1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való szorzás: Legyen a (7; 3), akkor a kétszeres szorzata 2 a (14; 6) 2 2 Vektor hossza: Legyen a (7; 3), akkor a hossza a 7 3 49 9 58 7, 62 Két pont távolsága: Legyen A(2; 5) és B(3; 4), ekkor AB 2 2 2 2 3 2 4 5 1 1 1 1 2 1, 41 Skaláris szorzat: a b a b a és a b a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 1 2 b2 1.) Adottak a következő vektorok: a (3; 5), b ( -1; 6), c (,5; - 7), d ( 2; - 4), e (; 5) a) Határozd meg a vektorok hosszát! b) Határozd meg a következő műveletekkel megadott vektorok koordinátáit! a +b + c + d ; 2 a + 3 c ; b d ; 5 e c + 6b Kék FGY: 266.o./ 3499. 2.) Számítsd ki a következő pontok távolságát az origótól! A(2; 4) B(- 6; - 4) C( - 5; 7) D( - 9; - 8) E( 1; -15) F( - 2; - 65) Kék FGY: 266.o./ 4398., 3.) Számítsd ki a következő pontok távolságát! a) (1; 3) és (2; 5) b) (4; 6) és ( - 2; 5) c) (- 6; - 8) és (8; - 7) KÉK FGY: 266.o./35. a-f., 358. a., (+)352., 354. 5 4 7 3 Szakasz felezőpontja: Legyen A(5; 7) és B (4; 3), ekkor a felezőpont F ( ; ) (4,5;5 ) 2 2 Példa osztópontra: A(5; 7) és B (4; 3), és 2 : 8 arányban osztjuk fel a az AB szakaszt úgy, hogy a kisebbik rész legyen A végpont felé, ekkor az osztópont koordinátája: 8 5 2 4 8 7 2 3 P ( ; ) (4,8;6,2) 8 2 8 2 Legyen A(1; 2), B(7; 6) és C(3; 8) egy háromszög három csúcsának koordinátái. 1 7 3 2 6 8 11 16 A háromszög súlypontjának koordinátái: S ( ; ) ( ; ) 3 3 3 3 4.) A következő pontpárok egy szakasz két végpontját jelölik. Számítsd ki a felezőpont koordinátáit! a) (6; 7) és ( -2; 4) b) ( -7; 5) és ( -5; 9) c) (1; ) és ( -12; 13) d) ( 15; 1) és ( 4; 3) 5.) Legyen A és B egy szakasz végpontja, F pedig a felezőpontjuk. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a) A( 4; 8) és F(1; 6) B(?); b) A( -2; 3) és F( -3; 5) B(?); c) B( 5; 9) és F( -2; 4) A(?). Kék FGY: 263.o./ 3462., 3463. (+) 3465., 3468., *6.) Számítsd ki az A( -2; 1), B(4; -3) és C(2; 3) csúcsú háromszög középvonalaiból alkotott háromszög kerületét!
2 7.) Legyen A, B és C egy háromszög csúcspontja, S a súlypont. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a) A(8; 2) B(4; 6) C(; -2) S(?) b) A(5; -3) B(6; -8) C( -2; -1) S(?) c) A( -5; 4) B( -6; 5) C(2; 8) S(?) d) A(4; 2) B(5; 1) S(3; 5) C(?) e) A( -2; -1) C( 2; 6) S( 1; 4) B(?) Kék FGY: 264.o./ 3477. Egyenes normálvektoros egyenlete, egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete 1.) Adott az e egyenes egy pontja: P ( x; y ) és normálvektora: n ( A; B). e: A x B y A x B y például: P (2;7 ) és n (5;8), ekkor e egyenes egyenlete: e: 5 x 8 y 5 2 8 7, vagyis e: 5x + 8y = 66 2.) Adott az f egyenes egy pontja: P ( x; y ) és irányvektora: v ( v 1 ; v2 ) f: v2 x v1 y v2 x v1 y például: P (3;6 ) és v (2;9), ekkor f egyenes egyenlete: f: 9 x 2 y 9 3 2 6, vagyis f: 9x 2y = 9 3.) Adott a g egyenes két pontja: A( x 1, y1) és ( x 2 ; y2 ) x2 x1 y y1 y 2 y1 x x1 példa: A(4, 5) és B(6; 8), g egyenes egyenlete: g: (5 4)(y 6) = (8 6)(x 4), vagyis g: - 2x + y = - 2 B g: 8.) Írd fel a következő egyenesek egyenletét, ha P az egyenes egy pontja, és n az egyenes normálvektora! a) P (; ) n ( 2; 7) b) P (; ) n ( - 2; 3) c) P (1; 2) n (3; 4) d) P (2; 5) n (3; - 4) e) P ( - 2; 3) n ( - 9; 7) f) P ( - 3; 6) n ( 8; - 5) g) P (4; 3) n ( 1; 1) h) P ( -1; - 2) n ( -1; - 2) 9.) Írd fel a következő egyenesek egyenletét, ha P az egyenes egy pontja, és v az egyenes irányvektora! a) P (; ) v (1; 2) b) P (; ) v ( 2; 3) c) P (- 1; 2) v (2; -3) d) P (3; -2) v ( -5; -6) e) P (4; -3) v ( -8; -5) f) P ( 9; 1) v (; - 8 ) g) P ( -7; - 2) v ( - 6; - 5) h) P ( ; 2) v ( 5; 1) 1.) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy A és B ponton! a) A( 1; 3) és B( 2; 5) b) A( - 1; 2) és B( - 3; 4) c) A( 5; -3) és B(; -8) d) A(; 2) és B( -3; -7) e) A(5; ) és B( - 9 ; - 6) f) A( 4; - 5) és B( - 6; 7) g) A( ; ) és B(55; 22) h) A( 1; -2) és B(5; - 1) i) A(- 1; - 2) és B( - 5; - 4) Kék FGY: 269.o./ 3538., 3539., 354., 11.) Állapítsd meg, hogy rajta van-e A, B, C, D pont az e egyenesen! a) e: 2x + 5y = 7 A(1; 1) B( - 2; 11/5) C(; 7/5) D(2; 3) b) e: 4x + y = 6 A(1; 2) B( 2; - 1) C(4; - 1) D(5; -1/2) Kék FGY: 271.o./ 3546., 3547., 3549., 355., 3551., (+) 3555., 12.) Mely pontokban metszik a következő egyenesek az x és y tengelyeket? a) x y = 1 b) 2x + y = - 5 c) 3x + 4y = 5 d) 4x + 3 y 5 = e) 6y 2x = 5 f) 7y + 4x - 3 = g) 5 x + 3y = 4 h) 5x + 4y = 7
3 13. Mekkora szakaszt vágnak le a tengelyek az a) 12x 5y + 6 = ; b) 3x 2y + 4 = ; c) 5x 3y + 4 = egyenesekből? 14. Határozd meg az alábbi egyenesek normálvektorát, és irányvektorát! a) y x = b) x y = - 3 c) 2x y = 4 d) 3x y = 1 e) 2x + y = - 1 f) 7y 2x = 5 g) 5y = x + 3 Két egyenes metszéspontja 15. Számítsd ki az alábbi egyenesek metszéspontját! a) e: y = x + 3 és f: y = - x 8 b) e: x + 2y = 12 és f: 5x 3y = - 5 c) e: 3x + y + 7 = és f: x 4y 2 = d) e: x = - 3 és f: y = 5 e) e: 2x + 7y 8 = és f: 9x 4y + 35 = f) e: x = 5 + y és f: y = 1 + x Kék FGY: 276.o./ 361., 16. Számítsd ki a háromszög csúcsainak koordinátáit, ha oldalainak egyenese: a) 4x 5y = - 13; 7x + 2y = 31; 3x + 7y = 1 b) 3x y 4 = ; x 4y 4 = ; 2x + y = 3 Kék FGY: 277.o./ 363., (+) 3636., Párhuzamosság, és merőlegesség feltétele 17. Állapítsd meg, hogy mely egyenesek párhuzamosak, illetve melyek merőlegesek egymásra! a) x + 2y = 6 és x + 2y = 4 b) 2x y = 4 és 2x y = - 1 c) x + 2y = 6 és 2x + y = 3 d) 3x + 5y = 1 és 5x 3y = 2 18. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad a megadott ponton, és párhuzamos a megadott e egyenessel! a) P(3; 4) és e: y = 2x -3 b) P(2; -3) és e: 3x 5y = 15 c) P(3,5; -2,1) és e: 2x 3y = 4 d) P( 1; 5) és e: -3x 5 = 2 19. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a megadott ponton, és merőleges a megadott e egyenesen! a) P(; ) és e: 7y = 5x 25 b) P(2; 3) és e: y = x 4 c) P(5; 2) és e : 3y 2x = 3 d) P(; - 4) és e: 3x + 4y = 12 Kék FGY: 281.o./ 3669., 3674.c,d., 3675. a, c, d, f, g., 3679., 3685., (+) 368., 3687. Pont és egyenes távolsága 2. Milyen messze van az adott pont az adott egyenestől? a) P(1; 2) és e: y = - 2x +2 b) P(-1; 3) és e: x y = 2 c) P(4; -19) és e: 3x + 17y = 1 d) P(4; -2) és e: 8x 15y - 11 = Kék FGY: 3756., 3757., 3758., 3759., 3764.
4 A háromszög nevezetes vonalai 21. Adott egy háromszög három csúcsa: A(7;1), B( 3;5) és C(1; 3). Határozd meg a következőket: a) a c oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét b) az a oldalhoz tartozó súlyvonal egyenletét. 22. Adott egy háromszög három csúcsa: A( 6;4), B(6;2) és C(;6). Határozd meg a következőket: a) a b oldalhoz tartozó magasságvonal egyenletét b) a c oldallal párhuzamos középvonal egyenletét 23. Egy háromszög csúcsai: A(5 ; 1), B( 3 ; 7), C(9 ; 5). Határozd meg az s a súlyvonal egyenletét! Írd fel a b oldallal párhuzamos középvonal egyenletét! 24. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(4 ; 5) ; B( 2 ; 3) ; C(7 ; 1). Írd fel a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletét! Határozd meg a súlypont koordinátáit! Milyen távol van a súlypont a B csúcstól? 25. Egy háromszög csúcspontjának koordinátái: A(-4 ; 1), B(2 ; 3), C( ; 5). Írd fel az A csúcsból kiinduló súlyvonal egyenletét! 26. Írd fel az A(-8 ; -2), B(6 ; 4) és C( ; 1) csúcsok alkotta háromszög BC oldalával párhuzamos középvonal egyenletét! 27. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(;); B(-2;3); C(4;6). Írd fel az A csúcsból induló magasságvonal, majd a súlyvonal egyenletét! 28. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2;-1); B(4;-3); C(4;5). Számítsd ki a B csúcsból induló súlyvonal és az AC oldal metszéspontját! 29. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2; ); B(3; 3); C(-2; 4). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordinátatengelyeket? Egyenesek metszéspontja 3. A 4x 3y = 6 egyenes mely pontja van egyenlő távol a P( 2 ; 5) és Q(1 ; 2) pontoktól? 31. A 3x + 4y = 22 egyenes mely pontja van egyenlő távol az A(-3 ; 2) és a B(-1 ; 6) pontoktól? 32. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-3 ; 2), B(6 ; ) és C( ; 8). Számítsd ki a háromszög magasságpontjának koordinátáit! 33. Határozd meg annak a háromszögnek a magasságpontját, amelynek csúcsai: A( 1 ; 3), B(8 ; 1) és C(2 ; 9)! 34. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(-3;-3) ; B(15;3) ; C(3;15). Határozd meg a köré írható körének középpontját! Mekkora a köré írható körének sugara? 35. Egy háromszög csúcspontjai: A(-2 ; -1), B(4 ; -3) és C(4 ; 5). Számítsd ki a b oldal és az m b magasságvonal metszéspontját! Milyen távol van ez a pont a B csúcstól? 36. Milyen hosszú az e : 8x 3y = 48 egyenesnek az f : 2x 3y = 6 és a g : 2x 3y = 12 egyenesek közé eső darabja? 37. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai A(5 ; 2) és B(7 ; 6). Harmadik csúcsa a 3x 4y = 14 egyenesen van. Mekkora a háromszög kerülete? 38. Egy háromszög csúcsai A( 5 ; 6), B(7 ; 3) és C( 3 ; 8). Hol metszi a c oldalhoz tartozó magasság a c oldalt? Kör egyenlete 39. Írd fel a kör egyenletét, ha adott a középpontja, és a sugara a) (4;5) és r = 3 b) (3;3) és r = 5 c) (-1; 3) és r = 4 d) (-2; 5) és r = 1 e) (2; ) és r = 4 f) (-2; 1) és r = 3 g) (-3; -5) és r = 2 h) (5; -7) és r = 7 Kék FGY: 294.o./ 3822., 3823., 3824., 3825.,
5 4. Egy kör átmérőjének végpontjai a következők. Írd fel a kör egyenletét! a) (1; 1) és (5; -1) b) (4; 1) és (2; 3) c) (-5; 4) és (3, 2) d) (-1; 5) és (2; -1) Kék FGY: (+) 3839. 41. Határozd meg a következő köregyenletekből a középpontok koordinátáit és sugarát! a) x² + y² = 25 b) x² + y² = 1 c) (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 d) (x + 7) 2 + (y 1) 2 = 49 e) x² + y² -2x - 4y + 1 = f) x² + y² - 6x + 4y + 12 = g) x² + y² + 1x = Kör és egyenes helyzete 42. Határozd meg a következő körök és egyenesek közös pontjainak a számát! a) k: x² + y² = 25 és e: 2x + y = 1 b) k: x² + y² = 1 és e: 3x + y =1 e) k: x² +y² -5x = és e: y = x 2 f) k: x² + y² - 2x = és e: 3x y = g) k: x² + y² - 2x 2y + 1 = és e: 2y x 1 = h) k: x² + y² + 4x 4y 18 = és e: x y = 2 Kék FGY: 32.o./ 3919., 392., 3921., 3922., Kör érintőjének egyenlete 43. Írja fel a) az (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25 kör (5; 5) pontjához tartozó érintőjének egyenletét; b) az x 2 + y 2 2x 3y = kör (; 3) pontjához tartozó érintőjének egyenletét; c) az x 2 + y 2 4x 1y + 4 = kör 1 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének az egyenletét. 44. Írd fel a következő körhöz az adott pontból húzott érintők egyenletét! a) k: x² + y² = 25 és P (1; ) b)k: x² + y² = 25 és P (7; 1) c) k: x² + y² = 16 és P (8; 4) d) k: x² + y² = 5 és P (-1; 3) e) k: (x 1)² +(y 2)² = 25 és P (5; 5) f) k: x² + y² - 2x 3y = és P (; 3) Kör egyenlete 45. Egy kör átmérőjének végpontjai A( 5 ; 1) és B(1 ; 7). Írd fel a kör egyenletét. Határozd meg az előző átmérőre merőleges átmérő és a kör metszéspontját! 46. Egy kör egyik átmérőjének végpontjai: A( 4 ; 2) és B(8 ; 18). Írd fel a kör egyenletét! 47. Egy kör középpontja az e: 5x 3y = 15 és az f: 4x + 6y = 54 egyenesek metszéspontja. A P(3 ; 1) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! 48. Határozd meg az A(1 ; 6), B(12 ; -8) és C(-6 ; -2) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 49. Határozd meg az A(6 ; 2), B(8 ; 12) és C( 1 ; 6) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 5. Határozd meg az A(9 ; 5), B(11 ; 9) és C( 7 ; 3) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 51. Egy kör egyenlete x2 + y2 6x + 2y 7 =. a) Határozd meg a középpontját és a sugarát! b) Hol metszi a kört a 2x + y = 5 egyenletű egyenes?
6 52. a) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát: x² + y² 2x + 8y +1 = b) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² 8x +1y + 5 = c) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² 6x + 4y 68 = 53. Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² + 6x 12y +16 =. Írd fel az ( 1 ; 1) pontra illeszkedő érintő egyenletét! 54. Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² + 4x 8y 14 =. Írd fel az (1 ; 1) pontra illeszkedő érintő egyenletét! 55. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K( 3 ; 2) pont és érinti a 2x + y = 3 egyenletű egyenest! 56. Egy kör középpontja az e: 2x + 3y = 23 és az f: 5x 6y = 17 egyenesek metszéspontja. A P(1 ; 5) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! 57. Egy kör középpontja az e: 5x 3y = 15 és az f: 4x + 6y = 54 egyenesek metszéspontja. A P(3 ; 1) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! Kör és egyenes metszéspontja 58. Írd fel az (x 4)² + (y + 5)² = 1 egyenletű kör (7 ; 6) pontján átmenő átmérőjére merőleges érintőinek egyenletét! 59.Az (x 4)² + y² = 25 egyenletű kör mely pontja van egyenlő távol az A( 6 ; 4) és a B(1 ; 11) pontoktól? 6. Milyen hosszúságú húrt metsz ki (x 4)² + (y+5)² = 25 egyenletű körből az y = 2x 8 egyenletű egyenes? 61. Egy kör átmérőjének végpontjai : A( 2 ; 5) és B(1 ; 11). a) Írd fel az egyenletét! b) Hol metszi a kör a 4x + 3y = 25 egyenletű egyenest? 62. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának koordinátái A( 3 ; 5) és B(3 ; 1). A háromszög köré írt kör egyenlete x2 + y2 4,5x 8,5y 5 =. Számítsd ki a hiányzó csúcs koordinátáit! 63. Egy kör egyenlete (x + 2)² + (y 1)² = 2. a) Írd fel a P( ; 2) ponton átmenő átmérő egyenletét! b) Hol metszi ez az átmérő a kört? 64. Egy kör egyenlete: (x 3)² + (y + 4)² = 2. a) Írd fel a P(5 ; -3) ponton átmenő átmérő egyenletét! b) Hol metszi ez az átmérő a kört? 65. Egy kör egyenlete x² + y² - 6x + 2y 7 =. a) Határozd meg a középpontját és a sugarát! b) Hol metszi a kört a 2x + y = 5 egyenletű egyenes? 66. Egy kör középpontja O(-2 ; 4), a körvonal egy pontja P(1 ; 9). Írd fel a kör egyenletét! Hol metszi a kört az x y = 13 egyenletű egyenes? 67. Adott az A(-4; 4) és a B(2; -4) pont. Határozd meg az x tengelyen az M pontot úgy, hogy az AM és BM szakaszok merőlegesek legyenek egymásra! 68. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A (4; 1) és B (- 2; - 1) pontokat összekötő szakasz felezőpontján, és merőleges az e: 3x 5y + 1 = egyenletű egyenesre. 69. Egy derékszögű háromszög átfogójának két végpontja A (-3; 1) és B (5; 3). Az egyik befogó egyenesének egyenlete y = - x + 8. Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit! 7. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az e: x 2y = 2 és az f: 3x + 2y = 14 egyenletekkel megadott egyenesek metszéspontján és párhuzamos a g: 4x 5y = egyenletű egyenessel! 71. (+)Az ABC háromszög A csúcsának koordinátái (- 4; 2), két súlyvonalának egyenlete: 3x + 5y 12 = és 3x y + 2 =. Számítsd ki a háromszög B és C csúcsainak koordinátáit!
7 72. Írd fel az A(-2;5) és B(6;7) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének az egyenletét! 73. (+)Egy háromszög egyik csúcsa A(-3; -1). A C csúcsból induló magasságvonal egyenlete 2x + y = 3, és az ugyanonnan induló súlyvonal egyenlete x y = 1. Számítsd ki a hiányzó csúcsok koordinátáit! 74. Egy háromszögben az AB oldal egyenes egyenlete x + 5y = 18. Az A csúcsból induló magasságvonal egyenlete y = 3, a B csúcsból induló magasságvonalé pedig 5x + 3y = 2. Számítsd ki a háromszög kerületét! 75. Számítsd ki annak a húrnak a hosszát, amelyet az x² + y² - 14x 4y 15 = kör metsz ki a 2y 3x + 12 = egyenletű egyenesből! 76. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az x + 2y = 7 egyenesre illeszkednek, és a (3; 7) ponttól 5 egység távolságra vannak! Egy kis levezetés a végére: Teszt a. Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik azonosak b. Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik merőlegesek egymásra c. Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektoraik azonosak d. Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektoraik merőlegesek egymásra e. Ha két egyenes párhuzamos, akkor meredekségeik azonosak f. Ha két egyenes merőleges, akkor normálvektoraik azonosak g. Ha két egyenes merőleges, akkor normálvektoraik merőlegesek egymásra h. Ha két egyenes merőleges, akkor az egyik normálvektora a másik egyenes normálvektora reciprokának ellentettje i. Ha két egyenes merőleges, akkor irányvektoraik azonosak j. Ha két egyenes merőleges, akkor irányvektoraik merőlegesek egymásra k. Ha két egyenes merőleges, akkor meredekségeik azonosak l. Az 5x 2y = 1 egyenessel párhuzamos az 5x 2y = 2 egyenes m. Az 5x 2y = 1 egyenesre merőleges az 5x 2y = 1 egyenes n. Az 5x 2y = 1 egyenes normálvektora (5 ; -2) o. Az 5x 2y = 1 egyenes normálvektora (2 ; 5) p. Az 5x 2y = 1 egyenes irányvektora (2 ; 5) q. Az 5x 2y = 1 egyenes irányvektora (5 ; -2) r. Az 5x 2y = 1 egyenes az -5-nél metszi az y tengelyt s. Az 5x 2y = 1 egyenes a 1-nél metszi az y tengelyt 1. Írd fel az A(3 ; 2) és B(7 ; 4) pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! 2. Adott ponton átmenő, adott egyenesre merőleges, vagy azzal párhuzamos egyenes egyenlete 3. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P( 4 ; 2) pontra és merőleges a 2x 5y = 1 egyenesre. 4. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos a 2x 3y = 6 egyenessel, és illeszkedik a P( 3;4) pontra! 5. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges az x 4y = 1 egyenessel, és illeszkedik a P(5; 1) pontra! 6. Egy e egyenes átmegy a P(2 ; 5) és a Q(-1 ; 4) pontokon. A vele párhuzamos f egyenes pedig illeszkedik az R(6 ; -3) pontra. Írd fel az f egyenes egyenletét! 7. Az e egyenes illeszkedik a (6 ; -3) pontra és merőleges a P(-1 ; 4) ill. Q(2 ; 5) pontokra illeszkedő egyenesre! Írd fel az e egyenes egyenletét!
8 8. Mekkora távolságra van a P(-7;15) pont a 2x 3y = 6 egyenestől? 9. Milyen távol van a P( 3 ; 7) pont az x 3y = 6 egyenestől? 1. Mekkora távolságra van egymástól az e: 3x - 4y = 16 és az f: 3x - 4y = 9 egyenes? 11. Mekkora távolságra van egymástól az e: 3x - 4y = 1 és az f: 3x - 4y = 4 egyenes? 12. Mekkora távolságra van a P(-3 ; 19) pont a 2x 3y = 2 egyenestől MINTA.MINTA.MINTA. 1. Adott A(; 1); B(3; 2) és C(3; 6) pont. a) Határozd meg az B és C pont távolságát! b) Számítsd ki az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit! c) Írd fel az AB oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét! d) Írd fel a C csúcsból induló magasságvonal egyenletét! e) Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét! 2.) Adott az e: 11 3x = 3y egyenletű egyenes. a) Határozd meg az irányvektorát, és a normálvektorát! b) Hol metszi ez az egyenes a koordinátatengelyeket? c) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy P(7; 12) ponton, és párhuzamos az e egyenessel! d) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(8; -1) ponton, és merőleges az e egyenessel! 3.a) Adott egy kör átmérőjének két végpontja: A(4; 8) és B(14; 1). Írd fel a kör egyenletét! b) Adott a k: x² + y² - 6x + 1y +25 = kör egyenlete, határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, és a sugarának hosszát! Választható feladatok: 4.) Adott az A(4; 9); B(1; 5) és C(; 1) csúcspontú háromszög. Számítsd ki az AB oldalfelező merőlegesének és az A csúcsból induló súlyvonal egyeneseinek a metszéspontját! 5.) Egy kör átmérőjének két végpontja: A(5; 9) és B( - 5; 11.) a) Írd fel a kör egyenletét! b) Számítsd ki a kör és az e: y = 3 + x egyenletű egyenes metszéspontjainak koordinátáit! 6.) Adott a k: (x+1)² + (y 4)² = 25 egyenletű kör. a) Határozd meg a kör E(1; 8) pontbeli érintőjének az egyenletét! b) Az így kapott érintő hol metszi a koordinátatengelyeket? Mekkora ennek a két pontnak a távolsága?