Megemlékezés. Kürschák Józsefről ( ) Kántor Tünde. Kántor Tünde, December 2, p. 1/40

Átírás

1 0 1 Megemlékezés Kürschák Józsefről ( ) Kántor Tünde Kántor Tünde, December 2, p. 1/40

2 Megemlékezés Megemlékezés Kántor Tünde, December 2, p. 2/40

3 Megemlékezés Megemlékezés 75 éve halt meg Kürschák József akadémikus, a magyar matematika kiemelkedő professzora. Kántor Tünde, December 2, p. 3/40

4 Megemlékezés Érdemei, munkásságának és tevékenységének a hatása az idők távlatából egyre fényesebbé válik. Kürschák József tudós tanár volt. Neve ismerősen cseng a középiskolások körében. Sokan hallottak már a Kürschák versenyről, vagy Kürschák feladatokról. Lehet, hogy az Interneten olvastak a Kürschák-féle csempézésről is. Szélesebb körben már nem annyira ismert a 20. századi magyar matematikai élet "szürke eminenciása". Nevét itthon kevesebbet emlegetik, mint kortársaiét, Riesz Frigyesét és Fejér Lipótét. Híres tanítványai: Neumann János a számítógépek atyja és König Dénes a gráfelmélet megteremtője. König Dénes jellemzése szerint "Kürschák József, mint ember, és mint tudós egyaránt méltó arra, hogy mintaképül állítsuk a magyar ifjúság elé." [7] Kántor Tünde, December 2, p. 4/40

5 Kántor Tünde, December 2, p. 5/40

6 Megemlékezés Iparos családban született. Édesapját korán elvesztette. Édesanyja nevelte fel őt és öccsét. A budai Állami Főreáliskolába járt. Matematika tanára, Kreybig Lajos, tanácsára tanult tovább a Mûegyetemen matematika-fizika tanár szakon. Itt Hunyady Jenő előadásai és König Gyula szemináriumai voltak rá nagy hatással. A későbbiekben König Gyulát tekintette példaképének, tőle tanulta meg hogyan lehet tanítványait önálló munkára serkenteni. Tanári gyakorló munkáját Pozsonyban, Debrecenben, Rozsnyón, majd Budapesten végezte. Hat évig volt középiskolai tanár, de egész életében, még akadémikusként is, sokat tett a középiskolások tehetséggondozásáért és a tanárokért. Ennek a mai napig ható eredménye a világhírű Matematikai versenytételek című könyve. Már egyetemi hallgatóként is végzett tudományos munkát. Első dolgozatát A körbe és a kör körül írt sokszögekről (1887) még tanári diplomájának megszerzése előtt König Gyula mutatta be az MTA III. osztályának ülésén. Kántor Tünde, December 2, p. 6/40

7 Szemléletesen bizonyította be azt az ismert matematikai tételt, hogy a körbe, illetve a kör köré írt konvex sokszögek közül a szabályos sokszögek területe a legnagyobb, illetve a legkisebb. Ő mutatta meg először, hogy a beírt szabályos sokszögek területe a csúcspontok számának növelésével monoton nő, a körülírtaké monoton csökken. Ő volt az, aki nem tételezte fel a szélsőérték létezését, hanem bebizonyította azt. Ez a dolgozat már szembeszökően tükrözi Kürschák jellemvonásait: a matematikai igényességet, az egyszerűsítésre és általánosításra való törekvést, a mély és kristálytiszta gondolkodást, az egyéni ötletes meglátásokat, az elemi és a felsőbb matematika határkérdései iránti vonzódást. A körmérés története és elmélete című cikksorozata (I-IX., Math. és Phys. Lapok, ) önálló könyvként is megállná a helyét (ma az Interneten a Wikipediában olvasható). Kántor Tünde, December 2, p. 7/40

8 1888-tól egészen haláláig a Műegyetemen tanított. Bejárt minden lépcsőfokot, a repetitortól a professzori székig ben doktorált, 1891-ben habilitált, 1896-ban az MTA levelező, 1914-ben rendes tagja. Tanított analízist, algebrát, geometriát, differenciálgeometriát. Speciális szemináriumokat vezetett tanárjelölteknek (ennek volt a hallgatója pl. Kalmár László is), tartott órát építészmérnököknek és vegyészeknek. Nézeteire 1916/17-ben a Műegyetemen tartott rektori beszéde is utal: "Ha bízunk önmagunkban és örömmel végezzük kötelességeinket, ha hivatásunkat nem tehernek, hanem erőink természetes érvényesítésének tekintjük, akkor nem maradhat el a siker." Szerette az önálló munkát. Azt vallotta, hogy "A tudományból magam is igazán csak azt értettem meg, amit önállóan átgondoltam, vagy egy szerény lépéssel előbbre is vittem." Kántor Tünde, December 2, p. 8/40

9 Kürschák József igen érdekesen publikált. Lényegében minden fontosabb cikke megjelent magyarul egy magyar folyóiratban (pl. Mathematikai és Physikai Lapok), és idegen nyelven (főképpen németül) egy rangos külföldi folyóiratban is (pl. Math. Annales, Crelle Journal). Nagyon okosan és jó helyen publikált. Publikációinak számát is eszerint adják meg, hol kb. 50, hol 100-nál több a számuk. Témájuk szerint igen változatosak: geometria, algebra és számelmélet, analízis, matematikatörténet, Bolyai kutatás, megemlékezések, cikkek a Pallas Nagy Lexikonba, matematika tanárképzés és tudománypolitika, kitűzött feladatok és megoldásaik (Középiskolai Matematikai Lapok, Mathematikai és Physikai Lapok), egyetemi jegyzet és a Matematikai Versenytételek. Részt vett Bolyai Farkas Tentamen című könyve 2. kiadásának előkészítésében. Ez a könyv tartalmazza Bolyai Jánosnak a nemeuklideszi geometriáról szóló munkáját, az Appendixet. Kántor Tünde, December 2, p. 9/40

10 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kántor Tünde, December 2, p. 10/40

11 Megemlékezés Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Munkásságának néhány területével fogunk foglalkozni: I. Nemzetközi hírű 1. Az értékelés elmélet 2. Az egységátrakás (egyenes vonalzóval és merev egységkörzővel való geometriai szerkesztés) II. Rövid cikkek (A szabályos tizenkétszögről, Lóugrás a végtelen sakktáblán) III. Tehetséggondozás, (Matematikai versenytételek) Kántor Tünde, December 2, p. 11/40

12 Nemzetközi hírű Megemlékezés Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 1. Az értékelés elmélet Minden modern algebrával foglalkozó monográfiában megtaláljuk Kürschák nevét. Ő volt a 20. század első felében kifejlődött modern algebra egyik legszebb és igen hasznos elméletének, az ú. n. értékelés elméletnek, a szülőatyja. Eredményeit A határértékképzés és testelmélet (1912) című cikkében mutatta be az MTA-n, a cambridge-i Nemzetközi Matematikai Kongresszuson (1912) nagy sikerű előadást tartott róla, majd 1913-ban megjelent németül a Crelle Journalban Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie címmel. Ez a munkája a modern számelmélet alapja. Erre alapozta H. Hasse is a divizorok elméletének első modern összefoglalását. Kürschákot ezért az eredményéért választották meg az MTA rendes tagjává 1914-ben. Már 1922-ben V. D. Gokhale : Concerning Compact Kürschak s Fields című, az American Journal of a Mathematics folyóiratban (Vol. 44. No 4) megjelent cikkében az értékelt testet Kürschák-féle testnek nevezte el. Kántor Tünde, December 2, p. 12/40

13 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Az értékelés bizonyos értelemben az abszolút érték fogalmának az általánosítása. Az értékelt test definíciója: Legyen K tetszőleges (kommutatív) test. Értékelésnek nevezzük az olyan : K R függvényeket, amelyekre a 0, (a K) a = 0 a = 0 (a K) a b = a b (a, b K) a + b a + b (a, b K). Egy testet értékeltnek nevezünk, ha van rajta valamilyen értékelés. Példák: 1. K = R esetén az abszolút érték. 2. Legyen K = Q, és p tetszőleges rögzített prímszám. Minden a Q, a 0 szám egyértelműen felírható a b pn alakban, ahol a és b egymáshoz relatív prím természetes számok, és n egész szám. Legyen a = p n, 0 = 0. Ez az értékelés a racionális számtest p-adikus értékelése. Kántor Tünde, December 2, p. 13/40

14 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 2. Az egységátrakás (egyenes vonalzóval és merev egységkörzővel való geometriai szerkesztés) Das Streckenabtragen (Math. Ann. 1902), vagyis A szakasz átrakás, Kürscháknak az igen híres geometriai tárgyú dolgozata mindössze másfél oldalas. Ez a cikk David Hilbert A geometria alapjairól (Grundlagen der Geometrie, 1899) írt munkájához kapcsolódott, azt egészítette ki. Hilbertnek, a geométerek Bibliájának is nevezett, az euklideszi geometria axiomatikus felépítését tárgyaló könyvében a második kiadástól kezdve Kürschák eredménye, nevének említésével és a dolgozat ábrájának közlésével megtalálható. Azóta a világ minden táján, minden geometriai axiómatikával foglalkozó könyvbe bekerült. Kántor Tünde, December 2, p. 14/40

15 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Hilbert azt a kérdést vizsgálta, hogy melyek azok a geometriai feladatok, amelyek megoldásához a vonalzón kívül csak hosszátvivő, vagyis olyan eszköz kell, amely tetszés szerinti szakaszoknak egy egyenesről tetszés szerinti másik egyenesre való átrakását teszi lehetővé. Kürschák azt mutatta ki, hogy ezekben, az ún. diszkrét szerkesztésekben a hosszátvivő egy alapmértékkel (egységgel) pótolható, vagyis elegendő az egyenes vonalzó mellett olyan merev körzőt használni, amely csak egy megszabott alapmérték áthelyezésére alkalmas (egységátrakó körző). Talán itt is kitűnik a Kürschákra jellemző nagyon egyszerű gondolkodásmód, és a rövid tárgyalás. Ez a tulajdonsága már középiskolás korában is megnyilvánult. Kedvenc matematika tanára, Kreybig Lajos, óráján is megtette, hogy a bonyolult és hosszadalmas tanári magyarázat után felállt, majd sokkal rövidebben és egyszerűbben mondta el a tanárja által tárgyalt szerkesztést. Bemutatjuk Kürschák dolgozatának alapgondolatát, de ehhez néhány fogalmat tisztáznunk kell. Kántor Tünde, December 2, p. 15/40

16 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Euklideszi szerkesztésnek azokat a szerkesztéseket nevezzük, amelyekhez két eszköz, az egyenes vonalzó és a csuklós körző használható és ezekkel a következő szerkesztési lépések véges sokszori alkalmazása van megengedve: 1. Két adott ponton át egyenes húzása 2. Adott középpont körül adott sugarú kör rajzolása 3. Két egyenes metszéspontjának meghatározása 4. Egyenes és kör metszéspontjának, illetve két adott sugarú kör metszéspontjának meghatározása. A matematikusokat régóta foglalkoztatja a szerkesztéseknek az egyszerűsítése. Mohr (1672) és Mascheroni (1797) megmutatták, hogy minden egyenes vonalzóval és körzővel elvégezhető euklideszi szerkesztés elvégezhető csak körzővel is. Hilbert azt mutatta ki, hogy az összes 1-4. axiómán alapuló ún. elemi geometriai alapszerkesztésekhez elegendő az egyenes vonalzó mellett, ha a körzőt csak távolság felmérésre, azaz távolság felrakásra használjuk. Kántor Tünde, December 2, p. 16/40

17 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Ezt egyszerűsítette Kürschák, arra, hogy az egyenes vonalzó mellett csak egy olyan eszköz kell, amely egy megszabott alapmérték az egység felrakására alkalmas. Az ismertetésre kerülő szerkesztés felhasználja Hilbert eredményeit, vagyis pl. azt, hogy az egyenes vonalzó és a szakasz átrakó körző segítségével lehet egy adott egyenessel párhuzamos egyenest szerkeszteni, illetve egy adott egyenesre adott pontjában merőlegest állítani. Feladat: Adott g egyenesre vigyük át az AB távolságot (AB nem párhuzamos az adott g egyenessel) az egységátrakóval. A feladat megoldását Kürschák dolgozata alapján mutatjuk be. Kántor Tünde, December 2, p. 17/40

18 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 1. ábra Das Streckenabtragen Kántor Tünde, December 2, p. 18/40

19 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kössük össze a P pontot az A ponttal. Húzzunk párhuzamost a B ponton keresztül AP -vel, majd AB -vel. Metszéspontjuk a C pont, és P C = AB. A P pontból P C -re és a g egyenesre mérjük fel az alapmértéket. P D = P E = 1. A C pontból húzzunk párhuzamost DE -vel. Ez a g egyenest a Q pontban metszi, és P Q = P C = AB. A feladat megoldható akkor is, ha a g egyenes párhuzamos AB -vel, de akkor először egy AB -vel nem párhuzamos egyenesre kell átvinni az AB szakaszt. Kántor Tünde, December 2, p. 19/40

20 Rövid cikkek Megemlékezés Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, A szabályos tizenkétszögről (Math. és Phys. Lapok, 1898) Ez világszerte Kürschák egyik legismertebb, és ma a legtöbbet idézett miniatürje (pl. Wikipedia), amelyhez számos animációt készítettek. (Geometry Step by Step from the Land of the Incas, Kürschak s Tile and Theorem). A tétel azt mondja ki, hogy a szabályos tizenkétszög területe egyenlő a köré írt kör sugara felé emelt négyzet területének háromszorosával. A bizonyítást a mai középiskolás biztosan trigonometriai eszközökkel végzi el: T = 6R 2 cos π 6 = 3R2. Kántor Tünde, December 2, p. 20/40

21 Kürschák a Bolyai Farkas -féle átdarabolási módszert választotta (az animációk is ezt használják fel). Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 2. ábra Kántor Tünde, December 2, p. 21/40

22 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, A tizenkétszög olyan 12 darab egybevágó szabályos háromszögből és olyan 12 darab egybevágó rombuszból tevődik össze, amelyek oldalai egyenlő hosszúságúak. A rombuszok a hosszabbik átlójuk segítségével felbonthatók két-két egyenlőszárú háromszögre, melyek szögei , vagyis összesen 24 darab háromszögre. A 2R oldalhosszúságú négyzetnek a tizenkétszögön kívüli része 4 darab, az előbbiekkel egybevágó szabályos háromszögből és 8 darab, az előbbiekkel egybevágó, háromszögből tevődik össze. Így nyilvánvaló, hogy a tizenkétszög területe 3 4 4R2 = 3R 2. Kántor Tünde, December 2, p. 22/40

23 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Ebből a problémakörből alakult ki a Kürschák-féle csempézés vagy más néven, Kürschák-féle parkettázás. Egy négyzetet a fenti 16 egyenlő oldalú és 32 egyenlő szárú háromszög felhasználásával egyrétűen és hézagmentesen le tudunk fedni. Mutatunk erre a parkettázásra néhány példát. Kántor Tünde, December 2, p. 23/40

24 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 3. ábra Kántor Tünde, December 2, p. 24/40

25 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 4. ábra Kürschák eredeti ábrája a szabályos tizenkétszögről Igen érdekes, hogy ez a probléma, átfogalmazott formában, az 1977.évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 1. feladata volt. Kántor Tünde, December 2, p. 25/40

26 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Az ABCD négyzet oldalaira befelé megrajzoltuk az ABK, BCL, CDM és DAN egyenlő oldalú háromszögeket. Bizonyítsuk be, hogy a KL, LM, MN, NK szakaszok felezőpontjai az AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN és AN szakaszok felezőpontjaival együtt egy szabályos tizenkétszög csúcspontjai. Kántor Tünde, December 2, p. 26/40

27 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Lóugrás a végtelen sakktáblán (Math. és Phys. Lapok, 1926) A lóugrások számos problémájával Euler foglalkozott (1756). Kürscháknak ez a cikke az évi XXX. Eötvös verseny 1. feladatához fűzött megjegyzéséhez kapcsolódott. Bemutatta az 5 x 5 mezős véges tábla lóugrással való befutását, illetve azt hogy hogyan lehet az 5 x 5 mezős tábláról a szomszédos 5 x 5 mezős táblára átugrani, vagyis hogyan lehet a végtelen 5 x 5 mezős táblát befutni. Így bebizonyította a következő tételt: A végtelen sakktáblán bármely mezőről bármely másikat a lóugrások alkalmas sorozatával érhetjük el. Kántor Tünde, December 2, p. 27/40

28 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 6. ábra Kántor Tünde, December 2, p. 28/40

29 Tehetséggondozás, matematikai versenyek Megemlékezés Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, A Matematika és Fizikai Társulat 1894-ben, a Középiskolai Matematikai Lapokkal egy időben indította útjára a matematikai tanulóversenyt, amelyet a Társulat elnöke, báró Eötvös Lóránd, az akkori vallás- és közoktatási miniszter, édesapjáról, Eötvös Józsefről nevezett el. Az Eötvös versenyek lényegében ettől kezdve, a háborús évek kivételével, minden év őszén megrendezésre kerülnek óta viselik Kürschák verseny nevet. A versenyen kitűzött feladatokat röviden Kürschák feladatoknak szokták nevezni. Számos híressé vált matematikus vagy fizikus első eredményét ezeken a versenyeken érte el: Fejér Lipót, Kármán Tódor, König Dénes, Haar Alfréd, Riesz Marcel, Szegő Gábor, Kóródi Albert, Rédei László, Kalmár László, Teller Ede, Tisza László, Gallai Tibor, Radó Tibor, Szele Tibor, Császár Ákos, Lovász László,...., és a sor folytatódik. Kántor Tünde, December 2, p. 29/40

30 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kántor Tünde, December 2, p. 30/40

31 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kürschák szívéhez igen közel állt az Eötvös verseny. Rész vett a versenybizottság munkájában, a feladatok kitűzésében és a dolgozatok értékelésben. Az ő érdeme, hogy ezek a versenyek a magyar matematikai élet egyik legsikeresebb intézményévé lettek ben Matematikai Versenytételek címen kidolgozta az közti összes versenyen kitűzött feladatokat. A könyvben felhasználta a díjnyertes tanulói megoldásokat, de velük nem azonosak a közölt megoldások. "Nem egy pályadíjnyertes megoldás csak a lényeget nem érintő változtatásokra szorult, hogy tanulságul és mintául szolgálhasson e könyv fiatal olvasóinak. Ilyenkor átdolgozásom után is a megoldást a pályázó munkájának tekintettem és nevével közöltem"- olvassuk az Előszóban. Sok esetben a megoldást az átlagoshoz közelebb állóval pótolta. A versenyek során nagyon sok matematikai anyag gyűlt össze, és ezekhez a tudós tanár 38 jegyzetet írt. Kántor Tünde, December 2, p. 31/40

32 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Ezek a jegyzetek sok esetben az adott témakör új tudományos eredményeit ismertették, és bepillantást nyújtottak a matematika számos ágába. Az első kiadásban 26 esetben találunk életrajzi adatokat is. "A közölt megoldásokkal, valamint az ezekhez fűzött jegyzetekkel, melyek fokozatosan a matematika magasabb szféráiba vezetik az ifjú olvasót, oly munkát alkotott, amely bármely ország tudományos irodalmának díszéül szolgálhat, s amely arra van hivatva, hogy nagymértékben tökéletesítse középiskolai matematikai oktatásunkat."- írta róla König Dénes 1933-ban, a Középiskolai Matematikai Lapokban megjelent nekrológban. A Matematikai Versenytételek több magyar kiadást ért meg. Átdolgozva, kiegészítve a későbbi évek versenyeivel jelent meg Hajós György, Neukomm Gyula, Surányi János szerkesztésében 1956-ban, Hajós György, Surányi János szerkesztésében 1964-ben, Surányi János szerkesztésében 1986-ban és 1992-ben. Kántor Tünde, December 2, p. 32/40

33 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 7.1 ábra Kántor Tünde, December 2, p. 33/40

34 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 7.2 ábra Kántor Tünde, December 2, p. 34/40

35 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, 1961-ben az amerikai Random House megjelentette a második magyar kiadás alapján Hungarian Problem Book I, címen angolul. Az amerikai kiadáshoz Szegő Gábor írta az előszót. Azóta megjelent a Hungarian Problem Book II. és III. kötete is. A Matematikai Versenytételeket az angolon kívül lefordították a világ számos nyelvére, pl. japánra, oroszra, románra. A versenyzők felkészítésére a világ egyik legjobb könyvének tartják és ennek tudták be, hogy a magyarok a nemzetközi versenyeken kiváló eredményeket érnek el. Kántor Tünde, December 2, p. 35/40

36 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kántor Tünde, December 2, p. 36/40

37 Nemzetközi hírű Rövid cikkek Tehetséggondozás, Kántor Tünde, December 2, p. 37/40

38 (1) (2) Kántor Tünde, December 2, p. 38/40

39 (1) Megemlékezés [1] Alexanderson, G. L., Seydel K.: Kürschak s tile The Mathematical Gazette (1978),Vol. 62, No. 421, (1) (2) [2] Filep László: Ötven éve halt meg Kürschák József ( ) KöMal, 1983, [3] Gray, J.: König, Hadamard and Kürschák and abstract algebra Mathematical Intelligencer, 1997, Vol. 19, No 2. [4] Gyarmathi László: Kürschák József A Debreceni Fazekas Gimnázium Éretesítője, 1973, [5] Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie Berlin, [6] Kántor Sándorné: Kürschák József emlékezete Hajdú-Bihari Napló, december 4. [7] Kántor Sándorné: Tudós matematikatanárok Hajdú, Szabolcs és Szolnok megye középiskoláiban, Debrecen, 1986, [8] König Dénes: Kürschák József ( ) Középiskolai Matematika Lapok, szám Kántor Tünde, December 2, p. 39/40

40 (2) Megemlékezés (1) (2) [9] Obláth Richárd: Kürschák József Középiskolai Matematikai Lapok 1954, [10] Rados Gusztáv: Kürschák József Az MTA Elhunyt Tagjai fölött tartott Emlékbeszédek. 1934, p. 11. [11] Stachó Lajos: Kürschák József Műszaki Nagyjaink, III. kötet, 1967, Kántor Tünde, December 2, p. 40/40