Matematika 8. osztály

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály II. rész: Egyismeretlenes szöveges feladatok Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Egyismeretlenes szöveges feladatok Egyenletek megoldása Szöveges feladatok Keveréses feladatok megoldása Munkavégzéses feladatok Fizikai problémát megoldó feladatok Geometriai témájú feladatok Számok helyiértékével kapcsolatos feladatok Gyakorlás Gyakorlás Csoportmunka Összefoglalás A témazáró dolgozat megírása

3 15. óra. Egyenletek megoldása óra Egyenletek megoldása Def (Mérleg-elv). Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal növeljük, vagy csökkentjük, akkor az egyenlőség igaz marad. A megoldások - más szóval a gyökök - az átalakítás után is megegyeznek. Állítás. Egy egyenlet gyökeinek meghatározásása 6 lépésben zajlik: Tört eltűntetése Zárójelek felbontása Összevonás Rendezés Ismeretlen meghatározása Ellenőrzés! 1. Feladat. Oldjuk meg közösen az alábbi egyenleteket! Végezzünk ellenőrzés! a. ) x x 2 2 = 1 b. ) x 3 3 x 12 = x 2 3 x Feladat. Határozzuk meg önállóa az egyenletek gyökeit a valós számok halmazán! a. ) x = 3x x b. ) 2x x 9 20 = 8x x Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! a. ) x + x = 2x + 5 3x 2 x 3 8 ( 1 x b. ) ) 1 ( x ) = Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 0, 7(2 x) + 0, 8(0, 9x 3) = 2

4 óra. Szöveges feladatok 16. óra Szöveges feladatok 3. Feladat. Andinak háromszor annyi könyve van, mint Gyurinak. Kettejüknek összesen 844 könyvük van. Hány könyve van Gyurinak és Andinak külön-külön? 4. Feladat. János a büfében vett egy üdítőt és egy sütit, és 470 forintot fizetett. Julcsi üdítőt és egy pizzaszeletet vett és ő 530 forintot fizetett. Károly pedig vett egy pizzaszeletet és egy sütit 560 forintért. Mennyi az egyes termékek ára? 5. Feladat. Egy kosárlabda-egyesületbe hússzal több lány jár. mint fiú. Ha csak feleennyi lány járna, a fiúk 5-tel többen lennének. Hány sportoló van összesen az egyesületben? Hány fiú és hány lány jár az egyesületbe? 6. Feladat. Egy faluban a számítógép-tulajdonosok 30%-a az AlfaNet, egynegyed része a BétaNet, a számítógép-tulajdonosok 20% -ánál 1600-zal kevesebben a GammaNet szolgáltatótól rendeltek internet előfizetést számítógép-tulajdonos még nem rendelkezik internet-előfizetéssel. Hány számítógép-tulajdonos lakik a faluban? 7. Feladat. Gondoltam egy számra. Hozzáadtam 3-at, majd az eredményt elosztottam 5-tel. A kapott számhoz hozzáadtam a gondolt szám felét, így a gondolt számnál 9-cel kisebb számot kaptam. Melyik számra gondoltam? 8. Feladat. Három nyuszi megevett egy halom káposztát. A legkisebb megette az összes felét. A középső a káposzták harmadánál 2-vel kevesebbel evett meg, míg a legnagyobb a káposzták hetedénél 4-gyel többet. Hány káposztát ettek meg együtt és külön-külön? 16. Házi feladat. Apa és lánya együtt 51 évesek. Anya és lánya együtt 49 évesek. Apa és Anya együtt 74 évesek. Melyikük hány éves? 16. Szorgalmi. 6 tirp 4 plikket és 6 plokkot ér, 12 tirp viszont 9 plikket és 7 plokkot. Hány plokkot ér egy plikk?

5 17. óra. Keveréses feladatok megoldása óra Keveréses feladatok megoldása 9. Feladat. 10 liter 87%-os alkoholunk van. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 80%-os alkoholt kapnunk? 10. Feladat. Összekeverünk 3 liter 12 %-os, 5 liter 18 %-os és 2 liter 22 %-os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő? 11. Feladat. 50 %-os és 70 %-os töménységű sóoldatunk van. Hány litert kell ezekből összeöntenünk, hogy 45 liter 62 %-os töménységű sóoldatunk legyen? 12. Feladat. 6 %-os és 30 %-os töménységű sósavat összeöntve 24 liter 15 %-os töménységű sósavat kaptunk. Hány liter sósavat öntöttünk össze a kétféle sósavból? 13. Feladat. Hány liter 2,5 %-os és 5,5 %-os sóoldatot kell összekevernünk ahhoz, hogy 150 liter 3,2 %-os sóoldatunk legyen? 17. Házi feladat. 23 %-os töménységű alkoholhoz 10 kg 90 %-os alkoholt öntöttünk. Hány kg a keverék, ha töménysége 40%? 17. Szorgalmi. A füge 92 százaléka víz. Az aszalt fügének 20%-a víz. Hány kilogramm fügéből lesz 10 kilogramm aszalt füge?

6 óra. Munkavégzéses feladatok 18. óra Munkavégzéses feladatok 14. Feladat. Egy fénymásológép 40 perc alatt 800 fénymásolatot készít. Egy másik percenként 30 fénymásolatot készít. 600 fénymásolatot szeretnénk elkészíteni. a. ) Mennyi idő alatt készítené el a másolatokat az első gép? b. ) Mennyi idő alatt készítené el a másolatokat a második gép? c. ) Mennyi idő alatt készülnek el a másolatok, ha egyszerre működnek? 15. Feladat. Péter egyedül 30 perc alatt, Pál 20 perc alatt ássa fel a kertet. Hány perc alatt lesznek kész, ha egyszerre dolgoznak és egymást nem akadályozzák? 16. Feladat. A metróalagutat az egyik fúrópajzs egyedül 12 nap alatt, a másik 15 nap alatt fúrná ki. Hány nap alatt végeznek együttes munkával? 17. Feladat. A három kismalac házat épít. Ha külön-külön dolgoznának, akkor az első 2 nap alatt, a második 3 nap alatt, a harmadik pedig 4 nap alatt építené fel a házat. A gonosz farkas azonban pontosan 1 nap múlva érkezik, ezért összefognak. Túlélik-e a farkas látogatását? 18. Feladat. Egy kádat a melegvizes csap 45 perc alatt tölt meg. Ha a meleg és a hidegvizes csapot egyszerre nyitjuk meg, a kád 18 perc alatt telik meg. Mennyi idő alatt telik meg a kád, ha csak a hidegvizes csap van nyitva? 19. Feladat. Egy kádat a melegvizes csap 20 perc alatt tölt meg, a hidegvizes pedig 25 perc alatt. Egyszerre folyt a két csap, de a melegvizes 4 perccel kevesebb ideig. Mennyi idő alatt lett tele a kád? 18. Házi feladat. Apa 1 óra 40 perc alatt ásná fel a kertet, Anyuka 3 óra 20 perc alatt, a gyerekek 6 óra 40 perc alatt. Egyszerre hány perc alatt végeznének? 18. Szorgalmi. A medencébe 3 cső torkollik. Az elsőn befelé folyik a víz és 2 óra alatt megtöltené a medencét. A másodikon is befelé folyik a víz, és 5 óra alatt töltené fel a medencét. A harmadik csövön kifelé folyik a víz, és 10 óra alatt tudna kifolyi rajta a teli medence tartalma. Mennyi idő alatt tölthetjük meg a medencét, ha mindhárom csövön áramlik a víz?

7 19. óra. Fizikai problémát megoldó feladatok óra Fizikai problémát megoldó feladatok 20. Feladat. Egy 50 m/s sebességgel haladó autó és egy 12 m/s sebességgel haladó másik autó egy helyről, egy időben indulva egy irányban mozog. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 209 m? 21. Feladat. Egy 36 m/s sebességgel haladó motoros és egy 20 m/s sebességgel haladó robogós egy helyről, egy időben indulva ellenkező irányban távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 574 m? 22. Feladat. Egy 5,3 km hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két zsoké egymással ellenkező irányban. Az egyik átlagsebessége 12,5 km/h, a másiké 14 km/h. Mennyi idő múlva találkoznak? 23. Feladat. Egy 5,3 km hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két zsoké azonos irányban. Az egyik átlagsebessége 12,5 km/h, a másiké 14 km/h. Mennyi idő múlva találkoznak? 19. Házi feladat. Két test kering egy körpályán azonos irányban, sebességük aránya 6 : 10. Egy időpillanatban találkoznak a pálya egy adott pontján. Ugyanitt a legutóbbi találkozás 3 perccel ezelőtt volt. Számítsuk ki a keringési időket! 19. Szorgalmi. Egy hajó két végállomása közötti utat 4 óra 40 perc alatt teszi meg oda-vissza. A sebessége a folyón lefelé menet 16 km/h volt, a folyón felfelé 12 km/h. Milyen messze van egymástól a két végállomás?

8 óra. Geometriai témájú feladatok 20. óra Geometriai témájú feladatok 24. Feladat. Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szögei 36 fokkal nagyobbak a szárszögnél? 25. Feladat. Mekkorák a háromszögnek a szögei, ha az egyik szöge 20 fokkal nagyobb a másodiknál és a harmadik szöge pedig 10 fokkal kisebb az elsőnél? 26. Feladat. Egy háromszög kerülete 48 cm, oldalai hosszának aránya 3 : 4 : 5. Határozzuk meg az egyes oldalak hosszúságát! 20. Házi feladat. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 24 cm. Az alapja 1,5 cm-rel hosszabb a szárnál. Milyen hosszúak a háromszög oldalai? 20. Szorgalmi. Egy 12 cm kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap hossza a szárak hosszának kétharmad része. Mekkorák a háromszög oldalai?

9 21. óra. Számok helyiértékével kapcsolatos feladatok óra Számok helyiértékével kapcsolatos feladatok 27. Feladat. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor az eredetihez képest feleakkora számot kapunk. Az eredeti szám első számjegye kétszerese a második számjegynek. Melyik ez a szám? 28. Feladat. Kétjegyű szám számjegyeinek össze 13. Ha a számot 12-vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó számjegyével, a maradék pedig ennél 2-vel kisebb. Melyik ez a szám? 29. Feladat. Egy háromjegyű szám első és harmadik számjegyének összege 8, a második számjegye 2. Ha felcseréljük az első és harmadik számjegyet és az így kapott számból kivonjuk az eredetit, akkor 594-et kapunk. Melyik az eredeti szám? 30. Feladat. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 12, felcserélve a számjegyeket 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? 31. Feladat. Egy kétjegyű számban a tizesek száma 3-mal nagyobb, mint az egyeseké. Ha a számhoz hozzáadjuk a számjegyek megfordításával kapott számot, akkor 143-at kaptunk. Melyik ez a szám? 32. Feladat. Melyik az a kétjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 9, és amelyet a számjegyei felcserélésével kapott számból kivonva az eredeti ötödét kapjuk? 21. Házi feladat. Egy kétjegyű számban 3-mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyek közé a számjegyek összegét iktatjuk be, akkor az eredeti szám 11-szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indulhattunk ki? 21. Szorgalmi. Kétjegyű számhoz hozzáadtuk a jegyek felcserélésével kapott számot és 77-et kaptunk. Az eredeti számot osztva a felcseréléssel kapott számmal a hányados 2 és a maradék is 2 lesz. Mi lehetett az eredeti kétjegyű szám?

10 óra. Gyakorlás 22. óra Gyakorlás 33. Feladat. Déli 12 órakor az óra mutatói fedik egymást. Hány órakor fogják egymást legközelebb ismét fedni? (13 h 5, 5 min) 34. Feladat. 3 óra után mikor találkozik és mikor merőleges egymásra először az óra két mutatója? (13 h min; 13 h 32 min) Feladat. A búzafarmon két egyenlő területet ugyanazzal a búzafajtával vetettek be. Az előző évhez képest a termésátlag az egyik területen 10%-kal nőtt, a másikon 10%-kal csökkent. A két farmon a teljes terméshozam 30 kg búzával kevesebb volt idén. Mekkora a termésátlag? (1485 kg) 36. Feladat. Több testvér osztozkodik az örökséget. Az egyik kap aranyat és a maradék tizedrészét. A következő kap aranyat és a maradék tizedrészét és így tovább. Az osztozkodás az összes testvér ugyanannyi örökséget kapott. Hány testvér volt és mekkora volt az örökség? (9 testvér osztozott összesen aranyon) 22. Házi feladat. Jancsi csak egy pillanatra tudott órájára ránézni, és azt látta, hogy a mutatók egy egyenesbe esnek, ám ellentétes irányba mutatnak és így szólt: - Ilyen csakis hat órakor történhet meg, szóval biztosan hat óra van. Vajon igaza volt Jancsinak? 22. Szorgalmi. Egymástól 20 km távolságban lévő biciklista elindul egymás felé, sebességük 10 km/h. Az egyik kerékpártól egy légy is elindul a másik kerékpár felé, a légy sebessége 20 km/h. Amikor a légy eléri a másik biciklit, visszafordul, és addig ingázik a kerékpárok között, míg azok találkoznak. Mekkora utat tesz meg a légy?

11 23. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 37. Feladat. 850-et osszunk szét két részre úgy, hogy az első rész 8%-ának és a második rész 24%-ának az összege a 850-nek 12%-a legyen! (637,5; 212,5) 38. Feladat. Egy folyón fölfelé haladva 8 km/h-val kisebb a hajó sebessége, mint lefelé haladva. A két kikötő között felfelé 15 óráig, lefelé 10 óráig tart az út. Mekkora a hajó sebessége felfelé, illetve lefelé. Milyen távolságra van egymástól a két kikötő? (A hajó sebessége felfelé 16 km/h, lefelé 24 km/h. A kikötők távolsága 240 km) 39. Feladat. Két nyomtató 8200 lapot nyomtatott ki, ám az egyik által nyomtatott lapok 2%-a, a másik esetében pedig 3% lett hibás, összesen 216 darab lapot kellett újra kinyomtatni. Hány db hibátlan papírt nyomtattak az egyes nyomtatók? (2940; 5044) 40. Feladat. 0,15 kg 15%-os sóoldatból hány gramm vizet kell elpárologtatni, hogy 20%-os sóoldat maradjon vissza? (37,5 gramm) 41. Feladat. Két szám összege 76, különbsége 18. Melyik ez a két szám? (47; 29) 42. Feladat. Két szám úgy aránylik egymáshoz, mint : 21. Különbségük Melyik az a két szám? (42; 30) 23. Házi feladat. Egy téglalap egyik oldalát 25%-kal megnöveltük. Hány százalékkal kell csökkenteni a szomszédos oldalt, hogy a területe ne változzék? 23. Szorgalmi. Két vízcsapot egyszerre kinyitva 40 perc alatt tölt meg egy medencét. Az általuk szolgáltatott vízmennyiségek aránya 3 : 4. Mikor telik meg a medence, ha az első csapot 6 órakor, a másodikat 6 óra 25 perckor nyitjuk ki?

12 óra. Csoportmunka 24. óra Csoportmunka 43. Feladat. Az első istállóban 20-szal több ló van, mint a másodikban. Ha az elsőbe még 8, a másodikba még 2 lovat visznek, akkor az első istállóban háromszor annyi ló lesz, mint a másodikban. Hány ló van most a második istállóban? 44. Feladat. Bence és Marci egyszerre olvassák a Feketemágia alapjai című könyvet. Hétfőn kezdték el olvasni, szerdán pedig az iskolában megbeszélték, ki hol tart. Kiderült, hogy Marci 30 oldallal többet olvasott. Nekem kétszer annyi oldal van hátra, mint amennyit te elolvastál - mondta Marci. Nekem pedig még 200 oldal van hátra - mondta Bence. Hány oldalas a könyv? 45. Feladat. Egy tóban élt néhány béka. Számuk egy év alatt kettő híján a háromszorosára nőtt, egy újabb év elteltével pedig (az elő]ő évihez képest) megötszöröződött. A 3. évben annyival csökkent a számuk, amennyi béka eredetileg a tóban volt. Ekkor 12-szer annyi béka volt a tóban, mint eredetileg, és még 6. Hány béka volt eredetileg? 46. Feladat. Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves most a fia? 47. Feladat. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 10. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 36 -tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? 48. Feladat. Egy apa most háromszor annyi idős, mint a fia. 15 év múlva az apa kétszer annyi idős lesz, mint a fia. Hány éves a fia most? 49. Feladat. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 8. A számjegyeket felcserélve az eredeti szám négyszeresénél 3-mal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? 50. Feladat. 55 db színházjegy és mozijegy összesen Ft-ba került. Egy színházjegy ára 2600 Ft, egy mozijegy ára 1000 Ft. Hány színházjegyet vásároltak? 51. Feladat. Karcsi most kétszer olyan idős, mint Feri. Négy évvel ezelőtt azonban Karcsi háromszor olyan idős volt mint Feri. Hány éves most Karcsi? 52. Feladat. Zsuzsi most ötször olyan idős, mint amikor a bátyja annyi idős volt, mint ő most. Amikor ő annyi idős lesz, mint a bátyja most, akkor összéletkoruk 88 év lesz. Hány éves most Zsuzsi bátyja? 53. Feladat. A hím oroszlán elejtett egy antilopot, s elvitte magának és a családjának: párjának és három kölykének ebédre. Ha csak maga fogyasztaná el, akkor 3 óra alatt megenné, ha csak a párja, akkor 4 óra alatt enné meg. És ha csak egy-egy kölyökoroszlán enne belőle, az 10 óra alatt fogyasztaná el. Mennyi ideig tart az ebéd?

13 24. óra. Csoportmunka Feladat. Egy asszony eladta a piacra hozott tojások felét, és egy fél tojást, meg az így maradt tojások felét és egy fél tojást. Ezután maradt 13 tojása. Hányat hozott? 55. Feladat. Egy agár kergeti a nyulat, amely 90 nyúlugrás előnyben van. Amíg a nyúl 10-et ugrik, az agár 7 ugrást tesz, de az agár 2 ugrásának a hossza 5 nyúlugrás hosszával ér fel. Hány ugrás után éri utol az agár a nyulat? 56. Feladat. A fogadós palacsintákat készített 3 barátnak. Az 1. megette a palacsinták harmadát, a 2. a megmaradt palacsinták harmadát, a 3. pedig a megmaradt palacsinták harmadát, és így a tányéron 8 maradt. Hány palacsinta volt? 57. Feladat. Egy apa minden pénzét gyermekeire hagyta a következő végrendelettel: a legidősebb kapjon 1000 tallért és a maradék egytizedét, a második kapjon tallért és a maradék tizedét, a harmadik kapjon tallért és a maradék tizedét, és így tovább. Így minden gyermek ugyanannyi pénzt kapott. Hány gyerek volt? 58. Feladat. Két város között a távolság 320 km. Egyidőben indul egymással szembe két vonat, az egyik 45 km/h a másik 35 km/h sebességgel. Az első városból ugyanakkor elindult egy fecske is, 50 km/h sebességgel. Elrepült a szembe jövő vonatig, ott visszafordult, és repült az első vonattal szemben. Ezzel találkozva ismét visszafordult, és repült a másik vonattal szemben és így tovább. Milyen távolságot repül be a fecske? 59. Feladat. 50 liter vizet 15 darab 3 és 4 literes edénybe öntöttünk ki. Hány darab van a kisebb edényből? 60. Feladat. Imre most 24 éves, kétszer annyi idős, mint József volt akkor, amikor Imre annyi idős volt, mint József most. Hány éves most József? 61. Feladat. A kirándulásra 50 Ft-ot kellett mindenkinek hoznia, de 3 tanuló költségét a többiek fizették, így fejenként 5 Ft-tal nőtt a költség. Hány fős az osztály? 62. Feladat. Ha a teremben a tanulók négyesével ülnének, akkor 18 tanulónak nem jut hely. Ötösével ülve 4 pad üresen marad. Hány tanuló van? 63. Feladat. Egy apa 1 óra 40 perc alatt, felesége 3 óra 20 perc alatt, kisfia 6 óra 40 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt készülnek el együtt az ásással? 64. Feladat. Egy raktárban kétszer annyi burgonyát tároltak mint egy másikban. Miután az elsőből 75 tonna burgonyát elszállítottak, és a másodikba 25 tonnányit hoztak, a burgonya mennyisége egyenlő lett. Mennyi volt eredetileg az elsőben? 24. Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat! 24. Szorgalmi. Saját egyismeretetlenes egyenletre vezető feladatot kitalálni.

14 óra. Összefoglalás 25. óra Összefoglalás 65. Feladat. A ballagó nyolcadikosoktól a hetedikesek virággal búcsúznak. A virágokat hatosával szerették volna kiosztani, de így valakinek 4-gyel kevesebb jutott volna. Ezért ötösével osztották ki, így viszont 14 szám megmaradt. Hány virág volt összesen? 66. Feladat. Egy turistaház két emeletén összesen 160 kiránduló szállt meg. Miután mindenki elfoglalta a helyét, 36-an felmentek az első emeletről a másodikra és ekkor fent éppen háromszor annyian lettek, mint lent. Hányan voltak eredetileg a szinteken? 67. Feladat. Hány fácán és hány nyúl van nagypapa kertjében, ha az állatoknak összesen 53 fejük és 168 lábuk van? 68. Feladat. Két szám különbsége 53,515. Ha az egyik számban a tizedesvesszőt egy hellyel balra vinnénk a másik számot kapnánk. Melyik ez a két szám? 69. Feladat. Luca így szólt Péterhez: Hány éves vagy, Péter? A te éveid száma most kétötöde az én éveim számának. De 4 évvel ezelőtt egyharmada volt a mostani koromnak. Hány Luca és hány éves Péter? 70. Feladat. Egy brigád az első napon lekaszálta a rét felét és még 2 hektárt. A második napon a maradék 25%-át és a hátralevő 6 hektárt. Mekkora volt a rét területe? 25. Házi feladat. Háromnapos gyalogtúránk első napján az út 2 részét, a második 5 napon a hátralevő út felét tettük meg. Az utolsó napon 15 km-t gyalogoltunk. Hány km-t tettünk meg az egyes napokon? 25. Szorgalmi. Két azonos magasságú gyertyát meggyújtunk délben. Az első 4 óra, míg a másik 3 óra alatt ég le. Hánykor lesz az első gyertya kétszer olyan magas, mint a második?

15 26. óra. A témazáró dolgozat megírása óra A témazáró dolgozat megírása

16 16. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I. [2] Jakab Tamás - Kothencz Jánosné - Kozmáné Jakab Ágnes - Pintér Klára - Vincze István: Matematika tankönyv 8. [3] Kolompár Gyula: Keveréses feladatok [4] Tuzson Zoltán: Egyenletekkel megoldható szöveges feladatok