11. előadás Konvex poliéderek
Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos ponthalmazokat, melyek előállnak véges sok olyan zárt féltér metszeteként, melyeknek van közös belső pontjuk.
Konvex poliéder Tétel: A két definíció ekvivalens, azaz pontosan ugyanazokat a ponthalmazokat adja meg mindkettő. Szemléletesen nyilvánvaló, a precíz bizonyítás hosszadalmas, ezért elhagyjuk.
Lapok, élek, csúcsok Szemléletesen nyilvánvaló, hogy mit nevezünk lapnak, élnek, csúcsnak. Definíció: A T sík támaszsíkja a P konvex poliédernek, ha T tartalmazza P-nek legalább egy pontját, továbbá P teljes egészében benne van a T által meghatározott két zárt féltér közül az egyikben.
Lapok, élek, csúcsok Tétel: Ha T támaszsíkja a P konvex poliédernek, akkor T P csak a következők egyike lehet: ii. egy pont, iii. egy zárt szakasz, iv. egy konvex sokszög. Bizonyítás: T P nem üres, síkbeli konvex, zárt, korlátos halmaz.
Lapok, élek, csúcsok Definíció: A P konvex poliéder lapjának, élének, illetve csúcsának nevezzük azokat a ponthalmazokat, melyek előállnak T P alakban, ahol T a poliéder támaszsíkja. Ha a metszet egy pont, akkor csúcsot, egy zárt szakasz, akkor élet, egy konvex sokszög, akkor lapot kapunk.
Lapok, élek, csúcsok Néhány szemléletesen nyilvánvaló tulajdonság: Bármely él pontosan két lap közös oldala. Bármely csúcsban legalább három lap és legalább három él találkozik. Bármely lapról bármely másikra eljuthatunk egymáshoz élekben csatlakozó lapok sorozatán keresztül. Bármely csúcsból bármely másikba eljuthatunk egymáshoz csúcsokban csatlakozó élek sorozatán keresztül. Az élekből alkotott bármely egyszerű zárt töröttvonal a poliéder felületét két részre osztja.
Példák Hasábok: Legyen S egy konvex sokszög, S pedig egy olyan eltoltja, mely nincs benne S síkjában. Ekkor az SUS ponthalmaz konvex burkát S alapú hasábnak nevezzük.
Példák Ha S egy n-szög, akkor a hasábot n-oldalú hasábnak nevezzük. (Tehát az n-oldalú hasábnak (n+2) lapja van.) Ez előállítható n+2 féltér metszeteként. A paralelepipedon négyoldalú hasáb.
Példák Gúlák: Legyen S egy konvex sokszög, P pedig egy olyan pont, mely nincs benne S síkjában. Ekkor az SUP ponthalmaz konvex burkát S alapú gúlának nevezzük.
Példák Ha S egy n-szög, akkor a gúlát n-oldalú gúlának nevezzük. (Tehát az n-oldalú gúlának (n+1) lapja van.) Ez előállítható n+1 féltér metszeteként. A tetraéder háromoldalú gúla.
Példák Kettős gúlák: Legyen S egy konvex sokszög, PQ pedig egy olyan szakasz, mely S belső pontjában döfi S síkját. Ekkor az SU{P,Q} ponthalmaz konvex burkát S alapú kettős gúlának nevezzük.
Példák Ha S egy n-szög, akkor a kettős gúlát is noldalú kettős gúlának nevezzük. (Tehát az n-oldalú kettős gúlának 2n lapja van.) Ez előállítható 2n féltér metszeteként. Az oktaéder négyoldalú kettős gúla.
Példák Antiprizmák: Két szabályos n-szög, melyek síkjai merőlegesek a középpontjaikat összekötő egyenesre, egymáshoz képest 180º/n szöggel elforgatva. A két sokszög csúcsainak konvex burka antiprizma.
Példák Focilabda: 12 szabályos ötszög és 20 szabályos hatszög csúcsainak konvex burka. Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy összerakható, és ráadásul mindenütt egyforma.
Lapok, élek, csúcsok Ha egy konvex poliéder lapjainak, éleinek és csúcsainak számát rendre l, e és c jelöli, akkor az eddigi példáinkban: n-oldalú gúla: l = n+1, e = 2n, c = n+1, n-oldalú hasáb: l = n+2, e = 3n, c = 2n, n-oldalú kettős gúla: l = 2n, e = 3n, c = n+2.
Kombinatorikus szerkezet Ha nem nézzük a határoló lapok oldalainak hosszát, szögeit, hanem csak a poliéder illeszkedési tulajdonságait, akkor minden gúla, hasáb, illetve kettős gúla egyforma. Például egy kocka és egy paralelepipedon ugyanolyan. Bármely két tetraéder ugyanolyan.
Kombinatorikus szerkezet Definíció: A P és Q konvex poliéderek azonos kombinatorikai szerkezetűek, ha megadható csúcshalmazaik közt egy olyan bijekció, melyre teljesül, hogy: P két csúcsát pontosan akkor köti össze él, ha a nekik megfeleltetett Q-beli csúcsokat él köti össze, P csúcsainak egy részhalmaza pontosan akkor van rajta egy lapon, ha a nekik megfeleltetett Qbeli csúcsok egy lapon vannak.
Kombinatorikus szerkezet Definíció: A P és Q konvex poliéderek duális kombinatorikai szerkezetűek, ha megadható P csúcshalmaza és Q lapjainak halmaza közt egy olyan bijekció, melyre teljesül, hogy: P két csúcsát pontosan akkor köti össze él, ha a nekik megfeleltetett Q-beli lapok szomszédosak, P csúcsainak egy részhalmaza pontosan akkor van rajta egy lapon, ha a nekik megfeleltetett Qbeli lapoknak van közös csúcsuk.
Kombinatorikus szerkezet A dualitási viszony szimmetrikus, azaz ha P csúcsai és Q lapjai közt létezik a kívánt bijekció, akkor Q csúcsai és P lapjai közt is létesíthető hasonló tulajdonságú megfeleltetés. Beszélhetünk tehát arról, hogy két poliéder kombinatorikusan egymás duálisa. Az n-oldalú hasábok és az n-oldalú kettős gúlák egymás duálisai. Az n-oldalú gúlák önmagukkal duálisak.
Euler poliédertétele A konvex poliéderek kombinatorikus tulajdonságaira vonatkozó legismertebb tétel Eulertől származik: Euler poliédertétele: Minden konvex poliéderre teljesül, hogy c + l = e + 2, azaz a csúcsok és a lapok számának összege 2-vel több, mint az élek száma.
Euler poliédertétele Bizonyítás: A konvxex poliéderekre teljesül, hogy: 3. Bármely él pontosan két lap közös oldala. 4. Bármely lapról bármely másikra eljuthatunk egymáshoz élekben csatlakozó lapok sorozatán keresztül. 5. Bármely csúcsból bármely másikba eljuthatunk egymáshoz csúcsokban csatlakozó élek sorozatán keresztül. 6. Az élekből alkotott bármely egyszerű zárt töröttvonal a poliéder felületét két részre osztja.
Euler poliédertétele Szemléletesen bizonyítunk. A poliéder egy bolygó, aminek a felszínét az éleknek megfelelő gátak medencékre osztják. Minden medence egy lapnak felel meg. Kezdetben az egyik medencében víz van. Szeretnénk az egész bolygót vízzel elárasztani. Ezt úgy csináljuk, hogy minden lépésben felrobbantunk egy olyan gátat, aminek az egyik oldalán víz van, a másikon nincs.
Euler poliédertétele 2. miatt véges sok lépésben elérjük célunkat. 1. miatt a felrobbantott gátak száma ef = l-1. 3. és 4. miatt a megmaradt élek és a csúcsok egy összefüggő, körmentes gráfot, azaz fát alkotnak, ezért em = c-1. Mivel minden él vagy megmaradt, vagy felrobbantottuk, ezért e = ef + em = (l-1) + (c-1) = c + l - 2.
Euler poliédertétele Euler tétele nem csak konvex poliéderekre igaz, hanem minden olyan poliéderre, ami rendelkezik az 1-4. tulajdonságokkal. Ezek az ún. egyszerű poliéderek.
Euler poliédertétele Vannak persze olyan poliéderek, amikre nem igaz az Euler tétel: c = 16, e = 32, l = 16.
Euler poliédertétele Ez a poliéder tórusszerű, míg a konvex poliéderek gömbszerűek. Euler tétele igazából topológiai tétel, sokkal általánosabban is megfogalmazható. Különböző dimenziókban (pl. síkban: konvex sokszögre c = e ). Különböző topológikus tulajdonságú testekre (pl. tórusszerűekre c + l = e).
SZÜNET
Szabályos testek Definíció: Szabályos poliédernek nevezzük az olyan konvex poliédereket, melyeknek élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Az élek és élszögek egyenlőségéből következően a lapok egybevágó szabályos sokszögek. Az élszögek és a lapszögek egyenlőségéből következően a test szögletei egybevágóak.
Szabályos testek A szabályos testeket ezért hasonlóság erejéig meghatározza két paraméter: n: a határoló lapok oldalszáma m: az egy csúcsban találkozó lapok száma.
Szabályos testek Tétel: Ötféle szabályos test van. Ezek adatai:
Szabályos testek Már az ókori görögök is ismerték őket:
Szabályos testek Bizonyítás: Mivel minden él két laphoz tartozik, ezért: 2e = nl. Mivel minden élnek két vége van, ezért: 2e = mc. Ezeket beírva Euler tételébe és rendezve: c + l = e + 2, azaz 2e/m + 2e/n = e + 2, 1/m + 1/n = 1/2 + 1/e.
Szabályos testek Tehát 1/m + 1/n > 1/2, azaz (n-2)(m-2) < 4. Mivel n is és m is legalább 3, ezért a bal oldal értéke csak 1,2 vagy 3 lehet. Ezekből adódik az öt lehetőség: 1 = (3-2)(3-2), 2 = (4-2)(3-2) = (3-2)(4-2), 3 = (5-2)(3-2) = (3-2)(5-2).
Szabályos testek Ezzel beláttuk, hogy kombinatorikus struktúráját tekintve öt szabályos test létezhet. Meg kell még mutatnunk, hogy ezek mindegyike létezik is. Kockát egyszerűen tudunk készíteni a derékszögű koordinátarendszerben. Ebből kiindulva állítjuk elő a másik négy szabályos testet.
Szabályos testek Szabályos tetraéder:
Szabályos testek Szabályos oktaéder: A szabályos oktaéder a kocka duálisa.
Szabályos testek Szabályos dodekaéder: 12 lap, 30 él, 20 csúcs.
Szabályos testek A kocka minden lapjára egy-egy háztetőt építünk. Koordinátákkal: ( ±1, ±1, ±1) ( 0, ±τ-1, ±τ) (±τ, 0, ±τ-1) ( ±τ-1, ±τ, 0) ahol τ = ( 5 + 1)/2.
Szabályos testek Szabályos ikozaéder: a szabályos dodekaéder duálisa. A dodekaéder lapközéppontjai ikozaédert alkotnak. 20 lap, 30 él, 12 csúcs.
Féligszabályos testek
Euler tételének következményei Tétel: Nincs 7 élű konvex test. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy van ilyen. Mivel minden lapnak legalább 3 oldaléle van, ezért 3l 2e = 14, tehát l 4. Mivel minden csúcsban legalább 3 él találkozik, ezért 3c 2e = 14, tehát c 4. Ezért 9 = e + 2 = c + l 8, ellentmondás.