I. A négyzetgyökvonás

Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút értékbe tesszük, akkor a probléma megoldódik. Akkor se lesz gond a gyökfüggvény értékével, ha a b helyére negatív számot írunk, mert a négyzete nem negatív.. Mely valós számokra igaz? a) x x b) x x c) x x A négyzetgyökfüggvény: f(x) x f f D x R I x 0 ÉT :x 0 R y R I y 0 ÉK : y 0 ZH : x 0 ZH : x 0 SZÉ : min 0;0 SZÉ : min 0;0 SZMN SZMN. Hol vannak értelmezve a következő függvények? a) x b) x c). Ábrázold és elemezd a következő függvényeket! f x x a) f x x c) x d) x e) x x x. Oldja meg grafikusan a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x 6 x 6 Azonosságok. Szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt! a b a b a 0; b 0 a b a a 0; b 0 b k. A hatványozás és a gyökvonás sorrendje felcserélhető. k a a a 0. Számítsa ki a következő kifejezések pontos értékét számológép nélkül! a) 7 6 b) 8 7 c) 98

Kihozatal a gyök alól Mintafeladatok: 0 4 5 4 5 5. azonosság 7 6 6 Bontsuk két tényezőre a négyzetgyök alatti számot úgy, hogy az egyik tényező négyzetszám legyen! 8 9 4 b c b c c 0. Hozz ki a gyök alól mindent, amit lehet! 8 48 54 Bevitel a gyök alá 4 4. azonosság 4 A szorzótényezőt úgy vihetjük be a négyzetgyök alá, hogy a tényezőt négyzetre emeljük és beszorozzuk vele a gyök alatti kifejezést. c b c b c 0; b 0. Vidd be a gyök alá a szorzótényezőt! 4 5. Számítsa ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 75 47. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! 7 5 0 6 8 45 0 7 A nevező gyöktelenítése A nevezőt úgy gyöktelenítjük, hogy a törtet alkalmasan választott egységgel szorozzuk a törtet.. Gyöktelenítse a következő törtek nevezőjét! a) 7 5 b) 4 7 c) 7 d)

4. Melyik szám nagyobb? 7 5? 7 II. Másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!. x = 0 /:. x = 8 /:. x 8x 0 4. x 4x 4 0. Oldja meg a következő egyenleteket! x x 5 0 x 5x 6 0 x 8x 0 0 x 5x 0 4. Oldja meg a következő egyenletet a nem negatív számok halmazán! 0x 9 5x 5x 5. Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! 7x 6x 56x 5 x 9 5x 0 x 8 4x 6 5x 5x 96 x 7 x x x 5 0 x 4 x x 0 x 6x 7x x 7 0 5 7x 6 5x 6 0 x 0 x 6 x x x 4x x x 4 x x 4 x 0 x xx xx A gyöktényezős alak A megoldóképlet levezetésekor észrevehettük, hogy a másodfokú egyenlet szorzattá alakítható. ax bx c 0 a 0 a x x x x 0 esetén. Bontsa fel elsőfokú tényezők szorzatára a x +5x polinomot!. Bontsa fel elsőfokú tényezők szorzatára a x 5x polinomot!. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei x és x! 0 5 4 4. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei x és x 5. 7 x x 5. Egyszerűsítse a következő törtet! x 4x Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 4 4 6 a.) 6x 7x 0 b.) x 7x 0 c.) x 7x 8 0 Másodfokú egyenletrendszerek. Oldja meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán! x y 7 xy 8 x y xy 47 xy 4 x y 8 x y x 4y 7 xy Másodfokú egyenlőtlenségek

. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x x 6 0. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x x 4 x 4. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! x 4x 5 0 x 4x 5 0 x 4 6 5x x 0 x 8x 7 x x 0 0 Négyzetgyökös egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) x 6 b.) x 6 c.) x 5 x 4. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! x 5 x 4 x 6 x 4 x 5x A hegyes szögű definíciók: x x 5 x 7 8 x x 4 x x 9 x 8 III. Trigonometria I A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Koszinus nak nevezzük a szög melletti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). A szög tangensének nevezzük a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát (arányát). Kotangens nak nevezzük a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó hányadosát (arányát). A nevezetes szögek szögfüggvényei: sin cos tg 0 o 45 o 60 o ctg A derékszögű háromszögek segítségével megoldható feladatok. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 8 cm. Mekkorák a szögei?. Egy egyenlő oldalú háromszög magassága 6 cm. Mekkora az oldala? Mekkora a kerülete és a területe?. Egy háromszög oldalai 8 cm hosszúak. Mekkora a területe? 4. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 8 cm, és az alapon fekvő szögei 50 fokosak. Mekkorák a szárai? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkora a szárszöge? 5. Egy téglalap oldalai 5 és 0 cm hosszúak. Mekkora szöget zár be az átló a hosszabbik oldallal? 6. Egy téglalap oldalai 5 és 0 cm hosszúak. Mekkora az átlók hajlásszöge? 7. Egy 5 cm-es oldalú rombusz egyik szöge 70 o. Mekkorák az átlói? Mekkora a területe? Mekkora a másik szöge?

8. Egy szimmetrikus trapéz alapon fekvő szögei 70 fokosak. A hosszabbik alapja 0 a rövidebbik alapja cm hosszú. Mekkorák a szárai? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkorák a szögei? 9. Milyen messze van tőlünk az a 5 m magas épület, amely 5 40' emelkedési szögben látszik? A teodolit állványának a magassága,5 m. 0. 5 m távolságból egy épület egyik ablakának felső párkánya 40 o, az alsó párkánya 8 o emelkedési szögben látszik. Milyen magas az ablak? Kiterjesztés a teljes szögtartományra Def.: Egy tetszőleges szög szinuszán az egységkör forgásszögű pontjának a második koordinátáját értjük. Def.: Egy tetszőleges szög koszinuszán az egységkör forgásszögű pontjának az első koordinátáját értjük. A tangens és a kotangens függvényeket a már ismert összefüggés alapján definiáljuk: sin cos tg : ctg : cos sin A szögfüggvényekre vonatkozó Pitagorasz-tétel Tétel: Ha bármely szög szinuszát és koszinuszát négyzetre emeljük, és a négyzeteket összeadjuk, akkor egyet kapunk. R sin cos Számológép használata nélkül határozza meg a többi szögfüggvény pontos értékét! sin cos cos sin sin cos? tg? ctg? sin cos? tg? ctg? cos sin? tg? ctg? cos sin? tg? ctg? tg sin? cos? ctg? Kikeresés sin 0 = sin (80 0 ) = sin 60 = o o o o cos 5 = cos (5 80 ) = cos 45 = o o o o tg 0 tg 60 o o o o ctg 5 = ctg (5 80 ) = ctg 45 = A szögfüggvények ábrázolása és elemzése Ábrázolja! f(x) = sin (x 60 o ) Hol van a minimuma?

Ábrázolja! f(x) = cos (x+45 o ) Hol csökkenő a függvény? Ábrázolja! f(x) = tg (x+90 o ) Mi a zérushelye? Ábrázolja és elemezze! f(x) = sin (x+60 o ) f(x) = sin (x 45 o ) f(x) = cos (x+0 o ) + f(x) = sin (x) Visszakeresés f(x) = tg ( x) Mintafeladatok: sin x x 0 k 60 x 50 l 60 l,k Z cos 60 0 80 60 k 60 0 k 60 60 80 l 60 40 l 60 k; l Z Ell. : cos 0 cos 60 0,5 Adja meg az összes olyan szöget, amire teljesül, hogy: sin x cos x tg x ctg x sin x cos x tg x 0 ctg x 0 sin x 0 cos x 0 tg x ctg x sin x cos x tg x ctg x sin x cos x Geometria tg x ctg x A párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával. a c b d Szakasz felosztása adott arányban Osszunk fel egy szakaszt : arányban! A párhuzamos szelők-tételének megfordítása: Ha egy szög szárait egyenesekkel metsszük, és a szög egyik szárból lemetszett szakaszok aránya megegyezik a másik szárból lemetszett megfelelő szakaszok arányával, akkor a szelők párhuzamosak. A párhuzamos szelő szakaszok-tétele: Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor az egyik szárból lemetszett szakaszok aránya megegyezik a szelőkből kimetszett megfelelő e a szakaszok arányával. f b

A szögfelező-tétel: Bármely háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.. Töltsd ki a táblázatot! (Számold ki az ismeretlen szakaszok hosszát! Minden oszlop egy feladat. ) A középpontos hasonlóság Ha egy szakasz hossza a, akkor a képének a hossza a = a A hasonló alakzatok megfelelő oldalainak az aránya ugyanakkora. a ' a b ' b A háromszögek hasonlóságának esetei: A megfelelő oldalak aránya páronként megegyezik. Két-két oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik. Két-két oldal aránya és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik. Két szögük megegyezik. T' A hasonló síkidomok területének az aránya megegyezik a hasonlóság arányának a négyzetével. T A hasonló testek térfogatának az aránya megegyezik a hasonlóság arányának a köbével.. Egy két méter magas bot árnyéka,8 m hosszú. Milyen magas az a kémény, aminek az árnyéka 8 m hosszú?. Egy ötszög oldalainak aránya 4:5:6:7:8. Egy hozzá hasonló ötszög legkisebb oldala 6 cm-es. Mekkora az ötszög többi oldala?. Egy trapéz oldalai a = 5 cm, b = 8 cm, c = 0 cm, d = 7 cm, hosszúak. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? (A kiegészítő háromszöget a trapéz kisebbik alapja alkotja a szárak meghosszabbításával.) 4. Egy trapéz alapjai 7 cm és cm hosszúak. A kiegészítő háromszög oldalai 6 cm és 9 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szárai? A magasság-tétel: Bármely derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. m c c A befogó-tétel: Bármely derékszögű háromszögben a befogó mértani közepe az átfogónak és az átfogóra eső merőleges vetületének. a c c b c c Két pozitív szám számtani közepén az összegük felét értjük. a b A(a,b) a,b R Két pozitív szám mértani középén a szorzatuk négyzetgyökét értjük. G(a,b) a b a,b R A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség: Két nem negatív szám számtani közepe, legalább akkora, mint a mértani közepük. a b ab Másképpen: Két szám mértani közepe legfeljebb akkora, mint a két szám számtani közepe. 5. Mekkora a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága, ha befogói 6 dm és 9 dm hosszúságúak? 6. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 4 cm, az átfogó egyik szelete cm hosszú. Mekkorák a háromszög oldalai? 7. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 m, az átfogóhoz tartozó magasság m. Mekkora a többi oldala? 8. Adott két szakasz összege és mértani közepének hossza. Mekkora a két szakasz? A kör részei a b c d x y e f g 5 4 4 5

A körív hossza egyenesen arányos a középponti szögével: o i r 60 A körcikk területe is arányos a középponti szögének a nagyságával. A körszelet területe o t r 60 o cikk o A körgyűrű területe: r k πd A kisebb körszelet területét megkapjuk, ha a körcikk területéből kivonjuk a középponti háromszögének a területét. A nagyobbik körszelet területét kétféleképpen is számolhatjuk: a kör területéből kivonjuk a kisebbik körszelet területét, nagyobbik körcikk területéhez hozzáadjuk a középponti háromszög területét. A középponti szög (α) olyan szög, aminek a csúcsa a kör középpontja, és a szárai sugarak. A kerületi szög (β) olyan szög, aminek a csúcsa a körvonalon van és a szárai húrok. Az érintő szárú kerületi szög (β) olyan szög, aminek a csúcsa a körvonalon van, az egyik szára húr, a másik pedig érintő. A kerületi szögek tétele: Egy adott ívhez tartozó középponti szög kétszer akkora, mint az egy adott ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi szögek tételének következményei:. Egy adott ívhez tartozó összes kerületi szög ugyanakkora.. Egyenlő ívekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak. i i. Egy ívhez tartozó kerületi szögnek és a kiegészítő íve kerületi szögének az összege 80 o. Ha van olyan kör, amin a négyszög mind a négy csúcsa rajta van, akkor a négyszög húrnégyszög. A húrnégyszög-tétel: A négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögeinek összege 80 o. Ha van olyan kör, amit a négyszög mind a négy oldala érint, akkor a négyszög érintőnégyszög. Az érintőnégyszög-tétel: Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor a szemközti oldalainak összege ugyanakkora. A megfordítása: Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak az összege ugyanakkora, akkor a négyszög érintőnégyszög.. Egy 0 cm sugarú körben hány fokos középponti szög tartozik egy 0 cm hosszú ívhez? Mekkora az ívhez tartozó kerületi szög? Mekkora a kiegészítő ív kerületi szöge? Mekkora a körcikk területe? Mekkora területű körszeletekre osztja a kört a körív húrja?. Egy 0 cm sugarú körben hány fokos középponti szög tartozik egy 6 cm hosszú húrhoz? Mekkora az ívhez tartozó kerületi szög? Mekkora a kiegészítő ív kerületi szöge? Mekkora a körív hossza? Mekkora a körcikk területe? Mekkora körszeletekre osztja a húr a kört?. Egy körben két ív hossza 0 cm és 5 cm. A kisebbikhez tartozó kerületi szög 40. Mekkora kerületi szög tartozik a nagyobb körívhez? 4. Az ABC háromszög csúcspontjai a háromszög köré írt kört :4:5 arányú ívekre bontják. Mekkorák a háromszög szögei? 5. Egy körszelet határoló íve 64 o. Mekkora szögben látszik a kör pontjaiból a körszelet húrja? 7. Egy kerületi és a hozzá tartozó középponti szög összege 6. Mekkorák ezek a szögek?

8. Az ABCD négyszögben és 90 -os, az AC átló a körülírt kör középpontjából 0 -os szögben látszik. Bizonyítsa be, hogy a négyszögnek van 0 -os szöge!