A numerikus matematikai módszerek választásának néhány kérdése és a mátrix-ortogonalizációs módszer alkalmazása a kiegyenlítő számításban

Átírás

1 umeus mtemt módszee válsztásá éáy édése és mátx-otogolzácós módsze llmzás egyelítő számításb D. Völgyes Los tulmáy első észébe övde áttetü egyelítő számításb számítógées oblémmegoldás soá felléő bá éáy leetséges foását és felívu fgyelmet számításo soá z dott egyelítés feldtooz legobb lleszedő umeus mtemt módsze válsztásá fotosságá. Megmuttu ogy léteze oly egyelítés oblémá melyee szoásos úto evezetese omálegyelete felállításá eesztül vló megoldás em vezet vát eedméye ezét eseteét célszeűtle szoásos módsze llmzás. Lát fogu ogy lye esetebe más umeus módsze z ú. mátx-otogolzácós eláás szált célvezetőbb mvel ezzel megeületü omálegyelete felállítását és megfelelő mátx-tszfomácó llmzásávl özvetleül yeetü ívát megoldást. Megmuttu ogy szób fogó ét módsze elvleg zoos megoldást szolgáltt de z otogolzácós módszeel yeető megoldás umeus stblbb.. Hbfoáso egyelítés oblémá számítógées megoldás eseté gy számú smeetlet ttlmzó feldto számítógées egyelítéseo több öülméy s dötő tássl leet megoldás otosságá. Vlmely megoldás otosságá eletősebb csöeését z lább lvető bfoáso ooztá [5]: mtemt modell válsztásából dódó bá. Mde feldt megoldásáoz előszö mtemt modellt ell válszt mely zob z dott feldtot cs bzoyos egyszeűsítéseel és elygolásol özelít. b umeus mtemt elááso bá z otb válsztott mtemt modell ülöböző umeus eláásol leet csoltos melye elvleg zoos megoldás vezete zob gyoltb eze megoldáso többé-evésbé eltée egymástól. bbe szeeü leet l. ülöböző umeus özelítő módszee llmzásá stb. c méése tuldoíttó bá számítás eülő méés eedméyeet többye méőműszee áltl megtáozott véges otosság öveteztébe bá teel. H vlmely egyeletedsze együtttóból lotott mátx és tszttgo veto mééssel és számítássl megtáozott meysége vgys cs özelítőe smeetese o z elv egyeletedszee csuá egy özelítését smeü.

2 d Keeítés bá számítógée olátozott számábázolás vlmt z elem művelete ülöösée Σ b tíusú szoztösszege számítás eletős eeítés bfoást et mgáb []. H vlmely számítássooztb műveleteet cs olátozott otossággl tudu elvégez z egyes műveletebe vétett eeítés bá dötő tássl leete számítás végé yet megoldás otoságá. ze utá ételmezzü ssé észletesebbe felsoolt btíusot. geodéz feldto eletős észébe vlmely oblém egyelítése Guss-féle belmélet lá legsebb égyzete módszeée llmzásávl töté. zzel z ot ételmébe dott egy leetséges mtemt megfoglmzás. Temészetese em ez z egyetle létező modell és eseteét em s célszeű ezt válszt. Vlmely feldt megoldás ülöböző umeus mtemt módszeeel leet csoltos. z és b ot összefügg egymássl mvel ülöböző mtemt modelle más-más umeus módszeeet ttlmzt. mtemt modell és megfelelő umeus eláás válsztását övetőe bteédés tövéyee vlmt végeedméy otosság övetelméyee smeetébe méés otosságot c ot fgyelembevételével táoztu meg. Potosbb: mvel eze szoos összefüggee ezét z ltt modell és b szet umeus eláás megválsztás vlmt megfelelő méés otosság megtáozás együttese célszeű. számítás végé yet eedméy otosságát gymétébe befolyásoltá d otb leít eeítés bá. Küszöbölésüe otosbb csöetésüe ét leetőség íáloz. z egy: megfelelő számítógé eseté dul otosságú számábázolás szált slászozto szoztösszege gyűtéseo más: z dott feldtoz legobb lleszedő mtemt modell és umeus eláás válsztás. Célszeű éldául zot umeus módszeeet előybe észesíteü melyeel számításo soá legevesebb számú Σ b tíusú szoztösszeget ell éezü []. egyelítés oblémát elemezve szé számml tláltu oly feldtot melye esetébe leggybb llmzott módsze mely omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül vezet megoldásoz em yút z előe vát otosságot sőt eseteét megoldás bá gyságedeel megldt z előít bolátot. Ilye oblémá dódt éldául bzoyos gvmétees álózto egyelítéseo mesteséges old ályelemee és megfgyelőállomáso oodátá megtáozás eseté vgy éldául ötvös-g méése lá teolált függővol-elláso számításo [ 6 9]. övetezőbe omálegyelete megoldásávl csoltb tett éáy megegyzésüel szeeté megvlágít zt ogy z ú. gyegé odcoált gyegé megtáozott egyelítés oblémá eseté omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül vezető számítás módsze em elegedőe otos sőt éáy esetbe szálttl megoldást szolgáltt. Jelöle v x + l >. vítás egyelet vlmely egyelítés oblém lezált özvetítő egyeletee vítás feezett lát ol v vításo veto vítás egyelete együtttómátx x z smeetlee- és l tszttgo veto.

3 mt smeetes egységsúlyú méése eseté feltétel z és z v v m.. l. N.4 elöléseet felszálv elégítető z N x +.5 omálegyelete áltl melyből x N.6 z.4 szet éezető N mátxot evezzü z l.5-tel elölt omálegyelete együtttómátxá: Megegyezzü ogy továbbb. vlmely mátx vgy veto tszoáltát -gl vezét -gyel és z vezée tszoált át -gl elölü. Láttó teát ogy omálegyelete N együtttómátx és veto vítás egyelete együtttómátxá és l tszttgá függvéye. Mvel özvetítő egyelete együtttó méése lá számítássl megtáozott meysége ezét b ot szet megolddó elméletleg otos'' egyeletedszee csuá egy özeltését smeü és oldtu meg. H z elméletleg otos egyeletedszee egyételmű megoldás létez egyáltlá em bztos ogy özelítése s v egyételmű megoldás; mely zoos z előző megoldássl. Felmeül teát édés ogy vlmely egyételmű megoldássl edelező leás egyeletedsze együtttót meye leet megváltoztt ogy z ú özelítő edszee s szüségée egyételmű megoldás legye és ét edsze megoldás vlmlye ételembe elég özel esse egymásoz. zzel édéssel függ össze ogy vlmely vetáltó N mátxot cst megváltozttv z így yet N ~ mátx mlye feltétele mellett v veze továbbá z N és z N ~ mátx eltéése mlye feltétele eseté lesz vlmlye ételembe cs. Vezessü be eze utá stbl és z stbl vez mátx foglmát. Vlmely vez mátxot stbl evezü z eedet mátx elemee cs változás z vez mátx elémee áyos s megváltozását eedméyez elleező esetbe edg stbl modu []. stbl vez mátx eedet mátxát ól odcoált ól megtáozott z stbl vez mátx eedet mátxát edg gyegé odcoált gyegé megtáozott mátx evezzü. Megegyezzü ogy mátxo odcoáltság ól ellemezető z ú. odícószámul. továbbb z smetebb defícó özül vlmely N mátx odícószámá

4 mx λ cod N.7 m λ számétéet z ú. Todd-féle számot étü ol λ z N mátx sátétée. defícó szet ól odcoált mátxo odícószám cs; gyegé odcoált mátxo odícószám edg ge gy [ 4]. H vlmely gyegé odcoált mátx eleme cs özelítőleg smeétese o ez mátx gyoltb öye szgulás muttozt. lőfodult ugys ogy z elmélet" mátx detemás zéustól ülöböz de mátx á egyetle elemét s méés vgy számítás otosságo belül megváltozttv zéus detemású mátxot u. Például z N mátx detemás eseté det N vszot / 56 eseté det N teát mátxot gyoltlg szgulás ell tete []. Oly egyeletedsze esetébe melye mátx gyegé odcoált z együtttó egésze cs megváltozás megoldásveto gyságedeel tötéő megváltozását eedméyezet. Vzsgálu meg éldául z x +.x x +.x.. egyeletedszet [ ]. z együtttómátx.7 szet odícószám ge gy teát mátx gyegé odcoált. z egyeletedsze megoldás x ; x. z egyeletedsze első soá első együtttóát mdössze / étéel megváltozttv x.; x dód! Végül szeeté zt szemléltet ogy bzoyos egyelítés oblémá eleve gyegé odcoált mátxú omálegyeleteez vezete []. zeet oblémát gyegé odcoált egyelítés oblémá evezetü. Tetsü éldául z lább esetet []! Legye vítás egyelete együtttómátx ol tetszőleges változó. z.4 szet 4

5 N melye z.7 defícó szet odícószám eseté lm cod N lm5 + Hsoló éldá gy számb tláltó tágylásutól zob eltetü. z előbb éld mtáá léteze oly egyelítés oblémá melye eleve gyegé megtáozott mátxú omálegyeleteez vezete. zt s tudu ogy vlmely gyegé odcoált együtttómátx esetébe z együtttót méés vgy számítás otosságo belül megváltozttv megoldásveto á gyságedeel s megváltozt. Ilye esetebe edg omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül vezető egyelítés eláás száltóságát étségbe ell vou. b ot ételmébe gyegé odcoált egyelítés oblémá esetébe fet egyelítés módsze szált em célvezető teát szüségese tű egy oly módsze smeete mely omálegyelete együtttómátxá gyege megtáozottság eseté s elégítő megoldást bztosít. övetezőbe oly mtemt modellt vázolu fel melye llmzásávl megeülető omálegyelete felállítás és megoldás és mely vítás vgy feltétel egyelete együtttómátxából bzoyos mátx-tszfomácó llmzásávl özvetleül szolgáltt megoldást. z módsze - z ú. mátxotogolzácós eláás omálegyelete megeülésével gyegé megtáozott egyelítés oblémá megoldásá s téoy llmztó [7]. szób levő egyelítés eláás tágylás előtt zob célszeű övde áttete szüséges mtemt lfoglmt.. Otogoáls mátxo és mátx-otogolzácó lelve Mt smeetes vlmely vlós vdtus mátx o otogoáls otoomáls tszoált megegyez vezével: vgy másée.. ol egységmátx [4]. defícóból z otogoáls otoomáls mátxo éáy fotos tuldoság övetez:. otogoáls mátx so és oszlo áoét otogoáls. ] elöléssel eseté: [ 5

6 és.. Otogoáls mátx bámely soá vgy oszloá elemeből lotott égyzetösszeg - gyel egyelő:.. Otogoáls mátxo veze és tszoált szté otogoáls. Ugys.-be tszoált mátxo áttéve:. lőszö megmuttu ogy állíttu elő vlmely tetszőleges mátx otogoáls oszlool edelező o vgy otogoáls sool edelező s mátxát. Legye övetező vlós vdtus mátxu: és tetsü eze mátx oszlot vetoo: így M [ ]. Legye továbbb z mátx em szgulás teát vetoo leás függetlee. Keessü otogoáls oszlool edelező mátxot s o [ ] lb ol ívát otogoáls oszloo. Legye 6

7 . md botsu fel z vetot és omoesee úgy ogy áy egybeesse áyávl edg meőleges egye ee [8 6] ogy z. ábá s láttó. o +.4 és slászozt edg meőlegesség otogoltás mtt zéus: vgy szoásos elöléssel:..5 Hsolóée bottu fel z vetot s áom omoesée: és ; úgy ogy z első ét omoes áy egybeesse és áyávl edg meőleges ezee ogy z. ábá láttó.. áb o és z otogoltás mtt Tovább folyttv z mátx - oszlo így ító: 7

8 és z otogoltás mtt összefüggéseből má öye megtáoztu vetoot és együtttót. étée megtáozás édeébe szoozzu meg előszö.4 mdét oldlát. slás vetol és vegyü fgyelembe.7 összefüggést. o és z mátx em szgulás o teát és így Hsolóée.6 mdét oldlát megszoozv -vel lletve -ml továbbá fgyelembe véve.7 összefüggéseet és ebből em szgulás Tovább folyttv z eláást. <. vgys együtttó 8

9 soedbe megtáoztó és ezzel eesett. otogoáls vetoedsze előállíttó. Ugyez övdebbe:. Végül teát z mátx felító z lább ét mátx szoztét: vgy övdebbe o H. o ol [ ] otogoáls oszlool edelező mátx mely oszloból lotott vetoo áoét meőlegese egymás H [ ] edg felső áomszögmátx főátlóáb csu egyeseel. Hsoló felbotás végezető el z mátx sot tetü vetoo és ezeet otogolzálu. o ' s H. edg otogoá- ol H' mosd lsó áomszögmátx főátlóáb csu egyeseel ls sool edelező mátx. s 9

10 Keletetü teát egy bámely em szgulás vlós mátx felbottó egy otogoáls oszlool edelező mátx és egy felső áomszögmátx szoztá. ; vgy edg egy lsó áomszögmátx és egy otogoáls sool edelező mátx szoztá.. Másod léését megmuttu ogy bámely vlós otogoáls sool vgy oszlool edelező mátx felbottó egy otogoáls és egy dgoálmátx szoztá. Tudu ogy vlmely vlós mátx oszlo otogoáls vetoedszet éeze o e mátx tszoáltá és mgá mátx szozt dgoálmátxot eedméyez mvel d z otogoltás mtt. Így teát ol dgoálmátx. Mvel ezét bevezetü d D o.4 d o D d > g d > d étéét és ee segítségével defálu g G g g mátxot. Beláttó ogy D G ezét.4 így s ító: mből G o o G o o G Mvel G G ezét

11 teát. ételmébe otogoáls mátx vgys o o G o G o G otogoáls oszlool edelező mátx.5 o G.6 fomáb felbottó egy otogoáls és egy dgoálmátx szoztá. Hsolóée ge egyszeűe beláttó ogy G..7 s.5 összefüggés számu zét fotos met megd ogy állíttu elő otogoáls mátxot otogoáls oszlool edelező mátxból..5-be szeelő G z eddge lá így ító: G ol veto euldesz omá..5 összefüggés lá vlágos teát vlmely otogoáls oszlool sool edelező mátxot otogoáls mátxszá íváu tszfomál o megfelelő oszloot soot omlzál ell m zt elet gy z oszloo soo vlmey elemét el ell osztu megfelelő oszlo vgy so elemee égyzetösszegéből vot égyzetgyöével zz euldesz omáávl. most felít összefüggésee lsz z otogolzácós eláás melyet Gm- Scmdt eláás evezzü [7] és mellyel vlmely vlós emszgulás mátxot egy otogoáls mátxszá tudu tszfomál:.8 ~.8b

12 ~ ~.8c Láttó ogy ez yb ülöböz. tszfomácótól ogy tt omlzálu s z oszloot. bbe z esetbe o H GH R.9 ol ylvávló R GH és. ~.8 otogolzácós eláás smet egy más módosított változt s melyet Gm-Scmdt eláás evezü. z bb ülöböz.8 eláástól ogy ~ vetoot em.8b szet em övetezőée éezzü: + ~..8b és. lgeblg evvles elááso zob gé számításoál z utóbb llmzás előyösebb [].. z áltláosított mátx-otogolzácó lelve övetezőbe oly mtemt módszet vázolu fel mely özvetleül llms egyelítő számítás lfeldt megoldásá [7]. Ptícoálu vlmely Â mátxot z ˆ { { 4 } }. m fomáb ezáltl z Â emátx eleme z 4 bloo lmátxo lesze. Nevezzü átl dexű lmátxo együttesét bl oldl áos dexű lmátxo együttesét edg obb oldl mátxblo. z otogolzácó soá z blo tütetett szee ut ezét fudmetáls mátxblo evezzü.

13 z áltláosított mátx-otogolzácós eláás feldt z Â emátx tszfomácó egy zoos stutúáú { { m } } 4 ˆ. emátxb. z ˆ ˆ. tszfomácót ét léésbe tu vége övetezőbe bemuttott lgotmus lá. lőszö z Â bl oldl mátxbloát tszfomálu Ŵ mátx megfelelő bl oldl mátxbloáb.8 lletve. eláás segítségével. zt tszfomácót úgy ell végetu ogy.-be szeelő slászoztot vlmt.8-b szeelő és ~ vetoomát cs fudmetáls mátxblo elemet felszálv éezzü. Édemes megegyezü ogy z áltláosított mátxotogolzácó léyeges- és egyelítő számításb vló llmztóságá szemotából lvetőe fotos tuldoság ogy áltl em vdtus mátxo s otogolzáltó. e megfelelőe. áltl leít tszfomácót úgy el ezelü mt vdtus mátxot tszfomálá de tszfomácót cs z > oszlog végezzü el. Így.9-be szeelő mátx otogoáls oszlool edelező mátx lesz mely oszlo teát egymás otogoáls és omáls. ze utá edezzü át z dexeet z egyszeűbb áttetetőség édeébe úgy ogy z vgy -ed dexű blo -ed oszloát elöle. o : + ; ~ ~ ~ ~ ~.4

14 4 zt övetőe ell z Â obb oldl mátxbloát tszfomál Ŵ mátx megfelelő obb oldl mátxbloáb lgotmussl ol z lletve szté z lletve bloo -ed oszloát elöl. Láttó ogy szüséges slászoztot tt s cs fudmetáls mátxblo elemee felszálásávl éezetü. z eddge lá beláttó ogy. tszfomácó.9 és.-szl összgb. és. elölésee megfelelőe z lább felbotásooz vezet:. R. m m R m m m 4. z áltláosított mátx-otogolzácó llmzás gyszeű éldét llmzzu z áltláosított mátx-otogolzácó módszeét özvetett méése egyelítésée egymástól függetle smeetlee eseté [ 7 9]. z egyszeűség edvéét egységsúlyú mét meységeet feltételezü. o megfelelő elyettesítéseel. tszfomácó x R v l 4. lú lesz ol egységmátx zéusveto több elölés edg má z előző észeből smeetes. mt láttó 4. mátx-tszfomácó egyelítés soá eesett v vításo és x smeetlee vetoát megelölt elye özvetleül szolgáltt..6 összefüggése lá R 4. l l v 4. l R x 4.4

15 Ige öye beláttó ogy z így dódó v és x vetoo lgeblg evvlese szoásos úto vgys omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül számított v és x vetool. Ugys z. és z.6.9 felbotás llmzásávl így ító: és x l [ R R] R l R R R l R v x + l Rx + l R R l + l l l l eze vszot megegyeze 4. és 4.4 obb oldlávl. z edívül fotos eedméy mvel zt bzoyít ogy omálegyelete eülésével egyszeűbb úto ugy z eedméye utu mt m omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül dód! 5. Összefogllás és öveteztetése z első észbe szó volt éáy bfoásól melye ülöböző egyelítés feldtob legább veszélyeztetet megoldás otosságát. Látttu ogy megoldás otosság szemotából ge fotos övetelméy z egyes egyelítés feldtooz legmegfelelőbb umeus mtemt módsze megválsztás. Tudu ogy léteze oly egyelítés oblémá melye eleve gyegé odcoált mátxú omálegyeleteez vezete és ezee egyelítés oblémá szoásos úto tötéő megoldás mely omálegyelete felállításá és megoldásá eesztül töté telese megbízttl leet. bbe z esetbe oly umeus módszet célszeű válszt mely megeül omálegyeletee eesztül vezető utt. mt láttu z áltláosított mátx-otogolzácós eláás megeül omálegyelete felállítását és megoldását ugyo mvel ez z eláás s legsebb égyzete elvéből dul elvleg ugy megoldás vezet mt melye szoásos módsze. Végül édemes éáy szót szól ülöböző számítás módszee ú umeus stbltásáól. [] szet ét számítás módsze özül gyobb umeus stbltás mely számításo soá evesebb számú b tíusú szoztösszeg ézését géyl feltételezve temészetese ogy z egyéb művelete géye özel zoos. Kszámíttó ogy 4. áltl szmbolzált tszfomácó soá összese + számú b tíusú szoztösszeg ézése szüséges oz ogy megu z x megoldáso és v vításo vetoát. Ugyo más módsze szált eseté mdössze z.5 omálegyeletee z. és z.4 szet előállításáoz + számú szoztösszeg ézése szüséges. Mvel + + > 5

16 és mvel ét számítás egyéb műveletgéye özel zoos ezét [] szet ülööse gy z otogolzácós eláás umeus stblbb tetető; főleg zét met eo szoásos módszeel még cs omálegyelete felállításág utottu el me még át v megoldás z otogolzácós módsze edg má teles megoldást szolgálttt. Megegyezzü ogy [7] umeus stbltás édésével észletese foglloz és más úto ugyee z eedméye ut. Befeezésée meg ell még egyezü ogy mt mde módszee z otogolzácós eláás llmzásá s v olát. mt másod észbe láttu em llmztó z otogolzácós módsze o mo z mátx oszloból lotott vetoo em leás függetlee. mellett bzoyos esetebe z otogolzácós eláás eedméyet s ottá eeítés bá bá ugyo számítás otosság z ú. ú-otogolzálás módszeée llmzásávl tovább víttó [4 7] teát eeítés bá tás s csöetető. Beéezett: 977. ug. 9-é. IRODLOM. Ádám J. - Tcsy Cy.: Ideedet Geometcl Dole Geodetc Systems. Obsevto of tfcl Steltes of te t No. 4 Buest Bácsty L.: leás egyeletedszee odcoáltság és geodéz álózto szeezete. Geod és Kt. 97/6.. Bell J. F. - D. Robets: Some Notes o te lcto of Otogol Mtx Tsfomtos to te Lest Sques Poblem. Itetol Symosmm o Comuttol Metods Oxfod Bó P. - Deteő Á. - Földváé Vg M. - Völgyes L.: Gvmet méése oszeű egyelítés módszee. BM Felsőgeodéz Tszé uttás beszámoló Budest Bemm.: Teoy of os d Geelzed Mtx Iveses. lseve. Sc. Publ. Com. mstedm Cmz F. - L. Täge: Bebetug de lelessugsegebsse uf de Sceeolygoe. Geofysál Sbo XIX Cmz F.: Otogolzto lgot fo Solvg te Fudmetl Poblems of te Clculus of Obsevtos. Geofysál Sbo XIX Demdovc B. P: -J.. Mo : Comuttol. Mtemtcs. M Publses Moszv Deteő Á.: Kegyelítő számításo. Töyvdó Budest Kuos. G.: Felsőbb lgeb. Töyvdó Budest 97.. Läucl P.: Jod-lmto ud usglecug c leste Qudte. Num. Mt Obádovcs J. Gy.: Gyolt számítás elááso. Godolt Kdó Budest 97.. Rce J. R.: xemets o Gm-Scmdt Otogolzto. Mt. Com Rózs P.: Leás lgeb és llmzás. Műsz Köyvdó Budest Scmtt G.: Roudg-off os Solvmg Le System of Hg Ode. Itetol Symosum o Comuttol Metods Oxfod 97. 6: Szdovszy F.: Leás lgeb özelítő módszee. Töyvdó Budest Todd J.: Suvey of Numecl lyss. McGHll Ne Yo Völgyes L.: Mtx-Otoomlzto Metod dustmet. Peodc Poltecc No Völgyes L.: Iteolto of Deflecto of te Vetcl Bsed o Toso Blce Results. Peodc Poltecc No Some Poblems bout te Coce of te Numecl Metods d te lcto of te Mtx Otogolzto Metod dustmet D. L. Völgyes Summy Some ossble souces of eos e befly outled cse of lcto of comutes fo solvg oblems dustmet d tteto s clled to te motce of selectg te best fttg umecl models. I cet cses te usul y dustmet settg u d solvg oml equtos s effcet d te use of te otogolzto metod s suggested. It s oved tt bot ocesses teoetclly gve te sme soluto but te soluto by otogolzto s te gete umecl stblty. 6

17 Völgyes L. 979 umeus modelle válsztásá éáy édése és mátx-otogolzácós módsze llmzás egyelítõ számításb. Geodéz és Ktogáf Vol. N D. Los VÖLGYSI Detmet of Geodesy d Suveyg Budest Uvesty of Tecology d coomcs H-5 Budest Hugy Műegyetem.. eb: tt://sc.fgt.bme.u/volgyes -ml: volgyes@e.bme.u 7