PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 16.

Átírás

1 PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 09. február 6. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 09. február 6. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Fenti chatbotkód használati útmutató: messengerben koppints bal fent a fejed ikonjára, majd a messenger kódodra, ezután a kód beolvasása gombra! Beszélgess Bettivel, a chatbottal és találj hozzád illő jól fizető munkát! (m.me/diakmunka)

2 . a) A 40-nak és az n pozitív egész számnak a legnagyobb közös osztója. Milyen n értékek felelnek meg a kritériumnak, ha n 40? (4 pont) b) Hány olyan négyjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melyben a jegyek szorzata 50-re végződik? (4 pont) c) A 760 számjegyei segítségével képeztük az összes lehetséges négyjegyű számot úgy, hogy minden számjegyet pontosan egyszer használtunk fel. Mennyi az előállított számok átlaga? (4 pont) a) Felírjuk a 40 és a prímtényezős felbontását. 40 = 5 7, LNKO = = 7, n =? Mivel a legnagyobb közös osztó, n prímtényezői között biztosan szerepel és 7, viszont biztosan nem szerepel és 5. Így n lehetséges értékei:, 6, 47, 89,, 7, 57 és 99. ( pont) b) Egy négyjegyű számban a jegyek szorzata akkor végződhet 50-re, ha a jegyei prímtényezős felbontásaiban szerepel a 5 = 50. A számjegyek prímtényezős felbontásában maximum egy darab kettes lehet. Tíz lehetőségünk van: 5 5 = 50 ilyen számból 4! = db van.! 5 5 = 50 ilyen számból 4! = db van.! 55 5 = 50 ilyen számból 4! = 4 db van.! 75 5 = 50 ilyen számból 4! = db van.! 95 5 = 450 ilyen számból 4! = db van.! 655 = 50 ilyen számból 4! = db van.! 655 = 450 ilyen számból 4! = db van.! = 750 ilyen számból 4! = 4 db van.! = 050 ilyen számból 4! = db van.! = 50 ilyen számból 4! = db van.! Összesen 04 ilyen szám van. c) Összesen = 8 ilyen szám van. 6-6 olyan szám van, amikor az -es, 6-os vagy 7-es az ezres helyiértéken áll és 4-4 olyan, amikor más helyiértékeken = Emiatt a 8 képezhető szám összege ( ) ( ) = 906. A számok átlaga 906 =

3 Alternatív megoldás:. Összesen = 8 ilyen szám van. A 8 szám a 067, 076, 607, 706, 670, 760, 607, 607, 607, 670, 670, 670, 706, 706, 706, 760, 760 és 760. Ezek összege 906. A számok átlaga = 50. Összesen: pont a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! log + 4log = 6 (9 pont) x 9x b) Adja meg az x + x z + xyz + y z y kifejezés értékét, ha tudjuk, hogy x + z y = 0 és x, y, z! (4 pont) a) Kikötés: a logaritmus miatt: x 0 ; x és x 9 Felhasználva a loga b = azonosságot: logb a 4 + = 6 logx log9x 4 + = 6 log + log x log 9 + log x 4 + = 6 + log x + log x Új ismeretlent vezetünk be a = log x 4 + = 6 ( + a) + 4 ( + a) = 6 ( + a)( + a ) a + + 4a + 4 = 6 ( a + a + ) + a + a 5a + 6 = 6a + 8a + Átrendezve 6a + a+ 6 = 0 Ennek gyökei: a = és a = Tehát log x = x = = = = 9 Vagy log x = x = = = = Ellenőrzés Az egyenlet megoldásai a valós számok halmazán x =, illetve x =

4 b) A kifejezés átrendezve: ( )( ) ( ) x y + x z + xyz + y z = = x y x + xy + y + z x + xy + y = ( )( ) = x + xy + y x y + z + = ( x xy y ) ( x y z) Mivel x y z = 0. Legyen adott egy egyenes forgáskúp alakú hegy. A hegy tövében található A pontból indul egy sikló, az ugyanazon az alkotón található B pontba. A hegy alkotója 600 méter, alapkörének átmérője 400 méter és AB = 00 méter. a) Milyen hosszú utat tesz meg a sikló, ha megkerüli a hegyet és a legrövidebb úton megy? (7 pont) Összesen: pont A hegyen 5 sikló közlekedik. Panni egy nap minden siklót kipróbált, és feljegyezte azok sebességét egy lapra, viszont a papír, amire írt elszakadt, így csak három sikló sebessége maradt olvasható rajta. A leglassabb sikló km/h-val, a leggyorsabb 7 km/h-val, egy harmadik pedig 6 km/h-val közlekedik. Panni szerette volna kideríteni a másik két sikló sebességét is, így megkérdezte a kalauzt. A kalauz egy fejtörővel válaszolt. Az öt sikló sebességének átlaga, pont kétszerese a sebességek szórásának, valamint a sebességek terjedelme,5-szerese a szórásuknak. b) Segítsen Panninak kiszámolni a maradék két sikló sebességét! (6 pont) a) Felrajzoljuk a forgáskúp kiterített palástját. K Q B A AK = 600m, BK = 600m 00m = 500m, a kúp alapkörének sugara r = 00m. Az AQ körív hossza megegyezik a kúp alapkörének kerületével. AQ = 00 = 400 m QKA körcikk egy nagyobb kör része, melynek kerülete K = 600 = 00 m 400 = 60 = 0 00 Koszinusztételt felírva az AKB -ben cos ( 0 ) AB =

5 AB = AB = 95,94 m A sikló 95,94 méter utat tesz meg. b) Legyen a két ismeretlen sebességű sikló sebessége x km/h és y km/h. Mivel tudjuk, hogy a leggyorsabb sikló sebessége 7 km/h, a leglassabbé pedig km/h, a terjedelem 6 km/h. Tehát a libegők sebességeinek szórása,4, átlaguk pedig 4, x+ y = 4,8 5 ( 4,8) + ( 6 4,8) + ( 7 4,8) + ( x 4,8) + ( y 4,8) =,4 5 x+ y= 0 ( x 4,8) + ( y 4,8) = 8, 08 Az y= 0 x-et visszahelyettesítjük a másik egyenletbe ( x 4,8) + ( 5, x) = 8,08 x 0x+ = 0 x = 7, y = vagy x =, y = 7. Tehát a maradék két sikló sebessége km/h és 7 km/h. 4. Adott egy y 4 v irányvektorú egyenes. átmenő, ( 4;) Összesen: pont = x + egyenletű parabola, valamint egy, a parabola fókuszpontján a) Mely pontokban metszi az egyenes a parabolát? (7 pont) b) Legyen adott egy négyszög, melynek csúcsai A( 4;4,5 ); B ( 4;4,5 ); C ( 4; ) D ( 4; ). A ceruzánkkal véletlenszerűen teszünk egy pontot a négyzeten belülre. Mennyi a valószínűsége, hogy a parabola fölé kerül a pont? Válaszát négy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pont) a) A parabola meredeksége 4, így p = 4 p =. A tengelypontja 0;, így fókuszpontjának koordinátái: p F 0; + = F 0; + = F 0;. v 4; irányvektorú egyenes átmegy a parabola fókuszpontján, ezért: A ( ) x 4y = 0 4 4y= x+ 6 A parabola egyenletét az egyenes egyenletébe behelyettesítve: 4 x + = x+ 6 x x 4 = 0 4 Az egyenlet két gyöke x = 4 és x =. Az egyik metszéspont koordinátái: P 9 4;. és

6 A másik metszéspont koordinátái: pedig Q ; 4. 4;4 intervallumon. b) Először kiszámoljuk a parabola és az x tengely által bezárt területet a y A B D C x 4 4 x x ( 4) ( 4) x + dx = 4 + = + = 4 4 A parabola alá eső terület az x tengely alatt: 8 = 8 A parabola feletti terület, amely a téglalapon belülre esik T jó = 85,5 8 =. A teljes téglalap területe: T összes = 8 5,5 = 44 Geometriai valószínűséggel számolva: 64 6 = = = 0, A valószínűsége, hogy a parabola fölé kerül a pont 0,4848. P Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 5 pont - 6 -

7 5. Legyen adott egy 8 pontú teljes gráf, melynek minden élét beszínezzük pirosra, kékre vagy zöldre. Így végül 8 élét pirosra, 5-öt kékre, a maradékot pedig zöldre színeztük. (A gráf pontjait megkülönböztetjük!) a) Hányféle különböző színezést kaphatunk? Adja meg, hogy milyen kombinatorikai problémáról van szó (permutáció, variáció, kombináció)! ( pont) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz olyan kör a gráfban, melynek minden éle kék? (7 pont) A.b osztály diákjai körmérkőzéses kő-papír-olló versenyt rendeztek egymás között. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. Az eredmények érdekesen alakultak: a résztvevők közül bármely két játékoshoz volt egy olyan játékos, akit mindketten legyőztek. c) Legalább hányan vettek részt a versenyben? Ábrázoljon gráffal egy lehetséges beosztást! (6 pont) a) Összesen 87 = 8 él van, így = 5 élt színeztünk zöldre. A színezések számát ismétlés nélküli kombinációval kapjuk meg = 0 4, Alternatív megoldás: Összesen 87 = 8 él van, így = 5 élt színeztünk zöldre. A színezések számát ismétléses permutációval kapjuk meg. 8! 8! 5! 5! = 0 4,8 0 b) Olyan kör, melynek minden éle kék állhat, 4 vagy 5 élből Ha élből áll = (8 pontból -at kiválasztunk, az ezeket összekötő élek alkotják a kék kört, majd a maradék 5 élből kiválasztjuk a 8 pirosat és utána a maradék 7 élből a 5 zöldet. Az utolsó két él kék lesz, mert a többi színből nem maradt több.) 8 46 Ha 4 élből áll = , ! ahol = azt jelöli, ha 8 pontból 4-et kiválasztunk, akkor különböző kör képezhető Ha 5 élből áll = , ! ahol = azt jelöli, ha 8 pontból 5-öt kiválasztunk, akkor különböző kör képezhető = 0, ,8 0 A keresett valószínűség 0,

8 c) Tegyük fel, hogy A játékos legyőzte B játékost. A és B játékos mindketten legyőzték C játékost. A és C játékos esetén is lennie kell olyan játékosnak, akit mindketten legyőztek, mivel ez nem lehet B, legyen D. Így láthatjuk, hogy minden játékoshoz kell lennie legalább másik játékosnak, akit legyőztek. n( n ) A mérkőzések számára felírható az egyenlőtlenség, miszerint n. Tehát n( n 7) 0, ami miatt n 0 vagy 7 n egyenlőtlenség nem fog jó megoldást adni. Legalább 7-en vettek részt a versenyben. Helyes ábra:. Mivel n a gyerekek száma n 0 G A F B E C D ( pont) Összesen: 6 pont - 8 -

9 6. Máténak darab fikusza van. Egyik nap unalmában megszámolta, hány levele van a fikuszainak. Arra jött rá, hogy a három fikuszon levő levelek számai egy mértani sorozatot alkotnak, és szorzatuk 78. Ha levágna a legtöbb levelű fikusz leveleiből 8-at, majd ebből -t a legkevesebb levelű fikuszra ragasztana, egy számtani sorozatot kapna. a) Hány levél volt az egyes fikuszokon? Mennyi a számtani sorozat differenciája? (7 pont) Máté elég sok időt tölt a növények gondozásával. Mindig egyszerre több fikusszal foglalkozik. Naponta a növényekre szánt idejének 70%-ában az elsővel 60%-ában a másodikkal, 90%-ában pedig a harmadikat gondozza. Így pontosan 5 percet foglalkozik mindhárom fikusszal. b) Hány percet tölt a növények gondozásával naponta Máté? ( pont) Máté kedvenc fikuszára kiemelten figyel, így nyitott egy bankszámlát, hogy a növény minden költségét fedezni tudja. Egy éven keresztül minden hónap elején 000 Ft-ot tesz a számlára, majd a következő évben minden hónap első napján ellátogat a virágboltba, és 50 Ft-ért különleges trágyát, 50 Ft-ért új kitámasztó pálcát vesz a fikuszának, valamint 00 Ft-ért egy szál virágot anyukájának, a bankszámlán levő pénzből. A második év végére a fikusz olyan nagyra nő, hogy muszáj Máténak átültetnie egy új cserépbe, ezért a számlán levő összes pénzéből új cserepet vásárol. c) Mennyi pénzért vett új cserepet Máté, ha a havi kamat 5%? (A kamatfizetés mindig a hó végén esedékes.) (6 pont) a) A három fikuszon levő levelek számát jelölje b, b és b, mely egy mértani sorozat egymást követő eleme. b b b b = 78 b b q = 78 q b = 78, tehát b =. Tudjuk még, hogy b +, b és b 8 egy számtani sorozatot alkot, és egy számtani sorozat második tagja meghatározható az első és a harmadik számtani átlagaként, = q 8 q 5q+ = 0. q Az egyenlet gyökei: q = és q =. A q = nem ad jó megoldást, hiszen ekkor a harmadik fikusz 6 leveléből 8-at vágunk le, ami nem lehetséges. A három fikuszon rendre = 6, és = 4 levél volt. A számtani sorozat differenciája 8 = 4. b) Összesen x percet tölt a fikuszok gondozásával. 0,7x ideig foglalkozik az elsővel, 0,6x ideig a másodikkal és 0,9x ideig a harmadikkal. 0,7x 5 + 0,6x 5 + 0,9x 5,x 5 Pontosan két növénnyel összesen = ideig foglalkozott. Összesen a növényeivel, x ideig foglalkozott

10 ,x = x Tehát a növényeivel összesen 5 percet foglalkozik naponta. c) Ha egy évig minden hónap elején félretesz 000 Ft-ot, év végére 000, , , = (( ) ) ( ) 000, 05 +, , 05 =,05 000, 05 = 67,98 Ft,05 Következő évben minden hónap elején 500 Ft-ot vesz ki, majd hónap végén adódik hozzá a kamat. ((( ) ) ) 67,98 500, , = ( ) 0 67,98,05 500,05,05..., =,05 004, , 05 = 657, 6 Ft,05 Tehát 657 Ft-ért vett cserepet Máté a fikuszának. Összesen: 6 pont - 0 -

11 7. Egy csokoládégyárban 4 fogaskerék hajtja a csokikeverő gépezetet. (A fogaskerekek tökéletesen kör alakúak.) a) Bizonyítsa be az alábbi állítást! ( pont) Ha négy kör mindegyike - másikat kívülről érint, akkor a négy kör érintési pontjai egy körön vannak. b) Fogalmazza meg az a) részben szereplő állítás megfordítását, majd az így kapott állítást tagadja! ( pont) c) Igazold igazságtáblával, hogy ( A B) C ( A) C B C! (5 pont) Egy másik gépben ugyanígy 4 fogaskerék van, csak más méretűek. A négy fogaskerék középpontjait összekötve, egy szimmetrikus trapézt kapunk. Ha az A fogaskerék sugara 5 cm, C fogaskerék sugara pedig cm. d) A fogaskerekek területének hány százaléka esik a szimmetrikus trapézon kívül? (6 pont) a) d D c c C d b A a a B b A szemben levő oldalak összege a + b + c + d = a + b + c + d egyenlő. Emiatt a körök középpontjai egy érintőnégyszöget alkotnak. Mivel adott külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, így az ABCD négyszög köré írt kör érinti a négy kör érintési pontjait. Emiatt a négy kör érintési pontjai egy körön vannak. b) A mondat megfordítása: Ha a négy kör érintési pontjai egy körön vannak, akkor a négy kör mindegyike - másikat kívülről érint. Ennek a mondatnak a tagadása: Négy kör érintési pontjai egy körön vannak, és a négy körből van olyan, amely nem érint - másikat kívülről. - -

12 c) A B C A B ( ) A B C A A C B C ( A C) ( B C ) I I I I I H I I I I H I H I H I I I H I I I I I I I I H H I I I I I I I I I H I H H I H H I H H H I H I I I H I H I H I H H H H H H I H I H I H d) A trapéz oldalai AB = 5+ 5 = 0, CD = + = 6 és BC = DA = 5+ = 8. (5 pont) M 5 5 B 5 5 D C 0 6 AMD -ben AM = =, így cos = = 75,55. 8 Mivel tudjuk, hogy egy szimmetrikus trapéz azonos alapon fekvő szögei egyenlők, valamint azonos száron fekvő szögei 80 -ra egészítik ki egymást, a trapéz szögei = = 75,55 és = = 80 75,55 = 04, A körök területe: T = T = 5, valamint T = T =. A B C D - -

13 Összesen a kilógó terület: 60 75, , 4775 Tki = = 9,5 +,78 = = 5, 9 64, 6 cm 5,9 5,9 A kilógó terület a körök teljes területének = = 0, ed része ( ) A fogaskerekek területének 76,89 %-a esik a szimmetrikus trapézon kívülre. Összesen: 6 pont 8. A csokigyárban olyan egyenes hasáb alakú csokoládékat gyártanak, melyeknek alapja egy derékszögű háromszög, aminek az átfogójához tartozó magasság az átfogót egy 4 cm-es és egy cm-es darabra osztja. A hasáb magassága,5 cm. Egy napon a gyártósor meghibásodott, és minden tábla csokoládéból levágott a derékszögű csúccsal szemközti lappal párhuzamosan egy darabot. A levágott lap alaplapjának kerülete ( + ) 4 cm. a) Mekkorák az eredeti csokoládé alapháromszögének befogói és az átfogóhoz tartozó magassága? ( pont) b) Mekkora a meghibásodott gyártósoron gyártott csokik térfogata? (8 pont) c) A hiba miatt a cég által gyártott csokik 5%-os valószínűséggel kisebb méretűek lettek. Tomi, hogy meglepje édesszájú anyukáját, 7 darab csokoládét vásárolt neki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább jó méretű csokoládét vásárolt? (5 pont) a) A befogótétel miatt: a = 4 ( 4 + ) = 8 cm b = ( 4 + ) = 8 cm A Pitagorasz-tétel alapján az BMC -ben: m = 8 4 = 4 cm b) Az eredeti csoki alapháromszögének kerülete K eredeti = = 8( + ). Mivel a levágott darab alapháromszöge hasonló az eredeti csoki alapháromszögéhez kiszámolhatjuk a hasonlósági arányt. 4 ( + ) = = ( ) 64 Az eredeti csoki térfogata Veredeti =,5 = 48 cm. ( pont) A levágott csokidarabról tudjuk, hogy alapháromszögének minden oldala -a az eredeti 6 háromszög oldalainak, magassága viszont nem változott. Emiatt térfogata az eredeti csokoládé térfogatának -szerese. B E B a C m M b A D A - -

14 4 A levágott csokoládé térfogata Vlevágott = 48 = V hibás = 48 = 80,8 cm A meghibásodott gyártósoron gyártott csokik térfogata 80,8 cm. c) Ha legalább jó méretű csokit vásárolt egyszerűbb a komplementer eseményt kiszámolni, azaz a rossz eseteket, azaz azt, hogy 0, vagy jó csokit vett. Binomiális eloszlással számolva: A valószínűsége, hogy 0 jó méretű csokit vett 7 0,5 7 0,75 0 0,5 7 = ,5 6 0,75 0,00 A valószínűsége, hogy jó méretű csokit vett. 7 5 A valószínűsége, hogy jó méretű csokit vett 0,5 0,75 0,05. Annak a valószínűsége, hogy Tomi legalább jó méretű csokit vásárolt 7 0, 5 0,00 0,05 = 0,987. Összesen: 6 pont - 4 -

15 9. Kukutyin egy kis falu az Óperenciás tengeren is túl. Népességszáma mindössze fő. A falu egy völgyben helyezkedik el, mely keresztmetszetének domborzatát az alábbi f x = x x 0 függvény írja le. ( ) a) Ábrázolja a derékszögű koordináta rendszerben a függvényt a 0; 7 intervallumon! ( pont) Kukutyin egyetlen benzinkútjának milliárd forintban megadott profitja az előző évben a következő függvény szerint alakult: f ( x) = 4sin x ( + )cos x b) Az év hány százalékában volt veszteséges a benzinkút, ha egy évet a 0; intervallumon értelmeznek a helyi közgazdászok? (7 pont) f x = x 5x + 8x + 4 Kukutyinban az autók fogyasztása elégé változó, ezt az ( ) függvény írja le, ahol x az autó években vett életkorát jelöli. c) Mennyi idős autó átlagfogyasztása a legkedvezőbb és mennyi ez az átlagfogyasztás? (Az autó korát egész hónapra kerekítve adja meg!) (7 pont) a) x x ( x ) 0 = + 8 b) A trigonometrikus Pitagorasz-tétel alapján ( ) sin x cos x + = 4 4sin x ( ) cos x 4 cos x cos x 0 sin x= cos x. + + = + + Másodfokú megoldóképletet felhasználva az egyenlet két gyöke: cos x = = 8-5 -

16 + 4 cos x = = 8 Tehát cos y x, azaz + k x + k vagy + k x + k k x + k. 6 x Mivel az évet 0; intervallumon értelmezzük x. 6 A benzinkút az év 6 = 6 részében, azaz 6,67 %-ban volt veszteséges. c) f ( x) = x 5x + 8x + 4 függvény lokális minimumát keressük. Ehhez vesszük a függvény első deriváltját: ( ) 9x 0x 8 0 f x = 9x 0x = esetén lesz szélsőérték helye a függvénynek x = 0, 9, x = +, 040 f x = x a függvénynek x -ben maximuma A második derivált alapján ( ) 8 0 ( f ( 0, 9) = 4, 74), x -ben pedig minimuma lesz ( (, 040) 4, 74) f =. ( pont),04 éves, azaz 6 hónapos autó átlagfogyasztása a legkedvezőbb. Ez az átlagfogyasztás =,98 egység. Összesen: 6 pont Maximális elérhető pontszám: 64 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 5 pont - 6 -