenki felírja egy cédulára két szomszédja számának az összegét. Bizonyítsuk be, hogy nem állhat minden cédulán 2017! 4.) Az alábbi táblázatot egészítsd ki 1-től 16-ig terjedő számokkal, hogy bűvös négyzetet kapj! Beküldési határidő: 2017. 02. 01. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018. 3. feladatsor 7.-8. évfolyam Összeszámlálási problémák Az összeszámlálási problémák vizsgálatával a matematikának egyik ága, a kombinatorika foglalkozik. A kombinatorikai feladatok nagyon szerteágazóak, éppen ezért nehéz őket típusfeladatok szerint rendezni. Ennek ellenére körvonalazhatunk bizonyos speciális kombinatorikai feladatokat, illetve megoldási módszereket. Sorba rendezési problémák: Ezek esetében azt vizsgáljuk, hogy bizonyos számokat, betűket, tárgyakat vagy egyéb objektumokat hányféleképpen helyezhetünk egymás után. Természetesen létezhetnek olyan esetek is, amikor a tárgyak között vannak egyformák, vagy a sorba rendezés során ki van kötve, hogy bizonyos tárgyak nem állhatnak egymás mellett. Kiválasztási problémák: Ebben az esetben azt vizsgáljuk, hogy egy bizonyos halmaz elemeiből hányféleképpen választhatunk ki bizonyos részhalmazokat. A feladatokban létezhetnek olyan kikötések is, hogy például egy vagy több kitüntetett elemnek feltétlenül szerepelnie kell a kiválasztott részhalmazban. A kombinatorikai feladatok megoldási módszerei nagyon változatosak, egy bizonyos feladatra több megoldási módszer is létezik, amint az alábbiakban is kiderül. Mintapéldák 1.) András, Béla, Csaba, Dorka, Enikő és Fanni moziba mennek. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellett, ha: a) az ültetés sorrendjére vonatkozóan nincs semmiféle kikötés (bárki leülhet bárki mellé); b) Csaba és Dorka feltétlenül egymás mellett akarnak ülni; c) két fiú nem ülhet egymás mellett; d) András és Béla nem ülhet egymás mellett. Megoldás: a) Ebben az esetben 6 személy sorba rendezéséről van szó. Az összes eset felsorolása is egy megoldása a feladatnak, viszont ebben az esetben kissé nehézkes lenne. Ezért a következő gondolatmenet a célravezetőbb. Az első székre 6 személy közül választhatunk, a másodikra viszont már csak 5 személy közül (mivel az első székre már valakit leültettünk), a harmadik székre már csak 4 személy közül, és így tovább, míg az utolsó székre már csak egy személy kerülhet. Tehát a 6 személyt 6 5 4 3 720 féleképpen ültethetjük le.
b) Mivel Csaba és Dorka egymás mellett akarnak ülni, ezért kezdetben helyezzük el őket úgy, hogy Csaba a Dorka jobb oldalára kerüljön. Ilyen módon 5 elem sorba rendezéséről van szó, amennyiben a Csaba-Dorka párost egy elemnek tekintjük. Ez pedig, az előző feladat mintájára, 5 4 3 120 módon lehetséges. Viszont az említett két személy egymás mellé ültetését úgy is meg lehet oldani, hogy Csaba a Dorka bal oldalára kerüljön, ez pedig újabb 5 4 3 120 lehetőséget rejt magában. Tehát összesen 20 240 olyan lehetőség van, hogy Csaba és Dorka egymás mellett üljenek. c) Az, hogy két fiú ne üljön egymás mellé, többféle módon is elképzelhető. Ilyenkor az esetek szétválasztásáról beszélünk. Egy lehetséges eset a következő: F L F L F L (ahol az F betű fiút, az L betű pedig lányt jelent), így pedig az ültetéseket 3 3 1 36 módon valósíthatjuk meg. Az összes ültetési módozatot a következő táblázatban foglaljuk össze: F L F L F L 3 3 1 36 lehetőség L F L F L F 3 3 1 36 lehetőség F L F L L F 3 3 1 36 lehetőség F L L F L F 3 3 1 36 lehetőség Tehát a fenti táblázat is mutatja, hogy összesen 4 36 144 lehetőség van. d) Ebben az esetben egy lehetséges megoldás volna, hogy megkeresünk minden olyan esetet, ahol Andrást és Bélát nem egymás melletti székekre ültetjük, majd a többi személyt az üresen maradt székekre helyezzük el. Beláthatjuk, hogy ezeknek a módozatoknak a felsorolása (esetleg az előző feladat mintájára ezeknek táblázatba foglalása) és a lehetőségek összeszámlálása viszonylag időigényes. Éppen ezért egy más gondolatmenetet választunk. Az a) alpontban kiszámítottuk, hogy az összes ültetési lehetőség 720 (ebben természetesen benne vannak azok az esetek is, amikor András és Béla egymás mellett ülnek). Azok a lehetőségek viszont, amikor András és Béla egymás mellett ülnek, tiltva vannak. Ezeknek a tiltott lehetőségeknek a száma viszont 240 (ez következik a feladat b) alpontjának mintájára). Tehát az összes lehetőségből (720) kivonva a tiltott lehetőségek számát (240), következik, hogy 720 240 480 olyan ültetési lehetőség van, ahol András és Béla nem ülnek egymás mellett. 2.) A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekkel háromjegyű számokat képezünk, úgy, hogy minden számjegyet legfeljebb egyszer használunk fel. Hány olyan természetes számot írhatunk fel, amely: a) 300-nál kisebb; b) hárommal osztható; c) néggyel osztható; d) számjegyeinek összege legfeljebb 10.
Megoldás: a) A 300-nál kisebb háromjegyű számok képzésénél a százasok helyére két számjegy (1 és 2) közül egyet választhatunk. A tízesek helyére a megmaradt 5 számjegy, míg az egyesek helyére a továbbiakban megmaradt 4 számjegy közül választhatunk. Tehát összesen 5 4 40 számot képezhetünk. b) Hárommal osztható számok esetében a számjegyek összege hárommal osztható, ezért első lépésben azokat a számhármasokat választjuk ki, amelyek összege osztható hárommal. Második lépésben megvizsgáljuk, hogy az így kiválasztott számhármasokból hányféleképpen alkothatunk háromjegyű számokat. Megfigyeléseinket táblázatba foglaljuk: Megfelelő számhármasok Lehetőségek száma 0; 1; 2 4 0; 1; 5 4 0; 2; 4 4 0; 4; 5 4 1; 2; 3 3 6 1; 3; 5 3 6 2; 3; 4 3 6 3; 4; 5 3 6 Tehát összesen 4 4 4 6 40 háromjegyű, hárommal osztható számot képezhetünk a fenti számjegyekből. c) A néggyel osztható számok esetében az utolsó két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Ezért kiválasztjuk ezeket a kétjegyű számvégződéseket: 04; 12; 20; 24; 32; 40; 52. A 04; 20; 40 végződésű számok esetében a százasok helyére a fennmaradó 4-4 számjegy közül bármelyik kerülhet, ezért ez összesen 3 4 12 különböző számot jelent. A 12; 24; 32; 52 végződésű számok esetében a százasok helyére csak 3-3 számjegy kerülhet (mivel a 0 nem állhat a százasok helyén), ezért ez 4 3 12 számot jelent. Tehát összesen 12 12 24 darab néggyel osztható háromjegyű számot képezhetünk az említett számjegyekből. d) Könnyen belátható, hogy csak a 3, 4, 5, illetve 2, 4, 5 számjegyekből alkotott háromjegyű számok nem felelnek meg a feltételnek. Ezért könnyebben célt érünk, ha először megvizsgáljuk, hogy összesen hány számot alkothatunk a feladatban szereplő számjegyekből, ezeknek a száma 5 5 4 100. Ebből elvesszük azokat a számokat, amelyek nem felelnek meg a feltételnek, ezek száma 6 6 12 (ugyanis a 3, 4, 5, illetve 2, 4, 5 számjegyekből 6-6 háromjegyű szám képezhető). Tehát összesen 100 12 88 olyan háromjegyű szám képezhető, amelyekben a számjegyek összege legfeljebb 10.
3.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek szorzata 1008? Megoldás: Ki kell választanunk az összes olyan négy számjegyből álló halmazt, amelyekre 4 2 érvényes, hogy az elemek szorzata 1008. Ehhez kezdetben tekintsük az 1008 2 3 7 prímtényezős felbontást. Mivel a feladatban szereplő négyjegyű természetes szám számjegyeinek szorzata 1008, ezért a prímtényezős felbontás segítségével meg kell találnunk azt a négy számjegyet, amelyek szorzata 1008. Több eset lehetséges, amint az alábbi táblázatban összefoglalhatjuk: Számjegyek Sorba rendezési lehetőségek száma 2 ; 2 3 8; 3 2 9; 7 4 3 24 3 6; 3 6; 2 2 4 ; 7 4 3 2 1 12 2 2 2 4 ; 2 2 4 ; 3 2 9; 7 4 3 2 1 12 2 3 6; 3; 2 3 8; 7 4 3 24 Tehát összesen 24 12 12 24 72 ilyen szám van. Megjegyzésünk, hogy a második sorban a lehetőségek számának a kiszámításakor azért osztottunk 2-vel, mert a két darab 6-os számjegy kétszer szerepel ugyanabban a számban (felcserélt sorrendben) ezért ez a lehetőségek számát felére csökkenti (mivel a két 6-os egymás közötti felcserélése nem eredményez más számot). Ugyanilyen megfontolással a harmadik sorban a két 4-es számjegy jelenléte miatt osztottunk 2-vel. 4.) Béla leírta 1-től 1000-ig a természetes számokat, majd kihúzta azokat, amelyekben volt 0 és 1 számjegy. a) Hány szám maradt meg? b) Melyik szám áll a megmaradt számok között a 100. helyen? Megoldás: a) Ha kivesszük a 0 és 1 számjegyeket tartalmazó számokat, akkor csak a többi 8 számjegy felhasználásával képezhető számok maradnak. Tehát az egyjegyűek közül összesen 8 szám maradt. A megmaradt kétjegyűek száma 8 8 64, míg a háromjegyűeké 8 8 8 512. Ezért összesen 8 64 512 584 szám maradt. b) Mivel az egyjegyűek és kétjegyűek száma összesen 8 64 72, ezért a 100. szám biztosan háromjegyű, mégpedig a 100 72 28-adik háromjegyű szám. Tehát vizsgáljuk meg (növekvő sorrendben) a kihúzás után maradt háromjegyű számokat: 100 219 között: 0 darab 220 229 között: 8 darab 230 239 között: 8 darab A fenti gondolatmenetet folytatva adódik, hogy a 28. háromjegyű szám a 250 259 tartományban található 4. megmaradt szám, ez pedig a 255.
Gyakorló feladatok 1.) Pontoskodónak nevezzük azt a természetes számot, amelyben a számjegyek pontosan annyiszor szerepelnek, amennyi a számjegy. Hány legfeljebb hatjegyű pontoskodó szám van? 2.) Hány olyan ötjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek szorzata megegyezik a számjegyek összegével? 3.) Béla leírta az összes olyan ötbetűs (értelmes és értelmetlen) szót, amelyek az A, Á, D, L és N betűkkel alkothatók (minden betű egy szóban csak egyszer szerepelhet), majd ezeket ábécé sorrendbe helyezte. Hány szó található a DALÁN és NÁLAD szavak között? 4.) Egy kocka csúcsaira egymás utáni természetes számokat írunk, és az éleire az élek végeinél levő két csúcsban található számok összegét. Majd minden lapra az illető lapot határoló élekre írt számok összegét írjuk. A lapokon lévő számok összege 312. Milyen természetes számokat írtunk a kocka csúcsaiba? Kitűzött feladatok 1.) Béla három szabályos dobókockával dob. Feljegyzi a dobókockák felső lapján levő pontok számértékét, ha ezek összege 12. Ezekkel a számjegyekkel leírja az összes különböző háromjegyű természetes számot. a) Összesen hány ilyen számot alkothat? b) Az ilyen módon alkotott számokat növekvő sorrendbe helyezi. Melyik szám szerepel a 14. helyen? 2.) Hány olyan háromjegyű természetes szám van, amelyek számjegyei nem nagyobbak, mint 4, és amelyekben van legalább két egyforma számjegy? 3.) Hány olyan ötjegyű páratlan természetes szám van, amelyben a számjegyek összege páratlan? 4.) Két párhuzamos egyenes közül az egyiken öt, a másikon hat különböző pont található. a) Összesen hány különböző egyenest határoz meg ez a 11 pont? (Egy egyenest két pont kiválasztása egyértelműen meghatároz.) b) Hány különböző háromszöget határoznak meg ezek a pontok? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: 2018. 02. 01. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.