Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 9. hét

Hasonló dokumentumok
Ecetsav koncentrációjának meghatározása titrálással

1.1. Reakciósebességet befolyásoló tényezők, a tioszulfát bomlása

ph-számítás A víz gyenge elektrolit. Kismértékben disszociál hidrogénionokra (helyesebben hidroxónium-ionokra) és hidroxid-ionokra :

Számítások ph-val kombinálva

Környezeti analitika laboratóriumi gyakorlat Számolási feladatok áttekintése

ph-számítás A víz gyenge elektrolit. Kismértékben disszociál hidrogénionokra (helyesebben hidroxónium-ionokra) és hidroxid-ionokra :

1) Standard hidrogénelektród készülhet sósavból vagy kénsavoldatból is. Ezt a savat 100-szorosára hígítva, mekkora ph-jú oldatot nyerünk?

Vizes oldatok ph-jának mérése

Oldatkészítés, ph- és sűrűségmérés

Általános Kémia GY 3.tantermi gyakorlat

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 4. hét

Sav bázis egyensúlyok vizes oldatban

6 Ionszelektív elektródok. elektródokat kiterjedten alkalmazzák a klinikai gyakorlatban: az automata analizátorokban

Folyadékok és szilárd anyagok sűrűségének meghatározása különböző módszerekkel

VIDÉKFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM. Petrik Lajos Két Tanítási Nyelvű Vegyipari, Környezetvédelmi és Informatikai Szakközépiskola

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 10. hét

Titrimetria - Térfogatos kémiai analízis -

Általános Kémia Gyakorlat III. zárthelyi november 7.

Ivóvíz savasságának meghatározása sav-bázis titrálással (SGM)

1. feladat Összesen: 7 pont. 2. feladat Összesen: 8 pont

23. Indikátorok disszociációs állandójának meghatározása spektrofotometriásan

KONDUKTOMETRIÁS MÉRÉSEK

Drog- és toxikológus 2. csoport tervezett időbeosztás

Minta feladatsor. Az ion neve. Az ion képlete O 4. Szulfátion O 3. Alumíniumion S 2 CHH 3 COO. Króm(III)ion

KÉMIA FELVÉTELI KÖVETELMÉNYEK

Oldódás, mint egyensúly

1. feladat Összesen: 7 pont. 2. feladat Összesen: 16 pont

Természetvédő 1., 3. csoport tervezett időbeosztás

Általános és szervetlen kémia Laborelıkészítı elıadás IX-X.

Általános Kémia GY, 2. tantermi gyakorlat

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 11. hét

Közös elektronpár létrehozása

Oldódás, mint egyensúly

Oldatkészítés, ph- és sűrűségmérés

ph-mérés ÜVEGELEKTRÓDDAL, SAV-BÁZIS TITRÁLÁS ph-metriás VÉGPONTJELZÉSSEL

Általános Kémia. Sav-bázis egyensúlyok. Ecetsav és sósav elegye. Gyenge sav és erős sav keveréke. Példa8-1. Példa 8-1

a réz(ii)-ion klorokomplexének előállítása...

A 27/2012. (VIII. 27.) NGM rendelet (29/2016. (VIII. 26.) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.

Növényi indikátorok használata kémhatás vizsgálatakor

8. osztály 2 Hevesy verseny, megyei forduló, 2004.

Vezetőképesség meghatározása

Többértékű savak és bázisok Többértékű savnak/lúgnak azokat az oldatokat nevezzük, amelyek több protont képesek leadni/felvenni.

Elektro-analitikai számítási feladatok 1. Potenciometria

(Kémiai alapok) és

Pufferrendszerek vizsgálata

Hulladékos csoport tervezett időbeosztás

VIDÉKFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM. Petrik Lajos Két Tanítási Nyelvű Vegyipari, Környezetvédelmi és Informatikai Szakközépiskola

Aminosavak, peptidek, fehérjék

KÉMIAI ALAPISMERETEK (Teszt) Összesen: 150 pont. HCl (1 pont) HCO 3 - (1 pont) Ca 2+ (1 pont) Al 3+ (1 pont) Fe 3+ (1 pont) H 2 O (1 pont)

1. feladat Összesen: 8 pont. 2. feladat Összesen: 11 pont. 3. feladat Összesen: 7 pont. 4. feladat Összesen: 14 pont

Bevezetés a biokémiába fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 4. hét

Curie Kémia Emlékverseny 2018/2019. Országos Döntő 8. évfolyam

Elektrolitok nem elektrolitok, vezetőképesség mérése

O k ta t á si Hivatal

6. változat. 3. Jelöld meg a nem molekuláris szerkezetű anyagot! A SO 2 ; Б C 6 H 12 O 6 ; В NaBr; Г CO 2.

T I T - M T T. Hevesy György Kémiaverseny

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 14. hét

Labor elızetes feladatok

4.Gyakorlat Oldatkészítés szilárd sóból, komplexometriás titrálás. Oldatkészítés szilárd anyagokból

A feladatok megoldásához csak a kiadott periódusos rendszer és számológép használható!

laboratóriumi technikus laboratóriumi technikus laboratóriumi technikus

Természetvédő 1., 3. csoport tervezett időbeosztás

2011/2012 tavaszi félév 3. óra

Anyagvizsgálati módszerek Elektroanalitika. Anyagvizsgálati módszerek

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 2000

Jegyzőkönyv. Konduktometria. Ungvárainé Dr. Nagy Zsuzsanna

Titrálási feladatok számításai. I. Mintafeladatok

VEGYÉSZ ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

1. Kolorimetriás mérések A sav-bázis indikátorok olyan "festékek", melyek színüket a ph függvényében

X = 9, mol. ph = 4,07 [H + ] = 8, mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI FELVÉTELI FELADATOK 2004.

1. feladat Összesen: 8 pont. 2. feladat Összesen: 12 pont. 3. feladat Összesen: 14 pont. 4. feladat Összesen: 15 pont

1. feladat Összesen: 15 pont. 2. feladat Összesen: 10 pont

Kémiai alapismeretek 6. hét

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 1995 JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

1. feladat Összesen 14 pont Töltse ki a táblázatot!

A nemfémes elemek oxidjai közül válassz két-két példát a megadott szempontok szerint! A vegyületek képletével válaszolj!

ISMÉTLÉS, RENDSZEREZÉS

Mozgófázisok a HILIC-ban. Módszer specifikus feltétel: kevésbé poláris, mint az állófázis vagy a víz Miért a víz?

Adatgyűjtés, mérési alapok, a környezetgazdálkodás fontosabb műszerei

EGYÉB GYAKORLÓ FELADATOK Összetétel számítás

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 12. hét

a. 35-ös tömegszámú izotópjában 18 neutron található. b. A 3. elektronhéján két vegyértékelektront tartalmaz. c. 2 mól atomjának tömege 32 g.

T I T - M T T. Hevesy György Kémiaverseny. A megyei forduló feladatlapja. 8. osztály. A versenyz jeligéje:... Megye:...

Kémiai reakciók. Közös elektronpár létrehozása. Általános és szervetlen kémia 10. hét. Elızı héten elsajátítottuk, hogy.

Összesen: 20 pont. 1,120 mol gázelegy anyagmennyisége: 0,560 mol H 2 és 0,560 mol Cl 2 tömege: 1,120 g 39,76 g (2)

5. Laboratóriumi gyakorlat

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003.

Hz U. oldat. R κ=l/ra. 1.ábra Az oldatok vezetőképességének mérése

T I T - M T T. Hevesy György Kémiaverseny. A megyei forduló feladatlapja. 8. osztály. A versenyző jeligéje:... Megye:...

KONDUKTOMETRIÁS MÉRÉSEK

Indikátorok. brómtimolkék

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010. Kémia I. kategória II. forduló A feladatok megoldása

Név: Dátum: Oktató: 1.)

O k t a t á si Hivatal

Minta feladatsor. Az ion képlete. Az ion neve O 4. Foszfátion. Szulfátion CO 3. Karbonátion. Hidrogénkarbonátion O 3. Alumíniumion. Al 3+ + Szulfidion

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

1. mintatétel. A) Elektrolízis vizes oldatokban

XXIII. SZERVES KÉMIA (Középszint)

Hevesy verseny, döntő, Kedves Versenyző!

Átírás:

Kémia fogorvostan hallgatóknak Munkafüzet 9. hét Potenciometriás ph-mérés, pufferoldatok vizsgálata (154-163. oldal) Írták: Berente Zoltán, Nagy Veronika, Takátsy Anikó Szerkesztette: Nagy Veronika Név: Csoport: Dátum: A gyakorlaton használt anyagok veszélyeire az alábbi piktogramokkal utalunk: ártalmas, irritáló maró mérgező tűzveszélyes oxidáló, az égést táplálja robbanásveszélyes a környezetre ártalmas 1

Labor zh-kérdések 1. Koncentrációk számítása, mértékegységek átváltása (számológép szükséges). 2. Adja meg a vízionszorzat értékét 25 C-on és írja fel a ph és a poh közötti összefüggést! 3. Mit jelent a "ph"? Mennyi egy X M os sósav vagy kénsav, vagy marónátron, vagy meszes víz oldatának ph-ja? (számológép szükséges) 4. Mit jelent a poh? Mennyi egy Y M os sósav vagy kénsav, vagy marónátron, vagy meszes víz oldatának poh-ja? (számológép szükséges) 5. Mit jelent, hogy egy anyag amfoter sajátságú? Adjon erre példát reakcióegyenlettel! 6. Semleges oldallánc esetén milyen töltésű lesz egy aminosav erősen savas közegben? (Írjon általános szerkezeti képletet is!) 7. Semleges oldallánc esetén milyen töltésű lesz egy aminosav erősen lúgos közegben? (Írjon általános szerkezeti képletet is!) 8. Milyen kémhatású a nátrium-acetát vizes oldata? Válaszát támassza alá reakcióegyenlettel! 9. Milyen kémhatású az ammónium-klorid vizes oldata? Válaszát támassza alá reakcióegyenlettel! 10. Adja meg a savas pufferoldatok összetételét! Írjon egy példát is! 11. Foglalja össze röviden a pufferek működésének elvét! 12. Mit jelent a pufferkapacitás? 13. Írja fel a pufferoldatok ph-jának számolására alkalmas Henderson-Hasselbalch egyenletet! 14. Írja fel reakcióegyenlettel, hogy mi történik, ha egy ecetsav-nátrium-acetát rendszerbe kevés sósavat adunk! 15. Írja fel reakcióegyenlettel, hogy mi történik, ha egy ecetsav-nátrium-acetát rendszerbe kevés KOH-t adunk! 16. Írja fel reakcióegyenlettel, hogy mi történik, ha egy ammónia-ammónium-klorid rendszerbe kevés KOH-t adunk! 17. Írja fel reakcióegyenlettel, hogy mi történik, ha egy ammónia-ammónium-klorid rendszerbe kevés salétromsavat adunk! 18. Írja fel a Henderson-Hasselbalch egyenletet a fiziológiás bikarbonát-pufferre! 19. Hogyan változik egy pufferoldat ph-ja, ha az oldatot háromszorosára hígítjuk? Válaszát röviden indokolja! 20. Hogyan változik egy pufferoldat pufferkapacitása, ha az oldatot háromszorosára hígítjuk? Válaszát röviden indkolja! 21. Milyen pufferrendszer felelős a vér állandó ph-jának biztosításáért? Hogyan akadályozza meg ez a rendszer az acidózist? Írjon reakcióegyenletet! 22. Milyen pufferrendszer felelős a vér állandó ph-jának biztosításáért? Hogyan akadályozza meg ez a rendszer az alkalózist? Írjon reakcióegyenletet! 23. Milyen pufferrendszer felelős a sejt állandó ph-jának biztosításáért? Hogyan akadályozza meg ez a rendszer az alkalózist? Írjon reakcióegyenletet! 24. Milyen pufferrendszer felelős a sejt állandó ph-jának biztosításáért? Hogyan akadályozza meg ez a rendszer az acidózist? Írjon reakcióegyenletet! 25. Nevezzen meg egy fehérjét, ami a vérben puffer funkciót (is) ellát. Miért alkalmas ez a makromolekula erre a szerepre? A válaszokhoz ld: Orvosi kémiai gyakorlatok jegyzet 154-163. o. és a 13-16. előadások (Savak és bázisok; ph és poh; Pufferoldatok) anyaga. 2

Kísérletek A gyakorlaton a méréseket HI 98103 Checker típusú hordozható ph mérővel, kombinált üvegelektród alkalmazásával végezzük. A műszert bekapcsolás után két pontosan ismert ph-jú pufferoldattal kalibráljuk. A készülék bekapcsolása előtt győződjünk meg arról, hogy az elektródon kis védőkupak található, amely elektródtároló oldatot tartalmaz. Ha az ellenkezőjét tapasztaljuk, szóljunk a gyakorlatvezetőnek. (A kiszáradt elektród mérésre nem alkalmas, azt több órás munkával lehet csak ismét működőképessé tenni, de élettartama így is lényegesen csökken. Ha az elektródra véletlenül a mérendő minta szárad rá, az elektród nagy valószínűséggel azonnal tönkremegy!) Kalibrálás Távolítsa el a védőkupakot az elektródról és tegye azt a polcon előkészített tároló rekeszbe. Az elektródot öblítse le alaposan desztillált vízzel, majd óvatosan, szűrőpapírral itassa le (az elektródon maradt vízcseppek hígítanák a következő mérendő oldatot!). Merítse az elektródot az első kalibráló puffer oldatba kb. 3 cm mélységig. Ennek az oldatnak a ph-ja 7 körül van, pontos értéke a palack címkéjéről leolvasható. Kapcsolja be a készüléket a tetején található ON/OFF kapcsoló elcsúsztatásával. A kis csavarhúzó segítségével állítsa be az első pufferoldat ph-jának megfelelő pontos értéket a ph7 jelzésű csavarral, szintén a készülék tetején. (A membránpotenciál kb. 60 másodperc alatt áll be). Ezután emelje ki az elektródot, és az előbb részletezett módon mossa le. Helyezzük az elektródot a második ismert ph-jú pufferelegybe (ph~10). A kis csavarhúzóval a ph4/10 jelű csavaron kb. 1 perc után állítsuk be a második pufferoldat ph érékét. Emelje ki az elektródot az oldatból és vízzel mossa le. A készülék így mérésre kész. A csavarok helyzetén többé ne változtasson! Potenciometriás ph-mérés Válasszon egyet a kiadott italokból (kóla, tea, kávé, bor), töltsön meg vele egy műanyag poharat. Merítse az elektródot kb. 3 cm mélységig a vizsgálandó oldatba. Kapcsolja be a készüléket, és a kijelzőn kb. 1 perc múlva olvassa le a minta ph értékét. A vizsgált minta: A mért ph-érték: Kapcsolja ki a készüléket. Emelje ki az elektródot az oldatból, majd öblítse le desztillált vízzel. 3

Pufferoldatok vizsgálata potenciometriásan Mérőhenger segítségével mérjen ki 40-40 cm 3 térfogatú A, B és C jelű törzsoldatot egy-egy főzőpohárba! a.) (I) Merítse az elektródot az első vizsgálandó oldatba kb. 2-3 cm mélységig, kapcsolja be a készüléket, majd kb. 1 perc múlva olvassa le a ph-értéket és jegyezze fel az alábbi táblázatban! (II) Ezután a kicsi, műanyag mérőhenger segítségével mérjen ki 2 cm 3 0,1 M sósav-oldatot, és öntse a vizsgált oldatba! Keverje meg óvatosan az oldatot, majd jegyezze fel az új ph-értéket a táblázatban! (III) Folytassa a sósav adagolását: ismételje meg a (II) műveletet még kétszer 2 cm 3 0,1 M sósav-oldattal! Lásd táblázat! (IV) Végül emelje ki az elektródot az oldatból, majd öblítse le desztillált vízzel. b.) Végezze el a kísérletet a másik két oldattal is, a mérési eredményekkel töltse ki a táblázatot! eredeti: ph A B C + 2 cm 3 HCl-oldat: + 2 cm 3 HCl-oldat: + 2 cm 3 HCl-oldat: Tapasztalatai alapján mit gondol, melyik jelű oldatnak melyik összetétel felel meg? Kösse össze vonallal! A desztillált víz B C 0,15 M foszfát-puffer 0,075 M foszfát-puffer Válaszát indokolja! 4

BEMUTATÓ KÍSÉRLET - Potenciometriás titrálás Az alábbi kísérletben az alanin nevű aminosav titrálási görbéjét határozzuk meg, majd elemezzük azt. Az alanin HCl só 0,1 M-os, ismert térfogatú oldatához adagolunk 0,1 M NaOH mérőoldatot, miközben követjük az oldat ph-változását. A titrálási görbét úgy vesszük fel, hogy ábrázoljuk az oldat ph-változását a mérőoldat fogyásának függvényében. Kivitelezés: A bürettát kétszer öblítse át NaOH mérőoldattal, majd töltse fel a NaOH mérőoldattal, és állítsa a mérőoldat meniszkuszát a 0 cm 3 jelre! Pipettázon egy főzőpohárba 10,0 cm 3 alanin HCl oldatot, tegye bele a mágneses keverőmagot. Helyezze a főzőpoharat a mágneses keverőre. Helyezze a főzőpohárba a ph-mérő készülék elektródját úgy, hogy a mágneses keverőmag ne érhessen hozzá, és adjon hozzá annyi (kb. 50 cm 3 ) desztillált vizet, hogy az oldat ellepje az elektródot. A készülékek bekapcsolása után a bürettából 0,5 cm 3 -es részletekben adagolja a mérőoldatot a főzőpohárba. A készülékről olvassa le a ph értékeket, és foglalja azokat táblázatba. A kapott térfogat-ph adatpárokat ábrázolja grafikusan: a ph-t a fogyott mérőoldat függvényében. A pontokra illesszen görbét, majd becsülje meg az inflexiós pontokat! (inflexiós pont: ahol a függvény görbületet vált) 1. ábra. Potenciometriás titrálás 5

A titrálás során a ph változása a fogyott NaOH-oldat mennyiségének függvényében: V NaOH (cm 3 ) ph V NaOH (cm 3 ) ph 0,0 10,5 0,5 11,0 1,0 11,5 1,5 12,0 2,0 12,5 2,5 13,0 3,0 13,5 3,5 14,0 4,0 14,5 4,5 15,0 5,0 15,5 5,5 16,0 6,0 16,5 6,5 17,0 7,0 17,5 7,5 18,0 8,0 18,5 8,5 19,0 9,0 19,5 9,5 20,0 10,0 A kapott térfogat-ph adatpárokat ábrázolja grafikusan a következő oldalon: a ph-t a fogyott mérőoldat függvényében. A pontokra illesszen görbét, majd becsülje meg az inflexiós pontokat! 6

7

a.) A karboxil-csoport és az α-amino-csoport vizes oldatban gyenge savként, ill. gyenge bázisként viselkedik, emiatt az aminosavak főként ún. ikerionos (zwitterion) állapotban fordulnak elő. Az alábbi ábrán nevezze meg a bekarikázott funkciós csoportokat! *Milyen a -CH 3 csoport sav-bázis jelleme? Rajzolja fel az alanin ikerionos szerkezetét! A képletben jelölje meg a deprotonált karboxilát-iont és a protonált primer ammónium-iont. Az aminosavak izoelektromos pontja az a ph-érték, amelyen az aminosav semleges, nincs eredő töltése. Ennél alacsonyabb ph-n mind a karboxilcsoport, mind az amino-csoport protonált, magasabb ph-n pedig deprotonáltak. A protonáltság ill. deprotonáltság foka (mértéke) az adott ph-tól függ. Írja fel az alanin reakcióját 1 mól sósavval (szerkezeti képlettel)! A termék neve alanin HCl. Mennyi a termékben az aminosav eredő töltése? Nevezze meg, hogy mely csoport protonált a termékben! 8

b.) Az aminosavak titrálási görbéje azt mutatja meg, hogy hogyan változik az oldat ph-ja, ha a +1 töltésű, protonált aminosav vizes oldatához erős bázist adagolunk. Vizsgáljuk meg, milyen reakciók játszódnak le ilyenkor! Írja fel az alanin HCl reakcióját 1 mól nátrium-hidroxiddal (szerkezeti képlettel)! Mennyi a termékben az aminosav eredő töltése? Írja fel a termék reakcióját további 1 mól nátrium-hidroxiddal (szerkezeti képlettel)! Mennyi a termékben az aminosav eredő töltése? Nevezze meg, hogy mely csoport deprotonált a termékben! Az alábbi ábra az alanin titrálási görbéjét mutatja: a ph változását a hozzáadott NaOH mennyiségének függvényében. A kiindulási állapotban a sósavas só található, 1 ekvivalensnyi bázis hozzáadásával jutunk a semleges formához, további 1 ekvivalensnyi bázis hozzáadásával a -1 töltésű deprotonált formát kapjuk. Adja meg a becsült inflexiós pontok ph értékét a titrálási görbe alapján! Rajzolja be az üres téglalapokba a domináns forma szerkezeti képletét (protonáltsági állapotát)! 9

A titrálási görbe kétlépcsős: kevés (kb. 0,1 egyenértékű) NaOH hozzáadásakor a +1 töltésű protonált forma feleslegben van, de már megjelenik a semleges (nem protonált, ikerionos) alak is. Mivel ez utóbbi egy gyenge sav (karbonsav) sója, pufferrendszer alakul ki, további NaOH hozzáadására a ph csak kis mértékben változik. Ezt a fenti görbén a satírozott, kis meredekségű szakasz jelzi. Az első ekvivalenciapont (amikor az aminosav és a NaOH mennyisége azonos) közelében a ph-változás ugrásszerű, azaz a NaOH mérőoldat kicsiny adagja nagy ph-változást eredményez, itt már nem érvényesül pufferhatás. További (kb. 0,1 egyenértékű) NaOH hozzáadására a protonált amino-csoport is elkezd deprotonálódni, azaz újabb pufferrendszer alakul ki (gyenge bázis és sója), ami azt eredményezi, hogy a ph-változás ismét viszonylag kismértékű. Ezt a fenti ábrán a második kék szakasz jelöli. A második ekvivalenciapont (amikor a hozzáadott NaOH mennyisége kétszer annyi, mint az aminosavé) környékén a ph ismét ugrásszerűen megnő. Írja fel az első lépcsőhöz tartozó pufferendszer ph-jának számolására alkalmas Henderson-Hasselbalchegyenletet! Milyen arányban áll a +1 eredő töltésű protonált forma és az ikerionos alak 0,5 ekvivalens NaOH hozzáadásakor? Mennyi ilyenkor az oldat ph-ja? Milyen arányban áll a -1 eredő töltésű deprotonált forma és az ikerionos alak 1,5 ekvivalens NaOH hozzáadásakor? Mennyi ilyenkor az oldat ph-ja? A titrálási görbe első lépcsőjének segítségével meghatározható a karboxil-csoporthoz tartozó savi disszociációs állandó (K s). A fenti görbéről olvassa le az alanin pk s értékét és számolja ki a K s értéket! A második lépcső segítségével hasonlóképpen meghatározható az aminosav amino csoportjának K b értéke. Mivel a protonált formát deprotonáljuk NaOH segítségével, valójában a primer ammónium-ion mint konjugált sav savi disszociációs állandóját (pk ks) mérjük meg. A vízionszorzat (K v) segítségével számolható az aminocsoporthoz tartozó K b érték: K b K ks = K v, ill. pk b + pk ks = pk v. A fenti görbéről olvassa le az alanin pk ks értékét és számolja ki a K b értéket! A semleges oldalláncú aminosavak esetén az izoelektromos pont (pi) a pk 1 és pk 2 állandók számtani közepe: pi = (pk 1 + pk 2)/2. Ez jól látható a fenti példánkon is. 10