Matematika a műszaki főiskolák számára. Matematikai feladatok

Átírás

1 Matematika a műszaki főiskolák számára Matematikai feladatok

2 Matematika a műszaki főiskolák számára Matematikai feladatok Szerkesztette Scharnitzky Viktor Nemzeti Tknkönyvkiadó, Budapest

3 FŐISKOLAI SEGÉDKÖNYV A kötet G y. Bartha G yöngyike főiskolai adjunktus (5., 9. fejezet) D r. Elbert Árpádné főiskolai adjunktus (8., 13. fejezet) D r. H adnagy A ndrásné főiskolai adjunktus (3., 4. fejezet) Lóránt László főiskolai adjunktus (11., 12. fejezet) R iborics G yörgy főiskolai adjunktus (6., 7. fejezet) D r. Scharnitzky Viktor főiskolai tan ár (1., 2., 10., 14. fejezet) munkája Lektorálta D r. R eim an Istv ánné főiskolai docens Fedélterv VÁMOS Judit A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos! ISBN Gy. Bartha Gyöngyike, Dr. Elbert Árpádné, Dr. Hadnagy Andrásné, Lóránt László, Riborics György, Dr. Scharnitzky Viktor, Budapest,-1989

4 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... FELADA- TOK EREDMÉ- NYÉK 1. Halmazok Vektorgeometria Lineáris algebra Komplex szám ok Sorozatok Egyváltozós függvények Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények integrálszámítása Sorok Differenciálegyenletek Valószínűségszámítás Matematikai statisztika Többváltozós függvények Vektorfüggvények

5 ELŐSZÓ A kötet, amelyet az Olvasó a kezében tart, azokból a feladatokból tartalmaz egy gyűjteményt, amelyeket a 4. oldalon felsorolt főiskolai oktatók munkájuk során az utóbbi években felhasználtak. Ebből következik, hogy a feladatok között vannak többé-kevésbé ismertek is, hiszen kár lett volna lemondani néhány frappáns feladatról csak azért, mert ezek már valahol megjelentek. Vannak ismert témájúak, melyek adataikban eredetiek, és vannak szép számmal eredeti feladatok is. A gyűjtemény összeállítása során arra törekedtünk, hogy minden témakörben lehetőleg minél változatosabb feladatokat, ugyanakkor egy változaton belül több hasonló feladatot is nyújtsunk át az Olvasónak annak érdekében, hogy mind a gondolkodásra, mind a begyakorlásra alkalma legyen. A feladatok egy-egy témán belül általában (az általunk elképzelt) fokozódó nehézségi sorrendben követik egymást, de mivel egy-egy fejezeten belül több téma is szerepel, ezért a feladat sorszáma a feladat nehézségi fokára nem ad egyértelmű eligazítást. Annak ellenére, hogy az Eredmények című részben a legtöbb feladatnak csak a végeredményét közöljük avégből, hogy az Olvasó ellenőrizhesse munkájának az eredményét, és megoldást vagy megoldásokat alig adtunk, mégis arra biztatjuk az Olvasót, hogy a már egyszer jól megoldott feladatot kísérelje meg megoldani rövidebben, másképpen, más eszközökkel, próbálja meg a feladatot egyszerűsíteni, átalakítani, esetleg általánosítani. Számos feladatban ez a lehetőség, az önálló alkotás lehetősége is megvan és nagyon örülnénk, ha ezzel minél többen élni tudnának. Tudjuk, hogy sok ember időt rabló, aprólékos és gondos munkája ellenére a feladatgyűjteménynek számos fogyatékossága van. Kérjük ezért a t. Olvasót, hogy a kötet felfedezett hibáin ne bosszankodjon, hanem ezeket vagy más megjegyzéseit velünk közölni szíveskedjék; minden észrevételt köszönettel fogadunk. Végül köszönetét mondunk mindazoknak, akiknek lelkiismeretes közreműködése nélkül e könyv nem születhetett volna meg. Budapest, november A szerzők

6 1. HALMAZOK A feladatgyűjteményben itt és a továbbiakban a szokásos halmazjelöléseket alkalmazzuk. Ezek a következők: N = {a természetes számok}, Z = {az egész számok}, R = {a valós számok}, C = (a komplex számok} Melyek halmazok az alábbi összességek közül? a) A ={páratlan számok}; b) B ={az x ^-\ = 0 egyenlet gyökei}; c) C=={1, 2, í,tg60, ^ } ; d) D {a. főiskola jelenlegi hallgatói}; e) -{ &. főiskola első évfolyamának leány hallgatói}; f) F ={a főiskola magas hallgatói}; g) G ={az angolul beszélő magyar állampolgárok}; h) H ={az angol nyelvvizsgával rendelkező magyar állampolgárok}; i) I ={a 35 évnél idősebb nappali tagozatos hallgatók}. 1.2.írja fel elemeikkel a következő halmazokat: a) A ={a 25-nél kisebb pozitív páratlan számok}; b) B ={24 valódi osztói}; c) C == {18 összes osztói}; d) D ={a 6-tal osztható páratlan természetes számok} Hány eleme van az alábbi halmazoknak? a) A ={az x^-4 = 0 egyenlet valós gyökei}; b) B ={az x^ 4 = 0 egyenlet egész gyökei}; c) C ={az x^ 4 = 0 egyenlet pozitív gyökei}; d) D ={az x^-4 = 0 egyenlet irracionális gyökei}; e) E ={az x^-4 = 0 egyenlet gyökeinek halmaza}.

7 1.4. Hány eleme van az alábbi halmazoknak? a) A ={az x^-%x+15 ^ 0 egyenlőtlenség valós megoldásai}; b) B ={az 8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség egész megoldásai}; c) C == {az x ^ - 8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség racionális megoldásai}; d) Z) := {az x ^ - 8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség negativ megoldásai} Hány eleme van a következő halmazoknak? a) A ~ {az x^ + x 56 ^ 0 egyenlőtlenség egész megoldásai}; b) 5 == {az x^ + x -5 6 ^ 0 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásai}; c) C ~ {az x^ + x -5 6 ^ 0 egyenlőtlenség negatív egész megoldásai}; d) D ={az x^ + x 56 ^ 0 egyenlőtlenség páros megoldásai}; e) E ={az x^ + x 56 ^ 0 egyenlőtlenség 7-nél nem kisebb megoldásai} Van-e az alábbi halmazok között egyenlő? a) A == {2, 3, 4, 6}; b) B ~ {a hattal osztható természetes számok}; c) C == {a 10-nél nagyobb és 20-nál kisebb páros számok}; d) D ={\2 valódi pozitív osztói}; e) E-= {«^-15n3 + S0n2-180n+144 = 0, nen }; f) F== {a hárommal osztható páros számok} Legyen A = {a. budapesti jármüvek}; B = {a budapesti autóbuszok}; C = {a budapesti villamosok}; D = {a budapesti csuklós járművek}. Mit jelentenek az alábbi halmazok: a) BnC; b) BkjC\ c) Br\D; d) Cr\D; e) B^D; f) C \Z ); g) A\C Legyen A = 4, 2, -j-, 5 = {«e N : «< 5}. Sorolja fel az alábbi halmazok elemeit: A<^B, AnB, A \B, B^A Legyen A = {a 2-vel osztható természetes számok}, B = {a 3-mal osztható természetes számok}, C = {a 4-gyel osztható természetes számok}. Képezze két-két halmaz egyesítését, metszetét és különbségét! Milyen tulajdonságú számok alkotják ezeket a halmazokat? Legyen N = {a természetes számok}, P = {a prímszámok}, 5 = {a pozitív páros számok}, T = {a pozitív páratlan számok}. Képezze minden lehetséges módon két különböző halmaz egyesítését és metszetét!

8 1.11. Legyen = {nen; 60 ^ ^ 70}; A2 {nea^in páros}; A^ = {neai : n hárommal osztható}; A^ = {nea^:n néggyel osztható}. Határozza meg az alábbi halmazok elemeit: A^', A3 ; A4 ; A2UA3 ; A^^^A^y A^^^^A^y A^c^A^y Legyen A = {1, 2}, B = [7, 8, 9}. Határozza meg a következő halmazokat: AxB, BxA, AxA, B^B Legyen T a téglalapok halmaza, R a rombuszok halmaza. íija fel ezek segítségével a négyzetek N halmazát! Legyen H = {húrnégyszögek}, D = {deltoidok}, T = {trapézok}. Határozza meg a Hr\Dr\Thakaaz elemeit! Legyen K = {középpontosan szimmetrikus négyszögek}, T = {tengelyesen szimmetrikus négyszögek}. Határozza meg a AToT halmazt! Legyen a i / alaphalmaz a magyar nyelvű könyvek halmaza, továbbá y4 = {regények}, B = {matematikai tárgjfú szakkönyvek}, C = {tankönyvek} a H részhalmazai. Mit jelentenek az alábbi halmazok: a) AkjB; b) BnC; c) A; d) B\C; e) BkjCI Jelentse A a főiskola férfi hallgatói, B az elsőéves hallgatói halmazát! Igaz-e, hogy A'\B=AnB teljesül? Legyenek A, B és C egy H halmaz részhalmazai. Mutassa meg, hogy ekkor igazak az alábbi összefüggések: a) AuA = A; b) AyjB = BkjA; c) {AkjB)uC = Ayj{ByjQ\ d) Au0 = A; e)auh = H ; f) AnA = A; g) AnB = BnA; h) An(BnQ = (AnB)nC; i)a nh = A; j) An0 = 0; k) A^{AriB) = A-, l) An(A(jB) = A Ha a / / alaphalmaz egy részhalmaza A, akkor az A halmaz N-ra vonatkozó komplementer hahnaza: A = H\A. Ha Ar\B = 0, B H, akkor igazak-e a következő összefüggések: a) H=0; b)0 = Hj c) A = Aj d) AuA = H; e) AnA = 0; /J AuB = AnB; g) Ar\B = ÁkjB\ h) A^{Br\B) = A; i) An(BuS) = A.

9 1.20. Mutassa meg, hogy az A, B, C halmazokra igazak az alábbi összefüggések; a) A \{A \B) = B\{B\A); b) {A \Q \{B \C ) = (A\B)\C; c) (A\Q u(b\c ) = ( ^ u 5 ) \C ; d) {A\Qr^{B\C) = (AnB)\C Igazolja Venn-diagram segítségével az alábbi (disztributivitási) szabályokat: aj Au(Br)C) = (AuB)n(AuC); b) An{BvjC) = {Ac\B)Kj{Ar\C) Mutassa meg, hogy a H halmaz A, B, C részhalmazaira igaz az alábbi összefüggés; (AuB)n(AuB)n(AuB)n(AuB) = Milyen kapcsolat van az A, B és C halmazok között, ha a) AntBnC = A; b) AvjB^C = C; c) AnBnC = A és AuBuC = C; dj AnBnC = A és AuBuC = A Az alábbi halmazok közül x melyikben elem, melyikben részhalmaz, melyikben sem nem elem, sem nem részhalmaz? a){{x]^y)'^ b) x; c) 0 nx; e) {x}ux; / ; {x}u{0} írja fel a H ={l, 2, 3} halmaz hatványhalmazát! Legyen A = {0, 1} és 5 = {0, 2}. Mutassa meg, hogy P{AkjB) # P(^)uP(5). (P(^) az A halmaz hatványhalmazát jelöli.) ^ 0 5 jelentse az (A\B)u(B\A) halmazt, az A és B halmaz szimmetrikus különbségét. Bizonyítsa be, hogy ekkor a)a 0 = A; b) A B= B A; c) A {B Q = {A B) C\ d) Ar^{B Q = (AnB) (AnC); ej A \B c: A B; fj ^ = 5 akkor és csak akkor, ha A B = 0; gj A C = B C egyenlőségből A = B következik Legyen 0 = 0, 1 = 0u{0}, 2 = lu{l}, 3 = 2u{2}, 4 = 3u{3}. írja fel az 1, 2, 3 és 4 halmazok elemeit! Jelentse 0,1,2 az feladatban szereplő halmazokat. Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? a ; i e 2; b j\c ^ 2 ; cj Inl = 0 ; djlkj2 = 2; ej(0nl)el; / ; ln2 = Jelentse 0, 1, 2, 3, 4 az feladatban értelmezett halmazokat. Határozza meg a következő halmazokat: 10

10 a) 2u3; b) 2n3; c) 2u4; d) 2n4; e) 3u4; f) 3n Jelentse 0, 1, 2, 3 a feladatban értelmezett halmazokat. Határozza meg a következő direkt szorzatokat; a; Ox 1; 1 X 1; c; 1 x 2 ; ^ ; 2 x l; í^;2x2; / í 2 x 3 ; öt; 3X2; /j;3 x Az A halmaz 7-nél több, különböző pozitív egész számból áll; a számok legkisebb közös többszöröse 462, szorzatuk 9-szerese pedig egy egész szám köbe. Bármely két A halmazbeli szám legkisebb közös többszöröse kisebb 250-nél. Mely számokból áll az A halmaz? Az A halmaz elemei különböző pozitív egész számok, ^-nak 7-nél több eleme van; az elemek szorzata nem osztható 160-nal és nem negyedik hatványa egyetlen egész számnak sem. Az A összes elemének legkisebb közös többszöröse 390, és bármely két elemének van 1-nél nagyobb közös osztója. Melyek az A halmaz elemei? Egy lapkiadó vállalat három újságot ad ki, A-i, B-i és C-t. A lapkiadó reklámfőnöke az alábbi számokkal illusztrálja a lapok népszerűségét: Az országban 100 ember közül 26 olvassa az A, 25 a 5, 14 a C, 11 az ^ és B,\Q a B és C,9azA és C újságot, 5 pedig mind a három újság olvasója. Ez összesen 100. Ezért az országban mindenki olvassa a lapkiadó legalább egy újságát! Igazat mondott-e a reklámfőnök? A főiskolán a leányok közül 90-nek a haja barna, 70-nek mind a haja, mind a szeme barna, továbbá 130-nak a szeme és a haja közül legalább az egyik barna. Hány barna szemű leány van a főiskolán? Egy szövőüzemben társasutazást szerveznek. A szövődében dolgozók között 300 nő van, a szövődén kívül 40 nő és 20 férfi dolgozik. A tavalyi társasutazásokon az üzemből 50 férfi, a szövődéből 240 dolgozó vett részt. Az idei társasutazásokra a tavalyi résztvevők nem mehetnek el. Hány nő jöhet a szövődéből a társasutazásokra az idén? Egy cég eladója, aki háromfajta cikk eladásával foglalkozik, így számol be napi munkájáról; 40 lehetséges vevővel tárgyaltam, közülük 15 nem vásárolt semmit, 15 vásárolt az A árucikkből, 12 a.s árucikkből, és 10 a C árucikkből. Hatan vásároltak az ^4-ból és a 5-ből, egy vevő a 5-ből és a C-ből, és három az.^-ból és a C-ből. Igazat mondott az eladó? Egy vállalat 100 dolgozója közül angol nyelvvizsgája van 28 főnek, német nyelvvizsgája 30 főnek, orosz nyelvvizsgája 42 főnek. Angol és német nyelvvizsgája van 8, angol és orosz nyelvvizsgája van 10, német és orosz nyelvvizsgája van 5 főnek. II

11 Három dolgozónak mind a három nyelvből van nyelvvizsgája. a) Hány dolgozónak nincs egy nyelvvizsgája sem? b) Hány dolgozónak van csak orosz nyelvvizsgája? c) Hány dolgozónak van csak német és orosz nyelvvizsgája? Valaki azt állította, hogy a 100 főből álló évfolyam fele leány, a kollégisták száma 30, az igazolt sportolók száma 23. A sportoló leányok száma 20, a sportoló kollégistáké 10, a kollégista leányoké 8, végül a sportoló kollégista leányok száma 5. Mutassa meg, hogy a közölt adatok között ellentmondás van! Mutassa meg, hogy bármely félkör kerületén ugyanannyi pont van, mint az átmérőjén! 12

12 2. VEKTORGEOMETRIA Vektorok lineáris kombinációja 2.1. A kocka egy csúcsából kiinduló három élvektor a, b, c. Fejezze ki ezek segítségével az ebbe a csúcsba érkező lapátlóvektorokat és az ebbe a csúcsba érkező testátlóvektort! 2.2. Legyen adott az ABCD paralelogramma és O egy tetszőleges pont. Bizonyítsa be, hogy Ö l+ Ö ^ = C)í+Öd\ 2.3. Az ABCD paralelogramma csúcsainak a helyvektorai rendre a, b, c, d. Fejezze ki d-t az a, b és c segítségével! 2.4. Egy paralelepipedon egyik csúcsából kiinduló lapátlóvektorok x, y, z. írja fel ezek segítségével a velük azonos csúcsból induló a, b, c élvektorokat! 2.5. Egy szabályos hatszög alapú hasáb alaplapjainak középpontjából az alap két szomszédos csúcsához az x és y, a fedőlap középpontjához pedig a z vezet. írja fel a hasáb többi csúcsának a helyvektorait x, y és z segítségével! 2.6. Legyen Vj = 3a + 2b, Vj = - a + 3b, Vj = 2a-4b. Fejezze ki a-val és b-vel a Wj = 3vj V2 + 2V3 és a W2 = V2 2vi + 3v3 vektorokat! 2.7. Legyen v = 2a + b és w = a + 2b. Fejezze ki a következő vektorokat a v és w vektorokkal: 1 a; 3a-4b; 5a + 2b; c) - a + h Az ABC háromszög súlyvonalai az AA^, BB^ és CC^ egyenesek, súlypontja az S pont, és a tér egy tetszőleges pontja P. Fejezze ki a a)pé; c)p 1,- b) PÜ; d) vektorokat a = a, ^ = b, = c vektorokkal! 13

13 2.9. Az A pont helyvektora a, a B ponté b. Legyen az A pont tükörképe B-re A', helyvektora a'. Állítsa elő a'-t a és b segítségével! Legyenek A, B, C a tér tetszőleges pontjai. A bárhol választott P pontot tükrözze ^-ra, a tükörképet 5-re, az így kapott pontot C-re, az így nyert pontot ismét A-ra, majd hasonlóan folytatva az eljárást tükrözzön B-re és C-re! Bizonyítsa be, hogy a hatodik tükörkép azonos P-vel! Az A pont helyvektora a B ponté b. Határozza meg az AB szakasz negyedelő pontjainak helyvektorait! A 2 egységnyi élhosszúságú kockát úgy helyezzük el a koordínáta-rendszerben, hogy az origó a kocka egyik csúcsára illeszkedik, a tengelyek pozitív fele pedig egy-egy élt tartalmaz. Adja meg a kocka csúcsainak a koordinátáit! Az ABC háromszög két csúcspontja A(2', 2; 1), B(6 ; 3; 1), súlypontja 5(3; 2; 1). Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! Egy szabályos hatszög középpontja ^(4;1;4), két szomszédos csúcsa ^(3; 1; 5) és B(3; 2; 4). Adja meg a többi négy csúcs koordinátáit! Az ABCD paralelogramma csúcsai A(3; 2; 5), 5(0; 1;0), C( 5;2;7). Számítsa ki a D csúcs koordinátáit! Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, az ebből kiinduló élek végpontjai az A(3; 6; 4), B( 4; 7; 0), C(9; 1; 3) pontok. Számítsa ki a többi négy csúcs koordinátáit! Legyen az ABCDAiB^CiDi paralelepipedon ABCD lapjának középpontja E, a BCB^C^ lapjának középpontja F, a BD^ testátlójának felezőpontja G és a Dj-hez közelebb fekvő negyedelőpontja H, végül a C^D^ élének felezőpontja K. Ha AÉ = a(4; 2 ;-3 ), A ^ = b(5; 6; -2 ) és A^^ = c(l; 4; -3 ), fejezze ki a következő vektorokat a, b és c segítségével és számítsa ki koordinátáikat is! a)aü-, b)ac^\ c)aé^- d)w^-, e)aő- f)a p- g)aé- h) i) fá - j) FÉ; kj FÉ-, l) HK Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a ;a ( - 3 ;4 ;7 ), b (2 ;5 ;l); ÖJc(12;9;15), d(8;6;10); c ;e ( 7 ;-4 ;2 ), f(0;0;0) Döntse el, hogy az alábbi ponthármasok egy egyenesen vannak-e:

14 a) A(-4;5;2), 5(2; 0 ;- 3 ), C(14; - 10; - 13); ^(4;1;7), F ( 5 ; - l ; - l ) Számítsa ki a P(3; - 4 ; 8) pontnak az A(3; 7; -2 ) pontra vett tükörképe koordinátáit! Adottak az a (3 ;-2 ;5 ), b (-4 ;2 ;0 ), c (-2 ;0 ;5 ) vektorok. írja fel a Vi = a + 2b c, V2 = 3 a - - b + 2c, Vj = 7ra+)/5b + c vektorok koordinátáit! Bontsa fel a v(13; 56) vektort az a(2; 7) és b( 3; 0) vektorokkal párhuzamos összetevőkre! Bontsa fel a d(31; -3 7 ; 19) vektort az a (-8 ;7 ; 1), b(0; 3; 2) és c (l; -1 ;4 ) irányú összetevőkre! Számitsa ki az alábbi vektorok hosszát: / \ a(8; -1 4 ; - 8), b (^- ; ~ ^ c(4; - 9 ; 10) Adja meg az alábbi vektorok irányába mutató egységvektorokat: a(4 ;-1 2 ;3 ), b (0 ;0 ;-7 ), c ( - l;4 ;8 ), d ( l;2 ;- 3 ), v (-2 ;2 ;l). Skaláris szorzat Az ABC szabályos háromszög oldalhossza 2 egység. Számítsa ki az Ad szorzat értékét! A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorpárok hegyes-, derék- vagy tompaszöget zárnak-e be: aj ( - 3 ; 2 ; 0 ), (4, 1,5); b) (1; 1; 9), (2; 1; 3); c) (1 ;1 ;1 ), ( ; 7 ;3 ) ; d) (5; - 3; 4), (1; - 1; 2) Adottak az a(3; 6; 1) és b(12; 4; z) vektorok. Határozza meg z értékét úgy, hogy a és b merőlegesek legyenek egymásra! Hogyan kell megválasztani p értékét, hogy az a + /7b vektor merőleges legyen a b vektorra? Hogyan kell megválasztani az a és b vektorokat, hogy bármely ph?,q esetén a pz + q\) vektor merőleges legyen a qz ph vektorra? Legyen a, b, c három tetszőleges vektor. Megválasztható-e p és q úgy, hogy az a vektor'merőleges legyen a ph-qc vektorra? 15

15 2.32. Mutassa meg, hogy az a (-2 ; 3; 6), b(6; - 2 ; 3), c(3; 6; -2 ) vektorok kockát feszítenek ki! Mekkora szögeket zár be a v(4; 1; 8) vektor a koordinátatengelyek pozitív irányával? Van-e olyan vektor, amely az x, y, z koordinátatengelyek pozitív irányával a következő szögeket zárja be? a) 45, 60, 120 ; b) 45, 135, Számítsa ki a következő vektorpárok szögét: ö ja ( 7 ;- l ;6 ), b(2;20;l); é ;c ( 3 ;6 ;- 2 ), d (5 ;4 ;-2 0 ); c ;e ( - l;4 ;7 ), f(5 ;-2 ;0 ); ^ Jg = * + 2j + k, h = 5 i - 3 j - 4 k ; e) = 3i 2j 3k, V2 = 2i + 3j + k Mutassa meg, hogy az ^(3; - 8; 2),5(1;6; 2),C( 5; 2; 8) csúcspontú háromszög szabályos! Az /íi( -6 ;5 ;5 ), j5 i( - 3; - 1; 3), Q (5 ;4 ;0 ); ^ 2(6; - 5 ; - 2 ), ^ 2(4; - 2 ; 3), C2(6; 4; 0) és ^ 3( - 2; 7; 4), 4; - 1), Ca(3; 0; 2) csúcspontú háromszögek közül melyik hegyes-, derék- vagy tompaszögű? Határozza meg az A(l; 5; 6), B(-2; - 1; 0), C(2; 2; 1) csúcspontú háromszög belső szögeit! Számítsa ki az ^(1 ; 5; 6 ), B(-2; - 4 ; 0), C(4; 2; 2) csúcspontú háromszögben az A csúcspontból induló súlyvonalnak az AB oldallal bezárt szögét! Számítsa ki az A(19; -6 ;3 ), 5(5;4; -1 ), C(3;2; -5 ), >(I7; - 8; -1 ) csúcspontú paralelogramma átlóinak hajlásszögét és M metszéspontjának koordinátáit! Egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái: v4(7; 2; 1), js(-2; 5; 8), C(4; 7; 10). Legyenek az A^ és A2 pontok a CB oldal harmadoló pontjai, F pedig a CB oldal felezőpontja. Egyenlő szárú-e az AA^A2 háromszög? Mekkora az AFA2 szög? Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A{ 3;4;0), B{ 9; 11;42), C(1; 2; 4). Mekkora a háromszög kerülete? Mekkora a háromszög A csúcsánál fekvő szöge? 16

16 2.43. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: J(2; 4; 2), B(30; 44; - 16) C( 2; 4; 0). Legyen a CB oldalt negyedelő, a C csúcshoz legközelebb eső pont. Tompaszögű-e A A háromszög? Határozza meg az a(2; - 5; 1) vektornak a b(3; 0; 4) vektor egyenesére eső merőleges vetületének a hosszát! Adott négy pont: A(l; -2; 3), B(-4;2; 1), C(3;2; 1), Z)(-4; - 2 ; 5). Határozza meg az vektornak a vektorra eső vetületi vektorát! Az adott a vektorhoz határozza meg mindazokat a b vektorokat, amelyeknek az a-ra vett merőleges vetülete ugyanakkora, mint az a-nak a b-re vett merőleges vetülete! (a^^o) Bontsa fel az a(3; 6; 9) vektort a b(2; 2; 1) vektorral párhuzamos p, és a b-re merőleges m összetevőre! Számítsa ki az ^( - 1; 1; - 3), B{2; - 2; 3), C(4; 0; 0) csúcspontú háromszög leghosszabb oldalához tartozó magassága T talppontjának a koordinátáit! Számitsa ki az A(4; 5; - 12), B(3; - 4 ; 5), C (- 7; 14; 1) csúcspontú háromszög A csúcsából induló súlyvonal és a vele szemközti oldal F metszéspontjának koordinátáit és a BCA szöget! Számitsa ki az A(2-, - 1; 1), B(16; 1; 3), C(6; - 1; - 2) csúcspontú háromszög AC oldalához tartozó magasság T talppontjának a koordinátáit és a magasság hosszát! Egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái: A(l ; 3; 4), B(5; l;- 2 ), C(6; - 4 ; 1). Számitsa ki a C csúcspontból induló magasság T talppontjának az AB oldal F felezőpontjától mért távolságát! Legyen az A(-l;0;2), B(3;7; -2 ), C(l; - 1 ;0 ) csúcspontú háromszög súlypontja S, az AB oldalához tartozó magasságának talppontja T. Számitsa ki az ST szakasz hosszát! Vektoriális szorzat Végezze el a kijelölt műveleteket a következő kifejezésekben: aj (a-fb)x(a-2b); 6; (3a-b)x(b-f3a); c) (a + 2b)x(2a + b) + (a -2 b )x (2 a-b ) Adottak az a(2; - 3 ; 1), b(4; 2; -1 ), c(l; 0; -3 ) vektorok. Számítsa ki a V = (a Xb) X c vektor koordinátáit! 2 Matematikai feladatok 17

17 2.55. Egy kocka egyik csúcsából kiinduló két élvektora a és b. Fejezzük ki ezek segítségével a csúcsból kiinduló harmadik élvektort! Egy kockát kifeszítő három vektor közül kettőt ismerünk: a(6; 2; 3), b (-3 ; 6; -2 ). Határozza meg a harmadik vektort! Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, ebből kiinduló két élvektora a( 1; 0; 2), b ( l ; l ; 0), a harmadik él merőleges az a és b síkjára és hossza 9 egység. Számítsa ki a feltételeknek eleget tevő egyik paralelepipedon csúcsainak a koordinátáit! Egy téglatest egyik csúcsa az origó, az innen kiinduló testátlóvektora d(9; 5; 5), két élvektora a(4; - 3; 1) és b(0; 2; 6). Adja meg a harmadik élvektort! Adjon meg olyan x vektort, amely merőleges az a(2; - 3; 1) és a b (l; - 2; 3) vektorra és a c (l; 2; - 7) vektorral vett skaláris szorzata cx= Mekkora szöget zárnak be egymással az ABCD tetraéder ABC és ACD lapsikjai, ha a csúcsok koordinátái: ^(2;3;1), ő ( 4 ;l;- 2 ), C(6;3;7), D { ; 8)? Számítsa ki annak a paralelogrammának a területét, amelyet az a( 9; 0; 9) és b(7; 2; 5) vektorok feszítenek ki! Számítsa ki az ABC háromszög területét, ha a j^ (0 ;0 ;0 ), ő ( - l;4 ;7 ), C (5;2;l); b) A{\-,Q-2), 5(4; 3; 8), C (0 ;-4 ;6 ); c) A (4;-l;-3), f i( 3 ;l;- 2 ), C (l;5;0); dja(0;2;3), B(l;0;2), C (3 ;-l;0 ) Bizonyítsa be, hogy az A(l; 1), B(5; 1), C(7; 7), Z>(3; 5) csúcspontú négyszög paralelogramma, és számítsa ki a területét! Ha az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe í, akkor mekkora a 2a + 3b és a 4a 2b vektorok által kifeszített paralelogramma területe? Számítsa ki az A(1; - 1; 2), B(5; - 6; 2), C(1; 3; - 1) csúcspontú háromszög B csúcsához tartozó magasságának a hosszát! 2.G6. Az háromszög három oldalfelező pontja: ^i(2; 3; 1), B^{-2; - 1; 2), C i(- 1; 0; 3). Számítsa ki az ABC háromszög kerületét és területét! Az ^(2; 1; - 3), 5(1 ;0; 2), C(6;2; -1 ) csúcspontú háromszöget vetítse

18 merőlegesen a P(1; 0; 1), g(2; - 1; 3), i?(- 4; 2; - 1) pontok síkjára! Számítsa ki a vetületi háromszög területét! Bizonyítsa be, hogy tetszőleges a és b vektorra (axb)^ + (ab)^ = a^b^! Bizonyítsa be, hogy ha a + b + c = 0, akkor axb = b xc = cxa! Vegyesszorzat Döntse el, hogy az alábbi vektorhármasok komplanárisak-e: a ;( 2 ;3 ;l), (1 ;-1 ;3 ), (1 ;9 ;-1 1 ); é ; ( 3 ; - 2 ; l ), (2;1;2), ( 3 ; - l ; - 2 ) ; c ; ( 2 ; - l ; 2 ), ( l;2 ;- 3 ), ( 3 ;- 4 ; 7) Állapítsa meg, hogy az a = i 2j 3k, b = 5i + 4j + 7k, c = 6i + 7j + 8k vektorok jobb- vagy balsodrású rendszert alkotiiak-e Döntse el, hogy a következő pontnégyesek egy síkban vannak-e: a ; ( l ; 2; - l ), (0;1;5), ( - 1; 2; 1), (2;1;3); bj (0;1;1), (3; 5 ;- 4 ), ( - 4 ; - 2 ; 6); c j( l;5 ;4 ), ( - 2 ; l ; - 6 ), ( 0 ;2 ; - l), (2;3;4)! Válassza meg z értékét úgy, hogy az a (4 ; 1;2), b(l;2;3), c(3;3;z) vektorok komplanárisak legyenek! Van-e olyan, a 0-tól különböző vektor, amely merőleges az a(4;2; 1), b(l;2; -2 ) és a c(5; - 2 ; 4) vektorok mindegyikére? Ha van ilyen vektor, akkor egyet adjon is meg! Egy síkon vannak-e az ^ ( - 2 ; 2 ;- 2 ), C (2 ;-2 ;2 ), D(9; - 6; - 15) pontok? Számítsa ki az ABD háromszög területét! Mekkora az a(2; 3; 4), b(2; 3; 1), c (l; 2; 3) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? Mekkora az ABCD tetraéder térfogata, ha csúcspontjai: a) A(l;-2;3), ö ( - 4 ;2 ;l), C(3;0;2), Z )(0 ;-2;5); b) A{3-,-l;-l), 5 ( 5 ;- 2 ; 3), C (4 ;0 ;-2 ), /)(5;0;1) Az ABCD tetraéder térfogata 5 egység. Mik a D csúcs koordinátái, ha D az y tengelyen van és a többi csúcs koordinátái: A(2; 1; - 1), 5(3; 0; 1), C(2; - 1; 3)? 2* 19

19 2.79. Egy tetraéder csúcspontjai A(3; l;2), B{4;2; 3), C ( 2 ;l; 2) és D(2; 8; 5). Számítsa ki a BCD laphoz tartozó testnlagasság hosszát! Egy tetraéder csúcspontjai: ^(2;3;1), 5(4; 1 ; 2), C(6;3;7), D (-5; - 4; 8). Számitsa ki a tetraéder D csúcsából húzható magasságának a hosszát! Az a, b, c vektorok egy síkban vannak. Komplanárisak-e a Vj = 2a + 3b, Vj = 3b 4c, V3 = 2a+5c vektorok? Az a, b, c vektorok nincsenek egy síkban. Egy síkban van-e a következő három vektor: Vj = 2a + 3b, Vj = 5b 4c, V3 = c a? Egy paralelepipedon egy csúcsából kiinduló lapátlói egy újabb paralelepipedont feszítenek ki. Hányszorosa ennek térfogata az eredeti paralelepipedon térfogatának? A = 2a + 3b + 4c, V2 = a - b + c, V3 = 2a + 4 b -c vektorok által kifeszített tetraéder térfogata hányszorosa az a, b, c vektorok által kifeszített tetraéder V térfogatának? Az egyenes írja fel a P ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét, ha a; P ( - l;3 ;7 ), v (-4 ;2 ;6 ); b) P(0-1 ;2 ), v ( l ; 7 ; - 9 ) ; c; p{9 8 ; - 3 ), v (6 ;0 ;2 ); d) p{i - 2 ; 5), v ( 4 ;3 ;- 2 ) írja fel a következő pontpárokat összekötő egyenesek egyenletrendszerét: a ;P ( - 2 ;5 ;6 ), 0 ( 7 ;- 1 ; 3); b) P(5;l;2), ö ( - 5 ; l ; 3 ) ; c jp (0; 0; 0), ö ( 9 ; i i ; - i ) ; d) P{i;V,-2), 2 ( 3 ;-1 ;0 ) Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok? a; ^ ( - 2 ; 5; 3), ő (l;2 ;4 ), C (3 ;-7 ;7 ); b)a(l;2;4), 5 (-2 ;5 ;3 ), C (10;-7;7) írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P (-3 ;2 ; - 1) pontra és párhuzamos az x = 3 + 2í, = 8 + í, z = 1-7? egyenessel! Adja meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P( 1;2;0) pontra és merőleges az x = 2 + 3t,y= 5 + t, z 3 és az x = 8 + í, y = -t, z=3t egyenesekre! 20

20 2.90. írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P(2; 1; 0) pontra, merőleges az = - - = z egyenesre és párhuzamos az x+y = - z D síkkal! Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(0; 5; 2) pontra ésazx = \ 2 + /, z = 2í egyenest merőlegesen metszi! írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(3; 1; 1) pontra, az x - 2 j + 3 z -4 = 0 sikra és merőleges az x = 3 + 2/, >^ = 1 + /, z = 1 egyenesre! Mutassa meg, hogy a 3 3x = 6y = 4z+8 és az í, y = 5 + í, z = í egyenesek metszik egymást! Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amelynek mind a két adott egyenessel van közös pontja és merőleges mind a két adott egyenesre! Adja meg a p paraméter értékét úgy, hogy az alábbi két egyenes messe egymást: x + 2 y z 1 x 3 y \ z 1 ^ ~ p~ ~ ~ 4~~ ~Y~' Határozza meg annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik 2 x 1 a P(\; - 1; 5) pontra, párhuzamos az x+3y-z = 4 síkkal és merőleges a - = = l+y = - egyenesre! írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a 2x y+ 5 = 0 síkra, ennek P(2;9; 1) pontjára és merőleges az x 1 + í, y = l t, z = 2+3t egyenesre! írja fel az x + 9 y + 2 y -2 z+ 4 = = z -4, x - 3 = = metsző egyenesek szögfelezőinek az egyenletrendszerét! Határozza meg az alábbi síkpárok metszésvonalának az egyenletrendszerét; a) 2x+ 5y 3z + S = 0, x 2y+z 5 = 0; b) x-2y + 3z-4 = 0, 3 x + 2 j-5 z -4 = 0; c) 2x y + 3z 6 = 0, x+y 2z 9 = 0. 21

21 2.99. írja fel a P (l;3 ;2 ) pontra illeszkedő és a 2x + j + 3 z= 1 és x - y z + 2 = 0 síkok metszésvonalával párhuzamos egyenes vektoregyenletét! Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuzamos a 2x y + 6 z 7 és x + y z 4 = 0 síkokkal és illeszkedik a P( 2; 1; 2) pontra. Igaz-e, hogy ez az egyenes az első síkra illeszkedik? Határozza meg a 2x 3y 6 z = 32 sík és a 2(x 2) = 2y~2 = z + 3 egyenes közös pontjában a síkra merőlegesen állított egyenes vektoregyenletét! Az S sík egyenlete 3x + 6;^-z = 8. Az S sík két pontja A(l; I; 1) és 5(4; 1; 2). írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a S síkra, az A pontra és merőleges az AB szakaszra! írja fel az x = 7 + 3t,y = 4 2 t,z = 4 + 3tésazx= 1+ (,y = 8 + 2/, z = / egyenesek normáltranszverzálisának az egyenletrendszerét! Számítsa ki a két kitérő egyenes távolságát! Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuza- 1 2x z + 1 mos az x y = 1 síkkal, merőleges az - = j ^ egyenesre és illeszkedik a P(2; 1; 1) pontra! Mekkora a kapott egyenes és a sík távolsága? Adott három pont: A(2; 3; 1), B( 2; 1; 1), C(4; 1; 3). írja fel az A, B, C pontoktól egyenlő távolságra levő pontok halmazának az egyenletét! A sík Adott a sík n normálvektora és P pontja. írja fel a sík egyenletét! a; n ( - 3 ;2 ;ll), P (9 ;l;0 ); b) n(9;l;0), P ( - 3 ;2 ;ll) ; c ;n ( l;0 ;l), P(2;7;5); d) n(3;2;l), P(0;0;0); ^ ;n (0 ;l;0 ), P (5 ;2 ;-3 ) írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(1; - 2; 3) pontra és párhuzamos a 3 x -4 y + 5 z -3 = 0 síkkal! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az alábbi ponthármasokra: a ;^ ( 2 ;3 ; l), B(-l-2 5), C (2 ;-l;0 ); b) A(3;-l;2), 5 ( 4 ;- 1-1 ), C(2;0;2); ej ^ ( 4 ; - 6 ; 7), B(-6;4-3 ), C ( - l;8 ;8 ) ; dj A(2;-6;-5), 5(5;10;2), C (-7 ;0 ;1 0 ); ^ ;^ (1 ;5 ;4 ), B(-2;l;-6), C (0 ;2 ;-l). 22

22 Egy síkra illeszkedik-e a következő négy pont? A(2;3;4), 5(0; 2; - 1), C (-2 ; 1 ; - 6), Z)(l;5;4) írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P( - 3; 2; 5) pontra és az X tengelyre! írja fel a P{2; -1 ;3 ) pontra illeszkedő és a Vi(l; 2; 4), V2(4; 3;0) vektorokkal párhuzamos sík egyenletét! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az ^(3; 4; 5) pontra és párhuzamos az a(3; 1; - 1) és b( - 1; 2; 1) vektorokkal! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = 2 + 3í, y = í, z = 3-2í és az X = 1 + 3í, = 2 + 2í, z = - 3-2í párhuzamos egyenesekre! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az A(2; - 3; 1) és B{3; 1; 2) pontokra és párhuzamos az x = 2+ 1, y = - 2 3í, 2z = 5? egyenessel! Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(3; 2; 5) pontra és párhuzamos az x = \ 2t,y \ = 2z és az x = í, j = 1 + /, z = 2 í egyenessel! Határozza meg a P(5;2;4) pontra és az x = í + 3, y = -2t 2, z = 6 egyenesre illeszkedő sík egyenletét! Adott két pont: ^(0; 1; 3) és B{\; 3; 5). írja fel az A ponton áthaladó és az AB egyenesre merőleges sík egyenletét! Az Ax+3y 5z+ 1 = 0 sík egyenletében hogyan kell az A értékét megválasztani, hogy a sík párhuzamos legyen azx = At+\,y = 3t~2, z = t egyenessel? Illeszkedik-e az x ~ \ + 2t, y = 3 t, z = 2+5t egyenes a 4x + >' z + 3 = 0 síkra? írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = 1 + 3/, 2j = í, z = \ t egyenesre és merőleges az 5x = 0 síkra! Írjafelannakasíknakazegyenletét, amely merőleges azx 2j;+3z 2 = 0 síkra és illeszkedik a Pi( - 1; 2; 0) és 2; 2) pontokra! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(l; 1; 1) és ö(2; - 3 ; 1) pontokra és merőleges a. 3x + y - z - l = 0 síkra! 23

23 Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az A(3; 1; 0) és 5( 1; 2; 1) pontokra és merőleges alx y + z 5 síkra! írja fel a /*( 1;2;3) pontra illeszkedő és az x + 2y 3z+l = 0, x + 3y-z+6 = 0 síkokra merőleges sík egyenletét! Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(1; 4; 7) pontra és merőleges a2x-y + z = 3 é s x + j - 3 z - I = 0 egyenletű síkokra! Mutassa meg, hogy a 3x-9 = y-s = 3t, z = 3>+ 4t és a 9~y 9~z 4 X = ^ egyenes ugyanarra a síkra illeszkedik! írja fel e sík egyenletét! íija fel az x 3 j X 8 6 z és = egyenesekre illeszkedő sík egyenletét! x 3 v+1 z~ Iqa fel a z = = és az x = 2 + 2t, y = l~3t,z= l + t, egyenesekre illeszkedő sík egyenletét! Mutassa meg, hogy az jc 3 = 3(1- j ) = -(z + 1 ); 4 -x = 3y + 6 = z egyenesek és a P(5; 1; 2) pont ugyanarra a síkra illeszkednek! írja fel a sík egyenletét! íija fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x+ 1 = 3 y = 4-2 z egyenesre és párhuzamos az ^ ( - 6; 7; 5) és 5(1; - 5 ; - 6) pontokat összekötő szakasszal! Határozza meg a P (l;3 ; 1) pontra illeszkedő és az x = 2t, y = -1, z= 3 tésx 3 = y 2 = z egyenesekkel párhuzamos sík egyenletét! Döntse el, hogy egy síkban van-e a következő három egyenes: x = í, y = 3 t, z = \ t\ X = 6 3t, y = 3 +1, z = l + í; x = l 6í, y = 2t, z = 2 + 2t írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az ^ ( - 3 ; 2; 1) pontra, párhuzamos az x = 3 + 2/, y=t, z = - l + 4í egyenessel és merőleges az x 2y+5z 3 = 0 síkra! íqa fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = l + 3í,

24 y = 3 + 2t, z = 1 t egyenesre és párhuzamos a 2x y + z 3 = 0 és x + 2 y -z-5 = 0 síkok metszésvonalával! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P( - 2; 1; 3) pontra és az x y+3z 8 = 0 és 2 x+y z + 2 = 0 síkok metszésvonalára! Állapítsa meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az z+i... y = = egyenesre es párhuzamos a z x + 3 = - = z 1 egyenessel! Mutassa meg, hogy az x-3y + 4z-5 = 0 sík merőleges az y - x + z = 1 síkra! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az adott síkokra és illeszkedik a P(2; 0; -5 ) pontra! Határozza meg a 4x 2 j+ 3 z + 13 = 0, 4y 5x + 2z 12 = 0, 6x-4>' - 5z + 11 = 0 síkok közös pontjának koordinátáit! Van-e a következő négy síknak közös pontja: 5x z + 3 = 0, 2x y 4z+5 = 0, 3> + 2z 1 = 0, 3x + Ay + 5z 3 = 0? írja fel a 2 x - 3 j + z = 28 és 2 jc-3 j + z = 0 síkokkal párhuzamos, tőlük egyenlő távolságra levő sík egyenletét! Elválasztja-e a 2x + 2y z 2 = 0 sík az A(2; 1; 1) és a B(2; 1; 3) pontokat? íija fel az AB szakasz felezőmerőleges síkjának az egyenletét, ha ^(3; 5; -4 ), 5(1; - 3 ; 2)! Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely a 4x + 2y z+ 5 = 0 és 4x + 2> - z - 1 = 0 párhuzamos síkoktól egyenlő távolságra van! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az yl(6;0;0) és B(0; 4; 0) pontokra, továbbá a koordinátasíkokkal együtt 8 egység térfogatú tetraédert határol! Egyenes és sík Mely pontokban metszi a z = 4-2t,y = 3 + 3t,z = 1 - í egyenes a koordinátasíkokat? Adja meg a P( 6; 6; 5) és Q{12; 6; 1) pontokat összekötő egyeneseknek a koordinátasíkokkal való metszéspontját! 25

25 Mely pontban döfi az x = \ + 2t, y?>t, z = \ + t egyenes a 2 x + hy + z 0 síkot? Határozza meg a Pj (2; 3; - 3),/*2(3; 2; - 2),P 3(4; 5; - 6) pontokra illesz- 4 X y+3 4z + 6, kedő sík és a = = egyenes D döféspontjának a koordinátáit! Egy háromszög csúcspontjai: ^ ( - 2 ; 0 ; - l ), C(l; 5; 3). Állítson a háromszög A csúcsában a háromszög síkjára merőleges egyenest! Melyik pontban döfi ez az egyenes az x y + z = 0 síkot? Határozza meg az origót a P(8; - 2; - 6) ponttal összekötő egyenesnek és a 3x-2y + 6 z + 4 = 0 síknak az M metszéspontját! Ap paraméter mely értékére lesz a z x = í, -2+pt, z = 3-2t egyenes párhuzamos az x 3j + 6z + 7 = 0 síkkal? Mekkora területű háromszöget metszenek ki a koordinátasíkok a 6 x I0y+ 5z = 30 síkból? Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a 3x 4j + 6z 12 = 0 sík a koordinátasíkokból? Adottak az ^ = (0; - 6; -3 ), - 6), C(5;9; 12), P(7;0; -7 ), Q(l; 12; -7 ) és i? (-5 ;6 ; 11) pontok. Metszi-e az ABC háromszög síkja a PQR háromszög síkját? Ha igen, írja fel a metszésvonal egyenletrendszerét! Tükrözze a /*( 2;3;3) pontot az x = 3 + 4í, j = í, z = 2 + 3/ egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit! Tükrözze a P( 1; 2; 3) pontot az x + 1 = 3>> = 3z egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit! Határozza meg a/*(3; 2; 1) pont 2x + 5 z + 12 = 0 síkra vett tükörképének a koordinátáit! Tükrözze a P (-3 ;4 ;7 ) pontot az ^(3;8;0), 5 ( - l ; - l ; - 2 ), C(5; - 1; 10) pontok síkjára! írja fel a tükörkép koordinátáit! Tükrözze a z x - j - z +8 = 0 síkot a P(5; 8; 2) pontra! írja fel a tükörkép egyenletét! Adottá 4x = 2(y 1) = 1 2zegyenes, azx + 2>> z = 12 sík, valamint a P(3; 1; 5) pont. Tükrözze a P pontot az adott síkra! írja fel a tükörképpontra illeszkedő, az adott egyenessel párhuzamos és az adott síkra merőleges sík egyenletét! 26

26 Tükrözze az x= - 3, j = 3-3í, z = - \+ t egyenest az ABC síkra, ahol ^ ( 5 ; - 2 ; 5), fi(3;5;0) és C (-2 ;l;3 ). Határozza meg a tükörkép egyenletrendszerét! Tükrözze az x = \ + 2t,y = l-2t,z = \ - t egyenest a 3x + = 1 síkra! Mekkora szöget zár be az adott egyenes a tükörképével? Tükrözze a 5x 8y + 3z 6 = 0 síkot az 5x 8j+ 3z + 4 = 0 síkra és írja fel a tükörkép egyenletét! Adja meg az ^(5; 2; -1 ) pont merőleges vetületét a Ix -y + 'iz = 23 síkon! Vetítse merőlegesen az ^ ( l ; - 2 ; - l ), ~ 2 ) és C ( - 2 ;6 ; - 6 ) pontok síkjára az x 3 = y+3 = 6z 48 egyenest! írja fel a vetület egyenletrendszerét! Adott az X = 4+ 1, y = \ 2t, z = t egyenes és a 2x 2z = 23 3y sík. írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuzamos az adott egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületével és illeszkedik a P(7; 1; 2) pontra. Az így kapott egyenes illeszkedik-e a 4 x + 6;^ 4z 26 = 0 síkra? Adott az e i'.x = 2 + 4t, y = 2t, z = 2 + í és az e2 '.x = 2 t, y = \ + 1, z = 1 + 2? egyenes. írja fel annak az S síknak az egyenletét, amely tartalmazza az egyenest és párhuzamos az 6 2 egyenessel! Vetítse az 6 2 egyenest merőlegesen az S síkra! Határozza meg a vetület egyenletrendszerét! Számítsa ki az alábbi egyenesek hajlásszögét; a; 2 x -6 = ) = és 2x + 4 = 2 y -6 = /2(z + 5); í>jx= 2 + 3í, j = 0, z=3 í és x = l + 2í, ;^ = 0, z = 3 + í; c^x = 4 + í, j;= 5 í, z = 3 í és x=17 + 2/, j = 3í, z = 9+17í; d) X = 1 + 3/, = 2,5t\ z = - I -3? és x = t, y = 3>+ 2t, z = Határozza meg a következő sík és egyenes hajlásszögét: a) x y z= 1 és 2 x = 1 4í, ;^=3,z = 2í; b) x + 9y + 4z = 7 és x= 3 + 4t,y = 6,z 9t; c) x + 2y + 2z = 3 és x = 5 3í, j = 4 + 6í, z= 2; d) 2x + y z = 3 és x = 5 t, y = 2t, z = 3 t Határozza meg a következő két-két sík hajlásszögét: a) lx-3y + z-l9 = 0, x + 2y - z + 4 = 0; b) x y z l = 0, 2 x + y z 5 = 0 ; c) x + 2y + 2z-3 = 0, 1 6 x j-1 5 z -1 = 0; d) X 2j + 2z 8 = 0, x + z 6 = 0. 27

27 3 z y + 1 z Adott a P(2; - 1; 1) pont, az : = = és az 6 2 '. x = - 1, Z ó ^ Zr = - 3-5í, z = 4 + 4? egyenes. A P pont és az egyenes síkot határoz meg. Az 6 2 egyenes ezzel a síkkal vagy az egyenessel zár be nagyobb szöget? Mekkora távolságra van a P(2; 4; -6 ) p o n ta 3 x - 6 = 2 (j+ l) = 9z egyenestől? Mekkora az x = 2+3í, y=t, z = 1 + 3? és az x = 2 + 3t, y = 1 + í, z = í párhuzamos egyenesek távolsága? Mekkora távolságra van az ^4(4; 3; 2) pont a6x ;^+18z= 19 síktól? Határozza meg az x + 2y~3z = 1 sík és az x = l-lt, y = 2t, z = l - t egyenes távolságát! Mekkora távolságra van egymástól az alábbi két párhuzamos sík: 2x-3y + 6z-14 = 0, 4 x -6 j+ 1 2 z + 21 = 0? X 1 y + 2 z Számítsa ki a z = = és x = 7 + 3/, j = 2 + 2í, z = 1-2? egyenesek metszéspontjainak a 2x - 16j - 13z + 31 = 0 síktól mért távolságát! Hogyan kell megválasztani A és B értékét, hogy a 2x j = 0, x + 2y-z + B = 0, x + A y - 6 z+ 10 = Csikóknak aj egy közös pontja legyen; egy egyenesre illeszkedjenek; c) három párhuzamos egyenesben messék egymást? Határozza meg az x + j 2z 1 = 0 és az x + j^ 2z + 3 = 0 síkoktól egyenlő távolságra fekvő sík egyenletét! Az X = í, y = 2t, z = 1 + í egyenesnek mely pontja van egyenlő távolságra az ^(2; 4; 7) és 5(0; 6; 5) pontoktól? Adja meg egy olyan egyenes egyenletrendszerét, amely az x - 8 j + 4z = 9 síktól 4 egységnyire, a 4x + 20y 5z = 42 síktól pedig 3 egységnyire van! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely az x + y -z + l = 0 síktól kétszer olyan távolságra van, mint az x + y - z - l = 0 síktól és nem helyezkedik el közöttük! Határozza meg a z tengelyen azt a pontot, amely egyenlő távolságra van a 12x + 9> 20z 19 = 0 és a 16x I2y+ 15z 9 = 0 síkoktól!

28 Határozza meg az x+y + z-2 = 0 és x + 2 y - z - l = 0 síkok metszésvonalán azt a pontot, amely egyenlő távolságra van az x + 2y + z+l = 0 és x + 2y + z 3 = 0 síkoktól! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely felezi az x + 2 y - z - l = 0 és az x + 2 y + z+ 1 = 0 síkok hajlásszögét és illeszkedik a /*(1; 1; - 1) pontra! Határozza meg az x y = z és x 1 = 0, y 2 = 0 egyenesek távolságát! X 3 y x Számítsa ki az = - - = - ( z + 2) és = y -2 = z-4 egyenesek távolságát! Határozza meg a következő síkpárok metszésvonalainak a távolságát: x + y - z 1 = 0és2x + y z 2 = 0, illetve x + 2y - z 2 = 0 ésx + 2y + 2z+4 = Határozza meg az x = t,y= 2 + í, z = 2 + 3í és az x = 4 + 2í, y = l- 5 í, z = 12-4 í egyenesek normáltranszverzálisának egyenletrendszerét! Adott az egyenes az i(2; 4; 5) pontjával és Vi( 1; 3; 1) irányvektorával és az É>2egyenes az E2(S; 9; 7) pontjával és 2(1; 3; 3) irányvektorával. írja fel e két egyenes normáltranszverzálisának egyenletrendszerét, a normáltranszverzális és a két egyenes metszéspontjainak a koordinátáit és a metszéspontok távolságát! Határozza meg a 2x-t-5y- 3z-I-8 = 0 és az x-2_y-l-z-5 = 0 síkok metszésvonalának vektoregyenletét! írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely párhuzamos az előbbi metszésvonallal és illeszkedik a P(2; 1; 6) pontra. Állapítsa meg a két párhuzamos egyenes távolságát! Egy tetraéder csúcspontjai: ^ (-2 ;1 ;3 ), 5 ( 0 ;- 4 ; 6), C ( - 5 ;- 3 ;5 ), Z)(15; - 3 ; 3). írja fel annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a tetraéder ABC lapjával és illeszkedik a D csúcspontra! Mekkora a tetraéder D csúcsából kiinduló magassága? Egy háromszög csúcspontjai: A(l; -2; 0), B(-2; 4; 6), C(2; 0; 2). A háromszög BC oldalának felezőpontja F, az AB oldalához tartozó magasság talppontja T. Számítsa ki az FT távolságot és írja fel az FT egyenes vektoregyenletét! Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a 3x-l-> -2 z = 17 és az x-l-2y = 9 síkok egységnyi hosszúságú normálvektorai és a síkok metszésvonalának^egységnyi hosszúságú irányvektora feszít ki! Mutassa meg, hogy az x = 1-?,' y = ~4-4t, z= és r(t) = (t+ 2)i + (2t 2)j + (2t 1 )k egyenesek egy síkban vannak! Vetítse merőlegesen

29 e síkra az x = í + 3, j = - 2í + 2, z = 6 egyenest! írja fel a vetület egyenletrendszerét! Mekkora szöget zár be az egyenes a vetületével? Az x + 3y + 4z 9 = 0; y 2 = 0; x + 4y + 5z ll = 0; y + 2z 4 = 0 síkok egy tetraédert határoznak meg. Számítsa ki a tetraéder térfogatát és felszínét! Az.4(1;0;2), 5 ( - l ; 2 ; 1), C(3;2;0), D (-2 ;2 ; 1) pontok egy tetraéder csúcspontjai. írja fel a tetraéder lapjainak egyenletét! Mekkora a tetraéder A csúcsából kiinduló magassága? Mekkorának kell a p paramétert megválasztani, hogy az ri(í) = ( (2 -?)j - (1 + 3/)k és az T2 = ( pt)i + ( n j + k egyenesek egy síkot hatá- 4 ^ rozzanak meg? írja fel a sík egyenletét! Mekkora távolságra van ez a sík az origótól? Határozza meg az r(í) = (3í-t-l)i + (5í+ l)j-(2í-t-l)k egyenesen azt a P pontot, amely a 2x 2 j + z 6 = 0 és a 4x 4y + 2z + 24 = 0 síkoktól egyenlő távolságra van! Mekkora ez a távolság? Határozza meg az x + 4y-2z = 0 és az 5 x - j + 6z = 9 síkokkal párhuzamos, a P(1; - 2; 3) pontra illeszkedő egyenes egyenletrendszerét! Bizonyítsa be, hogy 19 ez az egyenes és az x = 3t + 6,y = 2 í- 14, z = t egyenes egy síkot határoznak meg! írja fel a sík egyenletét! Mekkora távolságra van a P pont az első adott síktól?

30 3. LINEÁRIS ALGEBRA Determinánsok 3.1. Számítsa ki a következő determinánsok értékét! a) D = b) D = ^ - i / /, ahol í 2 1; c) d) f) D = Z) = j k -1 4, ahol i,j, k tetszőleges valós számok; e) D = Z) = Igazolja, hogy X x + d x + 2 d y y + d y + 2 d z z + d z + 2 d = 0. 31

31 3.3. Határozza meg x értékét, úgy, hogy teljesüljenek a következő egyenlőségek: a) x^ 4 9 b) X 1 1 X 2 3 = 0; 1 X I 1 1 X c) = 0; X 0 0 d) x^ X 0-729; X X = Igazolja, hogy minden valós x-re! sin 2 x cos 2 x 1 sin X cos X cos x cos X sin X sin x = Legyen Mátrixok Határozza meg az A + B mátrixot! 3.6. Adott két mátrix; '1 í -3-2 A = 3 4 és B = A = és B = Vizsgálja meg, melyik igaz az alábbi állítások közül: a) A = B; b) AB = E, ahol E az egységmátrix; c) A* = B; d) A = B* Legyen A = '1 1 - /' 4/ \ + 2 Í -2/ 1 ; B = és C = 2i 3 _ 4 3 -i _ 1 l + í_ Határozza meg az la 2B + 3C mátrixot, ha = 1! 32

32 3.8. Egy A mátrix transzponáltja: A* = Igaz-e, hogy AB = [7, 4]? továbbá B = [1, 1, 1], 3.9. Legyen Számitsa ki A négyzetét! A = cos a sin a sin a cos a Számítsa ki az A^ mátrixot, ha Létezik-e (A^) Adott két mátrix: A = A = "1 2 A '1 2 és B = Vizsgálja meg, hogy az AB mátrix egyenlő-e a BA mátrixszal! Számítsa ki a B = AA* + 2A*A mátrixot, ha A = Legyen ' 1-1 r l 2 3 A = és B = c Válassza meg c értékét úgy, hogy az AB szimmetrikus mátrix legyen! Határozza meg az AB mátrixot, ha b) A = A = 1 2 1' ' A, B = B = 3 Matematikai feladatok 33

33 C) d) '2 r A = 3-2 B = 1 0^ A = ' B = 2 3' Igazolja, hogy (A + B)^ = A^ + BA + AB + B^, ha A = 5-3 ' és B = l _ Igazolja a mátrixok szorzásának asszociativitását, azaz az (AB)C = A(BC) összefüggést, ha 3 1 0' 2 A = [2, -5,4 ], B = és C = Legyen A = Számítsa ki az Aadj A és az (adja)a szorzatot! Szorozza meg az A = '1 0 0' mátrixot a C = 0 c mátrixszal balról, majd jobbról (c tetszőleges valós szám)! Szorozza meg az A = mátrixszal balról, majd jobbról is! Mit tapasztal? Legyen Elvégezhető-e az A A ^ művelet? '0 1 0' mátrixot a P = '6-1 4 A =

34 3.21. Legyen A = ' Számítsa ki a megadott mátrix inverzét, és ellenőrizze is a kapott eredményt! Legyen A egy négyzetes mátrix. Mikor igaz, hogy AadjA = E? Adott az A = I mátrix. Fennáll-e a következő egyenlőség = A(adjA) = A ^A Vizsgálja meg, hogy teljesül-e az AB = BA egyenlőség, ha Létezik-e (AB BA) " r A = , B = Háromféle nyersanyagból (N) kétféle félkész terméket (F), majd ezekből háromféle végterméket (V) állítanak elő. Az egyes folyamatok anyagszükségletét az alábbi táblázatok mutatják: a) N, N, N, F Fi b) F, F, N, 2 3 N, 0 3 N, 2 1 Vi V, F3 Fi Fi F, F2 Vi 0 2. V2 3 0 V, 2 1 Határozza meg a teljes folyamat termelési mátrixát (az egyes végtermékek nyersanyagszükségletét)! Egy üzem kétféle nyersanyagból (A^i; N2) háromféle félkész terméket (Fi; F2 ; F3), ezekből pedig kétféle végterméket (F i; V2) állít elő. Az anyagszükséglet: F, F2 F3 Fi F2 Fs 1 4 5? Fi N ^ Mekkora az egyes végtermékek nyersanyagszükséglete és a teljes nyersanyagszükséglet, ha Fi-bői 1000 db, Fj-ből 1200 db készül? 3* 35

35 3.27. Egy üzemben négyféle alapanyagból (A^; A2 ; A3 ; A4,) háromféle félkész terméket (F^; F2 ; F^), ezekből pedig négyféle készterméket (^ 1; K2, K^ ', állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő: Ar A2 ^3 A, F, F2 ^3 F, K, F , K F, Ks K, Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az Aj alapanyagból, illetve melyik a legkevesebbet az ^ 2 ből? Egy üzemben négyféle alapanyagból; Ai-; A2-', Ay; A^-ből háromféle félkész terméket; Fi-et; F2-t; F^-at, ezekből pedig négyféle készterméket; K2-t; A^j-at; ^ 4-et állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő; A, A 2 A, A4 Fi Fz Fs F, Fi , K F K, K, Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az A^ alapanyagból, illetve melyik a legkevesebbet az J 3-ból? Egy üzemben négyféle alapanyagból (Ai; A2 ', A^; AJ háromféle félkész terméket (F j; F2 ; F^), ezekből pedig négyféle készterméket \,K2 ',K^\ KJ állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő; Ai A2 A, A^ F2 F, F, K, F , K F, K ^ Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az A^ alapanyagból és melyik a legkevesebbet az /í 4-b ől? Határozza meg a következő mátrixok rangját! a) A = b) : B =

36 Cj y d) " r C = \ D = Lineáris egyenletrendszerek Oldja meg a Cramer-szabály felhasználásával a következő lineáris egyenletrendszereket a valós számok halmazán: á) Xi + 4x2 + 2x3 = 5, 3xj + 2 X2 ^3 = ~ 15 4 x i- X2 ~ X3 = 2; c) x ly+tíz Av = 14, 3x+ y - z+ V = 0, - x + 4y+3z-2v = 20, 5x-2y- z-3v = 4; e) 5xi + 3x2 + 4x4 = 7, 5X2 + -^3 + 6X4 = 30, Xi+ X2 + X4 = 7, 4xi + 2x2 + 3x4 = 10. b) x+ y z = 2, x 2y + 3z= 5, x + 3;^ + 4z = 6; dj 2 x+ y - 5 z+ u= 8, x-3y -6m= 9, 2y - z + 2 u = - 5, x + 4y-lz + 6 u= 0; Oldja meg a természetes számok halmazán az alábbi egyenletrendszereket; a) 2x-y + 3z = 3, 3x + y-5z = 0, 4x-y+ z = 3; b) 2 x -4 y + 3 z - l = 0, x - 2 j + 4 z -3 = 0, 3 x - y+5z-2 = Oldja meg az alábbi egyenletrendszert az egész számok halmazán: 2x+3y+5z = 13, x + 2y + 4z = 10, 2x+ y+3z = II, x+ y+ z = 3, 3x + 2y+ z = Oldja meg a racionális számok halmazán az egyenletrendszert! Xi~ X2-2 X3 + X4 = 1, 2 xi+ X2 + X3 = 2, -X i~2x2 +X4 = - I, 3xi 2x2 + 2x3 - X4 = 4 37