DOLGO[Z]ZATOK 10. kifejezést, és adjuk meg az értelmezé-. Írjuk fel gyökjel nélkül a si tartományát! 9x 1x1 3. Határozzuk meg azt az x valós számot, amelyre igaz, hogy x 1!. Határozzuk meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! x 8 x 8 a) b) 3x 3x. A négyzetgyök fogalma 10 Adjuk meg a 169 9 6 100 6 9 7 kifejezés pontos értékét! pont. Határozzuk meg a y 8y 16 kifejezés értelmezési tartományát! 3. Mely x valós számokra igaz, hogy a) x 18x81 x 9; b) x 7 3!. Határozzuk meg a 3 x x kifejezés értelmezési tartományát! x. A négyzetgyökvonás azonosságai 10 Számoljuk ki a 8 pontos értékét! pont 3 7. Adjuk meg a 36 és a pontos értékét! pont 6 3. Mely valós x-ekre azonosság a x x x egyenlőség? pont. Mely valós x-ekre igaz, hogy x x x? pont 8
négyzetgyök.. A négyzetgyökvonás azonosságai 10 Adjuk meg a 16 81 és a 11 pontos értékét! pont. Adjuk meg a 6 és a 13 pontos értékét! pont 1 3 3. Végezzük el a kijelölt műveleteket: 3 13 8!. Mely x valós számok esetén azonosság a x 9 x 7 egyenlet? x 7. 3. A négyzetgyökvonás azonosságai 10 Adjuk meg a 6 7 76 : és a 3 7 pontos értékét! pont 8 3 8 13. Végezzük el a kijelölt műveleteket: 10 0! pont 1 3. Végezzük el a kijelölt műveleteket: 3 6 0 3! 9 9. Mely x valós számok esetén azonosság a x 7x x 7x?.. A négyzetgyökvonás azonosságai 10 Adjuk meg a 11 : és a 99 pontos értékét! pont 1 9
DOLGO[Z]ZATOK 10. 9. Végezzük el a kijelölt műveleteket: 1 9 13 8 3 6! 3. Végezzük el a kijelölt műveleteket: 17 89 6 3!. Mely x valós számok esetén azonosság a x 8x16 1 egyenlet? x 3. A négyzetgyökjel alól kivitel vagy alá bevitel 10 Vigyük ki a négyzetgyökjel alól! a) 363; b) 18 pont. Vigyük be a négyzetgyökjel alá! a) ; b) pont 3. Végezzük el a kijelölt műveleteket! 3 98 338 18 8 16 7 pont. Végezzük el a kijelölt műveleteket! 7 18 7 3 1 108 00 8 9 pont 3.. A négyzetgyökjel alól kivitel vagy alá bevitel 10 Vigyük ki a négyzetgyökjel alól! a) 3 7 ; b) 9 pont. Vigyük be a négyzetgyökjel alá! a) 9 7; b) 11 pont 10
négyzetgyök 3. Végezzük el a kijelölt műveleteket! 300 9 10 3 36. Végezzük el a kijelölt műveleteket! 180 00 80 7 1 0 3 8 9 pont 3. 3. A négyzetgyökjel alól kivitel vagy alá bevitel 10 Végezzük el a kijelölt műveleteket! Pontos értékekkel dolgozzunk! 13 11 99 8 pont. 8 63 11 0 63 80 3. 1 3 7 1 3 1 8 1 18 8 3 8 pont 3 1. 7 3 7 9 3 16 a a a a a 9 81 a; a 0 9 pont 3.. A négyzetgyökjel alól kivitel vagy alá bevitel 1 Végezzük el a kijelölt műveleteket! Pontos értékekkel dolgozzunk! 8 pont 8 7 0 0 11 3 7 3. 1 0 3 800 1 7 1 3 0 8 pont 9 pont 3. 73 1 7 3 1 8 7 18 17. 3 9 1 a a a 3 9 a 169 a; a 0 9 pont 11
DOLGO[Z]ZATOK 10. A négyzetgyök fogalma 10 Ilyen valós szám nem létezik, mert egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke is nemnegatív értéket vehet fel.. a) x ; b) 3x 0 1, x 1 ; x 3. 3. x 0 7 x 0 x 7,és, innen ;.. x 7 8x 1 x 7 8x. A négyzetgyök fogalma 10 11 ; 1 10 1 8 1 ;.. x 3 7 3x x 3 7 3x, az értelmezési tartomány. 3. x x x x, x;. 7x 3 3. a) 0, x ; ; x innen 7 3 b) 7x30 x0 x, és, innen ; 7. 3. A négyzetgyök fogalma 10 10 9 70 7 ; ;.. 7x 1 7x 1 ; x.
Négyzetgyök 1 3. A négyzetgyök definíciója alapján: x és x1, x. x 8. a) x x 3 0, innen ; 8; ; 3 b) x80és 3x0, innen x 8;.. A négyzetgyök fogalma 10 13 7 10 16 6. 7 7 7. y 0 y 0 y. Az értelmezésitartomány. 3. a) x 9; b) Nincs ilyen valós szám.. 3 x 0 és x 0, innen x ;. x. A négyzetgyökvonás azonosságai 10. 16 81 6 ;. =. 9 3. Megvizsgáljuk a két oldal értelmezési tartományát, és a két számhalmaz metszete a megoldás. x 0ésx0és x 0. A közös rész: x ;.. x x x0; x;... A négyzetgyökvonás azonosságai 10 11 9 ;.
DOLGO[Z]ZATOK 10.. 9 3 = ;169. 3. 36 3 16 16 10.. Megvizsgáljuk a két oldal értelmezési tartományát, és a két számhalmaz metszete a megoldás. x 9 0és x70 és x 70. A közös rész: x 7;.. 3. A négyzetgyökvonás azonosságai 10 6 8 7 76 11 ; 3. 60 903 3. 3 8 10 0 8 3 0. 7 9 9 9 7 7 9. Mivel x 7x x x x 7x, ezért minden valós x esetén azonosság... A négyzetgyökvonás azonosságai 10 11 6, 911 66. 1. 9 169 8 76 6 3. 17 3 3 7 7. 17. x x 1 pontosan akkor azonosság, ha x >. 6
Tartalomjegyzék Előszó... NÉGYZETGYÖK... 7 A négyzetgyök fogalma... 7. A négyzetgyökvonás azonosságai... 8 3. A négyzetgyökjel alól kivitel vagy alá bevitel... 10. Tört nevezőjének gyöktelenítése... 1. Négyzetgyök... 13 Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek... 16 6. Másodfokú függvények (ismétlés)... 16 7. Másodfokú egyenletek grafikus megoldása... 17 8. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása... 18 9. Teljes négyzetté alakítás (ismétlés)... 19 10. Másodfokú egyenletek megoldása megoldóképlettel... 0 1 Másodfokú egyenletre vezető törtes egyenletek I.... Másodfokú egyenletre vezető törtes egyenletek II.... 3 13. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok I.... Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok II.... 7 Másodfokú egyenletek megoldása... 9 16. Gyöktényezős alak... 31 17. Viète-formulák... 3 18. Gyöktényezős alak, Viète-formulák... 33 19. Másodfokúra visszavezethető egyenletek I.... 3 0. Másodfokúra visszavezethető egyenletek II.... 36 Másodfokú egyenlőtlenségek I.... 38. Másodfokú egyenlőtlenségek II.... 39 3. Négyzetgyökös egyenletek I.... 1. Négyzetgyökös egyenletek II..... Számtani és mértani közép... 3 6. Szélsőérték problémák I.... 7. Szélsőérték problémák II.... 6 8. Másodfokú egyenletrendszerek I.... 7 9. Másodfokú egyenletrendszerek II.... 9 30. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek... 1 HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI... 3 3 Térelemek kölcsönös helyzete... 3 3. Középpontos hasonlóság... 33. Hasonló ponthalmazok... 6 3. A háromszögek hasonlósági kritériumai... 7 3. Hasonlósággal megoldható feladatok I.... 8 11
DOLGO[Z]ZATOK 10. 36. Hasonlósággal megoldható feladatok II.... 9 37. Magasságtétel... 60 38. Befogótétel... 6 39. Szögfelezőtétel... 63 0. A hasonlóság alkalmazásai... 6 Hasonló síkidomok kerülete, területe... 6. Hasonló testek felszíne, térfogata... 67 3. Hasonlóság... 68. Kerületi és középponti szögek... 69. Látókörívek... 71 6. Húrnégyszögek I.... 7 7. Húrnégyszögek II.... 7 8. Kerületi és középponti szögek, húrnégyszögek... 7 ELSŐ FÉLÉVI ÖSSZEFOGLALÁS... 78 9. Négyzetgyök, másodfokú egyenletek, hasonlóság... 78 TRIGONOMETRIA... 81 0. Hegyesszögek szögfüggvényei I.... 81 Hegyesszögek megadása szögfüggvény alapján... 83. Nevezetes szögek szögfüggvényei... 8 3. Hegyesszögek szögfüggvényei II.... 8. Trigonometrikus egyenletek hegyesszögekkel... 86. Derékszögű háromszögek... 88 6. Hegyesszögek szögfüggvényei III.... 89 7. Síkgeometriai számítások I.... 91 8. Síkgeometriai számítások II.... 9 9. Térgeometriai számítások I.... 9 60. Térgeometriai számítások II.... 96 6 Hegyesszögek trigonometriája... 98 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS... 101 6. Skatulyaelv... 101 63. Gráfelméleti fogalmak I.... 103 6. Gráfelméleti fogalmak II.... 10 6. Skatulyaelv, gráfok... 106 66. Szorzási szabály alkalmazása... 108 67. Összeadási szabály alkalmazása I.... 110 68. Összeadási szabály alkalmazása II.... 111 69. Összeszámlálási feladatok... 11 70. Permutációk... 11 7 Variációk... 116 1
Tartalomjegyzék 7. Kombinációk... 117 73. Vegyes kombinatorikai problémák I.... 118 7. Vegyes kombinatorikai problémák II.... 10 7. Kombinatorika... 1 76. Véletlen jelenségek... 1 77. Kijelentések ítéletek... 16 78. Logikai műveletek... 18 79. Matematikai logika... 130 80. Problémamegoldás gráfok segítségével... 13 MÁSODIK FÉLÉVI ÖSSZEFOGLALÁS... 13 8 Hasonlóság, trigonometria, kombinatorika, logika... 13 ÉV VÉGI ÖSSZEFOGLALÁS... 138 8. A 10. osztályos tananyag... 138 13