Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek



Hasonló dokumentumok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

12. Trigonometria I.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

Hatvány, gyök, normálalak

I. A négyzetgyökvonás

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

1. Trigonometria Bevezetés

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

Síkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

1. Bevezetés a trigonometriába

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Hasonlóság 10. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG osztályos matematika

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

13. Trigonometria II.

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

2018/2019. Matematika 10.K

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

Koordinátageometria Megoldások

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK. A feladatsor jellemzői

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Feladatlap 8. oszály

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

Próbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont:

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

Elemi matematika szakkör

3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Bevezetés a síkgeometriába

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Átírás:

2013. 11.19.

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-, tompa-, derékszögű háromszögek) Háromszögek csoportosítása oldalak szerint (egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszögek) Háromszög nevezetes vonalai, pontjai (magasság, szögfelezők, oldalfelező merőlegesek, súlyvonal ) Háromszög területe, kerülete PITAGORASZ TÉTEL

Háromszögek ismétlés Két háromszög hasonló, akkor szögei páronként megegyeznek. Hasonló háromszögek oldalainak aránya megegyezik Hasonló háromszögek jelölése: ABC Δ ~A B C Δ Példa.: Mivel hasonló derékszögű háromszögek ezért: 3:5=x:10 Amiből pedig következik, hogy x=6 Számoljuk ki mennyi a befogó egy hasonló háromszögben, ha az átfogó 7, 4, 16cm, illetve az átfogót ha az egyik befogó 2, 5, 18 cm. Számoljuk ki a háromszögek összes oldalát.

A trigonometria fejlődésének, kialakulásának mozgató rugója a csillagászat (és persze a közlekedés, a hajózás) volt. Minél nagyobb szöget zár be a vontatókötél a hajó útvonalával, annál rosszabb a lónak. Ha a ló közvetlenül a hajó előtt húzhatná azt, akkor világos, hogy a befektetettenergia 100%-a arra megy, amire kell. Ha viszont a szerencsétlen ló vontatókötele valamilyen okból kifolyólag derékszöget zár be a hajó szándékolt útvonalával, akkor esélye sincs, hogy a vontatandó irányba húzza.

Állunk egy hatalmas hegy előtt és tudni szeretnénk, megvan-e 100 méter. Tegyük fel meg tudjuk mérni, hogy milyen szöget zár be a tekintetünk a földdel, mikor a hegy tetejére nézünk, pl. egy ún. teodolit segítségével. (Egy ilyen szerkezet elfér egy ember hóna alatt és égen-földön bármit meg lehet vele mérni pusztán az által, hogy megméri a szögeket, s a dolgok tőle való távolságát). Ha még azt is tudjuk hány km az út meredeken felfelé, abból már ki lehet számolni, hogy milyen magas a hegy. Ebben a példában és az előzőben is a hosszúság és a szög közötti összefüggésből kellene kiindulni. A trigonometria (szögfüggvények) ennek a matematikáját teremti meg.

Derékszögű háromszögek szögfüggvényei Jelölések: Az egyik hegyes (α)szög megadásával hasonló háromszögeket kapunk. Ezekben a háromszögekben az oldalak aránya megegyezik: a:c=a :c =a :c illetve a:b=a :b =a :b és b:c=b :c =b :c Az is látszik, hogy adott c oldal esetén az ezek az arányok az α szög nagyságától függenek. A hasonló derékszögű háromszögek oldalainak arányával való számolás annyira fontos, hogy az egyes arányok önálló elnevezést is kaptak. Ezek lettek a szögfüggvények.

Szinusz, koszinusz,tangens, kotangens Egy derékszögű háromszögben az α hegyesszög szinuszának(sinα) nevezzük az α hegyesszöggel szemközti befogónak(a) és az átfogónak(c) az arányát. Vagyis sinα megmutatja hányszorosa a szöggel szemközti befogó az átfogónak. az α hegyesszög koszinuszának(cosα) nevezzük az α hegyesszög melletti befogónak(b) és az átfogónak(c) az arányát. Vagyis cosα megmutatja hányszorosa a szög melletti befogó az átfogónak. az α hegyesszög tangensének(tgα) nevezzük az α hegyesszöggel szemközti befogónak(a) és az α hegyesszög melletti befogónak(b) az arányát. Vagyis tgα megmutatja hányszorosa a szöggel szemközti befogó a szög melletti befogónak. az α hegyesszög kotangensének(ctgα) nevezzük az α hegyesszög melletti befogónak és az α hegyesszöggel szemközti befogónak az arányát.

Szinusz, koszinusz,tangens, kotangens Képlettel:

Számítás Számológéppel Vannak ilyen gombok a számológépen. Például ha egy derékszögű háromszögben egy α szög 56,31 fok akkor: Erre ráütve a tan/tg függvényt: tg (56,31 ) = 1,500 kapjuk. Definíció szerint tgα megmutatja hányszorosa az 56,31 -os szöggel szemközti befogó(a) a szög melletti befogónak (b). Számításaink szerint tehát, a szemközti befogó(a) másfélszer akkora, mint a szög melletti befogó.(b) Számítsuk ki számológéppel/függvénytáblázattal a következő hegyes szögek szögfüggvényeit: 16, 70, 85, 30

Szögfüggvény alkalmazása I. (háromszög oldalainak hossza a hegyesszög ismeretében) Az előző példában, egy derékszögű háromszögben az α szög 56,31 fok. Továbbá tudjuk, hogy ebben az ABC háromszögben az α szög melletti oldal b = 4 cm. Számológép segítségével kiszámoltuk, hogy tg (56,31 ) = 1,500 azaz a szemközti befogó(a) másfélszer akkora, mint a szög melletti befogó.(b) Így már, a szögfüggvények segítségével, a háromszög minden további oldalát meg tudjuk határozni. a= 6cm, c =7,21

Szögfüggvény alkalmazása II. (háromszög szögeinek számítása) Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza 3, és 4cm. Számítsuk ki a háromszög szögeit. Legyen a = 3cm, b= 4cm A két befogó arányát felírva: ¾ = 0,75= tgα Számológépen 2nd funkció, és a tan gombokkal lehet a háromszög hegyesszögét kiszámítani. α = 36,87 amiből már a másik hegyesszög számítható β = 53,13 Számítsuk ki a hegyesszögek nagyságát, ha sin α =0,42, cos α =0,75, tg α =1,25, cos α =0,309

Példa A szögfüggvények ismeretében számoljuk ki mekkora lehet az a hegy amelynek csúcsához egy 1 km hosszú, 18 -os egyenes emelkedő vezet a hegy lábától. A vázlat alapján az út hossza c=1km=1000m, α = 18, a hegy magassága a =? sin18 = a/1000 sin18 = 0,309 = a/1000 309m = a

Feladatok 4-k-4. (2005. május 3 pont) Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5. Mekkora a másik befogó? Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja! 4-k-5. (2005. október 3 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója 4,7 cm hosszú, az egyik hegyesszöge 52,5. Hány cm hosszú a szög melletti befogó? Készítsen vázlatot az adatok feltüntetésével! Válaszát számítással indokolja, és egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!

Feladatok 4-k-15. (2008. október 2 pont) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm hosszú. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? (Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!) 4-k-6. (2006. május 2 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója 3 cm, egyik szöge 42º. Hány cm hosszú a 42º-os szöggel szemközti befogó? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Feladatok 4-k-17. (2009. október 2 pont) Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal? A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg! 4-k-19. (2010. május 3 pont) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei? A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!

Feladatok 4-k-20. (2010. május 2 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója 17 cm, egyik befogója 15 cm hosszú. Hány cm hosszú a háromszög harmadik oldala? 4-k-21. (2010. május 4 pont) Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) egyik alapjának hossza 7 cm, ezen az alapon fekvő szögei 60 osak. A trapéz szárai 4 cm-esek. Számítsa ki a másik alap hosszát! Számítását részletezze!