Művészet-e a matematika?
|
|
|
- Rezső Barna
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Művészet-e a matematika? Szegedy Balázs Rényi Intézet, Budapest november 9.
2 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek
3 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát:
4 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan
5 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia
6 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia
7 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia
8 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika
9 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika.
10 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben.
11 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben. Téveszme: A matematikusok számolnak.
12 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben. Téveszme: A matematikusok számolnak. Nem igaz! Sok matematikus utál számolni és pont ezért keresnek általános formulákat amik megkönnyítik a számolást.
13 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben. Téveszme: A matematikusok számolnak. Nem igaz! Sok matematikus utál számolni és pont ezért keresnek általános formulákat amik megkönnyítik a számolást. A Gauss ( ) anekdota: Mennyi ?
14 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben. Téveszme: A matematikusok számolnak. Nem igaz! Sok matematikus utál számolni és pont ezért keresnek általános formulákat amik megkönnyítik a számolást. A Gauss ( ) anekdota: Mennyi ? Megoldás: = ( ) + (2 + 99) + (3 + 98) ( ) = = 5050.
15 Mi a matematika? Néhány jellemző dolog: Számok, formulák, általános összefüggések, struktúrák, tételek, bizonyítások. Mindezek a dolgok más tudományágakban is előjönnek Differentia specifica: A fenti dolgok nem definiálják a matematikát. Azonban: A matematika a legzártabb logikai rendszer amit ismerünk. Szinte buborékszerűen zárt, izolált rendszer. A matematika sok mindent elmond a világ többi dolgáról, azonban a világ többi dolga látszólag kevéssé befolyásolja a matematikát: Közgazdaságtan = Pszichológia = Biológia = Kémia = Fizika = Matematika. 4+8=12 függetlenül attól hogy mit találnak a nagy részecskeütköztetőben. Téveszme: A matematikusok számolnak. Nem igaz! Sok matematikus utál számolni és pont ezért keresnek általános formulákat amik megkönnyítik a számolást. A Gauss ( ) anekdota: Mennyi ? Megoldás: = ( ) + (2 + 99) + (3 + 98) ( ) = = Általánosítás: n = n(n + 1)/2.
16 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik.
17 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné.
18 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné. Hilbert anekdota: Amikor David Hilbert ( ) egy diákja feladta a matematikát hogy költő legyen, Hilbert állítólag ezt mondta:
19 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné. Hilbert anekdota: Amikor David Hilbert ( ) egy diákja feladta a matematikát hogy költő legyen, Hilbert állítólag ezt mondta: Nagyon jó, a matematikához úgysem volt elég fantáziája.
20 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné. Hilbert anekdota: Amikor David Hilbert ( ) egy diákja feladta a matematikát hogy költő legyen, Hilbert állítólag ezt mondta: Nagyon jó, a matematikához úgysem volt elég fantáziája. A jó matematikus egyik legfontosabb tulajdonsága hogy jó a szimata: ki tud "szagolni" egy fontos fogalmat ami aztán a létezés egy nagy szeletét megvilágítja.
21 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné. Hilbert anekdota: Amikor David Hilbert ( ) egy diákja feladta a matematikát hogy költő legyen, Hilbert állítólag ezt mondta: Nagyon jó, a matematikához úgysem volt elég fantáziája. A jó matematikus egyik legfontosabb tulajdonsága hogy jó a szimata: ki tud "szagolni" egy fontos fogalmat ami aztán a létezés egy nagy szeletét megvilágítja. Példa: Newton ( ) és a differenciál számítás: végtelen kicsi mennyiségekkel való számolás. Most már magától értetődő, de ha jobban belegondolunk, vadul zseniális ötlet.
22 Matematika és matematizálás Fontos!: A matematika mint formális rendszer lehet hogy zárt világ de a matematikus folyton kilép belőle amikor dolgozik. Használja az érzékszerveit, a fantáziáját. A jó matematikus képes homályos, nagy léptékű fogalmakkal műveleteket végezni és anélkül hogy azt rögtön precízzé tenné. Hilbert anekdota: Amikor David Hilbert ( ) egy diákja feladta a matematikát hogy költő legyen, Hilbert állítólag ezt mondta: Nagyon jó, a matematikához úgysem volt elég fantáziája. A jó matematikus egyik legfontosabb tulajdonsága hogy jó a szimata: ki tud "szagolni" egy fontos fogalmat ami aztán a létezés egy nagy szeletét megvilágítja. Példa: Newton ( ) és a differenciál számítás: végtelen kicsi mennyiségekkel való számolás. Most már magától értetődő, de ha jobban belegondolunk, vadul zseniális ötlet. Példa 2: Pascal ( ) és a valószínűség számítás. A valószínűség számítás a megjósolhatatlan és előre kiszámíthatatlan mennyiségek matematikája. Első ránézésre fából vaskarika. Megdöbbentő hogy mégis lehet matematikát építeni a véletlen fogalma köré.
23 Matematika és matematizálás További példák:
24 Matematika és matematizálás További példák: Szimmetria absztrakt fogalma (csoport elmélet),
25 Matematika és matematizálás További példák: Szimmetria absztrakt fogalma (csoport elmélet), Önmagában görbűlt tér fogalma (differenciál geometria),
26 Matematika és matematizálás További példák: Szimmetria absztrakt fogalma (csoport elmélet), Önmagában görbűlt tér fogalma (differenciál geometria), Logikai rendszerek elmélete (matematikai logika).
27 Matematika és matematizálás További példák: Szimmetria absztrakt fogalma (csoport elmélet), Önmagában görbűlt tér fogalma (differenciál geometria), Logikai rendszerek elmélete (matematikai logika). A matematikus munkája sokban hasonlít egy filozófuséra: Különösen izgalmas pillanatok a matematizálás során amikor az ember elindul egy filozófikus fogalomból és matematikai rendszert tud belőle csinálni
28 Matematika és matematizálás További példák: Szimmetria absztrakt fogalma (csoport elmélet), Önmagában görbűlt tér fogalma (differenciál geometria), Logikai rendszerek elmélete (matematikai logika). A matematikus munkája sokban hasonlít egy filozófuséra: Különösen izgalmas pillanatok a matematizálás során amikor az ember elindul egy filozófikus fogalomból és matematikai rendszert tud belőle csinálni A régi matematikusok filoz fusok is voltak egyben: Pascal, Newton, Descartes.
29 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott:
30 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,
31 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések,
32 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok,
33 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok,
34 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik).
35 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik). A matematika élménye alapvetően tér-szerű. Van egy szellemi tér ami ugyanolyan mélységérzetet kelt mint a fizikai tér. Nagy kaland ebben a térben barangolni és egy kicsit meditatív tevékenység.
36 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik). A matematika élménye alapvetően tér-szerű. Van egy szellemi tér ami ugyanolyan mélységérzetet kelt mint a fizikai tér. Nagy kaland ebben a térben barangolni és egy kicsit meditatív tevékenység.
37 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik). A matematika élménye alapvetően tér-szerű. Van egy szellemi tér ami ugyanolyan mélységérzetet kelt mint a fizikai tér. Nagy kaland ebben a térben barangolni és egy kicsit meditatív tevékenység. Anekdota: Szemerédi Endre, egyik nagy magyar matematikus. Mikor az egyik lánya kicsi volt azt kapta házi feladatnak hogy írja le mit csinál a papája mikor dolgozik. Ezt írta:
38 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik). A matematika élménye alapvetően tér-szerű. Van egy szellemi tér ami ugyanolyan mélységérzetet kelt mint a fizikai tér. Nagy kaland ebben a térben barangolni és egy kicsit meditatív tevékenység. Anekdota: Szemerédi Endre, egyik nagy magyar matematikus. Mikor az egyik lánya kicsi volt azt kapta házi feladatnak hogy írja le mit csinál a papája mikor dolgozik. Ezt írta: Lefekszik az ágyra és behunyja a szemét.
39 Matematika és matematizálás A matematizálás személyes élménye Szaggatott: hosszú elakadások,hirtelen áttörések, ihletett időszakok, kevésbé ihletett időszakok, bizsergető érzések hogy egy adott irányban kell lennie valami érdekesnek (friss fuvallat érzése, valami új tágasság kinyílik). A matematika élménye alapvetően tér-szerű. Van egy szellemi tér ami ugyanolyan mélységérzetet kelt mint a fizikai tér. Nagy kaland ebben a térben barangolni és egy kicsit meditatív tevékenység. Anekdota: Szemerédi Endre, egyik nagy magyar matematikus. Mikor az egyik lánya kicsi volt azt kapta házi feladatnak hogy írja le mit csinál a papája mikor dolgozik. Ezt írta: Lefekszik az ágyra és behunyja a szemét. A tanár behívta a szülőket megkérdezni hogy ez meg micsoda?
40 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul.
41 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is.
42 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is. A magyar nyelv szépsége: "egyszerű": ott van benne az egység.
43 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is. A magyar nyelv szépsége: "egyszerű": ott van benne az egység. Példa: A szimmetria, ha valahol észrevesszük, rendszert teremt, tehát leegyszerűsít. A szimmetriát általában szépnek találjuk.
44 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is. A magyar nyelv szépsége: "egyszerű": ott van benne az egység. Példa: A szimmetria, ha valahol észrevesszük, rendszert teremt, tehát leegyszerűsít. A szimmetriát általában szépnek találjuk. Kis pszichológia: az egyszerűsödés könnyen kiváltja a szépség érzetét.
45 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is. A magyar nyelv szépsége: "egyszerű": ott van benne az egység. Példa: A szimmetria, ha valahol észrevesszük, rendszert teremt, tehát leegyszerűsít. A szimmetriát általában szépnek találjuk. Kis pszichológia: az egyszerűsödés könnyen kiváltja a szépség érzetét. Esztétikai alapú értékelés A matematikában annyira uralkodóvá vált a szépség tisztelete hogy a rangos folyóiratok nagyon gyakran a szépségük alapján fogadnak el cikkeket.
46 Matematika és esztétika Furcsa összefüggés szépség és hasznosság között Nem lenne muszáj hogy így legyen, de a matematikában igen gyakran egybevág a szépség és a hasznosság. Ha valami szép tömören, elegánsan megfogalmazható akkor az többnyire hasznosnak is bizonyul. Lehet hogy ez azért van mert a szépségre az egységesítés mozzanata jellemző. Ami pedig egységesíteni tud az hasznos is. A magyar nyelv szépsége: "egyszerű": ott van benne az egység. Példa: A szimmetria, ha valahol észrevesszük, rendszert teremt, tehát leegyszerűsít. A szimmetriát általában szépnek találjuk. Kis pszichológia: az egyszerűsödés könnyen kiváltja a szépség érzetét. Esztétikai alapú értékelés A matematikában annyira uralkodóvá vált a szépség tisztelete hogy a rangos folyóiratok nagyon gyakran a szépségük alapján fogadnak el cikkeket. Ez azért van mert a matematika alaptudomány és egy elmélet hasznossága gyakran csak évtizedekkel később derül ki. Mivel a szépség jól korrelál a hasznossággal ezért ez egy legitim értékelési mód. Ilyen értelemben a jó matematikusok "műértők". Van egy kiforrott esztétikai ízlésük.
47 Neź pontok sokasága Az egyik tipikus mozzanata a matematikus munkájának hogy egy ismert dologra megpróbál egy újfajta módon ránézni.
48 Neź pontok sokasága Az egyik tipikus mozzanata a matematikus munkájának hogy egy ismert dologra megpróbál egy újfajta módon ránézni. Általános tapasztalat a matematikában hogy ha valamit sokféleképpen lehet látni, értelmezni akkor az egy hasznos dolog. A különböző nézőpontok közötti feszültség produktivizálható. Minden egyenlet a matematikában azt írja le hogy egy dologra kétféleképpen lehet ránézni: 1+3=2+2. (Gondoljunk a Gauss anekdotára is)
49 Neź pontok sokasága Az egyik tipikus mozzanata a matematikus munkájának hogy egy ismert dologra megpróbál egy újfajta módon ránézni. Általános tapasztalat a matematikában hogy ha valamit sokféleképpen lehet látni, értelmezni akkor az egy hasznos dolog. A különböző nézőpontok közötti feszültség produktivizálható. Minden egyenlet a matematikában azt írja le hogy egy dologra kétféleképpen lehet ránézni: 1+3=2+2. (Gondoljunk a Gauss anekdotára is) Descartes ( ): A tér-re úgy is rá lehet nézni mint szám hármasok halmazára. (Koordináta rendszer)
50 Neź pontok sokasága Az egyik tipikus mozzanata a matematikus munkájának hogy egy ismert dologra megpróbál egy újfajta módon ránézni. Általános tapasztalat a matematikában hogy ha valamit sokféleképpen lehet látni, értelmezni akkor az egy hasznos dolog. A különböző nézőpontok közötti feszültség produktivizálható. Minden egyenlet a matematikában azt írja le hogy egy dologra kétféleképpen lehet ránézni: 1+3=2+2. (Gondoljunk a Gauss anekdotára is) Descartes ( ): A tér-re úgy is rá lehet nézni mint szám hármasok halmazára. (Koordináta rendszer) A művészetben ugyanígy előjön a sokféle ránézés szerepe. Gondoljunk a festészeti korszakok evolúciójára.
51 Neź pontok sokasága Az egyik tipikus mozzanata a matematikus munkájának hogy egy ismert dologra megpróbál egy újfajta módon ránézni. Általános tapasztalat a matematikában hogy ha valamit sokféleképpen lehet látni, értelmezni akkor az egy hasznos dolog. A különböző nézőpontok közötti feszültség produktivizálható. Minden egyenlet a matematikában azt írja le hogy egy dologra kétféleképpen lehet ránézni: 1+3=2+2. (Gondoljunk a Gauss anekdotára is) Descartes ( ): A tér-re úgy is rá lehet nézni mint szám hármasok halmazára. (Koordináta rendszer) A művészetben ugyanígy előjön a sokféle ránézés szerepe. Gondoljunk a festészeti korszakok evolúciójára. Matematikusok között kevesebb a konzervatív gondolkodású.
52 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul:
53 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető.
54 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető. A matematikus azonban észreveszi hogy mindegy hogy két almát adunk össze három almával vagy két körtét adunk össze három körtével.
55 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető. A matematikus azonban észreveszi hogy mindegy hogy két almát adunk össze három almával vagy két körtét adunk össze három körtével. Az összeadás műveletéhez elfelejthetjük a dolgok típusát. A minimális információ amit nyomon kell követni az kijelöli a szám absztrakt fogalmát.
56 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető. A matematikus azonban észreveszi hogy mindegy hogy két almát adunk össze három almával vagy két körtét adunk össze három körtével. Az összeadás műveletéhez elfelejthetjük a dolgok típusát. A minimális információ amit nyomon kell követni az kijelöli a szám absztrakt fogalmát. Minden absztrakció okos felejtés: Arra kérdésre ad választ hogy ha van egy adott művelet akkor mi az a minimális információ aminek birtokában konzisztensen elvégezhetjük a műveletet. Minden más információt ignorálni akarunk.
57 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető. A matematikus azonban észreveszi hogy mindegy hogy két almát adunk össze három almával vagy két körtét adunk össze három körtével. Az összeadás műveletéhez elfelejthetjük a dolgok típusát. A minimális információ amit nyomon kell követni az kijelöli a szám absztrakt fogalmát. Minden absztrakció okos felejtés: Arra kérdésre ad választ hogy ha van egy adott művelet akkor mi az a minimális információ aminek birtokában konzisztensen elvégezhetjük a műveletet. Minden más információt ignorálni akarunk. Az emberi agy csodája nem abban rejlik hogy milyen nagy tudást bír felhalmozni hanem pont ellenkezőleg. Az igazi különlegesség abban rejlik hogy az információs szemétdombrol hogyan tudja kiválasztani a lényeget, a többi dolgot pedig kidobni.
58 Felejtés és tudatlanság szerepe a matematikában Egy jó matematikai nyelv egy okos felejtéssel indul: Az összeadás (egymás mellé tevés) művelete a matematikán kívűl is értelmezhető. A matematikus azonban észreveszi hogy mindegy hogy két almát adunk össze három almával vagy két körtét adunk össze három körtével. Az összeadás műveletéhez elfelejthetjük a dolgok típusát. A minimális információ amit nyomon kell követni az kijelöli a szám absztrakt fogalmát. Minden absztrakció okos felejtés: Arra kérdésre ad választ hogy ha van egy adott művelet akkor mi az a minimális információ aminek birtokában konzisztensen elvégezhetjük a műveletet. Minden más információt ignorálni akarunk. Az emberi agy csodája nem abban rejlik hogy milyen nagy tudást bír felhalmozni hanem pont ellenkezőleg. Az igazi különlegesség abban rejlik hogy az információs szemétdombrol hogyan tudja kiválasztani a lényeget, a többi dolgot pedig kidobni.
59 Mesterséges intelligencia Átmeneti korszakba léptünk: A gépi tanulás és a mesterséges intelligencia egyre több olyan feladatot tud ellátni amit korábban csak emberek voltak képesek. Ez egyszerre félelmetes és izgalmas.
60 Mesterséges intelligencia Átmeneti korszakba léptünk: A gépi tanulás és a mesterséges intelligencia egyre több olyan feladatot tud ellátni amit korábban csak emberek voltak képesek. Ez egyszerre félelmetes és izgalmas. A mesterséges intelligencia tanulmányozása segíthet megérteni a saját gondolkodásunkat is.
61 Mesterséges intelligencia Átmeneti korszakba léptünk: A gépi tanulás és a mesterséges intelligencia egyre több olyan feladatot tud ellátni amit korábban csak emberek voltak képesek. Ez egyszerre félelmetes és izgalmas. A mesterséges intelligencia tanulmányozása segíthet megérteni a saját gondolkodásunkat is. Az áttörést a mesterséges intelligenciában a mesterséges neurális hálózatok fejlődése hozta meg.
62 Mesterséges neurális hálózatok Egyetlen neuron Hasonlóan az emberi agyhoz, a mesterséges neurális háló alap egysége egy nagyon egyszerű számítási egység amely a bemenő információk súlyozott összegét veszi, erre az összegre alkalmaz egy egyszerű transzformációt majd továbbítja az így kapott információt.
63 Mesterséges neurális hálózatok Egyetlen neuron Hasonlóan az emberi agyhoz, a mesterséges neurális háló alap egysége egy nagyon egyszerű számítási egység amely a bemenő információk súlyozott összegét veszi, erre az összegre alkalmaz egy egyszerű transzformációt majd továbbítja az így kapott információt. A hálózat tanítása során csak a "szinaptikus súlyok" változnak. változást írja le a tréning algoritmus. Ezt a
64 Mesterséges neurális hálózatok Egyetlen neuron Hasonlóan az emberi agyhoz, a mesterséges neurális háló alap egysége egy nagyon egyszerű számítási egység amely a bemenő információk súlyozott összegét veszi, erre az összegre alkalmaz egy egyszerű transzformációt majd továbbítja az így kapott információt. A hálózat tanítása során csak a "szinaptikus súlyok" változnak. változást írja le a tréning algoritmus. Két főkérdés: 1.) Mi az architektúra? 2.) Mi a tréning algoritmus? Ezt a
65 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. képen vagy kutya van vagy macska. Mindegyik
66 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ.
67 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska.
68 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska. A tréning folyamat során a neurális háló valamilyen szinten "megérti" a tréning halmazt.
69 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska. A tréning folyamat során a neurális háló valamilyen szinten "megérti" a tréning halmazt. Túltanulásról akkor beszélünk ha a tréning halmaz feldolgozása során a hálózat túl sok információt gyűjt össze a konkrét képekről és így lecsökken az általánosítási képessége.
70 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska. A tréning folyamat során a neurális háló valamilyen szinten "megérti" a tréning halmazt. Túltanulásról akkor beszélünk ha a tréning halmaz feldolgozása során a hálózat túl sok információt gyűjt össze a konkrét képekről és így lecsökken az általánosítási képessége. Más szóval: A hálózat bebiflázza a tréning halmazt. Semmilyen további megértéshez nem jut.
71 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska. A tréning folyamat során a neurális háló valamilyen szinten "megérti" a tréning halmazt. Túltanulásról akkor beszélünk ha a tréning halmaz feldolgozása során a hálózat túl sok információt gyűjt össze a konkrét képekről és így lecsökken az általánosítási képessége. Más szóval: A hálózat bebiflázza a tréning halmazt. Semmilyen további megértéshez nem jut. Túltanulás felléphet például ha túl nagy a hálózat vagy túl sokáig tart a tanulás.
72 Túltanulás és altalánosítási képesség Tegyük fel hogy van egy 1000 képből álló tréning halmaz. Mindegyik képen vagy kutya van vagy macska. A képek fel vannak címkézve. A tanulás során felhasználható ez az információ. Cél: A tréning folyamat után a neurális háló meg tudja mondani egy tetszőleges képről hogy kutya van-e rajta vagy macska. A tréning folyamat során a neurális háló valamilyen szinten "megérti" a tréning halmazt. Túltanulásról akkor beszélünk ha a tréning halmaz feldolgozása során a hálózat túl sok információt gyűjt össze a konkrét képekről és így lecsökken az általánosítási képessége. Más szóval: A hálózat bebiflázza a tréning halmazt. Semmilyen további megértéshez nem jut. Túltanulás felléphet például ha túl nagy a hálózat vagy túl sokáig tart a tanulás. Az egyik módszer a túltanulás elkerülésére hogy a tanulás során direkt butítjuk a hálózatot (drop out).
73 Absztrakció a neurális hálózatokban Vizuális hálózatok: Réteges architektúra. Az információ előre fele halad, és egyre magasabb szintű absztrakciót ér el. A legalsó szinten vannak pl. az él detektorok. Ilyenek az agyban is találhatóak. Egy magas szintű neuron kifejezhet absztrakt tulajdonságot: Hosszú füle van vagy hegyes füle van?
74 Absztrakció a neurális hálózatokban Vizuális hálózatok: Réteges architektúra. Az információ előre fele halad, és egyre magasabb szintű absztrakciót ér el. A legalsó szinten vannak pl. az él detektorok. Ilyenek az agyban is találhatóak. Egy magas szintű neuron kifejezhet absztrakt tulajdonságot: Hosszú füle van vagy hegyes füle van? Absztrakciós hierarchia és kontextuális hierarchia, emberi vonatkozások: Ezek jellemzői az intellektuális térnek amiben mozgunk. A kontextuális hierarchia felelős a kiterjedt idő érzetért.
75 Absztrakció a neurális hálózatokban Vizuális hálózatok: Réteges architektúra. Az információ előre fele halad, és egyre magasabb szintű absztrakciót ér el. A legalsó szinten vannak pl. az él detektorok. Ilyenek az agyban is találhatóak. Egy magas szintű neuron kifejezhet absztrakt tulajdonságot: Hosszú füle van vagy hegyes füle van? Absztrakciós hierarchia és kontextuális hierarchia, emberi vonatkozások: Ezek jellemzői az intellektuális térnek amiben mozgunk. A kontextuális hierarchia felelős a kiterjedt idő érzetért. A mesterséges neurális hálózatokban, hasonlóan az emberi gondolkodáshoz, kialakul egy sokféle nézőpontból és absztrakciós szintből álló belső tér ami megszűri az információt.
76 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól.
77 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól. Néhány jellemzőt azonban lehet mondani.
78 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól. Néhány jellemzőt azonban lehet mondani. Egyszerűsítő mozzanat, belső egység, kohézió. Tömörség.
79 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól. Néhány jellemzőt azonban lehet mondani. Egyszerűsítő mozzanat, belső egység, kohézió. Tömörség. Újfajta látásmódok kialakítása. Ébresztés, elgondolkodtatás.
80 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól. Néhány jellemzőt azonban lehet mondani. Egyszerűsítő mozzanat, belső egység, kohézió. Tömörség. Újfajta látásmódok kialakítása. Ébresztés, elgondolkodtatás. Közösségi tevékenység: Egy nagyobb "párbeszéd" része, egy közös nyelv formálója. Nincs önmagában vett műalkotás.
81 Mi a művészet? A művészet egyik lényege hogy folyton újradefiniálja önmagát és így kibújik minden definíció alól. Néhány jellemzőt azonban lehet mondani. Egyszerűsítő mozzanat, belső egység, kohézió. Tömörség. Újfajta látásmódok kialakítása. Ébresztés, elgondolkodtatás. Közösségi tevékenység: Egy nagyobb "párbeszéd" része, egy közös nyelv formálója. Nincs önmagában vett műalkotás. Szabadságra törekszik de ezt gyakran mégis egy kötött rendszer keretein belül teszi aminek a határait aztán fellazítja. (Bach fúgák, dodekafonia, kubizmus, stb...) Zalai Béla: rendszerezés: IGEN, rendszer: NEM.
82 Mit mond a mesterséges intelligencia a tudatról? A tudat nem csak önazonosság, önreflexió, de önáltalánosítás.
Varga Tamás szellemébenkonkrét tapasztalatok, gondolkodásra és önállóságra nevelés
Varga Tamás szellemébenkonkrét tapasztalatok, gondolkodásra és önállóságra nevelés Előadásom részei Múlt hét: 30 órás továbbképzés. Fókuszban: Varga Tamás matematikája, eszközhasználat és játék, tudatos
Milyen a modern matematika?
Milyen a modern matematika? Simonovits Miklós Milyen a modern matematika? p.1 Miért rossz ez a cím? Nem világos, mit értek modern alatt? A francia forradalom utánit? Általában olyat tanulunk, amit már
Tanulás tanuló gépek tanuló algoritmusok mesterséges neurális hálózatok
Zrínyi Miklós Gimnázium Művészet és tudomány napja Tanulás tanuló gépek tanuló algoritmusok mesterséges neurális hálózatok 10/9/2009 Dr. Viharos Zsolt János Elsősorban volt Zrínyis diák Tudományos főmunkatárs
Mit látnak a robotok? Bányai Mihály Matemorfózis, 2017.
Mit látnak a robotok? Bányai Mihály Matemorfózis, 2017. Vizuális feldolgozórendszerek feladatai Mesterséges intelligencia és idegtudomány Mesterséges intelligencia és idegtudomány Párhuzamos problémák
A matematika legszebb kihívásai
A matematika legszebb kihívásai Szegedy Balázs, MTA Rényi intézet 2018. február 21. Matematika és szépség Mi a matematika? Matematika és szépség Mi a matematika? A matematika azon állítások gyüjteménye
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:
Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces
Keresés képi jellemzők alapján. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Keresés képi jellemzők alapján Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Lusta gépi tanulási algoritmusok Osztályozás: k=1: piros k=5: kék k-legközelebbi szomszéd (k=1,3,5,7)
Typotex Kiadó. Bevezetés
Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban
Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete. a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján
Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján Az OKM tartalmi keret Célja: definiálja azokat a tényezőket és szempontrendszereket, amelyek
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
XXI. Századi Közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 MATEMATIKA ÉS SZÖVEGÉRTÉS. Dr.
XXI. Századi Közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 MATEMATIKA ÉS SZÖVEGÉRTÉS Dr. Wintsche Gergely Tartalom Szövegértés és matematika A kísérleti tankönyvek céljai
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Számítógépes képelemzés 7. előadás. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Számítógépes képelemzés 7. előadás Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Momentumok Momentum-alapú jellemzők Tömegközéppont Irányultáság 1 2 tan 2 1 2,0 1,1 0, 2 Befoglaló
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret
Összeállította Horváth László egyetemi tanár
Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet Intelligens Mérnöki Rendszerek Szakirány a Mérnök informatikus alapszakon Összeállította Horváth László Budapest, 2011
I. LABOR -Mesterséges neuron
I. LABOR -Mesterséges neuron A GYAKORLAT CÉLJA: A mesterséges neuron struktúrájának az ismertetése, neuronhálókkal kapcsolatos elemek, alapfogalmak bemutatása, aktivációs függvénytípusok szemléltetése,
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
A neurális hálózatok tanításának alapjai II.: Módszerek a túltanulás elkerülésére. Szoldán Péter
>ready to transmit A neurális hálózatok tanításának alapjai II.: Módszerek a túltanulás elkerülésére Szoldán Péter A hálózatnak nincs kontextusa Képzeljék el, hogy amióta megszülettek, semmit mást nem
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)
OOP. Alapelvek Elek Tibor
OOP Alapelvek Elek Tibor OOP szemlélet Az OOP szemlélete szerint: a valóságot objektumok halmazaként tekintjük. Ezen objektumok egymással kapcsolatban vannak és együttműködnek. Program készítés: Absztrakciós
Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs rendszerek Tanszék. Neurális hálók. Pataki Béla
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs rendszerek Tanszék Neurális hálók Előadó: Előadás anyaga: Hullám Gábor Pataki Béla Dobrowiecki Tadeusz BME I.E. 414, 463-26-79
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
Áramkörök elmélete és számítása Elektromos és biológiai áramkörök. 3. heti gyakorlat anyaga. Összeállította:
Áramkörök elmélete és számítása Elektromos és biológiai áramkörök 3. heti gyakorlat anyaga Összeállította: Kozák László kozla+aram@digitus.itk.ppke.hu Elkészült: 2010. szeptember 30. Utolsó módosítás:
Előszó. Kedves Kollégák és Szülők!
Előszó A/1 Kedves Kollégák és Szülők! A Varázslatos számoló című gyakorló a számtani alapokra építve segíti a tanulókat a számolás, a logikai gondolkodás gyakorlásában. Nagy hangsúlyt fektet az elemi számolási
I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI
I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1
Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
Fizika óra. Érdekes-e a fizika? Vagy mégsem? A fizikusok számára ez nem kérdés, ők biztosan nem unatkoznak.
Fizika óra Érdekes-e a fizika? A fizikusok számára ez nem kérdés, ők biztosan nem unatkoznak. A fizika, mint tantárgy lehet ugyan sokak számára unalmas, de a fizikusok világa a nagyközönség számára is
Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA
ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
Helyi tanterv matematika általános iskola 5-8. évf. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya
Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
Gépi tanulás Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia
Gépi tanulás Tanulás fogalma Egy algoritmus akkor tanul, ha egy feladat megoldása során olyan változások következnek be a működésében, hogy később ugyanazt a feladatot vagy ahhoz hasonló más feladatokat
Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fuzzy rendszerek és neurális hálózatok alkalmazása a diagnosztikában Cselkó Richárd 2009. október. 15. Az előadás fő témái Soft Computing technikák alakalmazásának
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok
Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR
MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Gráfelméleti alapfogalmak-1
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
Kurzuskód Kurzus címe, típusa (ea, sz, gy, lab, konz stb.) Tárgyfelelős Előfeltétel (kurzus kódja) típusa
Az Intézet minden előadás és gyakorlatból álló tárgyánál az előadás és a gyakorlat párhuzamos felvétele, az előadások vizsgáinak a gyakorlat teljesítettsége feltétel. Szak neve: Programtervező informatikus
Matematika nagyon röviden
Matematika nagyon röviden Timothy Gowers MATEMATIKA NAGYON RÖVIDEN Budapest, 2010 A kötet megjelenését az MTA Matematikai Tudományok Osztályának ajánlásával az MTA Könyv- és Folyóirat-kiadó Bizottsága
Dr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
SPECIÁLIS HELYI TANTERV SZAKKÖZÉPISKOLA. matematika
SPECIÁLIS HELYI TANTERV SZAKKÖZÉPISKOLA matematika 9. évfolyam 1. Számtan, algebra 15 óra 2. Gondolkodási módszerek, halmazok, kombinatorika, valószínűség, statisztika 27 óra 3. Függvények, sorozatok,
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
pontos értékét! 4 pont
DOLGO[Z]ZATOK 10. kifejezést, és adjuk meg az értelmezé-. Írjuk fel gyökjel nélkül a si tartományát! 9x 1x1 3. Határozzuk meg azt az x valós számot, amelyre igaz, hogy x 1!. Határozzuk meg a következő
A munka világával kapcsolatos tulajdonságok, a kulcskompetenciák
Zachár László A munka világával kapcsolatos tulajdonságok, a kulcskompetenciák HEFOP 3.5.1. Korszerű felnőttképzési módszerek kidolgozása és alkalmazása Tanár-továbbképzési alprogram Szemináriumok Budapest
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba
A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata
Neurális hálózatok bemutató
Neurális hálózatok bemutató Füvesi Viktor Miskolci Egyetem Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet Miért? Vannak feladatok amelyeket az agy gyorsabban hajt végre mint a konvencionális számítógépek. Pl.:
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények
A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták
A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Automaták Nyelvek és automaták A nyelvek automatákkal is jellemezhetőek Automaták hierarchiája Chomsky-féle hierarchia Automata: új eszköz a nyelvek komplexitásának
Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam
Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Vígh Viktor november 11.
2017. november 11. XI. Országos Ördöglakat Találkozó Spivak kérdése A. Spivak a Quantum magazin 1997. május-júniusi számában tűzte ki a következő fejtörőt Különös festmény címen: Spivak kérdése Dr. Smile
HELYI TANTERV VII. ÓRATERVEK
HELYI TANTERV VII. ÓRATERVEK VII. 1. Szakiskolai óratervek VII. 2. Szakközépiskolai óratervek VII.1. SZAKISKOLAI ÓRATERVEK VII.1.1. Szakmai előkészítő évfolyam (9. évfolyam) I. Alapképzések II. Szocializáció
Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
I.4. BALATONI NYARALÁS. A feladatsor jellemzői
I.4. BALATONI NYARALÁS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Logikai fogalmak: logikai kijelentés; minden; van olyan; ha, akkor; és; vagy kifejezések jelentése. Egyszerű logikai kapcsolatok mondatok között.
Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz
MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu
... és amit kihagytunk a nyelvi cikkből
... és amit kihagytunk a nyelvi cikkből Tordai Renáta, Andréka Hajnal, Németi István Habár azzal az ígérettel zártuk a nyelvről szóló cikket, hogy nemsokára már a relativitás elméletét kezdjük felépíteni,
NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 10. tankönyv A Heuréka-sorozat tagja, így folytatása a Matematika 9. tankönyvnek. Ez a kötet is elsősorban
Mesterséges Intelligencia Elektronikus Almanach. MI Almanach projektismertetı rendezvény április 29., BME, I. ép., IB.017., 9h-12h.
Mesterséges Intelligencia Elektronikus Almanach Neurális hálózatokh 1 BME 1990: Miért neurális hálók? - az érdeklıdésünk terébe kerül a neurális hálózatok témakör - fıbb okok: - adaptív rendszerek - felismerési
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Gondolkodás, problémamegoldás
A megismerési folyamatok rendszere Gondolkodás, problémamegoldás Gondolkodás - elsajátított megoldásmódok, következtetések, problémamegoldás Képzelet - információ módosítása, átalakítása, alkotása Tanulás
I. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
SZERZŐ: Kiss Róbert. Oldal1
A LOGO MindStorms NXT/EV3 robot grafikus képernyőjét használva különböző ábrákat tudunk rajzolni. A képek létrehozásához koordináta rendszerben adott alakzatok (kör, téglalap, szakasz, pont) meghatározó
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
Objektumorientált paradigma és programfejlesztés Bevezető
Objektumorientált paradigma és programfejlesztés Bevezető Vámossy Zoltán vamossy.zoltan@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ficsor Lajos (Miskolci Egyetem) prezentációja alapján
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
Oktatott tárgyak a 2017/18. tanév I. félévében
Oktatott tárgyak a 2017/18. tanév I. félévében Tanító szak A felépítés és a működés kapcsolata a természetben A matematikai nevelés elméleti alapjai I. A pedagógus mesterség információ- és kommunikáció
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
A kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e
Dr. Gergó Lajos elõadásjegyzetei alapján készítették: Dr. Gergó Lajos Dr. Meskó Attiláné Gillemotné Dr. Orbán Katalin Semmelweis Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, Egyetemi Gyógyszertár, Gyógyszerügyi
DR. TÓTH PÉTER BÉKY GYULÁNÉ. A tanulás eredményességét befolyásoló tényezők vizsgálata budapesti középiskolás tanulók körében
DR. TÓTH PÉTER BÉKY GYULÁNÉ A tanulás eredményességét befolyásoló tényezők vizsgálata budapesti középiskolás tanulók körében A tanulói különbségek mérhető komponensei Meglévő tudás Képességek (pl. intellektuális
Objektum orientált programozás Bevezetés
Objektum orientált programozás Bevezetés Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2008. 03. 04. OOPALAP / 1 A program készítés Absztrakciós folyamat, amelyben a valós világban
ELTE, matematika alapszak
Matematika alapszak szerkezete 1. év ELTE, matematika alapszak NORMÁL Kb 60 fő (HALADÓ) Kb 40 fő INTENZÍV Kb 30 fő Zempléni András oktatási igazgatóhelyettes Matematikai Intézet matematikai elemző 2. és
2017. november Jánossy Zsolt Budapesti POK Digitális Pedagógiai Módszertani Központ
2017. november 13-17. Jánossy Zsolt Budapesti POK Digitális Pedagógiai Módszertani Központ A jelen és a jövő KIHÍVÁSOK Kezelhető Autentikus tanulás A tanári szerep újragondolása Rövid távú Kódolás Alkotó
Absztrakció. Objektum orientált programozás Bevezetés. Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás:
Objektum orientált programozás Bevezetés Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2008. 03. 04. OOPALAP / 1 A program készítés Absztrakciós folyamat, amelyben a valós világban
Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36
1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika
WISC-IV Intelligencia teszt bemutatása esetismertetéssel
26. Oroszi Zsuzsanna: WISC-IV Intelligencia teszt bemutatása esetismertetéssel A Weschler intelligenciatesztek a gyermek és felnőtt-korúak kognitív képességeinek átfogó és megbízható feltárását szolgálják.
MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag