D számítógées geometra és alakzatrekostrukcó 8 Rekurzív felosztáso alauló felületek htt://cgtbmehu/ortal/ode/ htts://wwwvkbmehu/kezes/targyak/viiima0 Dr Várady Tamás Dr Salv Péter BME Vllamosmérök és Iformatka Kar Iráyítástechka és Iformatka Taszék
Tartalom Áttektés Polgook rekurzív felosztása (subdvso) saroklevágó algortmusok teroláló algortmus Poléderek rekurzív felosztása követelméyek alakérdések Doo-Sab algortmus Catmull-Clark algortmus Közéosztás Loo-féle osztás 5 osztás D-s számítógées geometra
Szabadformáú felületek - áttektés Tezor szorzat alaú felületek égyoldalú ( = ) aramétertartomáy N x M-es kotrol háló Bézer felületek (olomáls) B-sle felületek (szakaszokét olomáls) Bézer és B-sle felületek kteresztése racoáls Bézer felületek ( = ) racoáls B-sle felületek ( = ) T-sle-ok ( = szakaszos olomok háyos kotrollháló) C s( u v) [ α( u)] [ β( v)] T Iteroláló (traszft) felületek következő óra határgörbék és keresztdervált függvéyek Coos atch ( = ) általáos -oldalú felületek Poléder-alaú általáos toológáú felületek felosztásos felületek (rekurzív szubdvízó) (összellesztett sle felületek)? Subdvso vdeo Áttektés
Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás Rekurzív olgo-felosztás korább olgo otok leárs kombácóa: kérdések: kovergál valamlye görbéhez? olomáls görbe? mlye mértékbe sma? Chak algortmus (sarok levágás): másodfokú B-sle (!) C } { } { ) k k ) ( m l m k m ; (0) () ()=() ()=() (5) (5) (5) (5) (0) (055)
Ugyakorlat*- rekurzív olgo osztás Chak-féle osztás Rekurzív felosztáso alauló görbék 5
Ugyakorlat - rekurzív olgo osztás Chak-féle osztás Rekurzív felosztáso alauló görbék 6
7 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás Felosztás alteratív súlyokkal (húrfelezés) kovergál harmadfokú B-sle C a folytoosság aalízs elve (saátértékek): dagozálás (saátvektorok saátértékek): AD D D D 0 6 0 8 ; 8 8 A E EΛ D A D E EΛ EΛE EΛE A D A A D D Λ E E E E A R R R 05 0 0 0 05 0 0 0 0 *
8 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás Iteroláló felosztás (égy-ot): közéső ot meghatározása: harmadfokú Lagrage terolácó kovergál C határgörbe ) 9 9 ( 6 ;? Curves alet
Rekurzív oléder-felosztás (Doo-Sab) (Loo) Rekurzív felosztáso alauló felületek (Pxar) 9
Rekurzív oléder-felosztás Követelméyek: általáos toológa lokáls módosíthatóság egyszerű szabályok (maszk) hatékoy algortmus (koverzó sebessége) aff lekézésre varás sma felület herarchkus rerezetácó kovex burok Alakérdések: fomítás szabály: sarok-levágás vagy csúcs-beszúrás a oldérsorozat háromszög vagy égyszög alaú aroxmácó vagy terolácó smaság (G vagy G ) szabályos csúcsok vs külöleges (extraordary) csúcsok Felosztás roblémák Rekurzív felosztáso alauló felületek 0
Rekurzív oléder-felosztás Doo-Sab felületek a Chak algortmus általáosítása mde -oldalú la összezsugorodk és ú csúcs keletkezk rata: v () v 5 ( ) cos LAP-la az eredet la belseébe ÉL-la mdg égyoldalú az élek meté CSÚCS-la csúcs körül a égyoldalú laok száma ő másodfokú B-sle felület darabok G szabályos csúcsok (=) külöleges csúcsok s keletkezek: oldalú laok fokú csúcsok 8 Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ugyakorlat* - Doo-Sab-féle rekurzív felosztás -oldalú: -oldalú: 5-oldalú: db db db -oldalú: Cs:? É: L:? Össz =? -oldalú: Cs:? É: L:? Össz =? 5-oldalú: Cs:? É: L:? Össz =? Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ugyakorlat - Doo-Sab-féle rekurzív felosztás -oldalú: -oldalú: 5-oldalú: db db db -oldalú: Cs: É: 0 L: Össz = -oldalú: Cs: É: 8 L: Össz = 5-oldalú: Cs: 0 É: 0 L: Össz = Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ugyakorlat* - Doo-Sab súlyok ( ) cos 5???? Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ugyakorlat - Doo-Sab súlyok ( ) cos 5 6 6 9 6 6 Rekurzív felosztáso alauló felületek 5
Rekurzív oléder-felosztás Catmull-Clark felületek harmadfokú B-sle felületek általáosítása (közéot osztás - cetral slt) () ú LAP-csúcs közéot f () ú ÉL-csúcs az él végotaak és a szomszédos LAP-csúcsok átlaga e () ú CSÚCS-csúcs la által körülvéve: v v f e v ú laok az első osztás utá égyoldalú hurkok: f e v e kovergál szabályos csúcs (=) G határfelület külöleges csúcsok () G f? Huma Face-Subdvso Rekurzív felosztáso alauló felületek 6
Rekurzív oléder-felosztás 5 Közéosztásos felületek (Peters & Ref) a legegyszerűbb séma mde élre ú felező ot ú laok befoglalt LAP-laok csúcskörül CSÚCSlaok égyoldalú laok domálak szabályos csúcsok (=) külöleges csúcsok az eredet csúcsok körül kovergál G határfelület Rekurzív felosztáso alauló felületek 7
8 Rekurzív felosztáso alauló felületek Rekurzív oléder-felosztás 6 Loo-féle felosztás háromszöghálók fomítása () az adott él csúcsa: () a csatlakozó csúcsok: ú ÉL-csúcs: ú CSÚCS-csúcs szomszéd alaá: sma határfelület szabályos csúcsok (=6) G (egyedfokú Bézer háromszögek); külöleges csúcsok (6) csak G ) ( v v v ) ( 8 ) ( 8 v v v v e v v v v cos 8 8 5 ; 6 (Maszkok)
Rekurzív oléder-felosztás 7 5 felosztás háromszögháló fomított háromszögháló () mde háromszöget három részre hasítuk () a keletkező égyszögátlókat megcserélük (fl) közéot csúcsok összekötése az eredet csúcsokat úraszámoluk szomszédos csúcs alaá: v ( ) v v cos 9 mde terácó cserél a struktúra ráyítását két terácó egy háromszögből 9-et készít sma határfelület szabályos csúcsok (=6) G külöleges csúcsok (6) csak G Rekurzív felosztáso alauló felületek 9