Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0 - tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1 lesz. Egy a b alakban felírt szám reciproka a b a szám. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) A b természetes számot az a természetes szám osztójának nevezzük, ha létezik olyan q természetes szám, amelyre a = b q. Ekkor az a t a b többszörösének nevezzük. Jelöléssel: b a (ejtsd: a b osztója az a nak). Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni. Az 1 - et és magát a számot triviális osztónak nevezzük, s nem tekintjük valódi osztónak. A 0 minden számnak többszöröse, s a 0 nak végtelen sok osztója van: 0 a 0 nak osztója. Az osztó, többszörös fogalmát szokás egész számokra is értelmezni. Ha egy a szám osztója a b számnak, továbbá a b osztója a c számnak is, akkor az a osztója a c nek is. Jelöléssel: a b és b c a c. Ha egy szám osztója egy összeg minden tagjának, akkor osztója az összegnek is. Jelöléssel: a b és a c a (b + c). 1
Ha egy szám osztója egy különbség minden tagjának, akkor osztója a különbségnek is. Jelöléssel: a b és a c a (b c). Ha egy szám osztója egy szorzat valamelyik tényezőjének, akkor osztója a szorzatnak is. Jelöléssel: c a c (a b). Másképpen megfogalmazva: Ha egy c szám osztója az a számnak, akkor osztója az a bármely többszörösének is. DEFINÍCIÓ: (Prímszám) Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztója van a természetes számok között. Egyetlen páros prímszám létezik, a 2. Minden 1 - nél nagyobb természetes szám és kétszerese között van prímszám. Sejtés: Bármely két négyzetszám között található prímszám. Példa prímszámra: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; Végtelen sok prímszám létezik. Eratoszthenészi szita: Az eljárással megkereshetjük 1 től n ig az összes prímszámot. A lépések a következők: Írjuk fel a számokat 1 től n ig. Keressük meg az első olyan 1 től nagyobb számot, amely még nincs kihúzva, vagy megjelölve. (Az első ilyen szám a 2.) Ezt követően karikázzuk be ezt a számot, a többszöröseit pedig húzzuk ki. Ezután a második harmadik lépést hajtsuk végre mindaddig, amíg a második lépésben talált szám négyzete nem nagyobb, mint n. A folyamat végén a bekarikázott számok lesznek a keresett prímszámok. 2
DEFINÍCIÓ: (Összetett szám) Összetett számnak nevezzük azt a 0 - tól különböző természetes számot, melynek kettőnél több osztója van a természetes számok között. A 0 - t és az 1 - et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem. (Számelmélet alaptétele) Minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként és ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. A prímtényezős alakot szokás a szám kanonikus alakjának is nevezni. Egy szám prímtényezős felbontásához a következő eljárást alkalmazzuk: keressük meg az adott számnak a legkisebb prímosztóját, majd írjuk a szám mellé. Ezt követően a két számot osszuk el egymással, s a keletkező hányadost írjuk az eredeti számunk alá. Ezután a hányadosnak keressük meg a legkisebb prímosztóját, s az eljárást addig folytatjuk, míg a hányados értéke 1 lesz. 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 A 360 prímtényezős felírása (kanonikus alakja): 360 = 2 2 2 3 3 5 = 2 3 3 2 5. DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (a; b). Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb hatványukon. A törtek egyszerűsítéséhez a legnagyobb közös osztót célszerű alkalmazni. 3
DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös) Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [a; b]. Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legnagyobb hatványukon. A törtek közös nevezőre hozásához a legkisebb közös többszöröst célszerű alkalmazni. Példa: A 8 = 2 3 és a 12 = 2 2 3 esetén: (8; 12) = 2 2 = 4 és [8; 12] = 2 3 3 = 24. Ha az a és b szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk, akkor az a és b szám szorzatát kapjuk. Jelölés: a b = (a; b) [a; b]. (Maradékos osztás tétele Euklideszi osztás) Bármely a, b természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott p, r természetes szám, amelyre a = b p + r teljesül, ahol 0 r < b. Ekkor p - t hányadosnak, r - t maradéknak nevezzük. Euklideszi algoritmus: Az eljárással megkereshetjük két szám legnagyobb közös osztóját. A lépések a következők: Az adott számokat osszuk el egymással, s jegyezzük fel a maradékot. Ezt követően az első lépésben osztóként funkcionáló számot osszuk el a kapott maradékkal. Az eljárásnak akkor lesz vége, ha az osztás során keletkező maradék 0. Ekkor az utolsó nem 0 maradék lesz az eredeti két szám legnagyobb közös osztója. DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek) Két, vagy több természetes számot relatív prímeknek nevezünk, ha a legnagyobb közös osztójuk 1. Jelölés: (a, b) = 1. Az elnevezés megtévesztő lehet, de a relatív prímek nem feltétlenül prímszámok. Példa relatív prímekre: (2; 3); (5; 8); (4; 9; 35); 4
DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény) Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, számelméleti függvényeknek nevezzük. Ha n felírható n = p 1 α 1 p 2 α 2 p r α r alakban, ahol p 1, p 2,, p n az n szám prímosztói, akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények: az n szám osztóinak száma: d(n) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α r + 1) az n szám osztóinak összege: σ(n) = p 1 α 1+1 1 p 1 1 p 2 α 2+1 1 p 2 1 az n - nél nem nagyobb, n - hez relatív prímek száma: p r α r+1 1 p r 1 φ(n) = (p 1 1) p 1 α 1 1 (p 2 1) p 2 α 2 1 (p r 1) p r α r 1 Bármely négyzetszámnak páratlan számú osztója van, s ezek végződései: 0; 1; 4; 5; 6; 9. (Oszthatósági szabályok) Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2 - vel, ha utolsó számjegye osztható 2 - vel 5 - tel, ha az utolsó számjegye osztható 5 - tel 10 - zel, ha az utolsó számjegye osztható 10 - zel 4 - gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4 - gyel 25 - tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25 - tel 8 - cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8 - cal 100 - zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100 - zal 125 - tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125 - tel 1000 - rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000 - rel 3 - mal, ha a számjegyek összege osztható 3 - mal 9 - cel, ha a számjegyek összege osztható 9 - cel 11 - gyel, ha számjegyeit az utolsótól kezdve váltakozó előjellel összeadva, a kapott összeg osztható 11 - gyel. 5
Számok általános alakja: (k, m N) Az adott szám általános alakja megmutatja, hogy egy természetes számmal osztva milyen maradékot ad, vagyis melyik maradékosztályba tartozik. Páros számok: 2k Páratlan számok: 2k + 1 vagy 2m 1 Hárommal osztható számok: 3k Hárommal osztva 1 maradékot adó számok: 3k + 1 vagy 3m 2 Hárommal osztva 2 maradékot adó számok: 3k + 2 vagy 3m 1 Néggyel osztható számok: 4k Néggyel osztva 1 maradékot adó számok: 4k + 1 vagy 4m 3 Néggyel osztva 2 maradékot adó számok: 4k + 2 vagy 4m 2 Néggyel osztva 3 maradékot adó számok: 4k + 3 vagy 4m 1 DEFINÍCIÓ: (Pitagoraszi számhármasok) Pitagoraszi számhármasoknak nevezzük azokat az x, y, z pozitív egész számokat, amelyekre az x 2 + y 2 = z 2 egyenlet teljesül. A pitagoraszi számhármasokat szemléltethetjük egy derékszögű háromszög oldalaival. A pitagoraszi számhármasok pozitív egész számú többszörösei is pitagoraszi számhármasok. Pitagoraszi számhármasok képzése: Az összes számhármas megkapható, ha x = m 2 n 2 ; y = 2mn; z = m 2 + n 2 alakban írjuk fel, ahol m > n és m, n pozitív egészek. Pitagoraszi számhármasok keresése: Írjuk fel a négyzetszámok sorozatát, majd ezek alá a szomszédos négyzetszámok különbségsorozatát. Amennyiben a különbségsorozatban négyzetszámot kapunk, akkor a fölötte álló két négyzetszámmal együtt Pitagoraszi számhármast kapunk. Példa Pitagoraszi számhármasokra: (3; 4; 5); (6; 8; 10); (5; 12; 13); (7; 24; 25); (Fermat tétel) Az x n + y n = z n (n = 3, 4, ) egyenletnek nincs olyan megoldása, ahol x, y, z is egész szám. 6
DEFINÍCIÓ: (Bővelkedő szám) Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege nagyobb, mint a szám kétszerese, bővelkedő számoknak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Szűkölködő szám) Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege kisebb, mint a szám kétszerese, szűkölködő (vagy hiányos) számoknak nevezzük. Végtelen sok páros és páratlan bővelkedő szám létezik. Végtelen sok páros és páratlan szűkölködő szám létezik. Minden hiányos szám prímszám, vagy prímszámok első hatványainak szorzata. Példa bővelkedő számra: 12; 18; 20; 24; 945; Szűkölködő számra: 1; 2; 3; 13; 16; DEFINÍCIÓ: (Tökéletes szám) Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege éppen a szám kétszerese, tökéletes számoknak nevezzük. A tökéletes számok osztói reciprokának összege 2. Minden páros tökéletes szám 6 - ra vagy 8 - ra végződik. Sejtés: Végtelen sok tökéletes szám létezik, illetve nincs páratlan tökéletes szám. Példa tökéletes számra: 6; 28; 496; 8128 DEFINÍCIÓ: (Barátságos számok) Ha két számra teljesül, hogy az egyik önmagánál kisebb pozitív osztóinak összege éppen a másik szám és viszont, akkor ezeket barátságos számoknak nevezzük. Ha két számra teljesül, hogy az egyik valódi osztóinak összege éppen a másik szám és viszont, akkor ezeket valódi barátságos számoknak nevezzük. Példa barátságos számokra: (220; 284); Valódi barátságos számokra: (48; 75); 7
DEFINÍCIÓ: (Boldog szám) Boldog számnak nevezzük azt a pozitív egész számot, amelyre teljesül a következő: kiszámítva a számjegyeinek négyzetösszegét, majd az így keletkező számnak ismét, az eljárás végén 1 et kapunk eredményül. Amennyiben a folyamat végeredménye nem 1, akkor a számot boldogtalannak nevezzük. A hatnál nagyobb páros tökéletes számok boldog számok. Példa boldog számra: 1; 7; 10; 13; 19; 23; 28; 31; 32; 44; DEFINÍCIÓ: (Boldog prímszám) Azokat a prímszámokat, amelyek boldog számok, boldog prímeknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Ikerprímek) Azokat a prímszámokat, amelyeknek különbsége 2, ikerprímeknek nevezzük. Sejtés: Végtelen sok ikerprím létezik. Példa ikerprímekre:(3; 5); (5; 7); (11; 13); (17; 19); (29; 31); (41; 43); (59; 61); DEFINÍCIÓ: (Pitagoraszi prím) Azokat a prímszámokat, amelyeket feltudjuk írni két négyzetszám összegeként, Pitagoraszi - prímeknek nevezzük. A Pitagoraszi prímek általános alakja: 4k + 1. A Pitagoraszi prímek azok a páratlan p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög, melynek átfogója p. Ezen prímszámokhoz továbbá létezik olyan egész oldalú derékszögű háromszög is, melynek átfogója p hosszúságú. Példa Pitagoraszi prímre: 5; 13; 17; 29; 37; 41; 53; 8
DEFINÍCIÓ: (Mersenne - prím, Fermat - prím) A 2 m 1 alakú prímeket Mersenne prímeknek, a 2 m + 1 alakú prímeket pedig Fermat prímeknek nevezzük. Mersenne - prímeknél a 2 m 1 alakban m is prímszám. Fermat - prímeknél a 2 m + 1 alakban m = 2 k alakú. Sejtés: Végtelen sok Mersenne prím létezik. Példa Mersenne prímre: 3; 7; 31; 127; 8191; 131071; Összesen 5 darab Fermat prím ismert: 3, 5, 17, 257, 65 537. Az n páros szám pontosan akkor tökéletes szám, ha n = (2 m 1) 2 m 1 alakú, ahol 2 m 1 Mersenne prím. (Gauss tétel) A szabályos n szög (n 3) akkor és csak akkor szerkeszthető meg euklideszi módon (körzővel és vonalzóval), ha n = 2 k p 1 p 2 p r, ahol p 1, p 2,, p r különböző Fermat prímek. Goldbach féle problémakör: Igaz - e, hogy minden 2 - nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként? Igaz - e, hogy minden 5 - nél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként? Az első kérdés szerepel az 1 000 000 dolláros Milleniumi problémák között. Az elsőből következik a második állítás is, mert ha n egy páratlan szám, akkor felírható a következő alakban: n = (n 3) + 3, ahol n 3 egy páros szám lesz. 9
DEFINÍCIÓ: (Diofantoszi-egyenlet) Diofantoszi egyenletnek nevezzük azt az egyenletet, amelyben az ismeretlenek együtthatói egész számok és az egyenlet alaphalmaza is az egész számok halmaza. DEFINÍCIÓ: (Elsőfokú egyismeretlenes diofantoszi egyenlet) Az ax = b egyenletet, ahol a, b egész számok és az alaphalmaz is az egész számok halmaza, elsőfokú egyismeretlenes diofantoszi egyenletnek nevezzük. Az ax = b diofantoszi egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha a b. DEFINÍCIÓ: (Elsőfokú kétismeretlenes diofantoszi egyenlet) Az ax + by = c egyenletet, ahol a, b, c egész számok és az alaphalmaz is az egész számok halmaza, elsőfokú kétismeretlenes diofantoszi egyenletnek nevezzük. Az ax + by = c diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha (a; b) c. Ha egy x 0, y 0 megoldása a diofantoszi egyenletnek, akkor végtelen sok megoldása van, s a gyökök a következők: x = x 0 + b t és y = y (a,b) 0 a t (ahol t egy tetszőleges egész szám). (a,b) Számrendszerek: A számrendszerek lényege a megfelelő csoportosítás: tízes alapú számrendszernél 10 es csoportokat hozunk létre. A csoportosítással és a csoportok számának helyiérték szerinti felírásából alakult ki a mai írásmód. A helyiértékes ábrázolás azt jelenti, hogy a számjegyek értékén kívül a leírásuk helye is értékkel bír. Egymás után írjuk a számjegyeket és egy adott ponthoz viszonyítjuk a helyüket: tízes számrendszerben a helyek értékei a 10 megfelelő hatványai. Példa: 7345 10 = 7 10 3 + 3 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0. Amennyiben a helyek értékei nem 10 hatványai szerint változnak, akkor más alapú számrendszerről beszélünk. A számrendszer alapja bármilyen 1 - nél nagyobb egész szám lehet. Az n alapú számrendszerben n különböző számjegyet használhatunk: 0; 1; ; n 1. A tízesnél nagyobb alapú számrendszerben a számjegyeket betűkkel helyettesítjük: A = 10; B = 11; A számrendszer alapszámát indexként jelöljük, pl.: 1203 4 (ejtsd: egy-kettő-nulla-három, négyes alapú számrendszerben). A tízes számrendszerben az alapot nem tüntetjük fel. Példa: 12043 5 = 1 5 4 + 2 5 3 + 0 5 2 + 4 5 1 + 3 5 0 = 898 10. 10
Legyen n egy 1 nél nagyobb rögzített egész szám. Ekkor bármely A pozitív egész szám egyértelműen felírható a következő alakban: A = a k n k + a k 1 n k 1 + + a 1 n + a 0, ahol a k 0 és 0 a i n 1. Az A szám ilyen módon történő előállítását az A szám n alapú számrendszerben való felírásának nevezzük. Jelölés: A = a k a k 1 a 1 a 0n = a k a k 1 a 1 a 0n. Egy tetszőleges g alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható g - vel (illetve g osztóival), ha az utolsó számjegye osztható g - vel (illetve g osztóival). Egy tetszőleges g alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható (g 1) - gyel (illetve (g 1) osztóival), ha számjegyeinek összege osztható (g 1) - gyel (illetve (g 1) osztóival). Egy tetszőleges g alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható (g + 1) - gyel (illetve (g + 1) osztóival), ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyiértékű jegyeit külön külön összeadva olyan számokat kapunk, melyek különbsége osztható (g + 1) - gyel (illetve (g + 1) osztóival). DEFINÍCIÓ: (Normálalak) Egy pozitív szám normálalakját kapjuk, ha a számot egy 1 - nél nem kisebb és 10 - nél kisebb szám, illetve 10 valamilyen egész kitevőjű hatványának szorzataként írjuk fel. A 0 - nak nincs normál alakja. A normálalakot egy nagy, illetve egy nagyon kicsi szám rövidebb leírásához használjuk. Jelölések, rövidítések: Összegzés: n k=1 k 3 Szorzás: 5 i=0 = 1 3 + 2 3 + + n 3 (jele: szigma; ejtsd: szumma 1 től n - ig) 2i = (2 0) (2 1) (2 5) (jele: pí; ejtsd: produktum 0 tól 5 - ig) 11
Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1. (K) Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 5 7 között! 2. (K) Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket! 1, 23 2, 58 3, 2 14 4, 69 7 3. (K) Írd fel 0 - tól 20 - ig a 6 többszöröseit! 4. (K) Mely pozitív törtekre igaz, hogy ha számlálóját és nevezőjét egyaránt 1 gyel növelik a tört értéke nő? 5. (K) Egy törtszámról a következőket tudjuk: - értéke 2 5 - számlálójának és nevezőjének összege kétjegyű szám - e kétjegyű szám egy természetes szám négyzete Melyik ez a törtszám? 6. (K) Határozz meg három olyan különböző természetes számot, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal, továbbá az egyik szám megegyezik a másik kettő összegével! 7. (K) Melyek azok a kétjegyű számok, amelyekhez 4 et adva, a számjegyek összege felére csökken? 8. (E) Van e 2017 nek olyan többszöröse, amely csak 0 és 1 számjegyekből áll? 9. (E) Határozd meg 3 nak azt a legmagasabb hatványát, amellyel az 1 től 1000 ig terjedő egész számok szorzata osztható! 10. (K) Az 1 től kezdve írjuk rendre egymás mellé az egész számokat. Milyen számjegy áll a 2017. helyen? 12
11. (K) Mennyi idő szükséges az 1 től 2017 ig bezárológ terjedő egész számok leírásához, ha percenként 92 számjegyet írunk le? 12. (K) Mutasd meg, hogy a következő kifejezések eredménye összetett szám! 14 100 7 81 2015 2015 2016 2016 + 2011 2011 10 200 13 13. (K) Milyen számjegyre végződnek a következő kifejezések eredményei? 123456789 9753 2468 1993 2345 7 14. (K) Sorold fel a következő számok összes osztóját! 100 242 15. (K) Egy férfi és egy nő beszélget egymással, s kiderül, hogy a férfinak van három gyermeke. Ezt követően a következő párbeszéd zajlik le közöttük: - Mennyi idősek a gyermekek? - Az életkoruk szorzata 72. - Ennyiből nem tudom kitalálni. - Rendben, ha kimész, akkor a házszám megadja az életkorok összegét is. - Megnéztem, de még mindig képtelenség rájönni. - Nah jó, de a legfiatalabb szereti az eperfagyit. - Így már tudom! Nos, mennyi idősek a gyerekek? 16. (E) A 10839 et és a 11863 at elosztva ugyanazzal a háromjegyű számmal, mind a kétszer ugyanaz a maradék. Mennyi a maradék? 17. (E) Milyen n egészekre lesz egész a következő, törtalakban adott szám? n + 4 n 3 18. (E) Melyek azok az a < b pozitív egészek, amikre teljesül, hogy ab + a + b = 114? 19. (K) Péter az édesapja 21 edik születésnapján született. Legfeljebb hányszor lehet Péter életkora osztója az édesanyja életkorának? 20. (K) Mennyit adnak 7 - tel osztva maradékul a következő kifejezések, ha tudjuk, hogy n 7 - tel osztva 5 maradékot ad, míg k 7 - tel osztva 3 maradékot ad? n + k n k 2n + 3k 5n 4k n k n 2 k 2 6 13
21. (K) Adott egy páros szám, amelyik 3 mal osztva 2 t ad maradékul. Mekkora maradékot ad 6 tal osztva? 22. (K) Írd fel 1 től 1000 ig az egész számokat egy kör mentén! Karikázzuk be 1 től kezdve minden 15. et (azaz az 1, 16, 31, stb. számokat), de az ismételt körüljárásnál vegyük figyelembe a már bekarikázott számokat is! A bekarikázást addig folytatjuk, amíg újra egy már bekarikázott számhoz nem jutunk. Hány számot nem karikáztunk be? 23. (K) Add meg az x értékét úgy, hogy a 3x2067 szám osztható legyen 9 cel! 24. (K) Milyen x érték esetén lesz a 7431x2 szám osztható 24 - gyel? 25. (K) Milyen x és y érték esetén lesz az 1x24y6 szám osztható 12 - vel? 26. (K) Az N: = abca alakú számban a különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek. Tudjuk, hogy 15 N és a + c = 11. Határozd meg az összes ilyen számot! 27. (E) Melyik az a kétjegyű szám, amely 6 szor akkora, mint a nála 7 tel nagyobb szám számjegyeinek összege? 28. (E) Határozd meg azokat a háromjegy számokat, amelyek egyenlők számjegyeik összegének 18 szorosával! 29. (E) Az 1, 3, 4, 5 és még egy számjeggyel írd fel azt a legnagyobb, illetve legkisebb ötjegyű számot, amelyik osztható 12 vel! 30. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy kétjegyű számot megszorzunk kettővel, majd az eredmény után írjuk az eredeti kétjegyű számot, akkor olyan négy -, vagy ötjegyű számot kapunk, amely osztható 67 tel! 31. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy tetszőleges négyjegyű szám utolsó jegyét a szám elejére írjuk, s az így kapott számot az eredetiből kivonjuk, akkor 9 cel osztható számot kapunk! 32. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy szám abcabc alakú, akkor a szám mindig osztható 91 gyel (a, b, c számjegyek)! 14
33. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 3 szomszédos természetes szám szorzata osztható 6 tal! 34. (K) Bizonyítsd be, hogy 4 egymást követő szám szorzata mindig osztható 24 - gyel! 35. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 2 szomszédos természetes szám szorzata páros, illetve összege páratlan! 36. (K) Bizonyítsd be, hogy ha 6 egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! 37. (K) Bizonyítsd be, hogy ha a pozitív egész számokat összeadjuk 1 től 1000 ig, akkor a kapott összeg osztható 11 gyel! 38. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 3 szomszédos természetes szám összege osztható 3 mal! 39. (E) Bizonyítsd be, hogy 3 egymást követő szám köbének összege osztható 9 cel! 40. (E) Bizonyítsd be, hogy minden páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1 - et ad maradékul! 41. (E) Bizonyítsd be, hogy 5 egymást követő egész szám négyzetének összeg nem lehet négyzetszám! 42. (E) Bizonyítsd be, hogy 4 egymás után következő természetes szám szorzatához 1 et hozzáadva teljes négyzetet kapunk! 43. (E) Bizonyítsd be, hogy a 3 pozitív egész kitevőjű hatványainak az utolsó előtti jegye mindig páros! (A 3 at és a 9 et 03 nak és 09 - nek tekintse!) 44. (E) Bizonyítsd be, hogy bármely 3 - mal nem osztható szám négyzetéből 1 - et levonva 3 - mal osztható számot kapunk! 45. (E) Bizonyítsd be, hogy ha 7 2a + 3b, akkor 7 20a + 9b! 46. (E) Bizonyítsd be, hogy ha 13 5a 4b és 13 9a + 3b, akkor 13 11b a! 15
47. (E) Bizonyítsd be, hogy n 3 + 23n osztható 24 gyel, ha n páratlan szám! 48. (E) Bizonyítsd be, hogy n 5 5n 3 + 4n osztható 120 szal, ha n természetes szám! 49. (E) Bizonyítsd be, hogy n 7 n mindig osztható 7 tel, ha n természetes szám! 50. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy prímszámot 30 cal osztunk, akkor maradékul 1 et, vagy ismét prímszámot kapunk! 51. (E) Bizonyítsd be, hogy bármely két, 3 nál nagyobb ikerprímszám összege mindig osztható 12 vel! 52. (E) Bizonyítsd be, hogy nincs olyan derékszögű háromszög, mely mindhárom oldalának mértéke egész szám, és befogói ikerprímek! 53. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely két szomszédos pozitív egész szám relatív prím! 54. (K) Melyek azok a pozitív egész számok, amelyeknek nincs valódi osztójuk a pozitív egész számok körében? Melyek azok, amelyeknek páratlan számú osztójuk van a pozitív egész számok körében? Melyek azok, amelyeknek pontosan 3 osztójuk van? 55. (K) Négyzetszám e a 19 600 és a 232 713? Ha igen, melyik számnak a négyzete? 56. (K) Melyik négyzetszám: A = 2 1000 3 220 11 8, vagy B = 5 300 7 40 98? 57. (K) Egy börtönben 400 cella található, mindegyikben van egy egy rab. A zárak úgy működnek, hogy egy fordításra zárnak, egy újabb fordításra nyitnak, és így tovább. Jelenleg minden zárka zárva van. A várúr a következőt parancsolja: az első őr fordítson minden záron egyet; ezt követően a második őr fordítson minden második záron egyet; a harmadik őr minden harmadik záron egyet; és így tovább a 400. őrig. Ezek után azt a rabot, amelynek ajtaja nyitva marad, szabadon engedi. Mennyien szabadulnak ki végül? 58. (K) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amivel az 1400 at megszorozva, vagy elosztva négyzetszámot kapunk? 59. (E) Melyik a legkisebb olyan pozitív egész szám, amelynek tízszerese négyzetszám, hatszorosa pedig köbszám? 16
60. (E) Van e olyan négyzetszám, amely 90 re végződik? 61. (E) Hány olyan természetes szám van, melynek négyzete 2019 darab 1 esből és néhány 0 ból áll? 62. (K) A 28 nak melyik a legnagyobb hatványa, amellyel az A = 16 18 35 38 osztható? 63. (K) Mely számok relatív prímek a következők közül? 11; 14; 15; 18; 25 64. (E) Igazold, hogy ha n egy 3 mal osztható pozitív szám, akkor n + 1 és n 3 relatív prím! 65. (K) Adj meg négy olyan pozitív egész számot, melyek relatív prímek, de közülük bármely kettő nem relatív prím! 66. (K) Létezik e olyan p prímszám, amely után pontosan 6 összetett szám következik a természetes számsorban? 67. (K) Mennyi 0 ra végződik az első 1000 prímszám szorzata? 68. (E) Mennyi 0 ra végződik az első 30 pozitív egész szám szorzata? 69. (K) Felírható e a 2017 két prímszám összegeként? 70. (K) Van e olyan 8 egymást követő pozitív prímszám, amelyek összege is prímszám? 71. (K) Határozd meg azokat a p, q, r prímszámokat, amelyekre p + q + r = 40! 72. (E) Melyek azok a p prímszámok, amikre p + 26 és p + 64 is prímszám? 73. (E) Van e olyan p prím, amelyre a következő kifejezések is prímek? p + 15 p 2 + 149 4p 2 1 5p 2 2 p 4 + 4 74. (E) Melyek azok a prímszámok, amelyek egy négyzetszámnál eggyel kisebbek? 17
75. (E) Három prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három szám? 76. (K) Egy apa és két különböző korú kisgyermekének életkora ugyanazon prímszám hatványa. Egy évvel ezelőtt mindhármuk életkora prímszám volt. Hány évesek most? 77. (E) Határozd meg 324 és 750 összes osztójának számát, összes osztójának összegét, illetve a relatív prímek számát! 78. (E) Melyik számnak van több osztója: 300 nak, vagy 380 nak? 79. (E) Melyik pozitív kétjegyű számnak van a legtöbb osztója? 80. (E) Hány olyan nem egyszerűsíthető, 0 és 1 közötti tört van, amelynek nevezője 144? 81. (E) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek 12, illetve 13 osztója van? 82. (E) Egy sorban 50 doboz található. A dobozokba valaki beletesz 1 1 golyót. Eztuán visszatér a sor elejére és minden másodikba tesz 1 1 golyót. Ezt követően minden harmadikba, majd minden negyedikbe, s ezt egészen addig folytatja, amíg végül csak az utolsó dobozba tesz 1 golyót. Melyikben lesz a legkevesebb és a legtöbb golyó? Lesz e olyan doboz, amibe 5 golyó kerül? 83. (K) Bizonyítsd be, hogy a 220 és a 284 barátságos számok! Adj meg 3 darab Pitagoraszi számhármast! 84. (K) Írd fel 1 - től 50 - ig az ikerprímeket! Döntsd el, hogy a következő számok tökéletes / bővelkedő / szűkölködő (hiányos) számok - e! 6, 10, 11, 12, 20, 28 85. (E) A szabályos n - szögek közül melyek szerkeszthetők meg Euklideszi módon (körzővel és vonalzóval), ha n = 3, 4,, 11? 86. (E) Melyek azok a p prímszámok, amelyekre 2p 1 és 2p + 1 ikerprímek? 87. (K) Határozd meg az 1852 és 1972 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi algoritmus segítségével! 18
88. (K) Határozd meg 60 és 198 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! 89. (K) Határozd meg a b számot, ha tudjuk, hogy a = 2 7 3 5 7; (a, b) = 2 4 3 5 és [a, b] = 2 7 3 9 5 7! 90. (K) Határozd meg a betűk lehetséges értékeit! (a; 72) = 24 [b; 12] = 60 91. (K) Melyek azok a számpárok, amelyeknek legnagyobb közös osztója 12, legkisebb közös többszöröse 5040? 92. (E) Mely a és b természetes számokra teljesül, hogy (a; b) = 8 és a b = 1280? 93. (K) Melyik az a legnagyobb szám, amellyel az 1512 at és a 1762 at elosztva mindkét esetben 12 lesz a maradék? 94. (K) Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 2 vel osztva 1, 3 mal osztva 2, 4 gyel osztva 3 és 5 tel osztva 4 maradékot ad? 95. (K) Melyek azok a négyjegyű pozitív egész számok, amelyek 11 gyel, 15 tel és 16 tal osztva egyaránt 6 maradékot adnak? 96. (E) Egy ötjegyű szám osztható 7 tel, 8 cal és 9 cel. Az első két számjegyből álló szám prímszám, eggyel nagyobb egy négyzetszámnál, s a két számjegy összege kétjegyű. Melyik ez az ötjegyű szám? 97. (K) Írj az 523 - hoz három számjegyet úgy, hogy az így keletkezett hatjegyű szám osztható legyen 7 tel, 8 cal és 9 cel is. Hány megoldás van? 98. (K) Melyik az a háromjegyű szám, amelyből 7 et elvéve 7 tel osztható, 8 cat elvéve 8 cal osztható, 9 cet elvéve 9 cel osztható számot kapunk? 99. (K) Tamás a könyveit rendezgetve a következőt veszi észre: akár 20 at, akár 25 öt, akár 35 öt rak egy sorba mindig 2 könyv marad az utolsó sorban. Mennyi könyve van, ha tudjuk, hogy több van 1000 nél, de kevesebb 2000 - nél? 100. (K) Adott 3 bolygó keringési ideje: 18 év; 24 év; 30 év. Mennyi év múlva lesz a következő együttállás, ha az előző óta 5 év telt el? 19
101. (K) Melyik az a legnagyobb négyzet alakú járólap, amellyel hézagmentesen ki lehet rakni egy 306 cm 425 cm es téglalap alakú helyiséget? 102. (E) Hány olyan pozitív egész szám van, amelyik osztója a 10 40 és 20 30 számok valamelyikének? 103. (E) Az első n természetes szám négyzetének összege mikor osztható n nel? 104. (K) Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis? (x páros, y páratlan) A: x 2y páros B: 3x + 5y páratlan C: x 2 osztható 4 gyel D: 15 10 2017 5 E: 9 10 10 1 F: 10 5 1 2 23 24 G: 5 16 2000 11 20 H: 6 17 17 + 18 18 I: 3 147 147 3000 jegy J: Az első 100 prímszám összege páros. K: Az első 1000 prímszám szorzata páratlan. L: Ha egy szám osztható 6 tal és 8 - cal, akkor osztható 48 cal is. M: Egy számot 7 - tel osztva a lehetséges maradékok száma 6. N: Két szám legnagyobb közös osztója kisebb mindegyik számnál. P: Két szám legkisebb közös többszörösének osztója a két szám legnagyobb közös osztója. Q: Ha két szám relatív prím, akkor a legkisebb közös többszörösük a két szám szorzata. R: Ha egy pozitív egész szám osztója két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösének, akkor osztója mindkét számnak. 105. (E) Oldd meg a következő egy ismeretlenes diofantoszi egyenletet! 6x = 11 106. (E) Oldd meg a következő két ismeretlenes diofantoszi egyenleteket! 2x + 4y = 5 15x 35y = 20 107. (E) Egy országban csak 5 Ft - os és 9 Ft -os érmék vannak. Hányféleképpen fizethető ki egy 101 Ft - ba kerülő csokoládé? 20
108. (K) Írd át a 102 6 számot tízes számrendszerbe, a 348 10 számot hatos számrendszerbe! 109. (K) Mennyi az 1343 5 szám 7 - es számrendszerbeli alakja? 110. (K) Mennyi a CBA 15 szám 4 - es számrendszerbeli alakja? 111. (K) Írd fel 5 ös számrendszerben a következő számokat! 1; 5 7 ; 10; 22; 0, 04; 53, 456 112. (E) Végezd el az alábbi műveleteket! 124 5 + 213 5 321 4 213 4 243 6 512 6 113. (E) Add meg az x értékét úgy, hogy fennálljon az egyenlőség! a) 12 x + 34 x = 50 x b) 76 x 37 x = 39 x c) 12 x 21 x = 252 x 114. (E) Osztható - e 17 - tel, 16 - tal, 15 - tel, 12 - vel, 10 - zel, 8 - cal, 6 - tal, 5 - tel, 4 - gyel, 3 - mal vagy 2 - vel a 930516 16 szám? 115. (E) Mennyi az ismeretlen értéke, hogy a következők oszthatók legyenek 4 gyel? 120x2 5 72y 8 2z01 3 116. (E) Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen helyére, hogy az 1x3 11 osztható legyen 5 tel, illetve 18 cal? 117. (E) Melyik az a számrendszer, amelyben 4634 et 555 tel osztva hányadosul 5 t, maradékul 530 at kapunk? 118. (E) Milyen számrendszerben igaz, hogy a ló 11 lábú állat? 21
119. (E) Határozd meg az a és a b értékét, ha tudjuk, hogy a tizenegyes számrendszerben a0b, a kilences számrendszerben pedig b0a alakban felírt számok megegyeznek! 120. (E) A 740 et az n alapú számrendszerbe átszámítva olyan négyjegyű számot kapunk, amelynek utolsó jegye 5. Határozd meg az n értékét és a hiányzó jegyeket! 121. (K) Írd fel normálalakban a következő számokat! 1, 5 1478, 123 0, 000234 122. (K) Végezd el a következő műveleteket, s a végeredményt normálalakban add meg! 2, 3 10 22 + 485, 7 10 19 7 10 9 14, 3 10 5 60, 8 10 3 0, 25 10 7 (12, 8 10 15 ): (3, 2 10 8 ) 123. (E) Az A és a B felváltva raknak egy téglalap alakú asztalra egy egy 1 forintost, mindaddig, amíyg már nem fér több érme az azstalra. (A forintos érémek legflejebb csak érintkezhetnek, de még részlegesen sem fedhetik el egymást.) Az nyer, aki az utolsó forintot elhelyezi az asztallapra. Igaz e, hogy mindig a kezdő fél nyer, ha helyesen játszik? 124. (E) Egy urnában 100 golyó van. Ketten, A és B felváltva húznak; legalább egy golyót húzni kell, de legfeljebb öt golyót húzhatnak a játékosok. Az nyer, aki utolsóként húz. Mi annak a feltétele, hogy az nyerjen, aki a játékot megkezdi? 22
Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Gerőcs László; 2006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (9) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 10. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (10) Katona Renáta; 2007; Logikai egypercesek; Hungária könyv és társasjáték kiadó; Budapest (11) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (12) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html (13) Saját anyagok 23