I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember (matematika, fizika BSc) A nevező nem lehet nulla, emiatt x, ezért az x és az x egyenesek nem tartoznak a megoldáshoz. Ha a számláló nulla, akkor a nevező tetszőleges, nemnulla értéke mellett teljesül az egyenlőtlenség, így az y x parabola pontjai a ; és az A tört akkor pozitív, ha a számlálója és nevezője azonos előjelű. ; pontok kivételével a megoldáshalmaz elemei. A számláló pozitív, ha y x, aminek a parabola alatti pontok felelnek meg. A nevező pozitív, ha x, vagyis az x egyenestől balra, illetve az x egyenestől jobbra elhelyezkedő félsíkok pontjai. E kettő metszete tartozik a megoldáshalmazhoz. A számláló is és a nevező is negatív a parabola fölött (y > x ) és a két függőleges egyenesünk között ( x < ). A megoldás: (Az üres karikával jelölt pontok és a szaggatott vonallal jelölt egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshoz.)
. Hol metszi az y-tengelyt az A0;, B;, C ;5 csúcspontokkal rendelkező háromszög B- ből induló súlyvonala? (A) 4 y (B) 7 y (C) y 3,3 (D) 0 y (E) 3 y 9 9 BME 05. szeptember. (6A) A B -ből induló súlyvonal áthalad az AC szakasz felezőpontján. F AC 0 5 ; ;3 A vektor a keresett súlyvonal irányvektora, 90 -os elforgatással kapunk egy normálvektort. BFAC 3 3 v BF AC ;3 ;, tehát n ; A súlyvonal egyenlete a B pontot használva: 3 3 x y 3 x y 5 Az y-tengellyel való metszéspont első koordinátája 0, ezért a második koordinátát megkapjuk, ha x helyére 0-t helyettesítünk: A jó válasz a (D). 3 5 y, tehát 0 y. 3 3. A következő kifejezések közül melyik lehet egy valódi kör egyenlete?.. 3. x y x y 4 0 x y y 8 7 0 x y x y 6 4 0 (A) Csak az. (B) Csak a. (C) Csak a 3. (D) Több is igaz. (E) Egyik sem igaz. BME 04. december 5. (6A)
Az. egyenletben az x és az y együtthatója nem egyenlő, emiatt nem lehet kör egyenlete. A. és a 3. egyenletet át kell alakítanunk, hogy lássuk a kör középpontját és sugarát. A. egyenlet: x x y y 8 7 0 y 4 6 7 0 x y 4 A jobb oldalon negatív számot kaptuk, ezért ez az egyenlet egy üreshalmazt ad meg. A 3. egyenlet: x y x y 6 4 0 x y x y 3 9 4 0 3 Ez egy valódi kör egyenlete. (A kör középpontja (3; ), sugara.) Tehát a jó válasz a (C). 4. A derékszögű koordináta-rendszer síkjában adott egy négyszög négy csúcsával: A; 3, 4; 3, 4;, ; B C D és egy kör az egyenletével: x y x y 0 00 0. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a négyszögnek is és a körnek is a területét! ELTE 0. szeptember (matematika BSc) Megnézve a megadott négyszög csúcsainak koordinátáit látható, hogy egy téglalapról van szó. A téglalap területét azok az egyenesek felezik, melyek átmennek a téglalap középpontján. (A téglalap középpontján átmenő egyenesek két egybevágó síkidomra bontják a téglalapot.) Hasonlóan a kör területét a kör középpontján átmenő egyenesek felezik. Meg kell tehát keresnünk mindkét alakzat középpontját, majd felírni a két ponton átmenő egyenes egyenletét. 4 3 A téglalap középpontja az AC szakasz felezőpontja: ; ;4 A kör középpontjának megállapításához át kell alakítanunk a kör egyenletét. A kör középpontja tehát a K 0;6 pont. F AC x y x y 0 00 0 x y x y 0 00 6 36 00 0 0 6 36 3
A két középponton átmenő egyenes irányvektora: v 0;4 6 9; n KF AC, tehát ; 9 A keresett egyenes egyenlete a normálvektorral és x 9y 94 x 9y 34 F AC ponttal felírva: 4
II. Ismételjünk! Vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, kör egyenlete: https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/5.pdf -. oldal III. Gyakorló feladatok. Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azok az ( x; y ) pontok, amelyekre teljesül az alábbi két feltétel:. Adott 3 vektor: a 3; 4, b 5;, c 8;0 a) a b 3c b) a c b x + y < 8 és y x + 4. Végezze el az alábbi vektorműveleteket! 3. Adottak az a ( 7;) és a b (3; 4) vektorok. Mennyi az általuk bezárt szög koszinusza? (A) (B) (C) (D) 5 5 (E) Ezek egyike sem. BME 0. szeptember. (6A) 4. Adott egy háromszög: A;, B 7,4, C,. a) Adja meg a háromszög AB oldalának felezőpontját a koordinátáival! b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! c) Adja meg a CB vektor koordinátáit! d) Határozza meg a háromszög kerületét! 5. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai A6; 4 és C ;6. Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! 5 ELTE 03. szeptember (matematika tanárszak) 6. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P 3;5 ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő (nem nulla) hosszúságú szakaszokat vág le! ELTE 00. szeptember (földtudomány, környezettan BSc) 7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P3; ponton, és a) párhuzamos az e: x 5y 4 egyenletű egyenessel! b) merőleges az e: x 5y 4 egyenletű egyenesre!
8. Az alábbiak közül melyik az a pont, amely illeszkedik az A;3, B0;, C 4; háromszög B-ből induló magasságvonalára? (A) ;6 (B) ;5 (C) ; 7 (D) ; 6 (E) ; 5 9. Milyen távol van a ;7 0. Adott egy k kör az egyenletével: P pont az e: 3x y 6 egyenestől? x x y y azonos középpontú), feleakkora sugarú kör egyenletét!. Hol metszi az e : x y egyenletű egyenes a) a 3x y 3 egyenletű egyenest? b) az x y 3 5 egyenletű kört?. Írja fel az A; ; B 5; ; ; 3. Írja fel az alábbi A 5; ; B0; ; C 8; BME 05. május 8. (6A) 4 8 5. Írja fel a k-val koncentrikus (vagyis C háromszög köré írható körének egyenletét! háromszög köré írható körének egyenletét! 4. Adott egy kör az egyenletével: x y körön, a 3. síknegyedben van, első koordinátája. a) Határozza meg P második koordinátáját! b) Írja fel a kör P-n átmenő érintőjének egyenletét! 3 5. Egy P pontról tudjuk, hogy rajta van a 5. Adott egy kör a koordináta-rendszer síkjában, amelynek a középpontja az origóban van és a sugara 0 egység. Határozza meg azoknak a köröknek az egyenletét, melyek érintik ezt a kört, valamint az x-tengelyt a 0;0 pontban. ELTE 05. szeptember (tanárszakok) IV. Megoldások. Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azok az ( x; y ) pontok, amelyekre teljesül az alábbi két feltétel: x + y < 8 és y x + 4 Vizsgáljuk csak az első feltételt! Az egyenlőtlenségből fejezzük ki y-t: y < x + 4 6
Ábrázoljuk az y = x + 4 egyenest! A fenti egyenlőtlenséget azoknak a pontoknak a koordinátái teljesítik, amelyek az egyenes alatt helyezkednek el (az egyenes pontjai nem). Nézzük meg külön a. feltételt is! Ábrázoljuk az y = x + 4 függvényt! (Pontosan fogalmazva x x + 4 függvényt.) Az y x + 4 feltételnek a grafikon pontjai és a felette elhelyezkedő pontok felelnek meg. A két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát a két halmaz közös részét, metszetét keressük. Egy háromszög alakú területet kapunk. Az üres karikával jelölt pontok és a szaggatott vonallal jelölt oldal nem tartozik hozzá a keresett tartományhoz. 7
. Adott 3 vektor: a 3; 4, b 5;, c 8;0 a) a b 3c b) a c b. Végezze el az alábbi vektorműveleteket! a) a b 3c 3; 4 5; 3 8;0 6; 8 5; 4;0 6 5 4; 8 0 35; 0 b) a c b Megjegyzés: 3; 4 8;0 5; ; 4 ( 0;4) 0 4 4 6 Két vektor összegének, különbségének, egy vektor számszorosának az eredménye vektor, viszont két vektor skaláris szorzatának az eredménye egyetlen szám. 3. Adottak az a ( 7;) és a b (3; 4) vektorok. Mennyi az általuk bezárt szög koszinusza? (A) (B) (C) (D) 5 5 (E) Ezek egyike sem. BME 0. szeptember. (6A) A két vektor által közbezárt szög a skaláris szorzatból könnyen számolható. Tudjuk, hogy ab a b cos. Átrendezve: 7 3 4 ab 7 3 4 5 5 5 cos a b 50 5 5 5 5 A jó válasz az (A). 4. Adott egy háromszög: A;, B 7,4, C,. a) Adja meg a háromszög AB oldalának felezőpontját a koordinátáival! b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! c) Adja meg a CB vektor koordinátáit! d) Határozza meg a háromszög kerületét! a) A felezőpont koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk: F AB 7 4 ; 4;3 b) A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok koordinátáinak számtani közepe: 8
7 4 ( ) 0 5 S ; ; 3 3 3 3 c) Két pont közötti vektor koordinátáit megkapjuk, ha a végpontból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit. CB 7 ;4 5;5 d) A háromszög oldalainak hosszát a csúcsainak távolságaként kapjuk. AB 7 4 40 BC 7 4 50 AC 0 K 50 40 0 6,56 5. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai A6; 4 és C ;6. Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! ELTE 03. szeptember (matematika tanárszak) A rombusz átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra. Ezért a keresett két csúcspontot megkapjuk, ha a középpontot eltoljuk a rövidebbik átló vektorának 90 -os elforgatottjával mindkét irányba. A rombusz középpontja az AC szakasz felezőpontja: 6 4 6 F AC ; ; AC 6;6 4 8;0 9
90 -kal elforgatva 0;8 illetve 0; 8. Ezekkel a vektorokkal kell a középpontot eltolni. B ; 0;8 ;9 és D ; 0; 8 8; 7 6. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P 3;5 ponton és a koordinátatengelyekből egyenlő (nem nulla) hosszúságú szakaszokat vág le! ELTE 00. szeptember (földtudomány, környezettan BSc) A koordinátatengelyekből egyenlő hosszúságú szakaszokat az m és az m meredekségű egyenesek vágnak le. Így a keresett egyenes egyenlete y x b, vagy y x b. Ezekbe P koordinátáit helyettesítve kapjuk b lehetséges értékeit. 5 3 b vagy 5 3 b b b 8 Két megoldást kaptunk: y x, illetve y x 8. 7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P3; ponton, és a) párhuzamos az e: x 5y 4 egyenletű egyenessel! b) merőleges az e: x 5y 4 egyenletű egyenesre! A megadott egyenes normálvektora az egyenletéből leolvasható: ;5 n. a) A párhuzamos egyenesnek ugyanez a normálvektora. A keresett egyenes egyenlete: x 5y 3 5 x 5y 4 b) A merőleges egyenesnek a normálvektorát 90 -os elforgatással kapjuk: n 5; keresett egyenes egyenlete: e f. A 0
5x y 53 5x y 9 8. Az alábbiak közül melyik az a pont, amely illeszkedik az A;3, B0;, C 4; háromszög B-ből induló magasságvonalára? (A) BME 05. május 8. (6A) Írjuk fel a B-ből induló magasságvonal egyenletét! Az ehhez szükséges normálvektor az AC. n AC 6;. Így a magasságvonal: x y koordinátája, ezt helyettesítsük a kapott egyenletbe! A jó válasz a (B). 9. Milyen távol van a ;7 ;6 (B) ;5 (C) ; 7 (D) ; 6 (E) ; 5 6 60. A megadott pontok első 6 y y 5 P pont az e: 3x y 6 egyenestől? Egy pont egyenestől való távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Ennek megfelelően a megoldás lépései:. merőlegest állítunk a P pontból az e egyenesre: f;. e és f metszéspontja: M; 3. M és P távolsága a keresett távolság.. Az e egyenes normálvektora: n 3; Az f egyenes erre merőleges: n ;3 pontja a P, tehát az f egyenes egyenlete: x y e 3 37 7. e és f metszéspontját egyenletrendszer megoldásával számoljuk: f. Egy
Összeadva az egyenleteket: Visszahelyettesítve az. egyenletbe: A metszéspont: M 4;3 3x y 6 x 3y 7 9x 6y 8 4x 6y 34 3x 5 x 4 3 4 y 6 y 6 y 3 MP 4 7 3 36 6 5 3. 0. Adott egy k kör az egyenletével: x x y y azonos középpontú), feleakkora sugarú kör egyenletét! 4 8 5. Írja fel a k-val koncentrikus (vagyis Alakítsuk át a kör egyenletét, hogy le tudjuk olvasni a kör középpontját és sugarát! A kör középpontja tehát ; 4 sugara pedig,5. Egyenlete: x x y y 4 8 5 x y x y 4 4 6 5 4 5 K, sugara r 5. A keresett körnek tehát ugyanez a középpontja, x y. Hol metszi az e : x y egyenletű egyenes a) a 3x y 3 egyenletű egyenest? b) az x y 3 5 egyenletű kört? 4 6, 5 Két alakzat metszéspontját megkapjuk, ha megoldjuk az egyenletükből álló egyenletrendszert. a) Egy elsőfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. Dolgozhatunk az egyenlő együtthatók módszerével, ehhez a második egyenletet szorozzuk -vel, majd összeadjuk az egyenleteket.
x y 3x y 3 x y 6x y 6 Visszahelyettesítve az első egyenletbe: A keresett metszéspont: M 4;. 7x 8 x 4 4 y y y b) A megoldandó egyenletrendszer egyik egyenlete elsőfokú, a másik másodfokú. Az elsőfokú egyenletből fejezzük ki x -et, és írjuk be a másodfokú egyenletbe! x y y y y y x y 3 5 5 4y 4y y 4y 4 5 5y 0 y 4 y Visszahelyettesítve az x y egyenletbe kapjuk, hogy x, x 6. A keresett két metszéspont tehát: M ;, 6;. Írja fel az A; ; B 5; ; ; M. C háromszög köré írható körének egyenletét! 3
Vegyük észre, hogy a háromszög derékszögű! Ellenőrizzük: ha az AB és az AC oldalak merőlegesek egymásra, a megfelelő vektorok skaláris szorzata nulla. AB 6;, AC ;3 6 3 0, AB AC A Thalész-tétel szerint a köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja, a sugara az átfogó hosszának fele. F BC 3 3 ; CB 5 50 ; ; r 50 A keresett kör egyenlete: 3 3 5 x y 3. Írja fel az alábbi A 5; ; B0; ; C 8; háromszög köré írható körének egyenletét! A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. A megoldás lépései:. AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete: e;. AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: f; 3. e és f metszéspontja: K a kör középpontja; 4. a kör sugara K és A távolsága; 5. a kör egyenlete. 4
.. 5 3 F AB ; ; n AB 5; 9 e e :5x 3y 3 3 9 F AC ; ; n AC 3;3 f f : x y 6 3. Megoldandó a 5 x 3 y 3 x y 6 egyenletrendszer. dolgozhatunk a vele párhuzamos 5; 3 vektorral dolgozhatunk a vele párhuzamos ; vektorral. A második egyenletből kifejezzük x-et, majd beírjuk az. egyenletbe. x 6 y K 0;6 r KA 0 5 6 7 4. 5 6 y 3y 3 80 5y 3y 3 5. A keresett kör egyenlete: x y 8y 48 y 6 x 6 6 0 0 6 89 4. Adott egy kör az egyenletével: x y körön, a 3. síknegyedben van, első koordinátája. a) Határozza meg P második koordinátáját! b) Írja fel a kör P-n átmenő érintőjének egyenletét! 3 5. Egy P pontról tudjuk, hogy rajta van a a) Mivel P rajta van a körön, a kör egyenletébe x -et helyettesítve megkapjuk P második koordinátáját. y 3 5 6 y 5 y 9 y 3 y y 5 Tudjuk, hogy P a 3. síknegyedben van, ezért az y 5 a feladat megoldása. b) A kör érintőjét a körvonal egy adott pontjában keressük. Tudjuk, hogy az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra. A keresett érintő normálvektora a KP vektor, ahol K a kör középpontja. 5
A kör középpontjának koordinátái leolvashatók az egyenletéből: K(3; ) n KP 4; 3. Így az érintő egyenlete: 4x 3y 4 ( 3) 5 4x 3y 9 5. Adott egy kör a koordináta-rendszer síkjában, amelynek a középpontja az origóban van és a sugara 0 egység. Határozza meg azoknak a köröknek az egyenletét, melyek érintik ezt a kört, valamint az x-tengelyt a 0;0 pontban. Készítsünk ábrát a feladathoz! ELTE 05. szeptember (tanárszakok) A feladat szimmetriájából következik, hogy két megfelelő, azonos sugarú kör van. Jelöljük a sugarat r-rel. A körök középpontjainak koordinátái 0; r. Az érintkező körök érintési pontjai és középpontjaik egy egyenesen vannak. Az ábrán is bejelölt derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk r értékét. A két kör egyenlete: r 0 r 0 400 r r 0r 00 300 0r r 5 x 0 y 5 5 és x y 0 5 5 6