Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018. 2. feladatsor 5.-6. évfolyam ARITMETIKAI FELADATOK Az aritmetika, régebbi szóhasználatban számtan, a természetes számok körében a négy alapvető számtani művelettel kapcsolatos feladatokat, számítási technikákat taglal. A következő feladataink ennél fogva ezen egyszerű műveletek segítségével, kis átgondolással oldhatók meg. Reméljük mindenkinek örömet, a versenyben pedig sikert hoznak. Kívánjuk a legjobb élményt mindenkinek! Mintapéldák 1.) Gondoltam egy számot, levontam belőle tízet, amit kaptam osztottam tízzel. Az eredményt csökkentettem nyolccal, és a kapott szám tizedéhez hozzáadtam egyet, majd az eredményt megszoroztam öttel, így 100-at kaptam. Melyik számra gondoltam? Számoljunk visszafele. Ha a végén nem szoroztunk volna öttel, 20 lenne az eredmény, s 19 lenne, ha az egyet nem adtuk volna hozzá. Ennek tízszerese, 190 lenne a szám, ha tízzel nem osztottam volna, s ha nem csökkentek nyolccal, úgy 198-am lenne. 1980-am lenne, ha tízzel nem osztok, és 1990, ha tízet nem veszek el. A gondolt szám 1990.(Ellenőrzéssel meggyőződhetünk, hogy ez tényleg megoldás.) 2.) Egy ceruza és egy füzet összesen 255 Ft-ba kerül. A füzet kétszer drágább a ceruzánál. Mennyibe kerülnek külön-külön? 255 Ft-ért három ceruzát lehet venni, ezért egy ceruza 255 : 3 = 85 Ft-ba, a füzet pedig 2 85 = 170 Ft-ba kerül. Ellenőrzés: 85 + 170 = 255, 170 : 85 = 2. 3.) Péternek galambjai és bárányai vannak. Az állatoknak összesen 19 fejük és 46 lábuk van. Hány báránya, illetve hány galambja van Péternek? A 19 fej miatt 19 állat van. Ha csak galambjai lennének Péternek, akkor csak 19 2 = 38 lábuk lenne az állatoknak. A 46 38 = 8 láb különbség miatt van 4 bárány is. (Mivel a bárányoknak kettővel több lábuk van, mint a galamboknak.) Tehát Péternek 4 báránya és 19 4 = 15 galambja van. 4.) Melyik az a két szám, melynek összege 304, különbsége pedig 206? 304-et kell két részre osztani úgy, hogy az egyik 206-tal több legyen, mint a másik. Ha a 304-ből kivonunk 206-ot és a különbséget elfelezzük, megkapjuk a kisebb számot. Ahhoz hozzáadva 206-ot, a nagyobb számot kapjuk. A kisebb szám (304 206) : 2 = 49, a nagyobbik 49 + 206 = 255.
Gyakorló feladatok 1.) Egy futballcsapat 11 játékosának átlagos életkora 22 év. Szabálytalanság miatt az egyik játékost kiállították. Így a játékosok átlagéletkora pontosan 21 év lett. Hány éves a kiállított játékos? 2.) Három ceruza és két csoki 740 Ft-ba kerül. Egy csoki árán három ceruzát lehet venni, és még marad 10 Ft belőle. Mennyibe kerül egy ceruza? Hát egy csoki? 3.) Egy anya 23 évvel idősebb a fiánál. Kettejük életkora összesen 47 év. Hány éves az anya és hány éves a fia? 4.) Anna és Bogi együtt 93 kg., Anna és Cili együtt 95 kg. Hárman együtt 138 kg tömegúek. Ki a legkönnyebb és hány kg? És a többiek? Kitűzött feladatok 1.) Pistának csak kettes, hármas, négyes és ötös jegyei vannak. Mindegyikből legalább egy, legfeljebb kettő. Jegyeinek átlaga 3,4. Összesen öt darab jegye van. Melyikből van két jegye? 2.) Két szám összege 121 és az egyik szám fele eggyel kisebb, mint a másik szám. Melyik ez a két szám? 3.) Egy udvarban tyúkok, kacsák és malacok vannak. Összesen 33 fejük és 76 lábuk van. Háromszor annyi tyúk van, mint kacsa. Mennyi él az egyes állatfajtákból az udvarban? 4.) Egy asszony eladta a piacra hozott tojásainak a felét és egy fél tojást, majd az így maradt tojások felét és egy fél tojást. (Persze közben egy tojást sem tört fel!) Ezután 13 tojása maradt. Hány tojást hozott az asszony a piacra? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: 2017. 12. 15. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018. 2. feladatsor 7.-8. évfolyam A fordított út módszere A következőkben az aritmetikának egy olyan sajátos és nagyon hatékony feladat megoldási módszerét mutatjuk be, amely bizonyos feladatok esetében egyszerűbbnek és jóval hatékonyabbnak bizonyul a szokásos algebrai (vagyis egyenletek felírásán alapuló) módszereknél. Ez a módszer gyakran kombinálható az ábrázolással vagy különféle szemléltetési módszerekkel. A matematikában gyakran találkozunk olyan szöveges feladatokkal, amelyekben az adatok közötti összefüggések egy bizonyos meghatározott sorrendben vannak feltüntetve. Az ilyen típusú feladatok megoldásakor az utolsó összefüggést vizsgáljuk összehasonlításban az utolsó előttivel, majd az utolsó előttit az őt megelőzővel szemben, és így tovább, ameddig el nem jutunk a feladatban szereplő összefüggésig. Ezért ezt az eljárást a fordított út módszerének vagy rákmódszernek nevezzük. Megjegyzésünk, hogy nemcsak a feladat megoldása történik fordított irányban, hanem az egyes lépéseknél a feladatokban megjelölt műveleteknek a fordított műveletét végezzük. A továbbiakban azt is beláthatjuk, hogy a szóban forgó feladattípusok egy része megoldható algebrai úton is, viszont ez általában nagyon nehézkesnek bizonyul, komplikált (esetenként emeletes törteket is tartalmazó) egyenletekhez vezet. Olyan esetek is előfordulnak, amikor a feladat algebrailag nem is modellezhető egyenlettel, de a fordított út módszerével elemi úton viszonylag könnyen megoldható. Mintapéldák 1.) Betti egy európai körúton vett részt. Az első napon elköltötte pénzének felét, a második napon a megmaradt pénzének harmadát, a harmadik napon a megmaradt pénzének felét, a negyedik napon pedig a megmaradt pénz harmadát. Így végül 24 eurója maradt. Hány eurója volt eredetileg Bettinek? A végső helyzetből indulunk ki. A megmaradt 24 euró a negyedik napra maradt pénzösszeg kétharmada (mivel a negyedik napon a maradék pénz egyharmadát költötte el). Így a 24 euró kétszer több mint a negyedik napon elköltött összeg. Tehát a negyedik napon 24 : 2 12 eurót költött el, így a negyedik napra 24 12 36 eurója maradt. Mivel a harmadik napon a maradék pénzének felét költötte el, így a harmadik napra 2 36 72eurója maradt. A második napon a maradék pénzének a harmadát költötte el, tehát a harmadik napra maradt 72 euró a második napra megmaradt pénzének a kétharmad része. Vagyis a második napra maradt pénzének harmada 72 : 2 36 euró, így a második napra összesen 36 3 108eurója maradt. Az első napon elköltötte a teljes pénzének a felét, ezért a második napra maradt 108 euró a teljes pénzének a másik felét képezi. Így Bettinek kezdetben 2 108 216 eurója volt.
2.) Egy üzletben egy tekercs huzalt a következőképpen adtak el: az első napon a huzal felét és még 50 métert, a második napon a megmaradt rész harmadát és még 40 métert, a harmadik napon pedig az új maradék negyedét és még 30 métert, végül a negyedik napon mind eladták a megmaradt 90 métert. Hány méter huzal volt a tekercsben? Itt is a végső helyzetből indulunk ki. A negyedik napon eladott 90 m és a harmadik napon eladott 30 m (vagyis összesen 120 m) a másodikról a harmadik napra megmaradt huzal háromnegyed részét képezi (mivel a harmadik napon a maradék egy negyedét és még 30 métert, míg a negyedik napon 90 métert adtak el). Tehát a harmadik nap kezdetén lévő huzal hosszát a következőképpen számítjuk ki: a negyede 120 : 3 40 m, míg a teljes hossza 4 40 160 m. A második nap esetében hasonlóképpen okoskodunk. A nap kezdetén meglévő huzal hosszának a kétharmad része 160 40 200 m, így ennek a huzalnak a teljes hosszát a 200 : 2 100 m (egyharmad rész) és 100 3 300 m (teljes hossz) számítások elvégzésével kapjuk. Az első napon eladott 50 m és a második napra megmaradt 300 m huzal (összesen 350 m) a kezdeti hossz felét jelenti. Tehát az eredeti tekercsen 2 350 700 m huzal volt. 3.) Egy kofa a piacra vitt egy tojással teli kosarat, melynek tartalmát a következőképpen adta el. Az első vevő megvette a tojások felét és még egy fél tojást, a második vevő megvette a megmaradt tojások felét és még egy fél tojást, a harmadik vevő megvette a megmaradt tojások felét és még egy fél tojást, így a kosárban 4 tojás maradt. Tudjuk, hogy vásárláskor egyetlen tojást sem törtek szét. Hány tojás volt eredetileg a kosárban? Elsőre a feladatban egy látszólagos ellentmondás szerepel, mivel egyetlen tojást sem törtek szét, ennek ellenére a vevők fél tojásokat is vásároltak. A kétely viszont azonnal megszűnik, ha arra gondolunk, hogy a tojások száma páratlan. A fordított út módszerét alkalmazzuk. A megmaradt 4 tojás fél tojással kevesebb, mint az 1 utolsó maradék fele, tehát az utolsó maradék 2 4 9 tojás. 2 A 9 tojás is fél tojással kevesebb, mint az előző maradék fele, tehát az előző maradék 1 2 9 19 tojás. 2 A 19 tojás is fél tojással kevesebb, mint az összes tojás fele, tehát az összes tojás 1 2 19 39 darab. 2 4.) Egy apa minden pénzét gyermekeire hagyta a következő végrendelettel: Először a legidősebb kapjon 1000 eurót és a maradék egytizedét, azután a második kapjon 2000 eurót és a maradék egytizedét, majd a harmadik kapjon 3000 eurót és a maradék egytizedét, és így tovább. Így minden gyermek ugyanannyi pénzt kapott. Hány gyereke volt az apának? Mennyi pénzt osztottak szét a végrendelet szerint? Mivel az osztozkodás a legutolsó gyermeknél ért véget, ezért az ő esetében a számított maradék egytizede nulla (ellenkező esetben az osztozkodás tovább folytatódik). Ilyen módon az utolsó gyermek által kapott pénzösszeg kerek ezreseket jelent, utána pedig nulla euró maradt. Az utolsó előtti gyermek ugyanannyit kapott, mint az utolsó, ezért érdemes megvizsgálni ennek a két gyermeknek az esetében az osztozkodás logikáját. Az utolsó gyermek az utolsó
előttihez képest egy kerek ezressel kapott volna többet, viszont az utolsó előtti gyermek még megkapta a maradék egy tized részét (ez pedig az utolsó gyermek esetében nulla volt). Így az utolsó előtti gyermek esetében a maradék egy tized része 1000 euró. Tehát mielőtt az utolsó előtti gyermek megkapta volna a maradék egytized részét akkor összesen 10 1000 10000 euró volt még. Így az utolsó gyermek (és egyben mindegyik fejenként) 9000 eurót kapott. Visszafelé haladva az utolsó gyermek 9000 0 eurót, az őt megelőző 8000 1000eurót, és így tovább, az első 1000 8000 eurót örökölt. Könnyen kikövetkeztethető, hogy az apának 9 gyermeke volt és 9 9000 81000 eurót osztottak szét. Gyakorló feladatok 1.) András egy bizonyos pénzösszeget a következőképpen költ el: elkölti az összeg kétharmadát, majd a maradék háromnegyedét, ezután az újabb maradék négyötödét, majd az újabb maradék öthatodát, és még marad 1000 forintja. Mennyi pénze volt eredetileg? 2.) Egy kártyajátékos először elvesztette a pénze felét, majd nyert 50 eurót. Azután elvesztette meglévő pénzének egyötödét, majd nyert 40 eurót. Azután elvesztette meglévő pénzének hatodát és még 50 eurót, így végül 350 eurója maradt. Mennyi pénzzel ült le játszani? 3.) Nagymama megszámolta az unokáit. Rájött arra, hogy az unokáinak fele és még egy fél unoka Budapesten, a maradék kétharmada Debrecenben, a maradék negyede és még egy negyed unoka Győrben, 2 unoka pedig a tanyán él. Hány unokája van a nagymamának? 4.) A rablók a zsákmányolt aranyakat a következőképpen osztották szét: a főrabló 3 aranyat és a maradék egy nyolcad részét kapta, a következő 6 aranyat és a maradék egy nyolcad részét kapta, a következő 9 aranyat és a maradék egy nyolcad részét kapta és így tovább (mindig az aranyak számát hárommal növelték és a maradék egy nyolcad részét vették). Az osztozkodás végén megállapították, hogy mindannyian egyenlően kaptak a zsákmányból. Mennyi volt a zsákmányolt arany mennyisége? Hányan voltak a rablók?
Kitűzött feladatok 1.) Egy tanuló elköltötte pénzének a háromötödét, majd a megmaradt pénzének a háromnegyedét és még 34 eurót. Így 14 eurója maradt. Mennyi pénze volt eredetileg? 2.) Egy kosárból kivesszük az almák felét és 1 almát, utána a meglévő almák kétharmadát és még 3 almát. Ha ezután a meglévő almák felét is elvesszük és még 5 almát, akkor pontosan 4 alma marad a kosárban. Hány alma volt eredetileg a kosárban? 3.) Egy farmon a tavaszi munkákra úgy osztották be a lovakat, hogy a lovak felét és egy fél lovat szántani, a megmaradt lovak felét és egy fél lovat vetni, 10 lovat pedig fuvarozni rendeltek. Hány ló volt összesen a farmon? 4.) Egy tanár egy tasak cukorka tartalmát a következőképpen osztotta szét tanítványai között. Az első tanulónak adott egy cukorkát és a maradék egy kilencedét, a másodiknak 2 cukorkát és az így megmaradt cukorkák egy kilenced részét, a harmadiknak 3 cukorkát és az így megmaradt cukorkák egy kilenced részét, és így tovább. A tanulók csodálkozva látták, hogy mindegyikük egyenlően kapott a cukorkákból. Hány cukorka volt eredetileg a tasakban? Hányan voltak a tanulók? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: 2017. 12. 15. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.