Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet 1143 Budapest, Szobránc u. 6-8. Telefon: (+36-1) 35-700 Fax: (+36-1) 35-70 www.ofi.hu
1. H = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} B = {; 3; 5; 7; 11; 13} H B = {3; 5; 7; 11; 13} B \ H = {} 4 pont. 5 (%-kal) pont pont 3. 48 pont pont 4. (16 + 4 + 1 =) 1 pont pont 5. x 3x pont A zérushely: x. 3 x 0,67 is 3 pont 6. Egy megfelelő gráf rajza. (Öt pontja és hét éle van.) Például: pont pont 7. (A harmadik tag) 6, (a negyedik tag) 1. pont / 11
8. log 3 (6x) 4 81 7 x 13, 5 (valóban pozitív szám) 6 3 pont 6x 3 9. 4 (A koszinusztételből:) 7 5 3 35cos 1 cos = 10 3 pont 10. {}, {3}, {; 3} pont Más helyes jelölés is 11. y = 1,5 -ben pont (0; 1,5) pontban pont 1. Az első félévben jegyeinek összege (4,5 8 =) 34. Ha 4 darab jelest szerez még, akkor átlaga az év 34 0 végén: 1 = 4,5. 3 pont 3 / 11
13. a) első megoldás ( x) x Az f függvény ábrázolása. pont Az y = 3 egyenes segítségével és értékek leolvasása. x1 1 x 5 Ellenőrzés behelyettesítéssel: 1 3, valamint 5 3 valóban. 1 < x < 5 5 pont 13. a) második megoldás x 3 (pontosan akkor, ha) 3 x 3, így pont 1 x 5 pont 5 pont 13. b) első megoldás Kikötés: x ( x) 0 x ( x ) 0 x (x )-vel egyszerűsítve (x ): < 0. Azonosságot kaptunk, tehát 5; 5 x és x. 6 pont Más helyes jelölés is 4 / 11
13. b) második megoldás Egy tört értéke pontosan akkor negatív, ha a számláló és a nevező különböző előjelűek. Ha 4 x 0 és x 0, akkor x (mindkét egyenlőtlenségből). Ha 4 x 0 és x 0, akkor (mindkét egyenlőtlenségből) x. Tehát a megoldás (a megadott intervallumon): 5 x. 6 pont x 5 Más helyes jelölés is 14. a) Mivel FA = FB = FG = 3 cm, így a Thalész-tétel miatt AGB = 90. 3 pont 14. b) első megoldás. FG középvonal, így AC = 6, ezért AC = AB, tehát a háromszög egyenlő szárú. 3 pont 5 / 11
14. b) második megoldás. ABG háromszög és ACG háromszög egybevágó, hiszen két-két oldaluk egyenlő hosszú, (BG = CG és AG közös) és a közbezárt szögük egyenlő (90-os). ezért AC = AB, tehát a háromszög egyenlő szárú. 14. c) első megoldás 3 pont Az AG magasságvonal egyúttal oldalfelező merőleges (tehát tükörtengely) is. ABG derékszögű háromszögben BG = 6 cos70,05 (cm) AG sin 70 6 AG = 6 sin70 5,64 (cm) T ABC BC AG BG AG cos70 BG. 6 6 / 11 11, 57 cm. 6 pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Ha a vizsgázó nem ír mértékegységet, akkor ez a pont nem jár. Más, helyes kerekítések után kapott végeredmény is
14. c) második megoldás (ABG derékszögű háromszögben) BG = 6 cos70,05 (cm) BC = BG 4,1 cos70 BG. 6 6 4,1 sin70 T pont 11,57 cm. 6 pont Ha a vizsgázó nem ír mértékegységet, akkor ez a pont nem jár. Más, helyes kerekítések után kapott végeredmény is 14. c) harmadik megoldás BAC =180 (70 + 70 ) = = 40. 6 6 sin 40 T pont 11, 57 cm. 6 pont Ha a vizsgázó nem ír mértékegységet, akkor ez a pont nem jár. Más, helyes kerekítések után kapott végeredmény is 7 / 11
15. a) Ha a második asztalnál n diák ült, akkor az elsőnél n 1 és a harmadiknál n +. ( n 1)( n ) n( n 1) ( n )( n 1) pont n 7n 0 n1 = 0 nem lehetséges. n = 7 esetén a második asztalnál 7 diák ült. Ellenőrzés a szöveg alapján. (Az első asztalnál 6, a másodiknál 7, a harmadiknál 9 diák ült, és az összefüggés fennáll.) 8 pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 15. b) első megoldás Összesen 15 -féleképpen választhatunk ki két élt. A két él közös csúcsa 6-féle lehet. Egy csúcsból 5 -féleképpen választhatunk ki két élt (az így kiválasztott élpárokat még nem számoltuk eddig). 5 6 A keresett valószínűség: p = 15 60 4 Százalékban megadott helyes. 105 7 érték is 5 pont 15. b) második megoldás Az első él kiválasztása tetszőleges. 4 A második élt a fennmaradó 14 él közül 6 él nem csatlakozik a pont választhatjuk (összes eset), kiválasztott élhez, de csak 8 olyan van, amelyik csatlakozik ehhez az első élhez (kedvező esetek). így 14 6 = 8 csatlakozik. 8 4 A keresett valószínűség: p. 14 7 5 pont 8 / 11
16. a) A) Igaz B) Igaz C) Hamis D) Hamis 3 pont 3 pont Egy hiba esetén pont, két hiba esetén, három vagy 4 hiba esetén 0 pont jár. 16. b) A hordóba naponta beletöltött víz mennyisége számtani sorozatot alkot: a1 = 1, d =. n nap alatt a hordóba töltött víz mennyisége: 1 (1 ( n 1) ) n liter. (Azt a legkisebb pozitív n számot keressük, amelyre) 1 (1 ( n 1) ) n 500. n 500 (Mivel n pozitív szám, így) n 500,36. A hordó a 3. napon telik meg. Ellenőrzés a szöveg alapján. 7 pont 16. c) 0,7 annak a valószínűsége, hogy egy adott napon nem esik. P(legalább 3 csapadékmentes) = = 1 P( csapadékmentes) P(1 csapadékmentes) P(0 csapadékmentes) 7 5 P( csapadékmentes) = 0,7 0,3 7 1 6 P(1 csapadékmentes) = 0,7 0,3 1 7 P(0 csapadékmentes) = 0,3 A keresett valószínűség: p 1 0,050 0,0036 0,000 0, 971. 7 pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 9 / 11
17. a) A kocka testátlója a gömb átmérője. A 8 cm élű kocka testátlója 8 3 cm. pont A gömb sugara ennek a fele, azaz ( 4 3 ) 6,93 cm. 4 pont Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 17. b) A kocka térfogata V = 8 3 = 51 cm 3. A gömb térfogata megközelítőleg: 1393 cm 3. Mivel 51 1393 0, 3676, 4 3 6,93 3 így a kocka térfogata kb. 37%-a a gömb térfogatának. pont 6 pont Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 17. c) A gömb felszíne A 4 6,93 Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 603,19 cm. Más, megfelelő és helyesen kerekített érték is Megközelítőleg 150,8 cm -t kell befesteni egy gömb esetén. 1 m = 10 000 cm (így a festék 50 000 cm felület festésére elegendő). 50 000 : 150,8 331,57 331 gömb befestésére elegendő a patron. 7 pont 18. a) Ha a számok átlaga 6, akkor összegük (5 6 =) 30.. A móduszból legalább kettő van (és kettőnél több: 8 nem lehet, mert akkor nem lenne 7 a medián.) Mivel a terjedelem 5, így a legkisebb szám a (8 5 =) 3. Az ötödik szám a (30 8 8 7 3 =) 4 Az öt szám: 3, 4; 7; 8; 8. (Ez az egyetlen ilyen számötös.) 5 pont 10 / 11
18. b) Az adatok átlaga A szórás: (5 6,5) (6 6,5) 5 6 7 8 6,5. 4 (7 6,5) 4 (8 6,5) 1,1 3 pont 5 6 7 8 6,5 4 Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 18. c) Megfelelő egyjegyű szám csak a 8. Megfelelő kétjegyű szám az 56, 76, 68, 88. Egy (legalább kétjegyű) szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám osztható 4-gyel. Megfelelő háromjegyű számot úgy kapunk, ha a megfelelő kétjegyűek elé írunk egy tetszőleges számjegyet (az 5, 6, 7 vagy 8 közül). vagy 3 megfelelő szám pont megadása esetén jár. Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. (4 4 =) 16 ilyen szám van. Megfelelő négyjegyű számot úgy kapunk, ha a megfelelő háromjegyűek elé írunk egy tetszőleges számjegyet (az 5, 6, 7 vagy 8 közül). (4 16 =) 64 ilyen szám van. Összesen 85 megfelelő szám van. 9 pont 11 / 11