MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR KINEMATIKAI HAJTÓPÁROK GYÁRTÁSGEOMETRIÁJÁNAK FEJLESZTÉSE PHD ÉRTEKEZÉS

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR KINEMATIKAI HAJTÓPÁROK GYÁRTÁSGEOMETRIÁJÁNAK FEJLESZTÉSE PHD ÉRTEKEZÉS KÉSZÍTETTE: Óváriné dr. Balajti Zsuzsanna egyetemi adjunktus SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA, GÉPÉSZETI ANYAGTUDOMÁNY, GYÁRTÁSI RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK ALPROGRAM DOKTORI ISKOLAVEZETŐ: DR. PÁCZELT ISTVÁN az MTA rendes tagja a műszaki tudomány doktora TÉMAVEZETŐ: Dr. DUDÁS ILLÉS a műszaki tudomány doktora MISKOLC, 007

2 Tartalomjegyzék ELŐSZÓ 3 JELÖLÉSEK JEGYZÉKE 4. BEVEZETÉS 7.. A kutatómunka tárgya 7.. A kutatások előzményei, eredményei 8.3. A disszertáció célja 9. SZAKIRODALOM ELEMZÉSE.. A csigahajtás története.. A térbeli hajtások fogazáselméletének fejlődése 5.3. Hengeres csavarfelületek Vonalfelületű hengeres csigahajtások Ívelt profilú csavarfelületek Az ívelt profilú csigák gyártásának fejlődése A tengelymetszetben körív profilú hengerescsiga gyártásgeometriája.4. Kúpos csavarfelületek 3.5. Szerszámfelülek 4.6. A téma irodalmából a disszertáció témájához illeszkedő általános következtetések 5.7. a kutatómunka során felhasznált matematikai eszköztár Homogén koordináták Interpoláció paraméteres görbével Egyenletes paraméterezés Húrhossz szerinti paraméterezés Interpolációs görbék 6 3. ÁLLANDÓ EMELKEDÉSŰ KÚPOS ÉS HENGERES CSIGA- 9 HAJTÁSOK ÉS MEGMUNKÁLÁSOK GYÁRTÁSGEOMETRIÁJÁNAK VIZSGÁLATÁRA KIFEJLESZTETT, VÁLTOZÓ TENGELYTÁVÚ ÚJ MATEMATIKAI MODELL 3.. A kapcsolódó felületpárok burkolás révén történő meghatározása, érintkezési 9 görbék 3... A tengelymetszetben körív profilú hengeres csiga geometriai 33 megadása 3... A tengelymetszetben körív alkotójú csavarfelület elemzése, 34 egyenlete Kúpos csavarfelületek típusai, egyenletei Továbbfejlesztett, változó tengelytávú gyártás kinematikai modelljének 4 matematikai leírása az állandó menetemelkedésű hengeres, kúpos csavarfelületek, illetve csigák és szerszámaik vizsgálatára 3... Az ismertetett modell alkalmazási lehetőségei Az új, közös tengelyű hengeres és kúpos csigák hajtásaik és 64 megmunkálásaik kezelésére kifejlesztett új modell alkalmazási területének összefoglalása 4. Szerszámfelületek geometriai vizsgálata, matematikai előállítása. Pontokkal adott vezérgörbéjének Bézier görbével történő modellezése A tárcsamaró vagy köszörűkorong szerszámfelületének meghatározása 68 tengelymetsző ívelt csiga esetén 4... Kinematikai felületek gyártásához szükséges szerszámprofilok 79 meghatározása interpolációs görbe alkalmazásával

3 4... A köszörűkorong profilra illesztett interpolációs görbe 80 paraméterezése 4... A köszörűkorong profil analitikus meghatározás Ferguson- 80 spline alkalmazásával A köszörűkorong profil analitikus meghatározása Bézier- 8 görbe alkalmazásával 4.. Az inverz (indirekt) feladat eredményei Következtetések TÉRBELI HAJTÁSOK (hengeres és kúpos csigák) HORDKÉPÉNEK 00 ELEMZÉSE, MEGHATÁROZÁSA 5.. A hordkép beállítása Lokalizált hordkép kialakítása A kapcsolódási viszonyok meghatározása a hordkép vonatkozásában Érintkezési vonalak elhelyezkedésére ható geometriai paraméterek 06 vizsgálata tengelymetszetben körív profilú csiga és csigakerék vizsgálata esetén 5.5. Az új modell hasznosítása 4 6. AZ ÉRTEKEZÉS EREDMÉNYEINEK ÖSSZEFOGALÁSA, TÉZISEK 6 7. TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK, LEHETŐSÉGEK 8 8. Irodalomjegyzék 9 8/a Publikációk az értekezés témájában 4 M melléklet 7 M melléklet 47 M3 melléklet 49

4 ELŐSZÓ 989 óta a Miskolci Egyetem - korábban Nehézipari Műszaki Egyetem Ábrázoló Geometria Tanszékén dolgozom egyetemi adjunktusként, doktoranduszként pedig a Gépgyártástechnológiai Tanszéken. E minőségben nyílott lehetőségem arra, hogy a csigahajtás terén korábban megkezdett munka [65, 77, 78] eredményeire támaszkodva áttekintsem a tématerületet és a közös jegyek alapján keressem a hiányzó részek megoldását. A disszertáció hézagpótló munka, az eddig megjelent publikációk között pótolni igyekszik egy űrt, a matematikai eszköztár felhasználásával. A dolgozat felépítése, tárgyalás módja egyszerre elméleti és gyakorlati, amely 6 fő fejezetből áll. Az irodalomjegyzék a témához kapcsolódó több mint49 munkát és 30 db saját publikációt sorol fel. Kutatómunkám során az eredmények megszületésében közvetve vagy közvetlenül sokan voltak a segítségemre, amelyért mindannyiukat hálás köszönet illeti. Már hallgató koromban érdekelt a Monge-féle ábrázolás gyakorlati alkalmazásának lehetősége és a technológia kapcsolatának kutatása, amelyben nagy szerepe volt tanáromnak Dr. Szabó József egyetemi docensnek (Debreceni Kossuth Lajos Egyetem). Később a Miskolci Egyetem Ábrázoló Geometriai Tanszékén Dr. Drahos István professzor vezetésével indult a Monge féle ábrázolás rekonstruálhatóságának biztosítása matematikai úton, korrekten történő meghatározása. Ezirányú munkámat a Gépgyártástechnológiai Tanszéken Dr. Dudás Illés professzor vezetésével a gyártásgeometriával való összekapcsolás irányában folytattam. Kutató tevékenységem különböző fázisaiban konzultációs lehetőséggel segített több neves professzor, akiknek név szerint is köszönöm tevékenységét, így Dr. Lévai Imrének, aki állandó konzultálást biztosított számomra, valamint a Budapesti Műszaki Egyetem Gépszerkezettani Intézettel szoros együttműködés keretében Dr. Bercsey Tibor intézetigazgatónak és Dr. Horák Péter kollégának, valamint Dr. Faydor L. Litvin (Illionis Egyetem, Chicago) professzornak, mivel megjelent munkája alapvetően segítette a kutatási tevékenységemet. Köszönet illeti doktorandusz társaim közül Dr. Bányai Károlyt, Felhő Csabát, valamint Szabados Gábort, akik a program kialakításában támogattak. Köszönöm - Gépgyártástechnológiai Tanszéken működő - a "Magyar Tudományos Akadémia Miskolci Egyetem Gépgyártástechnológiai Tanszéki Kutatócsoport" munkatársainak a különböző programok futtatásában nyújtott segítségét. A disszertáció témáihoz szorosan kötődtek a [46, 47, 48, 49] OTKA kutatási projektek, amelyek többek között a kutatás pénzügyi támogatását adták, és egyben részt vehettem a kutatómunkában is. Végül köszönöm a Sályi István Doktori Iskolának, ezen belül Dr. Páczelt István akadémikusnak az iskola vezetőjének, hogy támogatta munkámat. 3

5 Jelölések jegyzéke a, c [mm] A szerszámhoz kötött álló koordinátarendszer 0 origójának koordinátái a K 0 álló koordináta-rendszerben a 0, a [mm] Köszörűkorong, illetve kerék, és csigatengely állandó, vagy kezdő távolsága a k [mm] Köszörülési tengelytávolság b Bézier-görbe b 0, b,..., b i,..., b n A Bézier-görbe kontrollpontjai b [mm] A csiga fogazott hossza d 0 [mm] A csiga osztóhenger átmérője d 0 [mm] A kerék osztókörének átmérője d f [mm] A csiga fejhenger átmérője d g [mm] A csiga gördülőhenger átmérője d g [mm] A kerék gördülőkörének átmérője d l [mm] A csiga lábhenger átmérője d al.min [mm] A kúpos csiga legkisebb fejkörátmérő (spiroidcsiga) d al.max [mm] A kúpos csiga legnagyobb fejkörátmérő (spiroidcsiga) F Származtató felület g (u i ) Interpolációs görbe h f [mm] A csiga lábmagassága h al [mm] A csiga fejmagassága h sz [mm] A szerszám fejhenger és rádiusz középpontjának távolsága i, Áttétel megmunkálás elemzéséhez [i, =( ϕ / ϕ )] K [mm] A profilsugár középpont távolsága a csiga tengelyvonalától K 0 (x 0,y 0,z 0 ) Álló koordinátarendszer, a megmunkáló szerszámgép koordinátarendszere K (x,y,z ) A lineáris mozgást végző gépasztalhoz kötött koordináta-rendszer K F (x F,y F,z F ) A csavarfelülethez kötött forgó koordináta-rendszer K (x,y,z ) A szerszámhoz kötött álló koordináta-rendszer K 0 (x 0,y 0,z 0 ) A forgástest alakú szerszám generálógörbéjének koordinátarendszere K F (x F,y F,z F ) A szerszámhoz kötött forgó koordináta-rendszer K k (x k,y k,z k ) Segéd koordináta-rendszer K s ( ξ, η,ζ) A csavarfelület generálógörbéjének koordináta-rendszere m [mm] Modul M F, F A K F és a K F koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrix M F, F A K F és a K F koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrix M F, 0 A K 0 és a K F koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrix n () A csavarfelület normálvektora n () A szerszámfelület normálvektora n [min - ] A csiga fordulatszáma n [min - ] A csigakerék (spiroidkerék) fordulatszáma n F A csavarfelület normálvektora a K F koordináta-rendszerben n F A szerszámfelület normálvektora a K F koordináta-rendszerben 0 0,0,0,0 F,0 F,0 k Az indexnek megfelelő koordináta-rendszerek origói 4

6 p [mm] Emelkedési paraméter p a [mm] Axiális irányú emelkedési paraméter p h [mm] Maró homlokfelület emelkedési paraméter p r [mm] Radiális irányú emelkedési paraméter p t [mm] Tangenciális irányú emelkedési paraméter p x [mm] Csiga axiális osztása p z [mm] Menetemelkedés p 0, p,..., p i,..., p n Pontsor P h,p k,p s,p a A kinematikai leképezés mátrixa, a direkt eljárásnál (hengeres csiga, kúpos csiga, szerszám az újonnan kifejlesztett modellben) P h,p k,p s,p a A kinematikai leképzés mátrixa, az inverz eljárásnál (hengeres csiga, kúpos csiga, szerszám, az újonnan kifejlesztett modellben) r D [mm] A csiga torokkör sugara (konvolut) r gsz A szerszámfelület generálógörbéje r F A szerszámfelület futópontjának helyvektora r a [mm] A csiga alapkör sugara R sz [mm] A szerszám sugara s(v,w) Coons folt S [mm] A csiga fogvastagsága az osztóhengeren S F [mm] A csiga foglábvastagsága S F [mm] A csigakerék foglábvastagsága t Érintő vektor x Fajlagos szerszámelállítás, profileltolás tényező (x, x, x 3, x 4 ) Rendezett számnégyes u 0, u,..., u n Paraméterek (felületi,görbe) v,w Paraméterek (felületi,görbe) (,) v F [m/min - ] A csavarfelület és a szerszám felület közötti relatív sebesség vektora a K F koordináta-rendszerben (,) v F [m/min - ] A csavarfelület és a szerszám felület közötti relatív sebesség vektora a K F koordináta-rendszerben v k [m/min - ] A csiga kerületi sebessége v Vándorlási sebesség vektor A csiga bekezdéseinek száma, fogszám z z A csigakerék fogszáma z ax [mm] A csavarfelület axiális eltolása a megmunkálási helyzetbe α [ o ] Alkotószög - a szerszámnak a csavarfelület profiljára való döntésének szöge - a jellegzetes metszetben, pl.: evolvens csavarfelület köszörülése sík homlokfelületű koronggal β [ o ] Alkotószög a torok, illetve alaphenger sugár magasságában levő alkotósíkban (spiroidcsiga) βa, β B [ o ] A csomópontok szögei β AB [ o ] A csomópontok szögeinek összege β j, β b [ o ] A kúpos csiga jobb, illetve bal fogprofiljának profilszöge γ/γ 0 [ o ] A csiga osztókúpján/osztóhengerén mért közepes emelkedési szög δ [ o ] A kúpos csiga fejkúpjának félkúpszöge δ ax [ o ] A profilérintő szöge ρ k [mm] A köszörűkorong tengelymetszeti profiljának sugara ρ ax [mm] A körívprofilú csiga fogprofiljának sugara tengelymetszetben 5

7 } η(mm), ϑ ( o ) A csavarfelület belső paraméterei } Kinematikai hajtópárok gyártásgeometriájának fejlesztése ϕ [ o ] A csavarfelület elfordulásának szöge (mozgás-, burkolás paramétere) ϕ [ o ] A szerszám elfordulási szöge y o sz(mm),ψ A forgástest alakú szerszámfelület belső paraméterei ω [s - ] A csiga szögsebessége ω [ s - ] A szerszám szögsebessége ξ, η, ζ K sz szerszám koordináta rendszer tengelyei Σ, Σ, Σ i, Σ m Az -es. A -es, az i-edik, az m-edik felület fogfelülete 6

8 . BEVEZETÉS A mai technikai szinten a gyártmányok, a technológia és a gyártóeszközök tervezését a számítógéppel segített, vagy teljesen automatizált rendszerek veszik át. A mérnöki munka számítógépes segítése a legfontosabb feltétel a gyártás hatékonyságának és a termékek minőségének növelésében. A gépipar számos területén használják a csavarfelületeket, - csigahajtópárok, mozgatóorsók, csavarszivattyúk, csavarkompresszorok, fogazószerszámok, stb. formájában - ennek megfelelően sok intézetben, vállalatnál foglalkoznak ezek tervezésével, gyártásával, minősítésével, alkalmazásával. Sajnos, mind az irodalomban fellelhető elméleti és gyakorlati problémákat tárgyaló rész elkülönülése, mind a technikai adottságok, különbözősége miatt nem tervezik, nem gyártják mindenütt - geometriai szempontból - helyesen a csavarfelületeket, vagy nem feltétlenül a legjobb megoldást választják. Az 970-es években, a Diósgyőri Gépgyárban (DIGÉP) jelentős csigahajtómű fejlesztési munka folyt, melynek eredményeként az ívelt profilú csigahajtás továbbfejlesztése látszott célszerűnek [57]. E témában - a gyártásfejlesztés, a hajtópárok geometriai és a hajtómű teljes ellenőrzése és minősítése, valamint a szerszámozás terén végzett kutatások eredményeit [39], [50] a disszertációmhoz felhasználhattam. A kedvező hidrodinamikai viszonyokkal rendelkező korszerű nagy teherbírású és jó hatásfokú hajtópárokkal a hajtóművekben fellépő energiaveszteséget jelentősen lehet csökkenteni. A teljesítményveszteség szempontjából nem közömbös ugyanis - és ez valamennyi hajtástípusra érvényes -, hogy a lehetséges fogazatgeometriai jellemzők közül azok kerüljenek alkalmazásra, melyek kedvező kapcsolódási viszonyokat eredményeznek. Az irodalomra és az e területen végzett saját kutatómunkám eredményeire építve a jelen dolgozat témája a műszaki gyakorlatban sokcélúan felhasználható különböző típusú csavarfelületek gyártásgeometriai problémáinak egzakt matematikai megoldással történő tárgyalása, a megvalósítás egységes koncepciójának kidolgozása, a geometriailag szabatos tervezés, gyártás és ellenőrzés érdekében. E sokrétűen felhasználható, felület geometriai szempontból helyes tervezéséhez, gyártásához olyan kinematikai modellt célszerű megfogalmazni, amely alapul szolgálhat a kutatási témához kapcsolódó CAD/CAM/CAQ/CIM rendszerek kialakításához... A kutató munka tárgya A csigahajtások, és gyártásuk matematikai leírása nincs kellő mélységben kidolgozva. A gyakorlatban vannak ugyan közelítő megoldások, de ezeknek a matematikai háttere hiányos, melynek szélesítésére a tudomány és a technika fejlődése egyben lehetőséget is ad és igényt is támaszt, ezért ezeknek a pótlására törekszem ) A hagyományos menetköszörű gépek változó tengelytáv mellett nem képesek dolgozni, így az állandó szögsebesség a változó kerületi sebesség többek között profiltorzulást okoznak, valamint a nagyobb nyílásszögű kúpos felületek megmunkálására sem alkalmasak. Ezért indokolt a változó tengelytávval való megmunkálással foglalkozni. A disszertációban egy állandó emelkedésű hengeres és kúpos csavarfelületek geometriailag helyes megmunkálásához szükséges elmélet, azaz a hengeres, és a kúpos csavarfelületek, és a hozzájuk szükséges szerszámok gyártásgeometriájának kezelésére alkalmas új kinematikai modellt kifejlesztése 7

9 készült el változó technológiai tengelytáv esetén. Az új kinematikai matematikai modellben a korábbiaktól eltérően az a technológiai tengelytáv gyártás közben változhat úgy, hogy a kúpos és hengeres csavarfelület közös tengelyen értelmezve. Ezen modell felfogás egy új CNC gép létezését feltételezi (szabadalmaztatása folyamatban van), amellyel változó tengelytáv (a = a o ±p ϕ ) esetén a geometriailag helyes gyártás lehetséges. ) Az edzett csigák gyártásához szükséges köszörűkorong profil meghatározása ezidáig a hagyományos eljárással pontonként történt, vagyis az adott numerikus módszerrel megtalált pontokat használták. Így annak pontossága a számított pontok sűrűségétől is függhet, hiszen a CNC körív interpoláció esetében az illeszkedő körívek meghatározásához például a körívek kezdő és végpontjai a numerikus módszer által talált pontok szerint lettek meghatározva. A számított pontokra illesztett interpolációs görbével tervezhetővé tehetőek az illeszkedő körívek kezdő és végpontjai az interpolációs görbe görbületétől, azaz a másodrendű derivált függvénytől függően. További analitikus módszerek kifejlesztésére ad lehetőséget a CNC körív interpoláció esetében, ha a körívek végpontjai nem a numerikus módszertől függően megtalált pontoktól függenek, hanem a pontok interpolációs görbéjének egyenletéből kiszámítható görbületi sugárnak megfelelően határolhatók be. A meghatározott explicit formájú matematikai függvény segít a kívánt sűrűségű pontsor alkalmazásával a gyártási pontosság javításában. 3) Az új kinematikai modellben a direkt eljárás folyamatában a hengeres csigák megmunkálása esetén a köszörűkorong kopásból adódó változó tengelytáv, egyben a korongprofil utánszabályozása miatt változatlan profil figyelembevételével a karakterisztikus görbe-változások vizsgálata alapjul szolgálhatnak az alámetszés és az elhordás elkerülésének. 4) Az új matematikai modellben az indirekt eljárás során a hagyományos gyártás során a csigáról lefejtett korong felületének, illetve az azzal köszörült, tengelymetszetben ívelt profilú csiga felületének meghatározásához szükséges matematikai eljárás kimunkálása, mely összevetve az elméleti csavarfelülettel, a koronglefejtés paramétereinek optimálására ad alapot. A kidolgozott eljárás alapjául szolgál a csigaprofil torzulás elkerülése érdekében végzendő korongszabályozás beállításának meghatározásához. 5) Hordkép lokalizálás és geometriai paraméterek kapcsolatának feltárása... A kutatások előzményei Dudás Illés 97, 98, 99 disszertációi, valamint az alábbi kutatási munkák, projektek: "Fogazott hajtópárok és hajtások optimálása, kapcsolódás elméletének és tribológiájának továbbfejlesztése "(OTKA - Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok - T BME-ME, Témavezető: Bercsey T., Dudás I.). A kutatás időtartama: A teherbírás és a veszteség szempontjából optimális fogazatok tervezése témában a BME Gépszerkezettani Intézet és a csavarfelületű fogazott elemek gyártásgeometriájának, megmunkálásának és ellenőrzésének kidolgozására a ME Gépgyártástechnológiai Tanszéke közös kutatást végzett. "Optimális kapcsolódás kialakulásának feltételrendszere"otka T A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.) "Gépipari technológiák komplex analízise, különös tekintettel a bonyolult geometriai alakzatok gyártásgeometriájára és a számítógéppel segített gyártástechnológia kutatási 8

10 területeire", MTA ME Gépgyártástechnológiai Kutatócsoport. A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.) "3D-s mérési rendszer kifejlesztése CCD kamerák használatával", Japán-Magyar közös kutatási projekt, Monbusho támogatás. A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.) "CCD kamerás mérési rendszerek kifejlesztése a gépipari minőségbiztosítás területén" OTKA A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.) Új geometriájú spiroid hajtások kutatása, gyártásgeometria kidolgozása. OTKA T03888 A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.) A gyártásgeometria és a kapcsolódás jellemzőinek komplex vizsgálata korszerű csigahajtások esetében OTKA K A kutatás időtartama: (Témavezető: Dudás I.).3. A disszertáció célja A korábbiaktól eltérően a csigahajtások, és gyártásuk vizsgálatára olyan új kinematikai modell kimunkálása, ahol a technológiai tengelytáv gyártás közben változhat úgy, hogy a kúpos és hengeres csavarfelületek egy közös tengelyen legyenek értelmezve. Az új kinematikai modell felhasználásával a gyártáshoz szükséges matematikai vizsgálatok módszereinek kimunkálása. Az alábbi feladatok megoldását tűztem ki célul: ) Állandó emelkedésű csavarfelületek geometriailag helyes megmunkálásához szükséges elmélet kidolgozása, azaz a hengeres, és a kúpos csavarfelületek, és a hozzájuk szükséges szerszámok gyártásgeometriájának kezelésére alkalmas matematikai modell kifejlesztése egy új kinematika esetére (a =a o ±p ϕ változó technológiai tengelytáv esetén). ) A geometriailag egzakt gyártáshoz a szerszámprofil változásnak a pontosságra vonatkozó hatásvizsgálatát újszerű matematikai alapokra kívánjuk helyezni. A numerikus úton számított pontokkal meghatározott szerszámprofilt (köszörűkorong) a korábbiaktól eltérően - egy explicit formájú függvénnyel kell közelíteni, és ezzel a CNC körívinterpolációhoz a pontsűrűség meghatározását kedvezővé tenni. 3) Az alámetszést és elhordást elkerülő egzakt gyártáshoz vizsgálat módszerének kidolgozása a direkt eljárás során a kopás következtében a szerszám változó átmérője hatásának figyelembevételével. 4) Az indirekt eljárás során a csigáról lefejtett korong felületének, illetve az azzal köszörült, tengelymetszetben ívelt profilú csiga felületének meghatározása, mely összevetve az elméleti csavarfelülettel, a koronglefejtés paramétereinek optimálására ad alapot. Olyan eljárás kimunkálása, mely alkalmas a csigaprofil torzulás elkerülése érdekében végzendő korongszabályozás beállításának meghatározásához. 5) Regressziós fogfelületek numerikus számítással kapott, a hordkép elhelyezkedését meghatározó pontjainak geometriai vizsgálata. A pontokkal adott hordkép határoló görbéinek matematikai modellezése. Jellegzetes görbék (érintkezési görbék) vizsgálata különböző paraméterértékek (emelkedési paraméterek, profilgörbe) esetén. Érintkezési görbék esetében az érintkezési hosszúság és az elhelyezkedés meghatározása, vizsgálata az előírt kapcsolódási feltételek alapján. A hordkép lokalizáláshoz vizsgálati módszer kidolgozása. A kitűzött feladat matematikai megfogalmazása 9

11 Az irodalomra és az e területen végzett saját kutatómunkám eredményeire építve a jelen dolgozat témája a műszaki gyakorlatban sokcélúan felhasználható különböző típusú csavarfelületek gyártásgeometriai problémáinak egzakt matematikai megoldással történő tárgyalása, a megvalósítás egységes koncepciójának kidolgozása, a geometriailag szabatos tervezés, gyártás, ellenőrzés érdekében. Mindezek ismeretében keressük azokat a matematikai megoldásokat, amelynek révén a kitűzött célok matematikai vonatkozásban egzakt módon kezelhetőek. E sokrétűen felhasználható felület geometriai szempontból helyes tervezéséhez, gyártásához olyan általános matematikai modellt célszerű megfogalmazni, amely alapul szolgálhat a kutatási témához kapcsolódó CAD/CAM/CAQ/CIM rendszerek kialakításához. A célkitűzések eléréséhez készült egy áttekinthető táblázat, amely a különféle, a gyakorlatban kinematikai és szerszámfelületként leggyakrabban használt állandó emelkedésű hengeres és kúpos osztófelületű csavarfelületeket foglalja össze. A táblázat láthatóvá teszi azt is, hogy az állandó emelkedésű hengeres és kúpos (kúpos osztó-, kúpos láb- és fejfelülettel rendelkező) csavarfelületek átfogják a gyakorlatban előforduló felülettípusok jelentős részét. Ezen csavarfelületek alkalmazását tekintve: A kötőmenetek általában a gépelemek összekapcsolására, rögzítésére szolgálnak. A gyártásgeometria szempontjából ezek a csavarfelületek kevésbé igényesek, így e helyen nem foglalkozunk velük. A kinematikai elemek működő felületei hengeres-, kúpos-csigákon (spiroid csigák) emelő-, szállítóelemeken, golyósorsókon, stb. helyezkednek el. A kúpos csavarfelületeket az ISO nem tartalmazza, ezért az elnevezések, típusokba való sorolás egyéninek tekinthető [4], amely azonban a későbbi szabványosításnál figyelembe vehető. A szerszámfelületek, szerszámok forgácsoló fő- és mellékfelületei, amelyek lefejtő-, tárcsa-, ill. alakmarók, menetmegmunkáló szerszámok és köszörűkorongok felületeiként, stb. szolgálnak. A szerszámprofil matematikai leírása a diszkrét ponthalmazra illesztett interpolációs görbékkel számos megoldási lehetőséget kínál aszerint, hogy milyen más információk ismertek még a görbe létrehozásához. Ilyen adat lehet: az érintőirány - az érintővektor - a simulókör, stb. A feladatnak végtelen sok megoldása létezik, és nincs egyetlen sem, amelyik minden szempontnak megfelel, ezért az optimális megoldás megkeresése a cél. Fontos szempont a folytonosság, mely nem csupán vizuális folytonosság, hanem geometriai folytonosság kell, hogy legyen, amely nem mindig esik egybe a folytonos differenciálhatósággal. A geometriai folytonosság és a folytonos differenciálhatóság elemzése különböző paraméterezés esetén a szerszámprofilok optimalizálásának egy lehetséges módját adhatja. Az ívelt profilú hengeres csiga köszörűkoronggal történő megmunkálásának változó korongátmérővel, azaz tengelytávgal történő modellezését kívánjuk megvalósítani. Az alakos korongprofil meghatározásánál a csigaprofilra való hatásvizsgálat matematikai kidolgozása új célként jelent meg. Új geometriai eljárás a hordkép határoló görbéinek analitikai meghatározására egy-egy interpolációs görbével, a vizsgálatok és a gyártás egzaktabbá tételének elősegítése. Várható eredmények: Új kinematikai modell, szerszámprofilok matematikailag egzakt meghatározása, megmunkálás esetén változó tengelytávolsából adódó különböző karakterisztikák meghatározása, 0

12 ívelt csigaprofil meghatározása visszafejtéssel, hordkép lokalizálás, érintkező felületek elemzése. A tervezés során a Gohman, H. I. illetve Litvin, F. L. által továbbfejlesztett fogazásgeometriai, kapcsolódáselméleti eredményeket felhasználva differenciálgeometriai, a koordináta-rendszerek transzformációjához koordináta geometriai eljárásokat alkalmazunk, amellyel jól algoritmizálhatók a csavarfelületek gyártásgeometriai problémái is. Csavarfelületek fõbb alkalmazási területei. Kötõelemek. Kinematikai menetek 3. Szerszámfelületek Felülettípusok Hengeres Kúpos Egyenes alkotójú Nem egyenes alkotójú Egyenes alkotójú Nem egyenes alkotójú ZA Archimedesi ZI Evolvens ZN Konvolut ZN Hernyós konvolut ZN Árkos konvolut ZN3 Egyenes normál profilú Egyéb (pl. szerszámok ) ZK kúpfelülettel képzett (ZK, ZK, ZK3, ZK4 egy ill. két kúpos szerszámmal készített ) ZI körív profilú ZTA Axiális körívprofilú ZT körgyûrû felülettel képzett ZTN Hernyós körív profilú ZTN Árkoskörív profilú különleges profilok: - pl.:csavarszivattyúk orsói - golyósorsók stb. KA Kúpos arcimedesi KN Kúpos konvolut KN Kúpos hernyós konvolut KN Kúpos árkos konvolut KI Kúpos evolvens Egyéb (pl. szerszámok) KK Kúpfelülettel képzett (KK, KK, KK3, KK4 egy ill. kétkúpos szerszámmal készített) KT Kúpos körív profilú KTA Kúpos axiális körív profilú KT Kúpos körgyûrû felületû szerszámmal készített KTN Kúpos hernyós körív profilú KTN Kúpos árkos körív profilú Egyéb (pl. szerszámok ) Egyéb.(pl. szerszámok).. ábra Csavarfelületek főbb alkalmazási területei az általános matematikai modell kialakításához

13 . SZAKIRODALOM ELEMZÉSE.. A csigahajtás története Az első pun háború első évében (i.e. 64-ben) került Szirakuza trónjára II. Hieron és i.e. 6-ben szövetséget kötött Rómával. E szövetséget haláláig, i.e. 4-ig híven és következetesen megtartotta. Hieron bölcsen tudta azt is, hogy hiába van hű szövetségese, csupán saját erejében bízhat, és ezért lázas flottaépítési programba kezdett, amelynek keretében egy eddig még soha nem látott méretű hadihajót épített. H. W. Van Loon A hajózás története (The Ships) című műve szerint az akkori hajók átlagban 0-30 tonnásak voltak, és így valószínűleg Hieron óriáshajója sem lehetett tonnánál nagyobb. Akkoriban a hajóépítők igen nehezen birkóztak meg a feladattal, főleg amikor a hajó elkészült és a szárazdokkból vízre kellett bocsátani. Hieron Archimedeshez fordult segítségért. Archimedes Hieron felkérésének eleget téve egy titokzatos emelőgépet készített, amellyel néhány rabszolga a vízrebocsátást könnyedén elvégezte... ábra Archimedes barulkonja (Reuleaux) Archimedes ekkor tette Hieronnak azt a világhírűvé vált kijelentését: Adjatok nekem egy biztos pontot és kiemelem sarkaiból a világot!". Az i.u. 3. évszázadban alexandriai Pappus nagy gyűjteményes munkát írt, amelynek 8. könyvében részletesen leírta a négy homlokkerékpárból és egy csiga-csigakerékpárból álló barulkont, mint Archimedes találmányát.

14 .. ábra Hodometer elképzelt formája [49] Ahol: A., tengelyre szerelt ütőfog; B., fogaskerék; C., ütőfog; D., mérőkerék; E., tartály Az első eredeti jelentős és műszaki szempontból értelmezhető csigahajtás-rajzok Leonardo da Vinci (45-59) ezernyi vázlata és jegyzete között maradtak az utókorra. Vázlatai között csigakerekek és csigák, sőt meglepő módon még globoid csiga is szerepel. Azt lehet mondani, hogy Archimedes óta egyetlen tudós sem foglalkozott a csigahajtással, de még olyan technikus is keveset, aki tudományosan többé-kevésbé képzett volt és az általános eredményeket e speciális területen alkalmazta, vagy legalábbis ezt megkísérelte volna. Erre Archimedes óta évezredekig nem is volt szükség a villamos motor elterjedéséig. A csigahajtás méretezésével csak akkor kezdtek elméleti alapon is foglalkozni - főleg Bach és Stribeck -, amikor villamosmotorokkal kellett volna közvetlenül hajtani. Az egyenesfogú homlokkerekek méretezése ez idő tájt ott tartott, hogy hajlításra méretezték a fogait úgy, ahogy azt először Tredgold angol mérnök javasolta (88), vagyis a P = kbt formulával, ahol k az összes tapasztalati tényezők sommás foglalata volt. Matematikában és geometriában járatos technikusok megkísérelték kidolgozni a csiga geometriáját. A módszer azonban, ahogy ezt kidolgozták, tisztán geometrikus volt. A geometrikus szemlélet mind a mai napig érvényben van, amelyet a fogazótechnikushoz illőbb funkcionális szemlélet még nem váltott fel. Szeniczei Lajos [33] munkájában éppen az az új gondolat, hogy a csigahajtások geometriáját az utóbbi szempontból vizsgálja, tekintet nélkül arra, hogy a csiga bármilyen metszetében evolvens profilú-e avagy nem. Wildhaber elmélete, mint egyeduralkodó geometrikus szemlélet különösen a német szaktudományt erősen foglalkoztatta, mert úgy képzelték, hogy az evolvens csiga, éppen azért, mert 3

15 geometriája a ferdefogú fogaskerékével azonos, meg fogja hozni a csigahajtás problémájának teljes megoldását. Így pusztán ez az evolvens praktikum több évtizeden keresztül foglalkoztatta a német technikusokat annyira, hogy ez idő alatt minden más irányú kutatással felhagytak, és például a globoid csigahajtást teljességgel elhanyagolták. Az első globoid csigahajtást Buckingham szerint az angol Hindley készítette 765-ben. Amerikában először 873-ban Hughes és Philips, Franciaországban 884-ben Crozef- Fourneyron készítettek globoid hajtóművet. Az egyenes fogfelületű hengeres kerékkel kapcsolódó globoid csigát Wildhaber használta először 9-ben műszerskálák pontos mozgatására. Később e Wildhaber-féle hajtóműveket nagyobb terhelésekre is kidolgozták. Litvin az egyik munkájában megjelenteti a fogaskerekek történetének jelentősebb eseményeit, személyiségeit. Az előző hagyományok és a különböző tudományok fejlődése azt eredményezte, hogy Európában, így Angliában, Németországban, Oroszországban és köztük Magyarországon is elsősorban a hengeres csigahajtás terjedt el. A globoid csigahajtás elsősorban az USA-ban és a volt Szovjetunióban terjedt el, de természetesen Németországban és Magyarországon is foglalkoznak vele. A különleges csigahajtások kategóriába tartozik a spiroid csigahajtás, amely Amerikában lett szabadalmaztatva, de sikereket értek el vele Oroszországban, Németországban, Bulgáriában és Magyarországon is. A történelmi áttekintés után megállapítható, hogy a csigahajtás jelentős mértékű fejlesztése elsősorban a XIX. század végére, illetve a XX. századra esik. Ennek a fejlesztésnek irodalmi áttekintését és lényeges lépéseit a..,.3.,.4. fejezet tartalmazza. 4

16 .. A térbeli hajtások fogazáselméletének fejlődése A síkbeli fogaskerekek, illetve fogazás elméletének kutatása, az eredmények rendszerezése évtizedekig - néhány területen évszázadokig - tartott. Az első munkákat a fogazott mechanizmusok elméletének két fő területéről, a fogazott elemek kapcsolódási viszonyairól és ezek gyártásgeometriájáról a XIX. század közepén jelentették meg pl. [74, ]. A francia Olivier - kinek kutatásai ezen a területen hosszú ideig egyedülállóak voltak - az 84-ben megjelent művében még szétválasztotta a fogfelület kapcsolódási elméletét az analitikus és számítási módszerektől. Az ő értelmezése szerint "a fogkapcsolódás kérdése teljes egészében az ábrázoló geometriához tartozik". Ezzel szemben az orosz Gohman úgy ítélte meg, hogy "a fogazáselmélet a matematikai tudományág egy különleges része", ahol a kutatónak - ellentétben a matematika más területeivel - szinte "tapogatózva kell haladnia minden egyes lépésnél újabb támpontot keresve". Függetlenül attól, hogy bizonyos értelemben a két tudós megállapításai túl általánosak voltak, a mai térbeli fogazáselmélet alapjainak megteremtésében vitathatatlanok érdemeik. A térbeli fogazáselmélet alapjait a francia geométer, T. Olivier [] és az előzőkben említett H. I. Gohman [74] orosz tudós fektették le munkáikban. Gohman volt az első, aki a térbeli felületkapcsolódás vizsgálatára az analitikus modellt, a burkolófelületek leírásának matematikai módszerét kidolgozta. A fogazáselmélet a differenciálgeometria, gyártás, tervezés, méréstechnika és a számítógépes módszerek tudományos területeit ötvözik. A fogaskerék technológia fejlesztésével és a számítógépek fogazásban való alkalmazásával, a kutatók a fogazás modern elméletére módosították azt és kiterjesztették annak módszertanát és ipari alkalmazását. Mára a fogazáselmélet önálló tudományterületté fejlődött. Közvetlenül a századforduló után megjelenő publikációk közül pl. Distelli [8], Stübler [30], Altmann [], Crain [5] munkáit kell megemlíteni, akik értékes eredményeket értek el az ábrázoló geometria eszközeinek felhasználásával és ezzel a fogazáselmélet fejlődéséhez jelentősen hozzájárultak. A vektor-csavar fogalmát R. Ball írja le először 900- ban, Distelli az elsők egyike volt, aki az általános csavarmozgást használta kitérő tengelyvonalú fogaskerékpárok fogfelületeinek leírására 904-ben megjelent munkájában. A hajtáscsavar illetve csavaraxoidok megfogalmazása lehetővé tette az egymáshoz rendelt vonal mentén érintkező fogfelületek gyártásának egyszerű, világos megfogalmazását. Munkájában egyenes vonalú felületekkel foglalkozott [8], amelyek geometriai szempontból a legegyszerűbbek. Willis, Buckingham, Wildhaber és Dudley [68] nemzetközileg is jól ismert nevek ezen a szakterületen. Willis 84-ben határozta meg a síkgörbék érintkezésének törvényét. Distelli [8] munkájának általánosításán keresztül sikerült Wildhabernek az elméletet a gyakorlattal összekötnie, lényegében a kinematikai módszer alkalmazása révén továbbfejlesztette a kapcsolódás elméletét. Az ő megállapításait Capelle [4] kutatási eredményei kiegészítették és tökéletesítették. Matematikai módszerek alkalmazásával számtalan kutató mindenekelőtt azt a kérdést vizsgálta, hogy - adott tengelyvonalak és adott szögsebességviszony esetében - egy adott fogfelülethez kapcsolódó ellenfelületet matematikailag hogyan lehet meghatározni. Ezeknek a komplikált egyenleteknek a felírása és analitikus ill. numerikus vizsgálata gyakran nehézségekbe ütközött. A zárt burkolófelületekkel megadott felületpárok területén jelentős kutatásokat végzett pl. Hoschek [80]. Müller talált alkalmas egyéni módszert a Grüss által meghatározott eredményekre építve, elsősorban - síkbeli fogazatok burkoló görbéjének meghatározásához. Ő azonban a matematikai összefüggéseket a térbeli hajtásoknak csupán egyes fajtáira tudta felhasználni. 5

17 A kifejlesztett analitikus és geometriai eljárásokat még ma is felhasználják térbeli fogaskerékpár hajtások vizsgálatánál. A kapcsolódás elméleti kérdéseivel foglalkozó kutatók számára mind nyilvánvalóbbá vált, hogy a kapcsolódási viszonyok vizsgálata az úgynevezett kinematikai módszerrel leegyszerűsíthető. Ennek alapján - pl.: Litvin és a szovjet fogazáselméleti iskola más kiváló képviselői Kolchin [84], Krivenko [86], dolgoztak ki alkalmas és hatékony módszereket a kapcsolódási egyenletek és érintkezési kritériumok, a görbületi viszonyok és az interferencia-jelenségek meghatározására. A felsorolt kutatókon kívül feltétlenül meg kell még említeni Bär [3], Ortleb [3], Wittig [43], Jauch csavarfelületekről szóló munkáit, Dysont, aki az általános fogazáselmélettel, valamint Zalgallert [44], aki a burkolófelületek elméletével, Buckinghamot [3], aki az evolvens csigahajtással foglalkozott. A gyártásgeometriai kutatások - azaz a megmunkálások gyártástechnológiai kinematikai feldolgozása, rendszerezése és analízise - az utóbbi évtizedekben újabb jelentős impulzusokat kapott. Az alapkérdéseket Weinhold [39], Kienzle, Perepelica világították meg. A magyar kutatók közül ezen a területen Szeniczei L. [33], Tajnafői J. [53], Magyar J. [03], Drahos I. [9-35], Lévai I. [88-90], Bercsey T. [3-8], Drobni J. [36-38], Dudás I. [39, 43] és Dudás L. [68] értek el kiváló eredményeket. Szeniczei volt az elsők egyike, aki - anélkül, hogy a fogalmat meghatározta volna, a "konjugált felületpár" (kapcsolódó, egymást kölcsönösen burkoló felületpár) gondolatát felvetette [33]. Magyar J. [03] megvilágította - a vonatkozó külföldi irodalmat megelőzve - csavarfelületű elemeknél a kapcsolódási problémákat. Tajnafői J. meghatározta és rendszerezte a fogazás egységes technológiai elméletének az alapjait, a szerszámgépek mozgásleképzési tulajdonságainak elveit [35]. Drahos I. különböző szerszámgeometriák, csavarfelületek vizsgálatával és különösen a hypoid kúpkerekek geometriai alapjai, valamint a gyártásgeometria analízisének eredményeivel járult hozzá e terület gazdagításához. Lévai I. a térbeli hajtások számtalan problémájával foglalkozott. Ő vizsgálta többek között a fogazáselméletet a vonalfelületű, kitérő tengelyű hajtópárok esetén, melyek változó mozgást végeznek. Foglalkozott továbbá a hipoid hajtások tervezésének alapvető kérdéseivel [88-90]. Bercsey T. a kinematikai módszer alkalmazását és egyrészt az egyenes fogfelületű globoidcsiga és egy hiperbolikus kerék kapcsolódási viszonyát elemezte a kinematikai módszer felhasználásával, másrészt a toroid hajtásokat vizsgálta. A módszer alkalmazhatóságát bizonyította be ezen hajtásoknál és így lehetővé tette, hogy más térbeli hajtások kapcsolódási viszonyait [3] hasonló módon elemezzék. Az evolvens fogazaton alapuló csigahajtópárok változataként Németországban Bilz kifejlesztette a hengeres kerekű globoid csigahajtópárok családjába tartozó "TU-ME" globoid hajtást [9], amelynek elméleti vizsgálatát Drahos I. [35] végezte el. A globoid csigahajtásokkal Drobni J. foglalkozott kandidátusi disszertációjában [37], aki köszörülhető globoid csigahajtást dolgozott ki. E területhez kapcsolódik Siposs I. [8] munkája, valamint Dudás L. Újszerű köszörűgép konstrukciója [67]. Dudás Illés a tengelymetszetben körív profilú csigát, valamint a spiroidhajtást dolgozta ki, és szabadalmaztatta a gyártási eljárást és annak elméletét. Dudás Illés a ZTA típusú csigahajtás és a spiroid hajtások elemei gyártásgeometriai problémáinak tisztázásával foglalkozott több publikációjában. A csigahajtópárok fogazatkapcsolódásának számítógépes modellezése, és a spiroid hajtópárok optimalizálása terén [6] az irányításával folyó kutatásokról rangos nemzetközi konferenciákon számolt be. A csigahajtópárok kapcsolódáselméletét és gyártásgeometriáját kiemelkedő részletességgel összefoglaló, angol nyelven megjelent könyve [4] nemzetközi szinten is kimagasló értéket képvisel. 6

18 Dudás Illés a tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárok hordképlokalizációjával is foglalkozott. A hordképlokalizáció célja, hogy a pillanatnyi érintkezési vonalak minél nagyobb mértékben a tribológiai viszonyok szempontjából kedvező tartományba essenek, ahol tehát az érintkezési vonal adott pontjához tartozó érintő és a relatív sebesség által bezárt szög között van. Numerikus összehasonlító vizsgálatai alapján megállapította, hogy ennél a típusú csigahajtópárnál az ívsugár középpontnak a csigatengelytől való távolságának növelése jelentős mértékben, míg a körívsugár növelése lényegesen kisebb mértékben javítja az érintkezési vonalak helyzetét [39]. Az ívelt csiga tribológiájával foglalkozott Horák P. [79]. Simon Vilmos különböző térbeli fogazott hajtópárok, többek között hengeres és globoid csigahajtópárok geometriai viszonyait vizsgálta, és optimalizálta a súrlódási veszteség és a teherbírás szempontjából, numerikus módszerek felhasználásával, az elasztotermohidrodinamikai kenési modell alapján [5, 6, 7]. Pay Jenő és Pay Gábor a hordó csiga fejlesztésével foglalkozott [6, 7, 8]..3. A hengeres csavarfelületek A hengeres csavarfelület vonalfelület (egyenes alkotójú felület), vagy nem vonalfelület, (nem egyenes alkotójú felület) lehet. A nem vonalfelületű csavarfelületek egyik csoportját alkotják a ZK típusú felületek, melyeknek az a jellemzője, hogy a megmunkáló szerszámkúp meridiángörbéje egyenes vonal, Litvin [94], Maros-Killmann-Rohonyi [04], Niemann, Winter [09]. Az egyenes alkotójú szerszám elhelyezése - a csavarfelülethez képest határozza meg a ZK típuscsoporton belül a konkrét típust. A szerszám és a megmunkált felület kinematikai viszonyai határozzák meg, hogy a csavarfelület profilja milyen lesz..3.. Vonalfelületű hengeres csigahajtások A vonalfelületű csigahajtásokkal igen sok kutató foglalkozott a XX. század elejétől kezdve pl. Distelli [8], Stübler [30] mint ahogyan korábban említettük. Az utóbbi évtizedekben Európában, USA-ban és Ázsiában egyaránt foglalkoztak és értek el eredményeket ezen hajtások [7, 3, 4, 34, 36, 8, 7, 43] geometriai kialakításának kutatásával, gyártásával, minősítésével. Magyarországon korábban elsősorban az egyenes alkotójú csavarfelületekkel foglalkoztak a kutatók. A háborút (945) követő ipari fellendülés azonban igényelte a szakterület intenzív fejlesztését, melyet Szeniczei L. kezdeményezett. Az 957-ben megjelent "Csigahajtóművek" című könyve úttörő munkának számít [33]. A hazai kutatási eredményekről összefoglalóan Erney Gy. számolt be [70]. Magyar J. kandidátusi értekezésében [03] többek között az evolvens és konvolut csavarfelületek leképzését és gyártástechnológiai kérdéseit tisztázta. A Diósgyőri Gépgyárban Varga I. foglalkozott a konvolut csavarfelületekkel és ért el eredményeket e területen. Több munka jelent meg Tajnafői J. [35], Drahos I. [33, 34], Drobni J., Szarka Z. [38], tollából, melyek egy-egy részterületet megvilágítva gazdagították szakirodalmunkat. Tajnafői J. kandidátusi értekezésében [53] többek között a fogazáselmélettel szoros kapcsolatban álló mozgásleképzések alapelveit tisztázta, és rámutatott az alámetszések technológiai gyökerére. 7

19 .3.. Ívelt profilú csavarfelületek A hengeres csavarfelületek jellegzetes - egyik legkorszerűbb - csoportját alkotják a körív profilú szerszámmal megmunkált csigák. A szerszám és a csigatest kinematikai viszonyaitól függően a körív profil megjelenhet a csiga működő felületén is (tengely- vagy normálmetszetben [3], esetleg a csigatengellyel párhuzamos valamely síkban), de bizonyos esetekben (pl. körív tengelymetszetű tárcsa alakú szerszámmal történő megmunkálásnál) [4] ez nem szükségszerű. Az egyenes alkotójú csigák (archimedesi, konvolut, evolvens) és a velük kapcsolt kerekek fogfelületei kevésbé alkalmasak arra, hogy közöttük nagy nyomású folytonos kenőhártya olajfilm alakulhasson ki. Az olajfilm kialakulása szempontjából az lenne a kedvező, ha a hajtás relatív sebességének iránya minél jobban megközelíti a merőlegest a közös érintkezési görbére. Körív profilú csigáknál van lehetőség kedvezőbb feltételeket elérni. Az első ilyen típusú hajtópárt az angol David Brown cég gyártotta. Ez a csiga az axiális metszetben domborúan ívelt, míg a vele kapcsolódó kerék profilja a tengelymetszetben homorúan ívelt profilú. A kenési viszonyok részletes vizsgálata alapján Niemann G. megállapítja, hogy a körív profilú csigák kedvezőek e szempontból [09, 0, ]. Ennek magyarázatára a.3. ábrán, [09] alapján feltüntettük az egyenes alkotójú evolvens és ívelt profilú (Cavex) hengeres csigák pillanatnyi érintkezési görbéit. A csiga csúszósebességének (relatív sebességének) vektora közel párhuzamos (.3.a. ábra) ezekkel az érintkező görbékkel (l,, 3 jelű), pontosabban a sebesség vektornak a görbék érintőjével párhuzamos komponense v k nagy. A fenti feltételeket jobban kielégítik az ívelt profilú csigák. Niemann G. vizsgálatai, és szabadalma alapján dolgozta ki a német Flender cég a Cavex típusú csigahajtásokat [09, 0, ], melyeknél az érintkező görbéknek és a sebességkomponenseknek egymáshoz viszonyított helyzetét a.3 ábra szemlélteti. Az ábrán látható, hogy a kiválasztott érintkezési pontban a pillanatnyi érintkezési görbe érintője majdnem merőleges a relatív sebesség vektorára. A fogak közötti relatív sebesség irányában a ék alakú hézagnak köszönhető, hogy folytonos hordképes olajfilm alakul ki a hajtó és hajtott fogak között, amely tiszta hidrodinamikus kenést biztosít. Az ábrában a v k a csiga kerületi sebessége és ha az érintkezési pont a rajz síkjába esik, v k egyben a relatív sebesség vetülete is. A v sebesség, amely merőleges az érintkezési vonalra, a pillanatnyi érintkezési vonal adott pontjának vándorlási sebessége. Ennek a sebességnek a lehető legnagyobbnak kell lennie a kedvező kapcsolódási viszony és hidrodinamikai nyomás elérésére. Az ábra szerint többnyire kettő, vagy három kerékfog kapcsolódik egyidejűleg. Az érintkezési vonal egy fognál a fog kapcsolatba lépésétől a kilépésig l,, 3 sorrendben változik, illetve megy körül a fogoldalak mentén. Az ívelt profilú hajtópár további előnye, hogy az érintkező fogfelületek görbületi sugarai a felületi normális azonos oldalára esnek, így homorú felület érintkezik domborúval, emiatt az érintkező felületen fellépő Hertz - feszültség viszonylag kicsi. Az ívelt profilú csigahajtás ezért sokkal nagyobb terhelés átvitelére képes, mint a vele azonos méretű egyenes alkotójú hengeres csigahajtás. A kisebb fajlagos fogoldal nyomás miatt pedig könnyebben kialakul a hordképes olajfilm. Ez a hajtás - ha a hordkép nem lokalizált - a hőtágulásra és mechanikai deformációkra, pontatlan szerelésre rendkívül érzékeny. 8

20 .3. ábra Fogkapcsolódás és fogoldalak érintkezési vonalai, E kapcsolóvonal a főmetszetben a) ábra evolvens csigahajtás, b) ábra ívelt profilú (Cavex) csigahajtás esetén. A fő paraméterek azonosak [4, 7, 58]..4. ábra A fogkialakítás elve, a gördülővonal helyzete 9

21 Az ívelt profilú csigáknál a csigafog alakja és az ívelési sugár középpontjának célszerű elhelyezkedése (a gördülővonal helyzete) által különösen nagy S F fogláb vastagság érhető el a csigán és a csigakeréken S F. Az egyenes alkotójú csigák és csigakerekek fogláb vastagsága kisebb (.4. ábra). A.4. ábra alapján a fogkialakítás elve az alábbiakban foglalható össze: a) A csigafogaknak konkáv profiljuk van, egyenes vagy domború helyett, b) A gördülő vonal (d g ) a csigán a fejkör átmérő közelében van, vagy azon kívül esik a fogmagasság közepe (d 0 ) középátmérő helyett - mivel az x fajlagos szerszámelállítás értéke nagy (0,8 x l,5). Tapasztalataink szerint a konstrukciós tényezők hatásfok növelő hatását a technológiai tényezők jelentősen javíthatják, illetve kedvezőtlen esetben ronthatják. A kapcsolódó felületek alakpontosságát és érdességét ugyanis a technológiai tényezők határozzák meg. A csigahajtások hatásfoka és élettartama szempontjából döntő jelentőségű a fogalakja és fontos szerepe van a fogazat felületminőségének Az ívelt profilú csigák gyártásának fejlődése Az ismert alakköszörülési eljárások vizsgálata A nagy teljesítmények átvitelére szolgáló csigahajtóművek csigáit a korszerű megmunkálást alkalmazó gyártóművek ma már mindenütt köszörülik. Ennek következménye az emelkedés, az osztás, (több fogszámú csiga esetén); javuló pontossága és a megmunkált felület érdességének csökkenése. A szerszám korlátozott alakpontosságából és a megmunkálás közelítő módszeréből azonban megmunkálási hiba származik, a megmunkált profil torzul (a csiga alakpontossága romlik) és ennek következtében a hajtás jósága, kinematikai és teherbírási jellemzői is romolhatnak. a) Az első szóba jöhető módszert - körív profilú csigahajtás esetén - Niemann G. dolgozta ki, és szabadalmaztatta Németországban [5]. A módszer lényegéből következik, hogy a megmunkálást toroid alakú tárcsaszerű köszörűkoronggal végzik. Az alkalmazott korong tengelymetszeti profilja körív, amely a csiga normál metszetében tervezett profiljának felel meg, így a köszörűkorong oldalprofil sugara (ρ k ) közelítően a csiga középhenger sugarával egyenlő (ρ k d 0 /). A korong és a munkadarab tengelye az osztóhengeren mérhető γ 0 emelkedési szöggel azonos nagyságú szöget zár be. A köszörűkorong tengelyvonala és a csiga tengelyvonala közötti normál transzverzális pedig a fogárok normál metszeti szelvényének szimmetriatengelyében helyezkedik el [36]. A normál transzverzális pontos beállítása köszörüléshez csak olyan gépen lehetséges, ahol a korong a saját tengelyvonala irányában eltolható (pl. Klingelnberg-gépen). A megmunkált felület alakpontosságának ily módon bekövetkező csökkenését ma mikroprocesszor vezérlésű korrigáló berendezéssel igyekeznek a gyakorlati igénynek megfelelő mértékben csökkenteni [38]. b) A második köszörülési eljárás kidolgozása és szabadalmaztatása Litvin F. L. nevéhez fűződik. Módszere alkalmazásakor a korongfelfogás különleges módon történik [96]. Ebben az esetben a köszörűkorong felülete és a csiga felülete közötti érintkezési vonal már nem tér-, hanem síkgörbe, amely a köszörűkorong tengelymetszeti profiljával azonos. Ez a köszörülési mód azon alapszik, hogy a csavarfelület tárcsaszerű szerszámmal történő megmunkálásakor két kapcsolási tengely létezik. A kapcsolási tengelyek egyenes vonalak, amelyeken átmegy a szerszám és a csiga érintkezési vonalának pontjaihoz tartozó normális sereg. Egyik ilyen kapcsolási tengely a korong tengelyvonala, a másik ilyen egyenes meghatározott távolságra van a csiga tengelyvonalától és metszi a csiga és a szerszám 0

22 tengelyvonalának normál transzverzálisát. Ezen módszernél tulajdonképpen egy archimedesi csőfelületet kapunk eredményül. E helyen azon tényezőkre hívjuk fel a figyelmet, amire megmunkálás közben gondot kell fordítani. A kopott szerszám újraélezésénél a γ 0 menetemelkedésnek megfelelő korong lehúzási síkban elhelyezett lehúzót a szerszámhoz közelítjük, és a korongot szabályozzuk, ezzel a K távolság megváltozik, ezért amennyivel a kőlehúzót a korong felé elmozdítottuk, ugyanannyival a korong tengelyt a munkadarabhoz közelíteni kell. Megállapítható, hogy az egyébként igen pontos köszörülési eljárás csak olyan gépen végezhető el, ahol a köszörűorsó tengelyirányban nagymértékben elállítható. A körív profilú csigahajtásokkal foglalkozott - a már említett irodalmakon túlmenően - a Szovjetunióban Krivenko, I. Sz. [86] és Lengyelországban Kornberger, Z. Meg kell állapítani, hogy Magyarországon - de általában is - kevés számú publikáció jelent meg a körív profilú csigahajtásokra vonatkozóan. Ennek magyarázata lehet az is, hogy a gyártási eljárást szabadalmakkal védik, így érthető az irodalmi szűkszavúság. Magyarországon Drobni J. [36] munkáin kívül megemlítem a Litvin-féle kapcsolási felületek szerkesztésével foglalkozó Drahos I. [34], a minősítés vonatkozásában Bányai K. [] munkáját, illetve Horák Péter [79] disszertációját. c) A harmadik köszörülési megoldás Dudás Illés [57] nevéhez fűződik (lásd.3...) A tengelymetszetben körív profilú hengeres csiga gyártásgeometriája [57] A csiga befejező megmunkálásának elemzése, egzakt megoldása A csigák menetvágása esztergán előállítja az egzakt csavarfelületet. Ha ezt a csavarfelületet korong alakú szerszámmal köszörüljük, különösen nagy emelkedésű csigáknál, a már elkészült csavarfelületen - a korongnak az esztergakéstől eltérő éritkezési vonala miatt elmunkálás jöhet létre. Az így megmunkált csiga tehát geometriailag nem lesz helyes. Feladatunk a korong profilját úgy meghatározni, hogy a csigafelület axiális metszetben mindig a kívánt, illetve előírt profilú legyen. Ehhez a korong azon részeit, amelyek a teljes menetszelvényből a hiányzó részeket forgácsolják le, el kell távolítanunk. Ha rendelkeznénk egy olyan profilú gyémánt csigával, mint amilyet köszörülni szeretnénk, a korong profilozása egyszerűen elvégezhető lenne. Ekkor lemorzsolnánk a korong azon részeit, amelyek a hiányzó profilt hozzák létre. Miután ilyen szerszámunk nincs, és az ilyen gyémánt csiga előállítása költséges, nem is lenne célszerű ennek előállítása. E módszer helyettesítésére szolgál a Dudás Illés által tervezett és javasolt korongszabályozó (lefejtő) berendezés. A készülék lényege, hogy az adott csigának - amelyet köszörülni akarunk - az alkotó kör sugarát ( ρ ax ) a meghatározott helyzetekbe tudjuk hozni, és le tudjuk gördíteni a köszörűkorong előtt. A korongot γ 0 közepes emelkedési szöggel bedöntjük, a korongszabályozó készüléket (a lefejtő berendezést) pedig a főorsó tengelyvonalában (csiga tengelye) helyezzük el (.5. és.6. ábra). Különösen nagy menetemelkedés esetén, az alámetszés elkerülésére kisebb (γ>γ 0 ) szög beállítása lehet indokolt. A köszörűkorong I-I tengelye és a csiga III-III tengelye közötti távolság az ismert adatokkal (.5. ábra) az alábbiak szerint számítható hasonlóan a. egyenlethez: a 0 = K + R sz - h sz (..)

23 .5. ábra A köszörűkorong bedöntése γ = γ 0 osztóhengeri emelkedési szöggel [4, 57].6. ábra A korongszabályozó készülék elhelyezkedése a fősíkban a Dudás féle lefejtő-szabályozó készülék működésének elve [57] Az ismertett eljárásnál a csigáról való visszafejtés elvét alkalmaztuk, amely biztosítja, hogy a csigafelületről burkolás révén határozom meg a megmunkáló szerszám, köszörűkorong felüeltét.

24 .4. Kúpos csavarfelületek A spiroid hajtóművek nagyobb kapcsolószámot (az egyszerre kapcsolatban álló fogak száma) biztosítanak minden más hajtóműnél (pl. kúpkerék, hengeres fogaskerék, csavarhajtás, stb.). A kitérő tengelyvonalú fogazott hajtások területén eddig megvalósult nagy teherbírású, elsősorban ortogonális tengelyelrendezésű hajtások egyik kevéssé ismert - nem nagy múltra visszatekintő - típusa a spiroid hajtás. Az Illionis Tool Works (USA) főkonstruktőre F. Bohle által elsőként ismertetett spiroid hajtás [] a hipoid és hengeres csigahajtások közötti tengely-elhelyezési viszonyok határa között alkalmazható kedvezően. Ezt szemlélteti a.7. ábra. A hajtópár egy tányérkerékből és - általános esetben - egy ezzel kapcsolódó kúpos csigából áll. Ha a csiga kúpszöge (δ ) nullával egyenlő, úgy hengeres csiga és egy tányérkerék kapcsolódása jön létre. A szakirodalom ezt helikon-hajtásnak nevezi. Bohle a [] cikkében a hajtópár paramétereiről, adatairól nem tesz említést, csak néhány technológiai kérdést, valamint az alkalmazási területet, illetve az üzemi tapasztalatokat értékeli. A gyakorlatban eddig megvalósított hajtópárok egy lépcsőben megvalósítható, jellemző áttételi tartománya i=0-0, de sajátosan megválasztott jellemzők mellett megvalósult már i=359 áttételű hajtópár is (kinematikai hajtás kis modullal)..7. ábra Hajtás típusok a tengely elrendezés szerint F. Bohle cikkének [] megjelenését követően számos fejlett országban megkezdődött a spiroid hajtópárok tulajdonságainak elemzése. A hajtópárok kapcsolódási viszonyainak elemzése mellett a gyártástechnológiai problémák feltárása fokozott jelentőséggel bír, mert csak megbízható, termelékeny fogazási eljárással lehet gazdaságosan biztosítani az elméleti vizsgálatok alapján feltárt kedvező fogazásgeometriai alapparaméterek melletti helyes kapcsolódást. Párhuzamosan a technológiai fejlesztéssel Saary, O. [] a kinematikai viszonyokat is elemezte a spiroidhajtások esetén. 3

25 A spiroidhajtások hozzáférhető kutatási eredményeit és üzemi adatait az Illinois Tool Works részéről Dudley [69] kézikönyvben dolgozta fel. A megadott táblázatok lehetővé teszik, hogy a tervezők a spiroidhajtások terhelését, hatásfokát, áttételi tartományát, térszükségletét más térigényű hajtásokkal összehasonlítsák. Ez azóta is alapirodalom a spiroid hajtások tekintetében. Ennek alapján arra lehet következtetni, hogy a spiroid hajtások által átvihető terhelés és a lehetséges áttételi tartomány a hipoidhajtásokhoz és a nagyteljesítményű csigahajtásokhoz hasonló, a teljesítmény szerinti fajlagos térszükséglet azonban ettől kisebb. Az 960-as években megkezdődött a spiroidhajtások fejlesztése a Szovjetunióban is. A munka egységesítésére pedig 977-ben szabvány készült (GOSZT ), amely a jelöléseket és az elnevezéseket tartalmazza. A kutatások kezdetben az archimedesi, majd evolvens vonalfelületű spiroid csigákkal [66, 50] és ezek technológiai és kinematikai kérdéseivel, valamint azok üzemközbeni viselkedésével [90, 00] foglalkoztak. Bulgáriában a spiroidhajtások fogazásgeometriájával Abadziev és Minkow foglalkozott. E munkában az egyenes vonalú spiroidhajtások kinematikai-geometriai viszonyainak részletkérdéseit elemzik. Több kutató [90] megpróbálta a spiroidhajtást más hajtástípussal összehasonlítani [84]. Ezen a területen még számtalan kérdés vár magyarázatra, különösen ami a kapcsolódási viszonyok qualitatív vizsgálatát illeti. A nevezett kutatási munkák lehetővé teszik ugyan a hajtópár fő méreteinek, valamint a fogazásgeometriai alapadatoknak a meghatározását, a kapcsolódás jóságáról azonban csak további vizsgálatokkal lehet tökéletes képet adni. A spiroid hajtásokkal Magyarországon a BME-n Hegyháti J. [76], a Miskolci Egyetemen Lévai I. [90], valamint ezek gyártásgeometriájával és szerszámaival Dudás Illés [6, 6] és Dudás László [67] foglalkozott. Ennek eredményeként vált lehetővé, hogy a legyártott spiroid hajtópárokat a hengeres csigahajtópárokkal összehasonlíthassuk. E munkában a BME Gépszerkezettani Intézete és a Miskolci Egyetem Gépgyártástechnológiai Tanszéke között igen jó együttműködés alakult ki (OTKA T 00655, 995., témavezető: Bercsey, Dudás). Az MTA Gépészeti Bizottság Hajtástechnikai Munkabizottságának ülésén (Budapest, 986. V.6.) a tárgyban végzett munkáról is szóló beszámolóban Dudás Illés már egy olyan általános algoritmus megalkotásának a lehetőségét veti fel, amely alapján lehetséges a különböző fajta csavarfelületek közös tőről való leszármaztatása. [4].5. Szerszámfelületek A fogazatokkal foglalkozó szakkönyvek általában csak érintik a hajtóelemek gyártásához nélkülözhetetlen - geometriailag helyesen megszerkesztett - szerszámok tervezését, előállítását. A fogazott elemek szerszámozása területén Magyarországon Bali J. [50], Bakondi K. [4], Drahos I. [30], Sasi Nagy I. [5], Dudás Illés [39] munkáin kívül igen kevés a megjelent publikációk száma. A fogazatok előállítása során mind jobban előtérbe kerül a szuperkemény köszörűkorongok (egyszemcsesorral) és a bevonatolt vagy keményfémből előállított szerszámok alkalmazása. A csavarfelületek megmunkálásának alapvető szerszáma a kellő pontossággal előállított, szabályozott köszörűkorong, vagy maró [9, 0]. E szerszámok geometriailag helyes előállításához a működési viszonyok alapvető matematikai elemzése szükséges, azaz kellően kimunkált gyártásgeometriai ismeretre és gyártási eljárásra van szükség. 4

26 .6. A téma irodalmából a disszertáció témájához illeszkedő általános következtetések Szólnunk kell még néhány szót a csigahajtás szakirodalmának általános helyzetéről is. Az eddigiekben ismertetett publikációkra általában az a jellemző, hogy a csavarfelületek tárgyalása során jelentős mértékben elkülönülnek az elméleti és gyakorlati problémákat tárgyaló munkák. Kevés az olyan elméleti kutató, aki konkrét gyártással is foglalkozik és kevés az olyan gyakorlati szakember, aki a konkrét problémákat elméleti vonatkozásban is vizsgálja. Az elméleti munkák pl. az állandó emelkedésű hengeres csavarfelületeket rendszerint vagy egy egyenes alkotó, vagy pedig egy általános burkolófelülettel érintkező görbe - úgynevezett generálógörbe - csavarmozgásából származtatják. A megmunkáló szerszám profilját pedig a folyamatot megfordítva hasonló elven határozzák meg. A gyakorlati problémákat tárgyaló publikációk a gyártási problémákat vetik fel és megadják, illetve értékelik a megoldás módját gyakorlati szinten, de az empirikusan megoldott probléma elméleti magyarázatát, megoldását nem érintik. Hasonló problémát jelent a hengeres csavarfelületek geometriai ellenőrzése kapcsán megjelent publikációk felfogása is. A XXI. század elején vagyunk és elvárhatjuk, hogy az olyan technológiák mint a CNC vezérlésű fogazógépek és a 3D-s számítógépes koordináta mérőgépek alapvetően megváltoztassák a jelenleg meglévő fog geometriát, a fogazási technikát, gyártásgeometriát illetve technológiát..7. A kutatómunka során felhasznált matematikai eszköztár.7.. Homogén koordináták A homogén koordinátákkal egyszerűsíthető a modellezés a számítógépes grafika és a számítógéppel segített tervezés területén végzett kutatómunka. Bevezetése a forgatás és az eltolás egyszerre történő, illetve az időt mint változót bevezetve mindezek időbeli vizsgálatának leírásárára szolgál. A tér pontjainak homogén koordinátákkal való leírása úgy történik, hogy minden ponthoz rendeljünk egy rendezett (x, x, x 3, x 4 ) számnégyest, melynek rangja. Két pont egyenlő, ha az egyik pont koordinátái a másik pont koordinátáinak rendre egy 0-tól különböző skalárszorosai. Tehát a homogén koordináták száma 4, illetv 3, amikor egy térbeli, illetve síkbeli pontot kívánunk velük leírni..7.. Interpoláció paraméteres görbével Egy interpoláló görbe létrehozásakor a kiindulási adatot egy ponthalmaz jelenti, mely pontokon a létrehozandó térgörbének keresztül kell haladnia, ezek az interpolációs pontok. Ezért az első lépés minden esetben az, hogy keressünk egy paramétersokaságot ezen pontokhoz, melyek hozzárendelik a megadott pontokat a térgörbéhez. Egészen pontosan arról van szó, hogy ha adott a p 0, p,..., p n interpolációs pontsokaság, akkor n darab u 0, u,..., u n paramétert rendeljük hozzá. Ez azt jelenti, hogy a létrehozott interpolációs térgörbe mely áthalad a megadott pontokon a felvett sorrendben teljesíti a következő egyenletet p i = g (u i ) 0 i n (..) 5

27 .7... Egyenletes paraméterezés A legegyszerűbb paraméterezési technika az, amikor a paramétereket az u 0 =0, u =,..., u n =n értékek szerint vesszük fel. A hatványozás során előforduló rendkívül nagy értékek elkerülése miatt tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a [0, ] értelmezési tartományt kell n részre egyenletesen felosztani. Azt szeretnénk, hogy az előállított görbe mind az első, mint az utolsó interpolációs ponton áthaladjon, ezért az u 0 =0 és az u n = paraméter választással élünk. Mivel n+ paramétert kell meghatározni, így a [0, ] tartományt n részre kell felosztani, melyek hossza állandó, tehát a paraméterek n u = 0 0 i u i = n u n = 0 < i < n (.3.).7... Húrhossz szerinti paraméterezés Ha egy interpoláló görbétől azt várjuk, hogy a lehető legközelebb haladjon az interpolációs pontok által kifeszített nyitott poligonhoz, akkor két egymást követő interpolációs pont közötti távolság közel azonos a létrehozott görbe azon szakaszának ívhosszával. Ezek alapján az is teljesül, hogy az interpolációs pontok által létrehozott poligon hossza és az interpoláló görbe hossza közel van egymáshoz, így közelítjük az ívhossz szerinti paraméterezést, mely a görbén a paraméter segítségével az egyenletes sebességű mozgást biztosíthatja, melynek a gyártás során kiemelt jelentősége van. Ha a paraméterket aszerint osztjuk ki, hogy az interpolációs pontok milyen távolságra vannak egymástól, akkor jutunk a húrhossz alapú paraméterezéshez. A paraméterezés úgy történik, hogy az u 0 =0 paramétert a p 0 ponthoz, míg a u n = paraméter értéket pedig a p n ponthoz rendeljük hozzá. A további ui (i=,,...,n-) paraméterértékek pedig a következő módon számíthatók: u 0 =0 ahol L a poligon hossza Interpolációs görbék i u = p p 0 < i < n (.4.) i L j j j= n L = p i p i (.5.) i= A munkánk során a köszörűkorong profiljának adott pontjain átmenő görbe egyenletének felírását tűztük ki célul. Az egymástól nem egyenletes távolságra elhelyezkedő pontokra igen jól illeszkedő Ferguson spline egy geometriailag jó megoldást kínált. 6

28 A Ferguson-spline: Az adott p 0, p,, p n pontokhoz u 0, u,, u n paramétereket kell rendelni. Mivel a görbén a pontok egy irányba sűrűsödve helyezkednek el, ezért célszerű a húrhosszal arányos paraméterezést bevezetni. Keressük az r(u) görbét, melyen r(u i ) = p i (i=0,,n) teljesül, és r(u) másodrendben folytonosan kapcsolódó harmadrendű ívekből áll. y pn(x n,y n ) l + p(x,y ) l + p (x,y ) ábra Ferguson spline diszkrét pontokon ln x Egy lehetséges megoldása a problémának az úgynevezett Ferguson-spline, mely egymáshoz másodrendben folytonosan kapcsolódó Hermite-ívekből áll. Az adott p 0, p,, p n pontokhoz a t 0,..., t n érintők meghatározása szükséges, de a görbe A másodrendű folytonos kapcsolódás miatt u i t i + u i + u i ti + u i t i + = ( t t ) ( t t ) = 3 u i i i + u i i + i (.6.) ahol: i =,, n-. Ez egy tridiagonális egyenletrendszer, mely az jelöléseket bevezetve a α i = u i, ( ) β i = u i + u i, γ i = u i, q i = 3 u i t i t i + u i t i+ t i (.7.) β 0 α γ 0 β γ t 0 q 0 t q = (.8.) α n β n γ n t α β n q n n n 7

29 alakban írható. Így a t 0,..., t n érintők egyértelműen meghatározhatók. Mindezek alapján az adott pontokból analitikusan is meghatározható lesz a köszörűkorong profiljának közelítő görbéje. Mivel görbe-darabokból tevődik össze, és így alkot egy görbét, a gyártásgeometriában könnyebben alkalmazható, az esetleges oszcillációs problémákat is csökkentő interpolációs görbe vizsgálata vált szükségessé. Ezéert folytatódott a vizsgálat az interpoláló Bézier-görbe irányába. Az interpoláló Bézier-görbe: Az általunk erre a célra kifejlesztett számítógépes programmal mozgás tetszőlegesen megválasztható számított érintkezési pontok a p 0, p,...p n. A húrhosszal arányos paramétereik legyenek u i (i=0,,...,n), amelyekre u i u j, minden i j-re. Egy interpolációs görbét kell meghatározni, mely illeszkedik az adott pontokra az adott paraméterezés szerint. Egy lehetséges megoldás a sok közül az interpolációs Bézier-görbe. Meg kell keresni azokat a b 0, b,,b n kontrollpontokat, amelyek által meghatározott Béziergörbe az adott p 0, p,..., p n pontokon halad át, azaz b(u i )=p i (i=0,,...,n) (.9.) A Bézier-görbe egyenlete ahol n = j= 0 n ( u) B ( u ) b b (.0.) B n j n j j j j n j ( u) = u ( u) (..) Bernstein polinomok. Felhasználva a (.)-t, a következő (.) lineáris inhomogén egyenletrendszert kapjuk: p0 p = p n n B0 ( u0 ) n B0 ( u) n B0 ( u n ) n n B ( u ) n 0 B ( u ) B ( u ) n ) ) ) n Bn ( u 0 0 n Bn ( u b n n n B ( u n b b n (..) Az ui u j feltétel egyértelmű megoldást biztosít minden bi -re. Így megkapjuk a b i kontrollpontjait a p 0, p,..., p n pontokon áthaladó Bézier-görbének. 8

30 3. ÁLLANDÓ EMELKEDÉSŰ KÚPOS ÉS HENGERES CSIGA-HAJTÁSOK ÉS MEGMUNKÁLÁSOK GYÁRTÁSGEOMETRIÁJÁNAK VIZSGÁLATÁRA KIFEJLESZTETT, VÁLTOZÓ TENGELYTÁVÚ ÚJ MATEMATIKAI MODELL 3.. A kapcsolódó felületpárok burkolás révén történő meghatározása, érintkezési görbék A gyártástechnológia tudományos feldolgozása során az utóbbi években fejlődésnek indult gyártásgeometria alapjait a szakterületen mérvadó magyar kutatók munkáit alapul véve elemzem (például: Dr. Bercsey Tibor [5], Dr. Dudás Illés [63], Dr. Horák Péter [79], Dr. Tajnafői József [35,53]). A gyártásgeometria felületek kialakításának elemzésével és rendszerezésével foglalkozik, a gyártás céljának egyes felületek előállítását tekinti. Felismeri a szerszám munkadarab pár jelentőségét, szerves kapcsolatát az egyes felületek előállításában, a származtató felület nagyon fontos fogalmát [53]. A kinematikai helyettesítés szempontjából minden folytonos megmunkálás relatív mozgások, illetve mozgásinformációk leképezésének fogható fel, így a mozgásleképezés elve amely különleges kinematikai párok kapcsolódó felületeinek gyártási alapelve a gyártásgeometria szerves részének tekinthető. A mozgásleképezésen alapuló tárgyalásmód kiindulása egy zavaró hatásoktól mentes ideális alakítási mechanizmus [8], melyhez elsősorban a származtató felületet kell definiálni. A származtató felület az alakítás szerszámát helyettesítő új modell, amely a különböző megjelenési formájú szerszámokat egy-egy olyan felülettel helyettesíti, mely ugyanazon relatív mozgásokkal ugyanazon munkadarab-felületeket hoz létre, mint a valódi szerszám. A származtató felület és a munkadarab-felület kapcsolatát a kölcsönösség, a megfordíthatóság és a teljes kapcsolódás jellemzi. A felületek kapcsolódását csak másodlagosnak tekintve, a vizsgálatok középpontjába a kapcsolódásokat létrehozó mozgásokat helyezve, ez a tárgyalásmód lehetőséget adott egy új, egységes gyártástechnológiai szemléletmód kialakítására. Mivel egyrészt említett tulajdonságai révén ez a felületpár, másrészt a relatív mozgások kinematikailag jól kezelhetők, könnyen, áttekinthetően elvégezhető a kialakuló munkadarab-felületeknek és ezek egymással való kapcsolódásának vizsgálata. Az alakítási mechanizmus bevezetése megteremti a lehetőségét annak is, hogy determinisztikus modellek helyett valószínűségelméleti és információelméleti modellek kerüljenek alkalmazásra. A mozgásleképezések modelljének kidolgozása, az alakítási mechanizmus zajos információtovábbító csatornaként való felfogása hatékony segítséget nyújthat a különleges kinematikai párok pontossági- és hibaanalízisében Tajnafői szerint. A munkadarab leképzett Σ felületét geometriai szempontból meghatározza [ 35 ]: i az F származtató felület (szerszámfelület) és a szerszám munkadarabhoz viszonyított relatív mozgásai, mely mozgások a szerszámra ható szögsebesség vektorrendszerrel jellemezhetők [ 5 ]. Így a Σ munkadarab-felület futópontjának helyvektora a paraméterek sorrendjétől függően a i megmunkálások geometriai és kinematikai szempontból kétféleképpen tárgyalhatók: a) a megmunkálás a származtató felület leképezése a munkadarab felületére, adott relatív mozgások mellett, 9

31 b) a megmunkálás a szerszám és a munkadarab közötti relatív mozgások leképzése egy felületpárra, amelynek egyik eleme a szerszámot helyettesítő származtató felület, a másik pedig a munkadarab megmunkált felülete. A felületek jelen esetben csak eszközök a kitűzött cél elérésére, az előírt relatív mozgások leképezésére. A relatív mozgásinformációk két részre oszthatók: a leképezésben és a visszaképzésben ható állandó mozgásinformációkra, az úgynevezett statikus relatív mozgásinformációkra, vagyis a relatív helyzet biztosítására, és a felületre leképezett mozgásinformációkra, az úgynevezett dinamikus relatív mozgásinformációkra, amelyek egy része időtől függetlenül is tárgyalható kinematikus relatív mozgásinformáció. A dinamikus relatív mozgásinformációk leképezése közvetlenül és közvetett mozgásleképzéssel valósítható meg. A közvetlen leképezésekkel Olivier második módszerével előállított felületpárokat az irodalom konjugált felületpároknak nevezi. A megmunkált Σ felület F származtató felülete i teljes mértékben egybeesik a Σ felülettel kapcsolódó i Σ felülettel és a m folyamán az F és Σ felületek relatív mozgásinformációi megegyeznek a i Σ és i kapcsolódása során fellépő relatív mozgásinformációkkal. Σ megmunkálása i Σ felületek m A közvetlen mozgásleképezések hátrányaként kell megemlíteni a következőket: minden különböző méretű kapcsolódó párhoz más-más szerszám kell, azaz nagy a fogazószerszám készlet [53], a gyártható kapcsolódó párok alakját és méreteit korlátozza a szerszámgépek szerszámtér mérete. Nagyobb lehetőségek rejlenek a közvetett mozgásleképezés módszerében, amelyben a Σ és i Σ felületeket a velük egybe nem m eső F származtató felület képezi le, vagyis a megmunkálás során a közvetett mozgásleképezés származtató felületét helyettesíti egy másik származtató felület úgy, hogy ez a helyettesítő származtató felület a relatív mozgása során az eredeti származtató felület koordinátarendszerében az eredeti származtató felületet hozza létre határfelületként. A helyettesítő származtató felület csak olyan felület lehet, amely relatív mozgásokkal az eredeti származtató felületből származtatható. Az eredeti származtató felület egy ilyen leképezés esetén közvetítő származtató felületként jelentkezik, melyben mint elméleti felületen keresztül kapcsolódik a munkadarab és a tényleges leképezést megvalósító helyettesítő származtató felület. E többszörösen végrehajtható felülethelyettesítéssel való leképezés Olivier első módszerének alapja. A közvetett leképezés tehát két, vagy több közvetlen mozgásleképezésből áll. Ez a leképezési mód lehetőséget ad ugyanazon felület előállítására különböző relatív mozgásinformációk mellett, illetve különböző relatív mozgásokat biztosító konjugált párok ugyanazzal a szerszámmal való létrehozására. A leképezést meghatározó fő paraméterek mindegyike a származtató felület alakja, a származtató felület és a munkadarab relatív helyzete (statikus mozgásinformáció) és a dinamikus mozgásinformáció nagy szabadságfokot biztosít a létrehozható párok szempontjából. A közvetlen leképezéssel létrehozott kinematikai párokra a vonalmenti kapcsolódások a jellemzők, azaz a pillanatnyi mozgásinformáció hordozója térgörbe, a felületmenti és pontszerű kapcsolódás csak pillanatnyi, vagy határhelyzetnek tekinthető. A közvetett 30

32 leképezéssel gyártott kapcsolódó elemek esetén a térgörbe menti és a pontszerű érintkezés az általános. Felületmenti kapcsolódás ebben az esetben is csak elfajuló esetként valósul meg. Az érintkezési vonal, a burkolófelület és a kapcsolómező meghatározása Legyen adott az S rendszerben a Σ felület r (, ) r = η ϑ (3..) egyenlete. Az S rendszer S rendszerhez viszonyított mozgásának a meghatározásához az idő szerint differenciálva az r = M r (3..) függvényt ( ) dm r = v = r (3.3.) dt és figyelembe véve a viszonylagos mozgás S és S rendszerben felírt sebességvektorai között fennálló ( ) ( ) v = M v (3.4.) összefüggést az S rendszerben a relatív sebességvektorra a ( ) dm v = M r (3.5.) dt kifejezés adódik. Hasonló levezetések alapján felírhatók a további vizsgálatoknál leggyakrabban használt sebességvektor kifejezések. A fogazott elemek viszonylagos sebességi állapotának ismeretében a kapcsolódási egyenlet az alakba írható, ahol n x, n y, n z a n i v i = 0 (3.6.) Σ felülethez tartozó i j k r r x y z n = = u ψ u u u x y z ψ ψ ψ (3.7.) 3

33 normális, és az x, y, z az r helyvektor skalár komponensei. A (3.6) egyenletet átalakítások utána az f η, ϑ, ϕ = 0 (3.8.) illetve általánosságban az f i η, ϑ, ϕ i = 0 (3.9.) összefüggésre lehet visszavezetni, ahol i az érintkezési vonalak futóindexe. Az érintkezési vonalak meghatározásához az S rendszerben az f η, ϑ, ϕ = 0 x = x ( η, ϑ) y = y ( η, ϑ) z = z ( η, ϑ) (3.0.) egyenleteket kell felhasználni. A ϕ mozgásparaméter rögzített értéke esetén a csiga felületének egyenlete, illetve a kapcsolódási egyenlet lehetőséget ad valamelyik paraméter eliminálására és így az adott ϕ értékhez tartozó egy paraméteres vektor-skalár függvény, azaz az érintkezési vonal egyenletének felírására. Amennyiben a kapcsolódási egyenletből rögzített ϕ érték mellett a felületi paraméterek közötti függvénykapcsolat explicit formában nem állítható elő, úgy a felületi paraméterek egyikének a valóságos fogfelülethez tartozó értelmezési tartományon belül különböző értékeket adva a (3.8) egyenletből kell kiszámítani a másik paraméter értékeit. Felhasználva a ϕ = áll. értékeknek megfelelő felületi paraméter értékpárokat, a (3.0) egyenletekből meghatározhatók az érintkezési vonal koordinátái. Az első tag felületseregének burkolófelületeként kialakuló második tag fogfelület egyenletei az S rendszerben ezek után az ( η ϑ ϕ ) f,, = 0 r r (, ) = η ϑ (3..) r = M r kifejezésekkel adhatók meg, ahol az M mátrix M inverze. 3

34 Az érintkezési vonalak álló koordinátarendszerbeli ( η ϑ ϕ ) f,, = 0 r r (, ) = η ϑ (3..) r = M r 0 0 vonalserege alkotja a fogazott elempár kapcsolófelületét, amely kitérőtengelyű hajtások esetében általában egy torz felület. A kapcsolófelület működő részét, a kapcsolómezőt a fogazott elemek alaptesteinek koordinátájú pontok metszik ki a kapcsolófelületből. d d a a a η (3.3.) A hordkép alakja nagymértékben függ a kapcsolóvonalak alakjától. Ezért a kapcsolódó felületeket geometriailag ideális, merev testként felfogva, vizsgáljuk a geometriai paramétereinek változtatásaival járó, hordképre vonatkozó hatásásokat A tengelymetszetben körív profilú hengeres csiga geometriai megadása Korábbi vizsgálatok [57] egyértelműen megmutatták, hogy technikai adottságaink, valamint a csigahajtások jellemzőinek összevetése alapján a hengeres csigahajtások között az ívelt profilú csigahajtást célszerű tovább fejleszteni, ill. gyártani, pl. a dróthúzógépek számára. A tengelymetszetben körív profilú csigahajtás geometriai leírását megadjuk, amelynek gyártását a [39, 4] munkáiban közölte Dudás Illés. A gyártás a rendelkezésünkre álló KM-50 típusú, a Mátrix licence alapján a Csepel Művek Szerszámgépgyárában gyártott gépen valósult meg. A gépen lévő korongszabályozási lehetőségek miatt, valamint a csiga ellenőrzésének egyszerűsítésére - az eredetileg normálmetszetben lévő körív profilt Dudás Illés javaslatára - a csiga tengelymetszetébe helyezték át. Ezzel előállt az első valóban körívprofilú csiga gyártásának lehetősége. Ezt a lehetőséget Krivenko. I. Sz. is felvetette [86]. A gyártás megoldatlansága miatt azonban (szerinte az ilyen csigát csak esztergán lehet legyártani) e típusú csiga helyett ún. "ekvivalens" csigát gyártott. Ezen hajtópárnál bizonyos mértékű alakhiba mellett történik a gyártás, amelynek a következőkben leírt csiga megközelítése a célja. A főmetszetben elhelyezett geometriai méreteket és a gyártandó csiga profilját az 3.. ábra szemlélteti, az x y z álló koordináta-rendszerben. A gyártásra javasolt körív profilú csiga profilját a főmetszetben a ρ ax és K méretek határozzák meg, ahol ρ ax a fog körívelésének sugara, K a körív alkotó középpontjának a csigaorsó tengelyvonalától való távolsága. 33

35 3.. ábra Tengelymetszetben körív alkotóval rendelkező csiga profilja [57] és geometriai jellemzői 3... A tengelymetszetben körív alkotójú csavarfelület elemzése, egyenlete A hengeres csavarfelületet egy a tengelymetszetben (axiális metszet) elhelyezett ρ ax sugarú körrel képezzük. A körívet a z tengely körül elforgatjuk, közben az állandó p emelkedési paraméternek megfelelően tengelyirányban elmozdítjuk (3.. ábra). A z mentén történő elmozdulás, ϑ szögelfordulás és p emelkedési paraméter közötti kapcsolat a következő: z = p ϑ (3.4.) Tehát p nem más, mint az egységnyi ϑ szögelfordulásnak ( radián) megfelelő tengelyirányú elmozdulás. Az alkotó körív pontjai a leképezés folyamán egy teljes körülfordulás alatt azonos p z menetemelkedésű csavarvonalakat írnak le, ez a csavarfelület menetemelkedése is egyben: A p értéke ennek megfelelően: pz = π p (3.5.) pz d m z p = = tgγ 0 =, π (3.6.) ahol: p z =p x z =m π z a menetemelkedés γ 0 a csiga osztóhengeri emelkedési szöge z a csigafogak száma A csavarfelület, - amely axiális metszetében körív alkotóval rendelkezik - esztergapadon is legyártható (azaz leképezhető). A leképzéshez, szükséges paraméterek, illetve geometriai jelek a 3. ábrában láthatók. 34

36 3. ábra A tengelymetszetben körívalkotóval rendelkező csiga profilja, a felület származtatásának vázlata (O SZ azonos O3-al) [50] Az [η,o SZ, ζ]síkban fekszik a szerszám homloklapja, azaz a kés forgácsoló éle, amely ρ ax sugarú körívvel van meghatározva. A csavarfelület egyik oldalát a mozgásban lévő kés az - él szakaszával készíti. Mivel megmunkáláskor az - forgácsolóél a csavarfelület alkotó görbéje, amely csavarmozgást végez, a készítendő csigához, mint munkadarabhoz viszonyítva, a K F (x F, y F, z F ) koordináta-rendszer origója, az (O F pont) a munkadarab tengelyvonala mentén folyamatosan haladó mozgást végez a K SZ (ξ, η, ζ) koordinátarendszerhez képest. A p paraméternek pozitív vagy negatív előjele lehet annak megfelelően, hogy jobb vagy bal menetű a csavarmozgás, illetve jobb vagy bal emelkedésű a csavarfelület. A koordináta transzformáció felhasználásával a K F (x F, y F, z F ) és a K SZ (ξ, η, ζ) rendszerek között a 3.. és 3.3. ábra alapján az összefüggések felírhatók (3.9). Miután a profil alkotója (tengelymetszetben) az [η,o SZ, ζ] síkra illeszkedik, a profilalkotó egyenlete a 3.3. ábra alapján egyszerűen felírható. A profilalkotón elhelyezkedő bármelyik pont: M j 0, ηm, ρax ( K η M ) jobb fogoldalon M b 0, ηm, ρax ( K ηm ) bal fogoldalon (3.7.) koordinátáival meghatározható. 35

37 3.3. ábra A főmetszeti alkotó meghatározása A transzformáció a csigatesthez kötött koordináta-rendszerben a következőképpen írható fel: rf = MF,sz rsz (3.8.) ahol: r sz - a K sz szerszám koordináta-rendszerben felírt szerszámél vagy generálógörbe egyenlete (körív profilú csiga esetén a 3.7. képlet szerint). A kijelölt művelet elvégzése után a csiga jobboldali fogfelületének egyenletrendszerét felírhatjuk, azaz az összes pontjának a koordinátái a következő alakba írható: cos ϑ sin ϑ sin cos 0 0 η ϑ ϑ r = M r = F F,sz sz 0 0 p ϑ ρ ax (K η) tsz (3.9.) Ezzel a csiga jobboldali fogfelület csavarfelületének paraméteres egyenletrendszerét megkapjuk a forgó koordináta rendszerben. Az egyenletek felírásánál figyelembe véve a 3.3. ábra szerinti ϑ forgásértelmét, - amely ez esetben negatív - kapjuk: x y z t x y z t F F F F F F F F = η sin ϑ ; = η cosϑ ; = p ϑ = t = η sin ϑ ; = η cosϑ ; = p ϑ + = t sz sz =. =. ρ ρ ax ax (K η) (K η) jobb profil bal profil (3.0.) 36

38 A csigatesthez kötött K F koordináta rendszerből az K álló koordináta-rendszerbe való transzformáció mátrixa: a 3.. ábra alapján. M cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 0,F = 0 0 p ϕ (3..) A transzformáció: A behelyettesítések elvégzése után: r = M,F rf (3..) cosϕ sin ϕ 0 0 η sin ϑ sin cos ϕ cos ϕ 0 0 η ϑ r = 0 0 p ϕ p ax ( K ) ϑ ρ η (3.3.) ahol ϕ a K F és K koordináta-rendszerek közötti elfordulási szög értéke, (pϕ =z 0 a csigaorsó ϕ szöggel való elfordulásakor a csavarvonal felületének tengelyirányú elmozdulása). A műveletek elvégzésével megkapjuk a csigaorsó jobboldali csavarfelületének egyenletrendszerét az álló koordináta-rendszerben: x = η sin ϑ cosϕ η cos ϑ sin ϕ = η sin ( ϑ + ϕ ) y = η cos ϑ cosϕ η sin ϑ sin ϕ = η cos( ϑ + ϕ ) z = p ( ϑ + ϕ ) ρax ( K η) (3.4.) Ha az álló koordináta rendszert a csigatesten úgy toljuk el, hogy az [x,o,y ]sík a fog szimmetria síkja legyen, a z koordinátához hozzá kell adnunk a szükséges z ax eltolási értéket, amivel a (3.4.) egyenlet módosul. Ezen kívül bevezetjük a ϑ+ϕ = Θ jelölést.(3.4. ábra) x y z = η sinθ; = η cosθ; = p Θ ρ ax (K η) + z ax.. (3.5.) 37

39 3.4. ábra A csiga és csigakerék kapcsolódási tartománya, az η és Θ paraméterek kapcsolata A csavarfelületet elegendő a csigának a csigakerék teste felőli részen vizsgálni, amely a x O z sík alatt helyezkedik el és a kapcsolódási tartományban található (3.4. ábra). A csigaorsó ezen szakaszának ponthalmaza az alábbi értékek között van: 90 Θ 70 r f η r a ahol r a a csigaorsó fejhengerének sugara és r f a csigaorsó lábhengerének sugara. A z ax értékét a Θ = 80, z = S ax / és a 3.4. ábra alapján ζ értékének a (3.5.) egyenletrendszer harmadik egyenletébe való helyettesítéssel nyerjük: ζ= ρ - K-η =ρ cosδ (3.6.) ax ax ax Sax zax = p π ρax cos δ ax jobb oldali menetprofil Sax zax = p π + ρax cos δ ax bal oldali menetprofil (3.7.) ahol az S ax az osztóhengeren mérhető fogvastagság az axiális metszetben, δ ax pedig az osztóköri profilszög az axiális metszetben. A (3.5) és (3.6) meghatározzák a csavarmenet jobb oldali profilgörbéjét a K (x,y,z ) álló koordináta-rendszerben. A fenti egyenleteket fel tudjuk használni a szerszám profiljának kiszámításánál köszörűkorong vagy maró, stb., ellenőrző idomszerek készítéséhez, a kapcsolódás vizsgálatához stb. 38

40 3..3. Kúpos csavarfelületek típusai, egyenletei A spiroid hajtópár kúpos csigájának fogfelületét hasonló módon lehet származtatni, mint a hengeres csigáét, de a szerszám axiális elmozdulásával (p a ) egyidőben - a csiga kúposságától függő - a szerszám tangenciális előtolását (p t ) is biztosítani kell. Mindezek jól érzékelhetők a 3.5., 3.6., és 3.7. ábrákon, amelyeken bemutatjuk a csavarfelületek típusait és a felületek egyenleteit is. A vonalfelületű hengeres csigához hasonlóan a spiroid csiga felülete esetén is értelmezhetők a különböző - evolvens, archimedesi, konvolut - csavarfelületek. De hasonlóan értelmezhetőek nem vonalfelületű kúpos csavarfelületek is (lásd 3.5. ábra), valamint [50]. "Kúpos archimedesi" csavarfelület egyenlete: r = F B sin ϑ + B cosϑ u sinβ + p ϑ a (3.8.) 3.5. ábra "Kúpos archimedesi" csavarfelület alkotója általános helyzetben "Kúpos evolvens" csavarfelület egyenlete: r = F B sin ϑ + r cosϑ a B ϑ + ϑ cos ra sin u sinβ + p ϑ a ahol r a = p a ctgβ p t (3.9.) 3.6. ábra Kúpos evolvens" csavarfelület alkotója általános helyzetben 39

41 "Kúpos konvolut" csavarfelület egyenlete: B sinϑ rt cos ϑ B cos rt sin r F = ϑ ϑ u sinβ + p a ϑ (3.30.) 3.7. ábra "Kúpos konvolut" csavarfelület alkotója általános helyzetben A 3.5., 3.6. ábrára vonatkozóan: B =u cosβ+p t ϑ (3.3.) p t =p a tgδ (3.3.) δ =a kúposság jellemzője ( δ 0) Az általános vonalfelületű kúpos csavarfelület Az előzőekben ismertetett kúpos csavarfelületek általános pontjainak célszerű megadásával az általános felületi ponthoz tartozó helyvektorok olyan alakjához jutottunk, melyekből kiindulva felírhatjuk a háromféle kúpos csavarfelület általános alakját (3.8. ábra). B sin ϑ + r cos ϑ B cos r sin r F = ϑ + ϑ u sinβ + p a ϑ (3.33.) A fenti általános alak: r = 0 esetén archimedesi, r = ra = pa ctgβ - p t > 0 esetén evolvens, (3.34.) 0 < r = r < r esetén konvolut csavarfelületet ad. D a δ = 0 esetén mindhárom esetben a megfelelő típusú hengeres csigát kapjuk eredményül 40

42 3.8. ábra Vonalfelületű kúpos csavarfelületek származtatásának összefoglaló ábrája 4

43 3.. Továbbfejlesztett, változó tengelytávú gyártás kinematikai modelljének matematikai leírása az állandó menetemelkedésű hengeres, kúpos csavarfelületek, illetve csigák és szerszámaik vizsgálatára Az állandó menetemelkedésű hengeres és kúpos csavarfelületek, illetve csigák és szerszámaik kapcsolódásának vizsgálatára a Dudás-féle [ 50 ] általános matematikai modell ismeretében egy új matematikai modellt (0. ábra) fejleszttem ki. A korábbiaktól eltérően a hengeres és kúpos csigák hajtásainak és megmunkálásának egy matematikai modellben való kezelésére a csigák azonos tengelyvonalának esetén történik. Ezen modell felfogás egy új CNC gép létezését feltételezi, amellyel változó tengelytáv (a o ±p ϕ ) esetén a geometriailag helyes gyártás lehetséges. Az új modell tartalmazza az a technológiai tengelytáv változása melletti megmunkálást, amelyhez új NC gép tervezése szükségeltetik. A hagyományos menetköszörűgépeken (pl. KM-50 Csepel) 5 o -os asztal elfordulás van biztosítva. Ezen érték a kúpos csigák (δ >5 o ) gyártásához nem kielégítő. A fentieken túlmenően a modell alkalmassá tehető a globoid csigák kapcsolódásának, befejező megmunkálásának elemzésére is. A disszertációban közölt matematikai modell megoldja az alábbi problémákat: a) A gépasztal korlátozott szögelfordulása (δ max=5 o ), amely nem teszi lehetővé a kúpos csigák egyszerű megmunkálását. b) A szokásos menetköszörűgépek keresztirányú, a csiga tengelyvonalára merőleges vezérlésének hiánya a kúpos csigák tengelyének szögelfordítással történő gyártása esetén sebességingadozáshoz vezet. Ennek kiküszöbölésére alkalmas matematikai modell hiánya. c) A kúpos csavarfelület menetének emelkedési problémái a befogócsúcs, illetve középpont eltolásos megoldással (δ > 0 o ) történő megmunkálás esetén. Az a), b), c) pontban felvetett problémát a 3.9. ábrán követhetjük. A 3.9. ábra a csúcspont eltolással gyártott kúpos csiga (δ >0 o ) menesztésével járó problémát szemlélteti. 3.9.a) ábra 3.9.b) ábra 3.9.c) ábra. δ =0 állapot a gépasztal alaphelyzete. δ max=5 o -ra állított csúcselállítás A menesztés elrendezésének matematikai elvi folyamata A menesztőszív felfogása A kúpos menesztésből adódód problémák: A tokmány kerületi sebessége v t =r ω. A menesztő csap érintkezési pontjának sebessége (állandó) A munkadarab szögsebessége ω g mdb v m = r m ω, g v r ω m g = = (változó) (3.35.) r r A változó szögsebesség miatt, hol nagyobb, hol kisebb kerületi sebesség áll elő, amely a menetemelkedést befolyásolja a H = p ω (3.36.) g mdb összefüggés értelmében. 4

44 A fent említett a), b), c) problémákra megoldást jelent egy új NC gép megépítése illetve a hozzá szükséges új matematikai modell megalkotása. tokmány δ () () menesztõ csap (). Alaphelyzet r mdb.. Elforgatott helyzet δ n () δ menesztõ szív gömb megtámasztás a) A csúcs eltolása a kúpos csiga megmunkálásánál menesztõ csap menesztõ szív r r () v v. n.ω g Menesztõ csap és menesztõ szív érintõ pont pályája, kúpos csiga esetén v = k gép ω. gép r Hengeres csiga ω = v k gép r ω gép = ω () () ; ω () = v k gép r () v k gép v = v r () () () ω () > ω () mdb pillanatnyi szögsebességei: pillanatnyi sugarak: r ; () r () ω () ; ω () Menesztõ csap pályája b) A menesztés matematikai elvi elrendezése 43

45 mdb. c) Menesztő szív felfogása 3.9. ábra Kúpos csiga menesztése a menet megmunkálásánál A szegnyereg csúcs elállítása révén (ezáltal a kúpos alkotó párhuzamos lesz a köszörűkorong tengelyével) a csiga menesztése a főorsó körforgása révén és a szögben álló, forgó menesztőszív miatt, a csigatengelyre merőleges síkban ellipszis pályán történik. Ennek következtében a munkadarab szögsebessége ingadozik. Ebből adódik, hogy a munkadarab szöghelyzetének függvényében hol kisebb, hol nagyobb a menetemelkedés, azaz ingadozik a névlees érték körül a p ω alapján. Célunk az a), b) c) problémák együttes kiküszöbölése az új menetköszörűgéppel (változó a= a o ±p ϕ tengelytávval) és az azt leíró új általános matematikai modellel. Ezt szemlélteti a 3.0.ábra. 44

46 y 0 y ϕ p +. a p r ϕ. pr yf ϕ (y ) x F ϕ.p a ϕ y (x F) ϕ. p a 0 F ϕ (x ) x 0 x ϕ ω r F ω p z 0 ; z ; z F ω δ P zax a =a 0 -ϕ p r Σ Σ α r y F k y y F (x 0) x ; k x ϕ γ ϕ xf c k 0 ; 0 F (z ) ω ω α γ z k (z ) 0 z ; z F 3.0. ábra Koordináta-rendszerek kapcsolata hengeres, kúpos csavarfelületek és szerszámaik gyártáselméletének általános vizsgálatánál Az alkalmazott jelölések és koordináta-rendszerek: a=a c z ax ϕ ϕ i a szerszám koordináta - rendszere (0 ) kezdőpontjának y irányú koordinátája a K o álló koordináta-rendszerben a szerszám koordináta - rendszere (0 ) kezdőpontjának x irányú koordinátája a K o álló koordináta-rendszerben, a szerszám kiemelés távolsága (pl. konvolut vagy evolvens csiga esetén a torokhenger, illetve alaphenger sugara) a csiga álló koordináta-rendszere kezdőpontjának z z F tengelymenti koordinátája a csiga forgó koordinátarendszerében a csavarfelület elfordulásának szöge, (szögelfordulási, burkolási, ill. mozgás paraméter) a szerszám elfordulásának szöge (maró v. köszörűkorong) i =ϕ /ϕ áttétel 45

47 γ a szerszámnak a hengeres csavarfelület osztóhengeri menetemelkedési szögével való - bedöntése α a szerszámnak a csavarfelület profiljára való döntésének a szöge, a jellegzetes metszetben (pl: evolvens csavarfelület köszörülése sík homlokfelületű köszörűkoronggal) p a menetemelkedés csavarparamétere p a az axiális irányú csavarparaméter radiális irányú csavarparaméter p r A koordináta-rendszerek az alábbiak szerint értelmezettek: K 0 (x 0,y 0,z 0 ) K (x,y,z ) K F (x F,y F,z F ) álló koordináta-rendszer, a megmunkáló szerszámgép koordináta-rendszere a lineáris mozgást végző gépasztalhoz kötött koordináta-rendszer csavarmozgást végző koordináta-rendszer, a csavarfelület koordinátarendszere, ebben határozzuk meg a csavarfelület η és ϑ paraméteres egyenletét. K (x,y,z ) álló koordináta-rendszer, a szerszám koordináta-rendszere, melynek z tengelye egybeesik a korong z F tengelyével. K F (x F,y F,z F ) K k (x k,y k,z k ) K sz ( ξ, η, ζ ) a szerszámhoz kötött forgó koordináta-rendszer, melynek z F tengelye γ szöget zár be a csigatest z F tengelyével segéd koordináta-rendszer generálógörbe koordináta-rendszere Vizsgálataink során - az egységes tárgyalás kedvéért úgy fogjuk fel a kinematikai leképezést, hogy a csavarmozgást végző felület a csavarfelület, a szerszámfelület pedig csak forgó mozgást végez (illetve esztergálásnál állva marad). A mozgásviszonyokat a jobb emelkedésű csavarfelületekre, azok jobboldali menetprofiljára értelmezzük, természetesen értelemszerűen érvényesek az eredmények a bal emelkedésű csavarfelületekre és a baloldali menetprofilokra is (a menetemelkedés és a generálógörbe előjeleinek figyelembevételével). A gyártásgeometria általános tárgyalásához mindenekelőtt a hengeres csavarfelületek származtatásának egységes meghatározása szükséges, amelyet a következők szerint értelmezünk. Adott az r generálógörbe a g K S Z ( ξ, η, ζ ) koordináta-rendszerben (3.. ábra). Ez a generálógörbe lehet szerszámél (pl.: esztergálásnál, a kés éle a tengelymetszeti síkban) vagy érintkezési görbe (pl.: köszörülésnél). A generálógörbe egyenletének felírásánál az η paramétert válasszuk - célszerűségi okokból - független változónak. Igy a vezérgörbe paraméteres vektor függvénye: g r = ξ η i+ η j+ ζ k (3.37.) 46

48 Az r g generálógörbét hordozó K SZ ( ξ, η, ζ ) koordináta - rendszerrel a ζ tengely mentén p paraméterű csavarmozgást közölve a generálógörbe egy csavarfelületet súrol a K F (x F, y F, z F ) koordináta - rendszerben, amely e mozgás közlése előtt egybeesik a K F koordináta - rendszerrel (3.. ábra). y x η P ξ g r sz r O sz ζ O z. π. p a p π r 3.. ábra A csavarfelület r vezérgörbéje a K g F koordinátarendszerben Az r görbe által súrolt csavarfelület a K g F (x F, y F, z F ) koordináta-rendszerben a következőképpen írható fel: r =M F F,SZ r g (3.38.) ahol: r a csavarfelület futópontjának helyvektora F M F, SZ a K SZ és K F koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrix (homogén koordinátákkal megadva) M F,SZ cos ϑ sin ϑ 0 ϑ pr cos ϑ sin ϑ cos ϑ 0 ϑ pr sin ϑ = 0 0 pa ϑ (3.39.) Ha p r =0, akkor a hengeres csavarfelület származtatásának esete áll fenn. Így a csavarfelület általános egyenlete: 47

49 xf = ξ(η) cos ϑ η sin ϑ + ϑ pr cos ϑ yf = ξ(η) sin ϑ + η cos ϑ + ϑ pr sin ϑ z F = ζ (η) + p a ϑ (3.40.) Az M F,SZ transzformációs mátrix (3.38) felépítéséből és a csavarfelület általános egyenletéből (3.6) látszik, hogy az r generálógörbe és a p g a csavarparaméter határozza meg alapvetően a csavarfelületet. Ugyancsak meghatározó szerepe van az r generálógörbének a szerszámfelület g származtatása esetén is. A szerszámfelület származtatásánál a meridiángörbe vagy az érintkezési görbe jelenti a vezérgörbét. Ez esetben a K SZ (x SZ,y SZ,z SZ) koordináta - rendszerben értelmezzük az r görbét, paraméterként az y gs Z SZ koordinátát választva: Az r = x y i+ y j+ z y k gsz SZ SZ SZ SZ SZ gsz r =x SZ (y SZ) i +y SZ j +z SZ (y SZ) k (3.4.) r generálógörbét hordozó K gsz SZ (x SZ,y SZ,z SZ ) koordinátarendszert a K F (x F,y F,z F ) koordinátarendszerben megforgatjuk, és kapjuk a K F -ben álló súrolt korongfelületet. Ez a K F forog ω -vel K -ben, mely a géphez kötött álló koordinátarendszer. A forgástest karakterisztikus görbéjének [y, z ] koordinátasíkba beforgatottjaként a korong.meridián görbéjét kapjuk, majd ez az r görbe a szerszámfelületet súrolja a K g F (x F,y F,z F ) koordináta - rendszerben (3.. ábra). K F elfordulása K -ben φ =i φ. Az r gsz görbe által súrolt szerszámfelület a következőképpen írható fel: r =M F F,SZ r gsz (3.4.) 3..ábra A szerszámfelület (pl. köszörűkorong) származtatása A szerszám generálógörbe ( r gsz ) által burkolt felület a K F koordináta-rendszerben. a generálógörbe által súrolt felület. alaphelyzet 3. Ψ-vel való elfordulás utáni helyzet 48

50 ahol: r - a szerszámfelület futópontjának helyvektora F M F,SZ - a K F és a K SZ koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrix M F,SZ cosψ -sinψ 0 0 sinψ cosψ 0 0 = (3.43.) Így a forgásfelületű szerszámfelület egyenlete: xf = x SZ (y SZ)cosψ yszsinψ yf = x SZ(y SZ )sinψ + yszcosψ zf = z SZ(y SZ ) (3.44.) Az eddigiekből is kitűnik, hogy akár a csavarfelület, akár a szerszámfelület meghatározása a cél, a felület meghatározásához egy generálógörbe ismerete szükséges. A generálógörbe meghatározásához az egymást burkoló csavarfelület-szerszámfelület párból az egyiknek az ismerete elegendő. Abban az esetben, ha a generálógörbe a keresett felület koordináta-rendszerében ismert (pl: esztergált csavarfelület esetén) akkor a felület (3.39) vagy (3.44) szerint közvetlenül meghatározható, ill. - ha ez érintkezési görbe - akkor a megfelelő koordináta-rendszerbe transzformálva bármelyik felület meghatározható Az ismertetett modell alkalmazási lehetőségei A modell egyaránt alkalmas csavarfelületek egy- és többélű határozott, vagy határozatlan élgeometriájú szerszámmal való megmunkálásának, valamint a megmunkáláshoz szükséges szerszámok tervezésére, a 3.0. ábrán feltüntetett a=a 0, c, α, γ paraméterek megfelelő megválasztásával - a szabványban rögzítetteken túlmenően - minden speciális profilú csavarfelület esetére is. A csavarfelület a megmunkáló szerszámfelület viszonylagos mozgásbeli burkolója. A két felület a relatív mozgásban egy térbeli görbe vonal mentén érintkezik egymással, melynek minden pontjára érvényes a kapcsolódás általános törvénye: ahol: () () () () n v = n v = 0 (3.45.) () n a csavarfelület normálvektora () n a szerszámfelület normálvektora () v a csavarfelület és a szerszámfelület közötti relatív sebességvektor Az érintkezési görbe ismerete lehetővé teszi a szerszám (a) direkt eset), vagy a csavarfelület (b) indirekt eset) meghatározását. Megjegyzés: ez az elmélet a gyakorlatban az elmetszés miatt módosulhat. a) Direkt feladat: adott csavarfelület megmunkálásához szükséges szerszám tervezése 49

51 A direkt feladat megoldása (a munkadarab felülete ismert) - amikor r ismeretében F keressük az r felületet, illetve az érintkezési vonal pontjait. F Adott az F rf η, ϑ kétparaméteres vektor-skalár függvénnyel a K F (x F,y F,z F ) koordináta-rendszerben a megmunkálandó felület. Határozzuk meg az r = n normál vektort: F r n = F rf F η ϑ (3.46.) A két felület közötti relatív sebesség a csiga K F és a szerszám K F koordináta-rendszere közötti transzformáció alapján határozható meg a K F rendszerben: ( ) d d ( F,F ) v F = dt r F = dt M r F (3.47.) ( ) A szükséges szerszámfelület meghatározásához a koordináta-rendszerbe kell transzformálnunk, így Ahol: ( ) ( ) d v F vektort a K F (x F,y F,z F ) vf = MF,F vf = MF,F MF,F rf = Pa rf (3.48.) dt d P a =MF,F ( MF,F ) rf dt (3.49.) az új modell kinematikai leképezés mátrixa. Ezek után vf = Pa rf (3.50.) Az n F v η, ϑ η, ϑ = 0 (3.5.) F egyenletet valamelyik belső paraméterre (pl: η ) megoldva, r F rf, = η ϑ (3.5.) felhasználásával kapjuk a felületek közötti érintkezési görbe egyenletét: alakban, melyet az (, ) r = r η ϑ ϑ = r ϑ F F F r ϑ = M r ϑ (3.53.) F F,F F transzformációval a szerszám generáló-rendszerében is felírhatunk, megkapva így a generált szerszámfelület generálógörbéjét. Az összefüggésben az M F,F és az M F,F a K F és K F koordináta-rendszerek közötti transzformációs mátrixok. 50

52 b) Indirekt feladat: adott szerszámfelület esetén a keletkező csavarfelület meghatározása Az indirekt feladat megoldása során - amikor r F adott a K F koordináta-rendszerben, azaz a megmunkáló szerszám felülete ismert -, a direkt feladatnál megismert elvet alkalmazhatjuk, csupán a transzformációk iránya változik meg. Hasonlóan járunk el, mint az a) esetben. Adott: r = F ( y SZ, ) F r ψ (3.54.) Az r F felület a burkoló felületek elmélete szerint az r F által a mozgás során előállított felületsereg mozgásparaméter szerinti módszerből adódó karakterisztikus görbék seregeként nyerhető, melyek közül az egyik pillanatnyi görbét az n ( ) = és rf = MF,F r (3.55.) F F vf 0 együttes megoldásával állítható elő a K F koordináta-rendszerben, ahol n F r r F F = y SZ ψ ; () F a F v = P r. (3.56.) Határozzuk meg az indirekt feladat konkrét megoldásához is a P a mátrixot: P dm F,F a = MF,F. (3.57.) az M F,F mátrixot a (3.65.) az M F,F mátrixot a (3.64.) mutatja. dt Ezzel: és n ( ) F vf 0 = (3.58.) rf = MF,F r (3.59.) F együttes megoldásával a karakterisztika, majd ennek ismeretében a keresett csavarfelület egyenlete előállítható. Kúpos r F esetén a karakterisztika paraméteres alakja szükséges. A 3.0. ábrán megadott általános kinematikai viszonyokat leképező koordináta-rendszerek d esetére meghatározzuk a derviált F,F dt M mátrixot. A P a és P a kinematikai leképezés mátrixait (3.70.) és (3.73.) alatt adjuk meg. Az a) (direkt) és b) (indirekt) esetben megkapott r F illetve r F felületek előállítása korszerű CNC gépen vagy hagyományos gép megfelelő kiegészítésével megoldható. 5

53 A felülettervező programok (CAD) futtatásával kapott adatokból generált CNC mondatok révén a csavarfelületek, vagy a szerszámaik gyártása automatizálható (CAM). Erre mutat példát a 4.9. és a 4.0. ábra. c) Az átviteli mátrixok meghatározása Az rf -es taghoz kötött K F koordináta-rendszer kezdőpontja alaphelyzetben (t=0 időpontban) egybeesik a K álló koordináta-rendszer kezdőpontjával. A -es tag tengelyéhez kötött K álló koordináta-rendszernek az K álló rendszerhez viszonyított relatív helyzetét az a változó (tengelytáv) határozza meg többek között. A K F koordináta-rendszer és a K F koordináta-rendszer közötti transzformációs mátrixok: A 3.0. ábra alapján: M F,lF =M F,. M,K. M K,0. M 0,. M l,lf, illetve (3.60.) M F,F =M F,. M,0. M 0,K. M K,. M,F. (3.6.) Az M,F ;M lf,, az M 0, ; M,0, az M F, ; M,F mátrixok felírása a ábra szerint követhetők. y F ϕ xf z y ax x OF O z ;z F 3.3. ábra K és K F koordináta-rendszerek kapcsolata M,F cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 = 0 0 zax M F, cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 = 0 0 zax (3.6.) 5

54 y o y x o x O o O z ; o z ϕ. p a 3.4. ábra K és K 0 koordináta-rendszerek kapcsolata M 0, = M 0 0 ϕ Pa 0 0 0, = 0 0 ϕ Pa (3.63.) y 0 x 0 (x ) y k γ x k z 0 a c 0 k (z 0 ) γ z k (z ) ábra K 0 és K K koordináta-rendszerek kapcsolata 53

55 M K,0 cos γ 0 sin γ c cos γ 0 0 a p ϕ ; sin γ 0 cos γ c sin γ r = M 0,K cos γ 0 sin γ c 0 0 a p + ϕ ; (3.64.) sin γ 0 cos γ r = 3.6. ábra K és K K koordináta-rendszerek kapcsolata M,K cos α sin α 0 = 0 sin α cos α M ; K, cos α sin α 0 = 0 sin α cos α ; (3.65.) 54

56 y y F ϕ x ϕ ϕ x F O ;OF z ;z F 3.7. ábra K és K F koordináta-rendszerek kapcsolata M F, cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 = M,F cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 = (3.66.) 55

57 MF,F = MF,0 M0,F cosα sin ϕ sin ϕ sin α sin γ sin ϕ sin ϕ sin α cos γ sin ϕ ao cosα + c sin α sin γ zax sin α cos γ sin ϕ + sin α sin γ cosϕ sin ϕ cosα cosϕ sin ϕ + sin γ cos ϕ pa sin α cos γ pr cosα ϕ sin ϕ + cos γ cosϕ cosϕ cos γ sin ϕ cosϕ c cos γ + zax sin γ cosϕ + pa sin γ ϕ cosϕ + cos γ cosϕ sin ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + sin γ sin ϕ ( c cos γ + zax sin γ) sin ϕ + cosα sin ϕ MF,F = cosϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ + sin α cos γ cosϕ + pa sin γ ϕ sin ϕ sin α sin γ cosϕ cos ϕ + cos α cos ϕ cosϕ + ( ao cosα + c sin α sin γ zax sin α cos γ) cosϕ + ( pa sin α cos γ pr cosα) ϕ cos ϕ sin α sin ϕ + cos α sin γ sin ϕ + cosα cos γ + ( pa cosα cos γ + pr sin α) ϕ cosα sin γ cosϕ sin α cosϕ ao sin α + c cosα sin γ zax cosα cos γ (3.67.) 56

58 MF,F = MF,0 M0,F MF,F cosα sin ϕ sin ϕ + cos γ cosϕ sin ϕ sin α sin ϕ ao sin ϕ + sin α sin γ cosϕ sin ϕ + cosα sin ϕ cosϕ cosα sin γ cosϕ + pr ϕ sin ϕ + cos γ cosϕ cosϕ sin α sin γ cos ϕ cosϕ + c cosϕ sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + cosα sin γ sin ϕ c sin ϕ cos cos sin sin sin sin cos sin cos ao cos = α ϕ ϕ + α γ ϕ ϕ α ϕ ϕ cos γ sin ϕ cosϕ + cosα cosϕ cosϕ + pr ϕ cosϕ sin α cos γ sin ϕ + sin γ sin ϕ + cosα cos γ pa ϕ + z ax + sin γ cosϕ + sin α cos γ cos ϕ (3.68.) 57

59 dmf,f dt sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosα + i cos γ sin ϕ sin ϕ i sin γ sin ϕ + (i zax sin γ + i c cos γ pa sin α cos γ ( cosα + i cos γ) cosϕ sin ϕ sin α sin γ cosϕ sin ϕ i sin α cos γ cosϕ + pr cos α) sin ϕ ( i cosα + cos γ) sin ϕ cosϕ i sin α sin γ sin ϕ cosϕ i pa sin γ ϕ sin ϕ + i sin α sin γ cosϕ cosϕ ( i cosα + cos γ) cosϕ cos ϕ + (pa sin γ + i zax sin α cos γ i ao cosα i sin α sin γ c) cosϕ ( i pa sin α cos γ i pr cosα) ϕ cosϕ ( i cosα + cos γ) sin ϕ sin ϕ i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ i sin α cos γ sin ϕ + (i zax sin α cos γ i ao cosα i c sin α sin γ + i sin α sin γ cosϕ = sin ϕ i cosα + cos γ cosϕ sin ϕ + i sin γ cosϕ + pa sin γ) sin ϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ ( cosα + i cos γ) sin ϕ cosϕ ( i pa sin α cos γ i pr cosα) ϕ sin ϕ + ( cosα + i cos γ) cosϕ cosϕ + sin α sin γ cosϕ cos ϕ + (pa sin α cos γ pr cosα i c cos γ i zax sin γ) cosϕ + i pa sin γ ϕ cosϕ cosα sin γ sin ϕ sin α sin ϕ 0 + pa cosα cos γ + pr sin α sin α cosϕ + cosα sin γ cosϕ (3.69.) 58

60 d Pa = MF,F MF,F dt Pa ( i ao cos cos c i zax sin ) cos i ( p sin p cos cos ) cos 0 i cosα cos γ + i cosα sin γ sin ϕ ao + i c cosα cos γ + pr + i zax cosα sin γ sin ϕ i sin α cosϕ + i pa cosα sin γ + pr ϕ sin ϕ α γ α ϕ a α r α γ ϕ ϕ + i cosα cos γ 0 + i sin α sin ϕ + ( i ao cosα cos γ c i zax sin α) sin ϕ + i cosα sin γ cosϕ = + i pa sin α pr cosα cos γ ϕ sin ϕ ( ao + i c cosα cos γ + pr + i zax cosα sin γ) cosϕ + ( i pa cosα sin γ + pr ) ϕ cosϕ i cosα sin γ sin ϕ i sin α sin ϕ 0 ( pa + i pr cosα sin γ) ϕ + i sin α cosϕ i cosα sin γ cosϕ i ao cosα sin γ i c sin α + pa + zax (3.70.) 59

61 ( ) v F = 0 x F ( + i cos α cos γ) y F + (i cosα sin γ sin ϕ ( ao + i c cos α cos γ + pr + i zax cosα sin γ) sin ϕ i sin α cos ϕ) zf + ( i pa cosα sin γ + pr ) ϕ sin ϕ ( i ao cos α cos γ c i zax sin α) cosϕ i ( pa sin α pr cosα cos γ) ϕ cosϕ ( + i cosα cos γ) xf + 0 y F + (i sin α sin ϕ + ( i ao cos α cos γ c i zax sin α) sin ϕ + i cosα sin γ cos ϕ) zf + i ( pa sin α pr cos α cos γ) ϕ sin ϕ ( v ) ( a ) F = o + i c cos α cos γ + pr + i zax cosα sin γ cosϕ + ( i pa cosα sin γ + pr ) ϕ cosϕ (i cosα sin γ sin ϕ (i sin α sin ϕ + 0 zf ( pa + i pr cosα sin γ) ϕ i sin α cos ϕ)) xf + i cosα sin γ cos ϕ) yf i ao cos α sin γ i c sin α + pa + z ax 0 (3.7.) 60

62 A P a átviteli mátrix elemeinek számítási részleteit az M mellékletben ismertetjük. Ennek inverze, a P a ugyanezen elv alapján a dmf,f Pa = MF,F dt képlet szerint számítható. Ehez meg kell határozni a dmf,f dt mátrixot: 6

63 dmf,f dt sin α sin γ sin ϕ sin ϕ i cosα + cos γ sin ϕ sin ϕ + cosα sin γ sin ϕ c pr sin ϕ ( cosα + i cos γ) cosϕ sin ϕ + i sin α sin γ cos ϕ sin ϕ sin α cos ϕ ao cosϕ ( i cosα + cos γ) sin ϕ cosϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ + pr ϕ cos ϕ + i sin α sin γ cosϕ cos ϕ + ( cos α + i cos γ) cosϕ cos ϕ + ( cosα + i cos γ) sin ϕ sin ϕ i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ + sin α sin ϕ + ao sin ϕ sin α sin γ cos ϕ = sin ϕ i cosα + cos γ cosϕ sin ϕ + cosα sin γ cosϕ pr ϕ sin ϕ i sin α sin γ sin ϕ cos ϕ ( cos α + i cos γ) sin ϕ cos ϕ + ( pr c) cos ϕ ( i cos α + cos γ ) cos ϕ cos ϕ + sin α sin γ cos ϕ cos ϕ i sin γ sin ϕ i sin α cos γ sin ϕ 0 pa i sin α cos γ cos ϕ + i sin γ cos ϕ (3.7.) 6

64 0 + i + cos α cos γ sin γ sin ϕ + c cos α pr cos α ao sin α sin γ + pa sin α cos γ sin ϕ sin α cos γ cos ϕ + pr sinα sin γ ϕ sinϕ ( ao cos γ+ pa sin γ) cos ϕ + pr cos γ ϕ cos ϕ i cos α cos γ 0 sin α cos γ sin ϕ ( ao cos γ+ pa sin γ) sin ϕ + sin γ cos ϕ Pa = + pr cos γ ϕ sinϕ + ( ao sin α sin γ c cos α pa sin α cos γ+ pr cos α) cos ϕ pr sinα sin γ ϕ cos ϕ + sin γ sin ϕ + sin α cos γ sin ϕ 0 pr cos α sin γ ϕ + sin α cos γ cos ϕ sin γ cos ϕ + ao cos α sin γ + ( c pr ) sin α pa co sα cos γ (3.73.) 63

65 A modell a gyakorlatban előforduló állandó emelkedésű kúpos- és hengeres csavarfelületek kapcsolódása, valamint hagyományos határozott élgeometriájú szerszámmal, például esztergakéssel vagy forgástest alakú szerszámmal való megmunkálásának, illetve kapcsolódásának vizsgálatára alkalmas. Segítségével módunkban áll meghatározni az érintkezési vonalat mind megadott r F (. munkadarab) felületből kiindulva (direkt feladat) mind megadott r F (. szerszám) felület ismeretében (inverz indirekt feladat). A meghatározott érintkezési vonalat pedig vezérgörbeként felhasználva (3.40) szerint határozhatjuk meg az általa leirt. szerszámfelületet, valamint (3.4) összefüggés felhasználásával az. munkadarab felületet. Az. munkadarab felület hengeres vagy kúpos csavarvonal hordozójú tetszőleges generáló görbéjű (menetszelvényű) felület lehet Az új, közös tengelyű hengeres és kúpos csigák hajtásaik és megmunkálásaik kezelésére kifejlesztett új modell alkalmazási területének összefoglalása A. szerszámfelület céljára elsősorban forgásfelületet előnyös megadni, de elképzelhető más, pl. ϕ =állandó értékkel megadott határozott élgeometriájú egyélű szerszám is. A gyakrabban alkalmazott munkadarab- és szerszámfelület típusokat a 3.8. ábrán látható táblázatban adjuk meg, jelezve az egyes esetekben 0 értéket felvevő geometriai paramétereket is. A 3.. ábrán egy jellegzetes esetet kiragadtunk a 3.7. ábra megmunkálási elrendezéséből, illetve két kapcsolódási eset paraméterezését (3.7., 3.0.) és ábrázolását adjuk meg az új modell alapján. Természetesen a kezelhető variációk sokaságát e disszertáció keretében nem áll módunkban teljes terjedelemben ismertetni, de az előzőek alapján könnyen elvégezhető. 64

66 Szerszám típusa Tárcsa-alakú maró, illetve korong Hengeres Kúpos Munkadarab típusa ZA ZI* ZI** ZN ZT ZK KA KI* KI** KN KT KK Mozgásgeometriai jellemző a >0 >0 >0 >0 >0 0 >0 >0 >0 >0 >0 >0 c α 0 0 > > γ δ >0 >0 >0 >0 >0 >0 P a P r >0 >0 >0 >0 >0 >0 Szerszám típusa Csapos korong, illetve ujjmaró Hengeres Kúpos Munkadarab típusa ZA ZI* ZI** ZN ZT ZK KA KI* KI** KN KT KK Mozgásgeometriai jellemző a >0 >0 - >0 >0 >0 >0 >0 - >0 >0 >0 c α -90 o -90 o o -90 o -90 o -90 o -90 o o -90 o -90 o γ δ >0 >0 - >0 >0 0 P a P r >0 >0 - >0 >0 0 Szerszám típusa Fazékkorong, illetve késes fej Hengeres Kúpos Munkadarab típusa ZA ZI* ZI** ZN ZT ZK KA KI* KI** KN KT KK Mozgásgeometriai jellemző a >0 >0 - >0 >0 >0 >0 >0 - >0 >0 >0 c α >0 >0 - >0 >0 >0 >0 >0 - >0 >0 >0 γ δ > >0 >0 - >0 >0 >0 P a P r >0 >0 - >0 >0 >0 * - Kúpos koronggal való megmunkálás ** - Kiemelt (c) síkfelületű koronggal való megmunkálás 3.8. ábra A leggyakrabban alkalmazott munkadarab- és szerszámfelület típusok az új modell paraméterezésével 65

67 a) a y F y F 0 F ϕ 0F ω ϕ zf x F x ω δ=0 a>0 z ax =0 c=0 α=0 γ= ábra Hengeres csigahajtás modellje b) δ>0 a>0 z ax >0 c>0 α= -90 γ= ábra Spiroid hajtás modellje c) y p ϕ ax ϕ r O y F x γ ϕ O F x F ϕ z ;z F δ>0 a>0 z ax >0 c=0 α= -90 γ>0 O F 3.. ábra Spiroid hajtás, köszörülés Az új modell főbb alkalmazási területei 66

68 A 3.9. és a 3.. ábrákon szereplő különböző technológiai, geometriaiai elrendezésekre vonatkozóan igazolható, hogy az új modellre megalkotott transzformációs (M F,F, M F,F ) és átviteli (P a, P a ) mátrixok tartalmazzák az összes lehetséges esetet. Így a megfelelő paraméterek behelyettesítésével mind a hengeres, mind pedig a kúpos csigahajtások megfelelő mátrixai előállíthatók. Természetesen éppúgy előállíthatóak az egyéb elrendezések megfelelő mátrixai is, Esztergálás a=0 b=z ax c=0 α=0 γ=0 δ=0 ϕ =0 ZTA Köszörűlés a=r l +R K b=z ax c=0 α=0 γ>0 δ=0 ϕ =i ϕ 3.. ábra A hengeres csigahajtások előállításának paraméterezése az általános matematikai modell szerint 67

69 4. A SZERSZÁMFELÜLETEK GEOMETRIAI VIZSGÁLATA, MATEMATIKAI ELŐÁLLÍTÁSA. PONTOKKAL ADOTT VEZÉRGÖRBÉJÉNEK BÉZIER- GÖRBÉVEL TÖRTÉNŐ MODELLEZÉSE Az edzett csigák gyártásához szükséges köszörűkorong profil meghatározása ezideig a hagyományos eljárással pontonként történt, vagyis az adott, nagy számítási igényű iteratív numerikus módszerrel megtalált pontokat használták. Így a korongprofil pontossága a számított pontok sűrűségétől is függ, hiszen például a CNC körív interpoláció esetében az illeszkedő körívek meghatározásához a körívek kezdő és végpontjai a numerikus módszer által talált pontok szerint lettek meghatározva. Célunk a numerikus számítással kapott pontokra olyan interpolációs görbe illesztése, melynek segítségével az illeszkedő körívek kezdő és végpontjai az interpolációs görbe görbületétől, azaz a másodrendű derivált függvénytől függően hatékonyan tervezhetővé tehetők. Lehetőséget adni további analitikus módszerek kifejlesztésére a CNC körív interpoláció esetében,úgy, hogy a körívek végpontjai ne a numerikus módszertől függően megtalált pontoktól függjenek, hanem a pontok interpolációs görbéjének egyenletéből kiszámítható görbületi sugárnak megfelelően legyenek behatárolhatók. A megfelelően meghatározott explicit formájú matematikai függvénnyel segítséget nyújtani a kívánt sűrűségű pontsor alkalmazásával a gyártási pontosság javításában. A feladat megoldását egy konkrét eset ismertetésén keresztül mutatjuk be. 4.. A tárcsamaró vagy köszörűkorong szerszámfelületének meghatározása tengelymetszben körív profilú csiga esetén. A a tengelymetszetben körív profilú csavarfelületnek, illetve csigának köszörűkoronggal való kialakítását a 4.. ábra szemlélteti. Ezen feltétel mellett határozzuk meg a karakterisztikának, illetve a köszörűkorongnak vagy tárcsamarónak, mint burkolt felületnek az egyenleteit. A kapcsolódásban résztvevő oldalfelületeknek mozgásátadáskor folytonos kölcsönös érintkezésben kell lenniük. Mivel az ilyen felületeket a viszonylagos mozgásban egy független paraméter határozza meg, így egyparaméteres (ϕ ) felületsereg burkolt felületének meghatározási módszerét kell vizsgálnunk. A tengelymetszetben körív profilú hengeres csavarfelület egyenlete: xf = η sin ϑ yf = +η cosϑ z F = pa ϑ ρax ( K η ) + zax (4..) A kitérőtengelyű hajtás vizsgálatához ez esetben 4 koordináta-rendszert (4.. ábra)alkalmazunk, az új modell (3.0. ábra) felhasználásával. Alkalmazott koordináta-rendszerek: (minden esetben jobbsodrásúak) és értelmezésük azonos a 3.0 ábrán szemléltetekkel. 68

70 y p ϕ ax y F ϕ x F ϕ a R r sz l O y F x O F γ ϕ z ;z F ω O F 4.. ábra Koordináta-rendszerek kapcsolata a köszörülés vizsgálatánál a=r l +R SZ ; c=0; α=0; γ>0; ϕ =i. ϕ ; paraméterek esetén. Az általános P a (3.70.) mátrixba (lásd 3. fejezet) a 4. ábra alapján adódó p r = 0; α = 0, c = 0 értékeket behelyettesítve a (4..) mátrixot kapjuk, amely igazolja, hogy az általános matematikai modellből ezen konkrét eset is levezethető. A P a_ív mátrix ismeretében a relatív sebesség vektor a (3.50) szerint számítható. A behelyettesítések és a számítások elvégzése után kapjuk: Pa _ ív 0 i cos γ + i sin γ sin ϕ ao + i zax sin γ sin ϕ + i pa sin γ ϕ sin ϕ i ao cos γ cosϕ + + i cos γ 0 + i sin γ cosϕ + i ao cos γ sin ϕ ( ao + i zax sin γ) cosϕ = + i pa sin γ ϕ cosϕ i sin γ sin ϕ i sin γ cosϕ 0 i ao sin γ p a ϕ + z ax (4..) Tengelymetszetben ívelt csigahajtás relatív sebességvektora oszlopvektor formában homogén koordinátákkal a vf _ ív = Pa _ ív rf _ ív ( 3.50.) szerint: 69

71 0 i cos γ + i sin γ sin ϕ ao + i zax sin γ sin ϕ η sin ϑ + i pa sin γ ϕ sin ϕ i ao cos γ cos ϕ + η cosϑ + + i cos γ 0 + i sin γ cosϕ + i ao cos γ sin ϕ () ( ao + i zax sin γ) cosϕ v F _ ív = + i pa sin γ ϕ cosϕ i sin γ sin ϕ i sin γ cos ϕ 0 i ao sin p a z ax pa ax ( K ) γ + ϕ + ϑ ρ η + z ax (4..) 70

72 Az F rf η, ϑ függvénnyel megadott, tengelymetszetben ívelt csigahajtás sebességvektorának r = ( + i cos γ) η cosϑ + + (i sin γ sin ϕ) (pa ϑ ρax ( K η ) + z ax ) () v F _ ívx = ( ao + i zax sin γ) sin ϕ + + ( i pa sin γ) ϕ sin ϕ ( i ao cos γ) cos ϕ ( + i cos γ) η sin ϑ + + (i sin γ cos ϕ) (pa ϑ ρax ( K η ) + z ax ) + () v F _ ívy = + i ao cos γ sin ϕ ( ao + i zax sin γ) cos ϕ + + i pa sin γ ϕ cosϕ (4.3.) (4.4.) () v F _ ívz + (i sin γ sin ϕ) η sin ϑ (i sin γ cos ϕ) η cosϑ = pa ϕ i ao sin γ + pa + zax (4.6.) és normálvektorának koordinátái Az K η n = ηsin ϑ + p cosϑ F _ ívx ρ (K η) ax K η n = ηcosϑ + p sin ϑ F _ ívy. (4.7.) ρ (k η) ax n = η F _ ívz n F () v η, ϑ η, ϑ = 0 (4.8.) F egyenletet valamelyik belső paraméterre (pl: η ) megoldva, az r = r ( η ϑ ) F F, felhasználásával kapjuk a felületek közötti érintkezési görbe egyenletét: r = r F F (, ) rf η ϑ ϑ = ϑ (4.9.) 7

73 A (4.8.) művelet elvégzésekor, majd a ϕ mozgásparaméter függvényeinek kiemelése szerint csoportosítva az n F _ ív v = () F _ ív ( + i cos γ) η cos ϑ + + (i sin γ sin ϕ ) (pa ϑ ρax ( K η ) + z ax ) K η ( ηsin ϑ + pa cos ϑ) ( ao + i zax sin γ) sin ϕ + ρax (K η) + ( i pa sin γ) ϕ sin ϕ ( i ao cos ) cos γ ϕ ( + i cos γ) η sin ϑ + + (i sin γ cos ϕ ) (pa ϑ ρax ( K η ) + z ax ) + K η + ( ηcos ϑ + pa sin ϑ) + i ao cos γ sin ϕ ρax (k η) ( ao + i zax sin γ) cos ϕ + i pa sin cos + γ ϕ ϕ + (i sin γ sin ϕ ) η sin ϑ (i sin γ cos ϕ ) η cos ϑ +η = pa ϕ i ao sin γ + pa + z ax 7

74 n v = ( ) F _ í v F _ í v K η p a ϑ i s i n γ η s i n ϑ + ρ a x ( K η ) + i s i n γ η s i n ϑ ( K η ) + K η + a o η s i n ϑ + ρ a x ( K η ) + p ϑ i s i n γ c o s ϑ a ρ a x ( K η ) i s i n γ p a c o s ϑ s i n ϕ + a o p a c o s ϑ + K η + i a o c o s γ η c o s ϑ + ρ a x ( k η ) + i a o c o s γ p a s i n ϑ + + i s i n γ η s i n ϑ K η i p a s i n γ η s i n ϑ + + ρ a x ( K η ) ϕ s i n ϕ + i p a s i n p a c o s + γ ϑ K η + i a o c o s γ η s i n ϑ + ρ a x ( K η ) K η + p a ϑ i s i n γ η c o s ϑ ρ a x ( k η ) i s i n γ η c o s ϑ ( K η ) K η + a o η c o s ϑ c a x ( k ) o s ϕ + ρ η i a o c o s γ p a c o s ϑ + + p a ϑ i s i n γ s i n ϑ ρ a x ( K η ) i s i n γ p a s i n ϑ a o p a s i n ϑ i s i n γ η c o s ϑ K η + i p a s i n γ η c o s ϑ + + ρ a x ( k η ) ϕ c o s ϕ + i p a s i n s i n + γ ϑ p a η ϕ + = 0 i a o s i n γ η + p a η + z a x η p a ( + i c o s γ ) η (4.0.) egyenletet kapjuk. 73

75 Az (4.) egyenletrendszer összefüggést ad a csiga és köszörűkorong érintkezési pontjainak η,ϑ paraméterei között ϕ rögzített szögelfordulási értéke mellett. Az érintkezési vonal meghatározásához a K F rendszerben az n v () = 0 F F x = x ( η, ϑ) F F y = y ( η, ϑ) F F z = z ( η, ϑ) F F (4..) egyenleteket kell felhasználni. A ϕ mozgásparaméter rögzített értéke esetén a (4..) egyenletrendszer lehetőséget ad valamelyik paraméter kifejezésére, és így egy adott ϕ értékhez tartozó egyparaméteres vektor-skalár függvény, az érintkezési vonal egyenletének felírására. Amennyiben - és jelen esetben ez áll fenn - a kapcsolódási egyenletből rögzített ϕ érték mellett a felületi paraméterek közötti függvénykapcsolat explicit formában nem állítható elő, úgy a felületi paraméterek egyikének a valóságos fogfelülethez tartozó értelmezési tartományon belül különböző értéket adva a (4..) egyenletrendszerből lehet kiszámítani a másik paraméter értékeit, melyeket rf ( η, ϑ) -ba visszahelyettesítve r megkapható az F érintkezési vonalak seregeként. A karakterisztika pontjait ( r k F ) a K F rendszerbe transzformálva, az y F ; z F síkba beforgatva kapjuk a korong tengelymetszetét (pl ábra). A csiga felületseregének burkolófelületeként kialakuló köszörűkorong felületének egyenlete a K F rendszerben ezek után a következő kifejezésekkel adható meg: n r F v = 0 () F r F = F( η, ϑ) (4..) rf = MF,F rf A koronghoz rögzített koordináta-rendszerben az érintkezési vonalak mértani helyét kifejező (4..) vektoregyenletnek a következő skalár egyenletek (4.3.) felelnek meg: () nf vf = 0 x = x ( η, ϑ) F F F = F η ϑ F = F η ϑ y y (, ) z z (, ) (4.3.) xf = x F( η, ϑ, ϕ, ϕ) yf = y F( η, ϑ, ϕ, ϕ) zf = z F( η, ϑ, ϕ, ϕ) 74

76 A tengelymetszetben ívelt csiga és köszörűkorong koordinátarendszerei közötti transzformációs mátrixok: sin ϕ sin ϕ + cos γ cos ϕ sin ϕ sin γ cos ϕ ao sin ϕ + cos γ cosϕ cosϕ + sin ϕ cosϕ cos ϕ sin ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + sin γ sin ϕ ao cos ϕ cos γ sin ϕ cosϕ + cosϕ cosϕ MF,F = sin α cos γ sin ϕ + sin γ sin ϕ + cos γ pa ϕ + z ax + sin γ cosϕ MF,F r F,F = ( sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ + sin γ cos ϕ ao sin ϕ + cos γ cos ϕ cosϕ cos γ sin ϕ cosϕ zax sin γ cosϕ + pa sin γ ϕ cosϕ + cos γ cos ϕ sin ϕ cos γ sin ϕ sin ϕ + sin γ sin ϕ zax sin γ sin ϕ + sin ϕ cosϕ + cosϕ cosϕ + pa sin γ ϕ sin ϕ + ao cosϕ sin γ cosϕ + sin γ sin ϕ + cos γ + pa cos γ ϕ zax cos γ ( 4.4) = ( 4.5) ) ( ) sin ϕ sin ϕ cos γ cos ϕ cosϕ η sin ϑ cosϕ sin ϕ + cos γ sin ϕ cos ϕ η cosϑ + + sin γ cosϕ pa ϑ ρax ( K η ) + zax ao sin ϕ + zax sin γ cos ϕ + pa sin γ ϕ cosϕ ( cos γ cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ ) η sin ϑ ( cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ cosϕ ) η cos ϑ + + sin γ sin ϕ pa ϑ ρax ( K η ) + zax zax sin γ sin ϕ + pa sin γ ϕ sin ϕ + ao cos ϕ sin γ cosϕ η sin ϑ + sin γ sin ϕ η cos ϑ + + cos γ pa ϑ ρax ( K η ) + zax + pa cos γ ϕ zax cos γ ( 4.6) 75

77 Konkrét példát az a=80 mm, m= mm, ρ ax =50 mm és K=69.5mm geometriai paraméterekkel megadott csigára (4.. ábra), illetve annak köszörülésére készítettem. 4.. ábra A tengelymetszetben körív profilú csiga A csiga köszörűkoronggal történő megmunkálásának a direkt eljárás során történő vizsgálatának módszeréhez egy C++ nyelvű számítógépes program készült. A tengelymetszetben körív profilú csiga köszörűkoronggal történő megmunkálására, a vizsgált tartományra, és benne a karakterisztikus görbe keresésére vonatkozó bemenő adatok: i =0,9 K=69,5mm a=80mm p=8,75 ρ ax =50mm z ax =5mm γ =,º φ Start =80º φ Stop =80º φ Step =0º η LabKor =38,75mm η FejKor =58,75mm η Start =38,75mm η Stop =58,75mm η Step =mm ϑ Start =-90º ϑ Stop =0º ϑ Step =º A program futtatása során megkaptuk a karakterisztika pontjait (4.3.a) ábra), mely képet ad az érintkezési vonal elhelyezkedéséről. 76

78 (O ) (-x ) (-y ) 4.3.a) ábra Az érintkezési vonal számított pontjainak elhelyezkedése K F polár koordináta-rendszerben φ =80 0 mozgásparaméternél.. táblázat: a 4.3.a) ábrához tartozó pontsor adatai a K F ( x=x F, y=y F, z=z F ) koordinátarendszerben. 77

79 A megadott csigát megmunkáló köszörűkorong profiljának pontjait ponttranszformáció útján számítottam, ezek ábrázolása a 4.3.b) ábrán látható. (y ) (-x ) (O ) 4.3.b) ábra Köszörűkorong profil A számítás menete a számítógépi programhoz készült folyamatábra alapján a 4.9 ábrán követhető. A módszer továbbgondolása révén jutottam el a tengelvmetszetben körív profilú hengeres csiga megmunkálása esetére megoldva, a köszörűkorong kopása miatt bekövetkező változó tengelytáv, a korong utánszabályozása miatt változatlan profil mellett jelentkező karakterisztikus görbe vizsgálatára. Az ebbe az irányba továbbfejlesztett és a már előzőekben ismertetett, csiga megmunkálásra és program futtatásra vonatkozó bemenő adatok esetében egyszerre más-más tengelytávolság esetére lefuttatott program a 4.4. ábrán látható. A más-más karakterisztikus görbék árázolása egyben az őket meghatározó pontsorok adatainak tárolásakor azok ismeretét is jelentik (M melléklet). A karakterisztikus görbék elemzésére adtam ezzel lehetőséget a korongkopás elfogadható mértékének behatárolására a felhasználás igénye szerint meghatározott tűrésmező függvényében. A karakterisztikus görbe-vizsgálatra készült eljárás programjának bemenő adatai: K=69,5mm a Start =70mm a Stop =0mm a Step =0mm p=8,75 ρ ax =50mm z ax =5mm γ=0º φ Start =0º φ Stop =0º η LabKör =38,75mm η FejKor =58,75mm η Start =35,75mm η Stop =85,75mm η Step =mm ϑ Start =-80º ϑ Stop =+80º ϑ Step =º nv Hatar =0,00 78

80 fistep=0º -x F -y F O F 4.4. ábra Az érintkezési vonal elhelyezkedése K F polár koordináta-rendszerben különböző tengelytáv (a szerszámkopás függvényében) (a k =0, a k =00, a k3 =70mm) esetén 4... Kinematikai felületek gyártásához szükséges szerszámprofilok meghatározása interpolációs-görbe alkalmazásával A korábban használatos numerikus módszerek esetében nehézséget jelentett a karakterisztika egyenközű, illetve megfelelő sűrűségű pontjainak, illetve olyan pontoknak a meghatározása, melyek túlzott sűrűség nélkül biztosítják a megadott tűrésen belüli közelítést szakaszok vagy körívek segítségével. A korongprofil pontossága a számított pontok sűrűségétől is függ, hiszen például a CNC körív interpoláció esetében az illeszkedő körívek meghatározásához a körívek kezdő és végpontjai a numerikus módszer által talált pontok szerint lettek meghatározva. A meghatározott matematikai függvény segít a kívánt sűrűségű pontsor alkalmazásával a gyártási pontosság javításában. Kutatási témánk egyik célja a fent említett problémák kiküszöbölése, így adott, esetleg nem a kívánatos sűrűségű pontsorból programozástechnikai szempontból egy kívánt sűrűségű pontsort visszaadni. Eljárásunk a következő: Az edzett csigák gyártásához szükséges köszörűkorong profil meghatározása ezideig a hagyományos eljárással pontonként történt, vagyis az adott numerikus módszerrel megtalált pontokat használták. Így annak pontossága a számított pontok sűrűségétől is függhet, hiszen az illeszkedő körívek meghatározásához például azok kezdő és végpontjai tervezhetővé tehetőek az interpolációs görbe görbületétől, azaz a 79

81 másodrendű derivált függvénytől függően. További analítikus módszerek kifejlesztésére ad lehetőséget a CNC körív interpoláció esetében, ha a körívek végpontjai nem a numerikus módszertől függően megtalált pontoktól függenek, hanem a pontok interpolációs görbéjének egyenletéből kiszámítható görbületi sugárnak megfelelően határolhatók be. A tengelymetszetben pontonként meghatározott korongprofilok helyett a pontokra illeszkedő (Ferguson-spline) Bézier-görbe alkalmazása. Az eljárást a hengeres, tengelymetszetben körív profilú, ívelt csiga egy konkrét esetére mutatom be. Az ebben az esetben történő geometriai pontosságra vonatkozó vizsgálat eredménye jól rámutat a módszer helyességére. A módszer az NC vezérlésekhez pontosabb eredményt adhat A köszörűkorong profilra illesztett interpolációs görbe paraméterezése A meghatározott p 0, p,, p n pontokhoz u 0, u,, u n paramétereket kell rendelni. Mivel a görbén a pontok egy irányba sűrűsödve helyezkednek el, ezért célszerű a húrhosszal arányos paraméterezést bevezetni: pi+ -p n i Legyen u 0 =0, u n = és u i+=ui +, ahol L = - pi+ -p i. L i= A köszörűkorong profil analitikus meghatározása Ferguson-spline alkalmazásával Keressük az r ( u) görbét, melyen r(u i ) =p i (i=0, ) teljesül, és másodrendben folytonosan kapcsolódó harmadrendű ívekből áll. y pn (x n,y n ) l + p(x,y ) l + p (x,y ) x 4.5. ábra A diszkrét pontokra illesztettferguson spline Egy lehetséges megoldása a problémának az úgynevezett Ferguson-spline, mely egymáshoz másodrendben folytonosan kapcsolódó Hermite-ívekből áll. A másodrendű folytonos kapcsolódás miatt ahol: u i = 3 ln t i + ( u i + u i ) t + u i t [ ( p p ) + u ( p p )] u i i i i i+ i i+ = (4.36.) 80

82 i =,, n-. Ez egy tridiagonális egyenletrendszer, mely az αi = u i, qi = 3 ( + u ), βi = u i γ i = u i, jelöléseket bevezetve az egyenletrendszer [ ( p p ) + u ( p p )] u i i i i i i+ i (4.37.) β 0 α γ 0 β γ α n β n α n γ n βn t 0 t t n = q 0 q q n (4.38.) alakba írható, ahol β, γ, α, β, q 0 0 n n 0, q n nem meghatározottak. Ezért a kezdő- és végpontban a t0 és t n érintőket tetszőlegesen, rögzített peremfeltétellel adtuk meg [8]. A görbe alakkövetése a tapasztalatok szerint rendkívül jó, azaz a tűréshatáron belűlinek értékelhető. A munka egy másik célja mindemellett az, hogy minél egyszerűbb analitikai leírását adja a pontok interpoláló görbéjének, egy hasonlóan jó, azaz tűréshatáron belüli alakkövetés mellett. A két cél együttes figyelembevétele a lehetőségek széles skálája többek között a további fejezetben leírt Bézier-görbe alkalmazását kínálta, mely az egyszerűség feltételének megfeleltethető, de a tűréshatáron belüli alakkövetés vizsgálata a fokszám növelés minél kisebbre szorítása mellett szükséges A köszörűkorong profil analitikus meghatározása Bézier-görbe alkalmazásával Egy, minél kisebb fokszámú, és minél egyszerűbb függvénnyel leírható interpolációs görbét kell meghatározni [4, ], mely illeszkedik az adott pontokra az adott paraméterezés szerint. Egy lehetséges megoldás a sok közül az interpolációs Bézier-görbe. Meg kell keresni azokat a b 0, b,,b n kontrollpontokat, amelyek által meghatározott Béziergörbe az adott p 0, p,...p n pontokon halad át, azaz ahol B n = j= 0 n ( u) B ( u) b b, (4.39.) n j n j j j j n j ( u) = u ( u) (4.40.) 8

83 Bernstein polinomok.felhasználva a (4.39.) és (4.40.)-t, a következő lineáris inhomogén egyenletrendszert kapjuk: p0 n n n B 0 ( u0 ) B ( u0 ) Bn ( u ) b0 0 p n n n = B0 ( u) B ( u) Bn ( u ) b n (4.4.) n n n p n B0 ( un ) B ( un ) Bn ( un ) bn Az ui u j feltétel egyértelmű megoldást biztosít minden bi0 -ra. Így megkapjuk a b i0 kontrollpontjait a p 0, p,...p n pontokon áthaladó Bézier-görbének. A feladat megoldására C++ nyelvű számítógépes prrogram készült, melynek segítségével egy konkrét példát mutatunk be, és ennek a geometriai pontosságát elemezzük a következőkben. A karakterisztikus görbe számított pontsora a csiga homlokmetszetében ábrázolva a 4.3 ábrán látható. Ezen pontok a köszörűkorong koordinátarendszerébe átszámolva, majd a korong tengelymetszetébe forgatva a 4.6. ábrán zölddel jelölve, az ezen pontokra illesztett harmadfokú Bézier görbe ugyanezen ábrán kékkel jelölve láthatók. y F 8

84 4.6 ábra Az előzőekben megadott geometriai paraméterezésű, tengelymetszetben körív profilú csigát megmunkáló köszörűkorong tengelymetszeti profilja Ezután az ezekből kiválasztásra került, piros körrel jelölt négy pontra illesztettem egy harmadrendű Bézier-görbét, melynek vonalát a 4.7. ábrán látható módon kék szín jelöli. y F z F 83

85 4.7 ábra Az adott tengelymetszetben körív profilú csigát megmunkáló köszörűkorong tengelymetszeti (zöld) profilja, a számított pontokból kiválasztott kontrolpontok (piros) és az azokra illesztett harmadrendű Bézier-görbe (kék) A Bézier-görbe szemmel láthatóan jól követi az érintkezési pontok által adott görbe vonalát, ezért ez az út további vizsgálatra érdemes. A számított és az illesztett pontok eloszláskülönbsége a 4.8. ábrákon jól követhető. A zöld négyzet a számított pontsort jelöli, melyekből a piros kör a kiválasztott interpolációs pontok jelölésére szolgál (4.8./a ábra). A kiválasztott pontokra illesztett harmadrendű Bézier-görbe pontjait a kék körök jelölik(4.8./b ábra). z F y F y F 84

86 z F z F 4.9/a ábra A köszrörőkorong számított pontsora 4.9/b ábra A számított pontsorra illesztett Bézier-görbe A számított, ezekből kontrollpontként kiválasztott, és a kontrollpontokra illesztett Béziergörbe pontokat együttesen ábrázolva a 4.9/c ábrán láthatjuk. 85

87 y F z F 4.9/c ábra A köszörűkorong profil elhelyezkedése K F koordináta-rendszerben az [y F,z F ] koordinátasíkba forgatva (köszörűkorong profilja zöld négyzet, kontroll pontként kijelölt pontjai piros kör, Bézier-görbe pontok kék kör jelöléssel) A konkrét esetben a Bézier-görbe egyenlete: x(u)=5,788 (- u) 3 +3,696 u(- u) +3,4343 u (- u)+0,959 u 3 (4.4.) y(u)=4,5 (- u) ,547 u(- u) +3 4,980 u (- u)+6,6969 u 3 (4.43.) ahol u [0,]. 86

88 . táblázat: a 4.9 ábrához tartozó pontsor Az ábrák és a táblázat mutatja, hogy jó úton járunk, de ezt számításokkal igazolandó, a következő eredményre jutottam: A számított pontsor és a Bézier-görbe távolságának a maximumát kerestem a számított pontsor pontsűrűségét növelve: 00 pontnál 0,0633 mm a maximális eltérés. 000 pontnál 0,0345 mm a maximális eltérés pontnál 0,035 mm a maximális eltérés pontnál 0,030 mm a maximális eltérés. Tehát megállapítható, hogy a közelítő, csupán harmadfokú Bézier-görbe már 4 kontrollpont alkalmazása esetén is a tűréshatáron belül van. 87

89 4.. Az inverz (indirekt) feladat eredményei Ez esetben ismertnek tekintjük a szerszám profilját és keressük a burkolt csavarfelületet. A szerszám felületét a csigáról való visszafejtés elvét alkalmazó kézi lefejtő készülékkel előálítottnak vesszük. Ehhez a következőkben megadjuk a matematikai eszközrendszert arra az esetre, amikor a gyémánt lehúzóval egyetlen körív menti szabályozó, lefejtő műveletet végzünk. A teljes lefejtési folyamat ennek ismétléséből áll, azaz ezen modell más paraméterezéssel alkalmas az eltérő lefejtő lehúzások hatásának számítására. Az eltérő paraméterezéssel adódó lehúzott korongadatok egyetlen koordinátarendszerben való felvételével, majd azok közül minden z F korongtengelyponti értékhez a minimális korongsugár választásával a szükséges többszörös lefejtéssel adódó korongalak számítható. y (y ) p a ϕ y 0 O O sz O F ζ (z ) 0 z ;z F z ax y sz K-η η y 0 y sz M ζ ax ρ ax Z sz O sz η n-k K a O 0 O (z ) ábra A szerszám főmetszeti alkotójának meghatározása (a=a k köszörülési tengelytávolság) A szerszámot generáló görbe egyenlete K SZ álló koordináta-rendszerben.: z + y = ρ (4.44.) SZ SZ ax Legyen rl ysz rf feltétellel! y SZ a szabad változó. A szerszám profiljának koordinátái K SZ -ben: 88

90 x = 0 y = ysz (4.45.) z = ρ ax y SZ rl ysz rf feltétellel! A szerszám profil pontjainak homogén koordinátái K SZ -ben: 0 y SZ ρax ysz (4.46.) A K SZ koordinátarendszerről a K 0 koordinátarendszerrel párhuzamos K (0) koordinátarendszerre a következő mátrixok felírásának segítségével lehet áttérni: M SZ,(0)_ív K a 0 = 0 0 b M (0),SZ_ív a0 K = 0 0 b (4.47.) A szerszámot generáló görbe egy általános pontjának homogén koordinátái K (0) -ban ( y SZ ) (0),SZ _ ív ( y SZ ) r(0) = M r (4.48.) SZ szerint számítható: 0 y SZ+ a K 0 r(0) ( y SZ ) = ρax ysz + b (4.49.) rl ysz rf feltétellel! Mivel a csigáról történő visszafejtésnél a csiga azon tengelsíkja, melyben a körívprofilt értelmezzük, γ közepes csigamenet emelkedési szöggel meg van döntve azon célból, hogy a korong a virtuális csiga menetárkába illeszkedjen, ezt a transzformációt is el kell végeznünk, lásd 4.7. ábrát. 89

91 (y )=y 0 (x ) 0 γ x (0 ); 0 0 z γ (z 0 ) 4.. ábra K (0) és K koordináta-rendszerek kapcsolata Áttérni az K (0) koordinátarendszerről a K koordinátarendszerre a 4.8. ábra alapján a következő mátrixok felírásának segítségével lehet: M,(0) _ív cos γ 0 sin γ = sin γ 0 cos γ M ; (0), _ív cos γ 0 sin γ = ; (4.50.) sin γ 0 cos γ A szerszámot generáló görbe egy általános pontjának homogén koordinátái K -ben: ( y SZ ) ( y SZ ) r = M,(0) _ ív r (4.5.) (0) szerint számítható: ρax ysz b sin γ + K = ax ysz b cos ρ + γ ysz a 0 ( y ) r SZ (4.5.) rl ysz rf feltétellel! 90

92 4. ábra A szerszám generálógörbe ( r gsz ) által burkolt felület a K F koordináta-rendszerben. a generálógörbe által súrolt felület. alaphelyzet 3. Ψ-vel való elfordulás utáni helyzet ahol: r - a szerszámfelület futópontjának helyvektora F Áttérni az K koordinátarendszerről a K F koordinátarendszerre a 4.9. ábra alapján a következő mátrixok felírásának segítségével lehet: M F, cos Ψ sin Ψ 0 0 sin cos 0 0 Ψ Ψ = M,F cos Ψ sin Ψ 0 0 sin cos 0 0 Ψ Ψ = (4.53.) A szerszám működő felületének egy általános pontjának homogén koordinátái K F -ben szerint számítható rf ( y SZ, ψ ) ( y SZ ) ( y SZ ) rf = MF, _ ív r (4.54.) ( SZ+ ) 0 ρax y SZ + b sin γ cosψ y a K sin ψ ( y SZ+ a K ) cosψ ρax y 0 SZ + b sin γ sin ψ = ρax y SZ + b cos γ Ezzel előállt az a korongfelület, melyet egyetlen visszafejtőkoronglehúzások után kapunk. (4.55.) 9

93 rl ysz rf feltétellel! 4.3. ábra K és K F koordináta-rendszerek kapcsolata A továbbiakban feltesszük, hogy a korong felülete arra a sávra van korlátozva, amely a többszörös burkolások ellenére a végleges korongfelület részeként megmaradva, és az indirekt műveletben a köszörült csiga fogának egy részét előállítaná. () Ennek meghatározásához az n F és v F a (3.55.) szerint számítható: n F r r F F = y0 y0ψ ; () F a F v = P r. (4.56.) Ehhez szükséges az átviteli mátrix tengelymetszetben ívelt csiga esetén: 0 + i+ cos γ sin γ sin ϕ ( ao cos γ+ pa sin γ) cos ϕ i cos γ 0 + sin γ cos ϕ ( ao cos γ+ pa sin γ) sin ϕ Pa_ív = + sin γ sin ϕ sin γ cos ϕ 0 + ao sin γ pa cos γ (4.57.) 9

94 () v F ( y ) SZ 0 xf + i+ cos γ yf sin γ sin ϕ zf ao cos γ+ pa sin γ cos ϕ i cos γ xf + 0 yf + sin γ cos ϕ zf ( ao cos γ+ pa sin γ ) sin ϕ = + sin γ sin ϕ xf sin γ cos ϕ yf ao sin γ pa cos γ zf = (4.58.) A tengelymetszetben ívelt csigát létrehozó köszörűkorong felületi normálisa: y SZ ρ y + b ax SZ sin γ cosψ y SZ ( y + a K SZ 0 ) sin ψ cos γ + ρ y ρ y ax SZ ax SZ y y y b sin sin SZ ( y SZ + a 0 K) cosψ r r SZ ρ + γ ψ ax SZ n F x F cos γ = = F _ ív y SZ ψ ρ y ρ y ax SZ ax SZ y y ρ + b sin γ SZ ax SZ + y + a K SZ 0 ρ y ax SZ Mindezek felhasználásával: (4.59.) 93

95 n v = ( ) F _ ív F _ ív y sz ( y sz + a 0 K ) ( ρ a x y sz + b ) sin γ c o s ϕ a 0 y sz ( y sz a 0 K ) sin c o s + ϕ γ ρ a x y sz ρ a x y sz p a y sz ( ρ a x y sz + b ) sin γ c o s ϕ p a y sz ( y sz + a 0 K ) sin γ s + c o s γ in ϕ ρ a x - y sz ax sz c o s ψ y ρ 3 sz ( sz 0 ) ( a x sz ) + y y + a K ρ y + b sin γ c o s ϕ + ρ a x y sz ( ρ a x y sz + b ) ( b y sz ( a 0 K ) ρ ax y sz ) sin γ sin ϕ + ( y sz + a 0 K ) sin γ c o s ϕ ) ρ a x y sz y sz ( y sz + a 0 K ) ( ρ a x y sz + b ) sin γ sin ϕ a 0 y sz ( y sz a 0 K ) co s co s + ϕ γ + ρ a x y sz ρ ax y sz p a y sz ( ρ ax y sz + b ) sin γ sin ϕ p a y sz ( y sz + a 0 K ) sin γ c o s ϕ + c o s γ + ρ a x y sz ρ a x y sz sin ψ + 3 y sz ( y sz + a 0 K ) ( ρ a x y sz + b ) sin γ sin ϕ + ρ a x y sz ( ρ a x y sz + b ) (( a 0 K ) ρ a x y sz b y sz ) sin γ co s ϕ + ( y sz + a 0 K ) sin γ sin ϕ ) ax y ρ sz c o s 3 p a y sz ( ρ ax y sz + b ) sin γ a 0 y sz ρ a x y sz + b sin γ p a y sz + a 0 K + a 0 ( y sz + a 0 K ) s in γ + = 0 ax y ρ sz ρ a x y sz γ (4.60.) 94

96 Határozzuk meg az r F = M F,F r egyenletet. F ( y, ) r F sz ψ = cos ψ (cos γ ( ρ ax y sz + b) sin γ cos ϕ cos ϕ y sz + a 0 K cos ϕ sin ϕ ) ( ρ ax y sz + b) sin γ sin ϕ sin ϕ y sz + a 0 K sin ϕ cos ϕ sin ψ (cos γ ( ρ ax y sz + b) sin γ sin ϕ cos ϕ y sz + a 0 K sin ϕ sin ϕ ) ( ρ ax y sz + b) sin γ cos ϕ a 0 sin ϕ cos (cos ( ψ γ ρ ax y sz + b) sin γ sin ϕ cos ϕ y sz + a 0 K sin ϕ sin ϕ ) + ( ρ ax y sz + b) sin γ cos ϕ sin ϕ + + y sz + a 0 K cos ϕ cos ϕ + sin ψ (cos γ ( ρ ax y sz + b) sin γ sin ϕ sin ϕ + y sz + a 0 K sin ϕ cos ϕ ) ( ρ ax y sz + b) sin cos cos γ ϕ ϕ + y sz + a 0 K cos ϕ sin ϕ + ( ρ ax y sz + b) sin γ cos γ sin ϕ- a 0 cos ϕ cos ψ y sz + a 0 K sin γ sin ϕ ( ρ ax y sz + b) + sin γ cos ϕ sin ψ ( ρ ax y sz + b) sin γ sin ϕ + y sz + a 0 K sin γ cos ϕ + b p a ϕ (4.6.) Az n F v F 0 rf = rf y SZ, ψ és r F = M F,F r együttes megoldásával a F karakterisztika, majd ennek ismeretében a keresett csavarfelület egyenlete előállítható. O =, x F F ϑ η, yf +ϑ 4.4. ábra Karakterisztikus pontok az ívelt csigát létrehozó köszörűkorong polár koordinátarendszerében 95

97 A számítás bemenő adatai: a=80mm, p=8,75, i=0,9, γ =,º, K=69,5mm, ρ ax =50mm z ax =5mm φ Start =0º, φ Stop =4º, φ Step =4º η LabKor =38,75mm η FejKor =58,75mm η Start =38,75mm η Stop =58,75mm η Step =mm ϑ Start =-90º, ϑ Stop =0º, ϑ Step =º nv Hatar =0,00 A számítás bemenő adatai: a=80mm, p=8,75, i=0,9, γ =,º K=69,5mm, ρ ax =50mm z ax =5mm φ Start =0, φ Stop =4º, φ Step =º η LabKor =38,75mm η FejKor =58,75mm η Start =38,75mm η Stop =58,75mm η Step =mm ϑ Start =-90º, ϑ Stop =0º, ϑ Step =º nv Hatar =0, ábra A köszörűkorong profil egy lehúzott körív esetén 4.6. ábra A köszörűkorong profil két (zöld, kék) lehúzott körív esetén A pirossal kivastagított vonaltóll balra eső részt eltávolítottnak kell értelmezni. 96

98 4.7. ábra A visszafejtett csiga profil egy lehúzott körív esetén 4.8. ábra A visszafejtett csiga profil két lehúzott körív (kék, zöld) esetén A pirossal kivastagított részei maradnak meg a görbéknek. Az indirekt úton megkapott köszörült csigafelület és az elméleti csigafelület összevetésével a lefejtő lehúzások szükséges sűrűsége behatárolható úgy, hogy a köszörült csiga felületének pontossága tűrésértéken belül adódjon. A számítás menete a számítógépi programhoz készült folyamatábra alapján a 4.0 ábrán követhető. 97

99 4.9. ábra Direkt eljárás 98

100 START A köszörűkorong geometriai adatainak bevitele: i,k,ρax,b A tengelytáv és bedöntési szög beolvasása: a0, γ A köszörűkorong felületének [ysz,ψ] kétparaméteres előállítása a korong Ksz[xsz,ysz,zsz] koordináta-rendszerének felhasználásával a korong KF[xF,yF,zF] koordináta-rendszerében A korong felületének [ysz,ψ] kétparaméteres előállítása a csiga KF[xF,yF,zF]koordináta-rendszerében A köszörűkorong és a csiga közötti v() relatív sebességvektor meghatározása a KF[xF,yF,zF] koordináta-rendszerében A köszörűkorong normálvektorának meghatározása a KF[xF,yF,zF] koordinátarendszerében A felületek kapcsolódásának meghatározása a KF[xF,yF,zF] koordinátarendszerében v () F n F =0 A felületek kapcsolódási pontjaiban a felületi paraméterek értékének meghatározása a KF[xF,yF,zF] koordináta-rendszerében A kiszámított felületi paraméterek alapján a kapcsolódási görbe pontjainak meghatározása a KF[xF,yF,zF] és a KF[xF,yF,zF] koordináta-rendszerben φ rögzített értéke esetén nem A kiszámított pontok elegendők-e igen A csiga profiljának meghatározása. Az eredeti r F csigafelület és az indirekt módszerrel kapott r F csigafelület összehasonlítása a lefejtő lehúzások elegendő sűrűségének ellenőrzése nem A lehúzások sűrűsége elegendő-e igen STOP A köszörülés elvégezhető az r F lefejtett koronggal 4.0. ábra Indirekt eljárás 99

101 4.3. Következtetések A különböző geometriájú csigahajtások gyártásgeometriája, kapcsolódásnak vizsgálata a jelenlegi legkorszerűbb módszerrel, a TCA (Tooth Contact Analisys) számítógépes programmal történik. Ez a program pontról pontra adja meg a jellemzőket és jeleníti meg az eredményeket és a kiértékeléseket. Ezen fejezetben említett módszer szerint az interpolációs görbe alkalmazásával lehetőség nyílhat a jól alkalmazható formába ágyazott analitikus leírásokra, mely meggyorsíthatja, illetve megkönnyítheti ezeknek a feladatoknak a megoldását, azaz a vizsgálatokat. (. tézis) Felvetődött kérdések indirekt eljárás esetében:. Amennyiben a korongszabályozás a csigáról való kézi visszaburkolással, kézi lefejtőkészülékkel történik, milyen sűrűségű lefejtés alkalmazása eredményez olyan korongalakot, amellyel megköszörült csiga tűrésen belüli lesz?. Hogyan csatolható vissza a korongkopásból következő csiga-méretváltozás a korong utánszabályozási folyamat gyakoriságának meghatározására? 3. Hogyan adható meg tűréstartomány a korongprofilra úgy, hogy az összhangban legyen a csiga tűréstartományával? Ezeket a kérdéseket az ismertetett matematikai modell, illetve az általunk kifejlesztett program révén megválaszoltnak tekinthetők. 00

102 5. TÉRBELI HAJTÁSOK (hengeres és kúpos csigák) HORDKÉPÉNEK ELEMZÉSE Az érintkezési viszonyok javításának és a teherbírás növelésének egyik módja a terhelés alatti érintkező felület hidrodinamikai szempontból kedvező tartományra való korlátozása, a hordkép lokalizálása [ 50 ] A hordkép értelmezése, kiértékelésének szempontjai, az elhelyezkedését befolyásoló tényezők (5.. ábra) a tématerület jelentőségének megfelelően számos jeles kutatót foglalkoztatott. Ezen területtel foglalkozó kiemelkedő szakemberek munkáiban jelentek meg róla igen komoly elemzések Bercsey[8], Litvin [94], Horák[78], Dudás[6]. A hordkép alakja nagymértékben függ a kapcsolóvonalak alakjától. Ezért a kapcsolódó felületeket geometriailag ideális, merev testként felfogva, vizsgáljuk a geometriai paramétereinek változtatásaival járó, hordképre vonatkozó hatásásokat [8]. A csigahajtópárok működési jellemzőit többek között a kapcsolódó felületek közötti olajfilm befolyásolja [96,50]. A hidrodinamikai kenőfilm és a teherbíró hordfelületek kialakítására olyan kapcsolódó felületeket kell létrehozni, amelyek azzal jellemezhetők, hogy a kapcsoló mezőn belül a pillanatnyi érintkezési görbék legalább 40%-ának iránya a relatív sebességek irányával 70º-90º-os szöget zár be [09], mint ahogyan a.6. ábra ezt szemlélteti. Fogkapcsolódás és fogoldalak érintésvonalai, r k kapcsolóvonal a főmetszetben a) ábra evolvens csigahajtás, b) ábra ívelt profilú (Cavex) csigahajtás esetén A fő paraméterek azonosak [50, 09]. 5. A hordkép beállítása ábra A helyes hordkép bállítása a forgásirány függvényében[50] A hordkép akkor jó, ha a kilépő oldal felé tolódik el, mert akkor alakulhat ki olajfilm. Természetesen a különböző szerszámmal való megmunkálás eltérő hordképet eredményez. A spiroid hajtások gyártásának során egy kúpos csavarfelület állandó emelkedés esetén változó átmérőt, illetve változó menetemelkedési szöget produkál. Ezért a megmunkáló 0

103 köszörűkorong profilját optimálni szükséges. Erre készült CNC gép, amely pontonként vizsgál és korrigál [54]. Mivel a számítások pontsorokat határoznak meg, az NC programok és az analítikus elemzések viszont explicit formában meghatározott görbéket igényelnek, ezért a dolgozat tárgya a további akban erre a tématerületre irányul. 5. Lokalizált hordkép kialakítása A korlátozott fogérintkezési mező kialakításának általában az alábbi módszereit alkalmazzák: A csigahajtópár geometriájának (α profilszög, alkotó alakja, x profileltolás tényező, a tengelytáv), geometriai adatainak olyan megválasztása, amely szükségszerűen biztosítja a lokalizált hordkép kialakulását. A lokalizálással foglalkoztak többek között Niemann [09], Litvin [9], [94]. A helyes hordkép kialakításának, lokalizálásának módszerei: Felületek geometriailag helyes kapcsolódásához nem feltétlenül szükséges a felületrészek lenyesése, a lokalizált hordkép érdekében. Két közvetítő-származtató felülettel való lefejtés, amely a kapcsolódó fogazatok lokalizálását teszi lehetővé. A dolgozatban az első módszer kutatásával foglalkozunk. Korábban a Miskolci Egyetem Gépgyártástechnológiai Tanszékén a többi módszerrel kapcsolatos kutatást és konkrét munkát is végeztek [40], de az a tény, hogy az összehangolt, helyes geometriai méretek a csigahajtás üzemi tulajdonságaival szoros összefüggésben vannak, e módszer további kutatására inspirált. Az évekkel ezelőtt elkezdett kutatás célja a különböző típusú csigahajtópárok hajtás és gyártásgeometriai kérdéseinek rendszerbefoglalása, illetve általánosítása. A [50] munka összegzi az eddig elvégzett kutatások leglényegesebb megállapításait. A jelen munkában elkészült a közös tengelyű hengeres és kúpos csigahajtások, azok elemeinek, és mindezek szerszámainak általános matematikai modellje. Ebben a fejezetben a kapcsolódó felületekkel kívánunk foglalkozni. A különböző hajtópárok üzemi jellemzőit (hatásfok, zajszint, működési hőmérséklet, átvihető teljesítmény, élettartam, stb.) döntő mértékben a kapcsolódási viszonyok határozzák meg. A kapcsolódási viszonyok között elsősorban az alábbi, egymással szoros kapcsolatban lévő és a hajtópár típusára többé kevésbé jellemző tulajdonságokat emeljük ki: az érintkezési vonalak összhosszúsága, az érintkezési vonalak elhelyezkedése, alakja, az érintkezési vonalak és a relatív sebesség viszonya, a hordkép elhelyezkedése, stb. Mindezen tulajdonságok alapvetően meghatározzák a hordképes kenőfilm kialakulását és a hajtópár teherbírását, valamint a többi üzemi jellemzőit. Bár a hajtópár típusa (geometriai kialakítása) ezeket a tulajdonságokat bizonyos határok között determinálja, de a hajtás típusára jellemző paraméterek célszerű megválasztásával az adott cél szerinti maximum, a lehetséges intervallumon belül helyes tervezéssel elérhető, illetve több cél esetében van optimalizálásra lehetőség [8, 50]. A hajtástípusok sokfélesége megkívánja, hogy az értékelési szempontok, illetve az egyes jellemzők meghatározása azonos elvek szerint történjen. Ezt a különböző típusokra egy olyan matematikai modell segítségével végezzük el, melynek alkalmazásával nemcsak a kapcsolódás szempontjából optimális paraméterek határozhatók meg, hanem a hajtópár tagjainak megmunkálásához szükséges szerszámprofil is. 0

104 A hordkép a kapcsolódó felület erőátvitelre igénybevett felülete. Nagyságának és elhelyezkedésének ismerete az egységnyi felületre jutó erő, illetve az általa befolyásolt kopás viszgálata miatt is fontos A kapcsolódási viszonyok meghatározása a hordkép vonatkozásában A hajtópár két tagja, illetve az egyik tag és a megmunkáló szerszám a viszonylagos mozgásban burkolja egymást, kapcsolódásuk az érintkezési vonal mentén történik. Ennek meghatározása a következő összefüggésekkel történik. Adott az egyik tag felülete az S F forgó koordinátarendszerben: F F ( η,ϑ) r = r (5..) r ( η, ϑ) e x + y F ( η, ϑ) e y z F ( η, ϑ) e z = x (5..) F F + Ennek normálvektora: r F r F n F = (5.3.) η ϑ A két tag közötti relatív sebességvektor meghatározható: ν d = (5.4.) () F MF,F M F,F r F d t ahol M F, F és F, F M transzformációs mátrixok, és ahol P a a kinematikai leképzés mátrixa., (5.5.) A felület ( η, ϑ ) értékpárja legyen egy u paraméter függvénye. Az érintkezési vonal egyenletét a kapcsolódás I. törvénye szerint a következő függvénykapcsolat írja le: nf νf f ( η u, ϑ u, ϕ ) = f (u, ϕ ) = = 0 (5.6.) Rögzített ϕ mozgásparaméter értékek mellett meghatározhatók a felületnek azok az η u, ϑ u paraméter értékpárjai, amelyek kielégítik az (5.6.) összefüggést. összetartozó A továbbiakban konkretizáljuk a problémát a tengelymetszetben körívalkotóval rendelkező csiga profilú felületre, amely származtatásának vázlata a 3.. ábrán látható. Az új modellben egy C nyelvű számítógépes program készült, melynek futtatásával ábrázolásra kerültek a kapcsolódást jellemző érintkezési vonalak, melyek más-más geometriai paraméterek mellett más-más képet, jelleget mutatnak. 03

105 Az általunk kiválasztott hajtás jóságának megítéléséhez alapvetően a jellemző hasonlítható össze. következő három a.) Az egyidejű érintkezési vonalak összhosszúsága Az (5.7) összefüggés felhasználásával egyenközű φ mozgásparaméter léptetés során adódott helyzetekben az egyidejű érintkezési vonalak összhosszúsága megadja egy fontos jellemzőjét a hordképnek. Az értékelés különböző paraméterek változtatásával azonos szempontok szerint történik. Például hosszúság-dimenziójú paramétereknél mm-enként, szög-dimenziójú paraméterek esetében fokonként.[45]: L = m u jt k= u jr ds (5.7.) ahol: - ds = (x(u)) + (y(u)) + (z(u)) - k - az érintkezési vonalak futóindexe - m - a vizsgált érintkezési vonalak száma - u jr - a lábhézag értékével növelt lábhengeri sugárértéknek megfelelő u paraméter érték - u jt - a csiga fejhengerhez tartozó u paraméter érték - u jt u jr = a működő fogmagasságnak megfelelő paraméterkülönbség A kiválasztási kritérium szerint ennek a maximális értéke a legmegfelelőbb, pl. a terhelhetőség és kenés szempontjából. L = max L η, ϑ (5.8.) opt j { j } ahol: - z: - a vizsgált verziók száma - L j : - az L értéke a vizsgált különböző esetekben - L opt : - L optimum értéke - j: - a vizsgált verzió futóindexe (j=,,.z) Meg kell jegyeznünk, hogy ez az érték a b) pont szerint legjobbnak ítélt változatoknál jelent további értékelési szempontot. b) Az érintkezési vonalak és a relatív sebesség ölcsönös helyzete Ebből a szempontból az a legkedvezőbb, ha a relatív sebességvektor ( ) ( v ) F és az érintkezési vonal érintője ( t) által bezárt szög átlagos értékének merőlegestől való H eltérése a legkisebb. A továbbiakban a relatív sebességvektor és az érintővektor irányába mutató, egységnyi ( ) hosszúságú v és te vektorokkal végezzük a vizsgálatot. F,e 04

106 Az (5.), (5.4)-(5.7) összefüggések felhasználásával határozható meg[63]: ahol: m n () j = F,e,i,k e,i,k k = i = H v t (5.9.) - az érintővektor t = x(u) e x + y(u) e y + z(u) e z - i - egy érintkezési vonalon a vizsgált pontok indexe pontonként egy vonalon - k - a vizsgált érintkezési vonalak indexe A változatok értékelése szempontjából ennek az értéknek (H z ) a minimuma az előnyös. ahol: opt j { j } H = min H η, ϑ (5.0.) - z - a vizsgált változatok száma - H z - az egyes változatok esetében a (5.9.) szerinti érték - H opt. - H z optimum értéke - j - a vizsgált verzió futóindexe (j=,,.z) Ez a jellemző az olajfilm kialakulása és terhelhetősége szempontjából lényeges. Értékelésünknél a H j és H opt., mint statisztikai mutatószám szerepel [45]. Kapcsolódási vonalak elhelyezkedése Az előző két kritérium szerinti maximum és minimum értékek módosítására szolgál a harmadik szempont szerinti értékelés. Ez az érintkezési vonalak elhelyezkedését, a kapcsolódási csomópontok helyzetét ítéli meg a hajtás jósága tekintetében. Konkrét példával futattuk az erre a célra kifejlesztett C nyelvű számítógépes programunkat például a tengelymetszetben körív profilú csigahajtás esetére, ahol gyakorlati tapasztalatok alapján a belépő oldali csomópontnak a hajtás fő síkjától a csigakerék szélességének /6-ra kell lennie, a csiga tengelye és a csomópontok által bezárt szög pedig a hordkép elhelyezkedését határozza meg [86]. Ezzel az eljárással egy adott hajtástípusnál tehát meghatározhatók azok az optimális geometriai paraméterek, melyek a kapcsolóvonalak ideális elhelyezkedését lehetővé teszik. Konkrét példaként a következő pontban a tengelymetszetben körívprofilú hengeres csigahajtás esetében mutatjuk be a c) pont szerinti minősítési eljárást. A csomópontok elhelyezkedését az 5.. ábra szemlélteti. 05

107 ya,b β AB = 38, X A = -9,67 mm X B = 38,4 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 85mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ = 45mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra A csomópontok szögei ( β A és β B ) a ρ ax körív profil sugara és a K profilkörív sugár középpontjának távolsága a bemenő geoetriai adatokkal megadott esetben. 06

108 5.4. Érintkezési vonalak elhelyezkedésére ható geometriai paraméterek vizsgálata tengelymetszetben körív profilú csiga és csigakerék vizsgálata esetén A kapcsolódó csiga-csigakerékpár esetén az analitikai vizsgálatok nagyon gyakran csigára vonatkozóan egyszerűbben valósíthatók meg. Vizsgálatainkat a tengelymetszetben körívprofilú csigákkal ( bal menetemelkedésű, jobboldali fogprogprofil) [], [] rendelkező hajtás esetére konkretizáljuk. y 0 y yf ϕ (y ) x F ϕ.p a ϕ y (x F) 0 F ϕ (x ) r F x 0 x ϕ ω ω p z 0 ; z ; z F ω P a Σ zax Σ r (x ); 0 F z ; k z ;z F y F ϕ x k ; x ϕ γ 0 ; 0 ; 0 ; 0 (z ) 0 K F 0 x F ω ω 5.3. ábra Az új modell tengelymetszetben körív profilú csiga és csigakerék esetén c=0, p r =0, α=0, γ= -90, A K 0F x 0F, y 0F,z álló koordináta-rendszerben a csiga paraméteres egyenlete a 0F következő alakban írható fel homogén koordinátákkal [57]. ahol: ( ϑ + ϕ ) ( ϑ + ϕ ) ηsin ηcos r0 = p aϑ ρax (K η ) + zax p a a csiga csavarparamétere (p>0 tartozik a jobb menetű csavarhoz). (5..) 07

109 η, ϑ - belső paraméter ρ ax - profil körívsugara K profilkörívsugár középpontjának távolsága a csiga tengelyétől. Tengelymetszetben ívelt csigahajtás n normálvektorának koordinátái a (4.6) szerint írhatók 0 fel: K η n0x = ηsin ( ϑ + ϕ ) + p cos( ϑ + ϕ ) ρax (K η) K η n0y = ηcos ( ϑ + ϕ ) + p sin ( ϑ+ ϕ ) (5..) ρax (k η) n0z = η Tengelymetszetben ívelt csiga-csigakerék hajtás sebességvektorának koordinátái v0f _ ív = P0a _ ív _ hajtás r0f _ ív szerint számíthatók.a P 0a _ ív _ hajtás esetén c=0, p r =0, p a =0, α=0, γ= -90, ϕ =0-nál P0a _ ív _ hajtás i 0 = 0 i 0 i ao (5.3.) () v 0 _ ívx = y (5.4.) () v 0 _ ívy = x iz () v 0 _ ívz = i y + a i Ezekből az S 0 álló vonatkoztatási rendszerben a kapcsolódási egyenlet az n v = n y + n x n i z + n i y + n a i = 0 (5.5.) ( ) ( ) 0 _ í v 0 _ í v x y y z z alakba írható. A φ elfordulási szög egy rögzített esetében az előző egyenletet kielégítő( η, ϑ ) polár koordinátájú pontok alkotják a kapcsolódási vonalakat. A fenti egyenlet implicit alakja miatt, az azt kielégítő polár koordinátapárok csak iterációval határozhatók meg. A pillanatnyi érintkezési vonalakra illeszkedő pontok számítási módjának algoritmusát tartalmazó folyamatábra a következő: A 5.4. ábra érintkezési vonalak számítógépes meghatározását mutatja az általunk kifejlesztett program alapján. 08

110 A csigakerék Σ fogfelülete az S csigakerékhez rögzített koordinátarendszerben felírt pillanatnyi érintkezési vonalak burkolófelületeként állítható elő: ( η ϑ ϕ ) = = ( η ϑ ) f,, 0 r r (5.6.) F F, rf,f _ ív _ ker ék = MF,F _ ív _ ker ék rf _ ív Az MF,F _ ív _ ker ék megfelelő formáját az ΜF,F _ ív -ből kapjuk a p a =0, z ax =0, γ= -90 értelmezése mellett. sin ϕ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ ao sin ϕ + sin ϕ cosϕ + cosϕ cos ϕ sin ϕ + ao cosϕ MF,F _ ív _ ker ék = + cos ϕ sin ϕ (5.7.) x F _ ív _ ker ék = sin ϕ sin ϕ η sin ϑ cosϕ sin ϕ η cosϑ cosϕ pa ϑ ρax ( K η) ao sin ϕ (5.8.) y F _ ív _ ker ék = sin ϕ cosϕ η sin ϑ + cos ϕ cosϕ η cosϑ sin ϕ pa ϑ ρax ( K η ) + a0 cosϕ z F _ ív _ ker ék = cosϕ η sin ϑ sin ϕ η cosϑ Érintkezési vonalak előállítását szolgáló számítógépes program működési elve A program, a bemenetként átadott adatokból kiszámolja az eljárás megkezdéséhez szükséges peremfeltételeket, amik alapján lehatárolásra kerül a vizsgálat kiterjedése. A kereső eljárás a ( ) peremfeltételeknek megfelelően kiszámolja az előírt mátrixokat és az n v = 0 alapján előállítja az érintkezési pontokat. Az eredményül előállt ponthalmazt különböző rendező algoritmusok segítségével érintkezési a görbékké, majd területekké alakítja. Meghatározásra kerül az érintkezési csomópontok helyzete és nyílásszöge, valamint a területarányok vizsgálata is megtörténik. Végül a változatok értékelése, majd az optimum megkeresése után, az eredmények kiírásával zárul a folyamat. 09

111 (y ) (O ) (x ) i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 55mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra Az érintkezési vonalak az általunk kifejlesztett számítógépes program alapján az [(x ), (y )] síkban Az [(x ), (y )] sík az [x, y ] síkkal párhuzamos, a célszerű ábrázolás miatt az y tengely mentén pozítív irányba tolva. Az M ábrákon a koordinátatengelyek értelmezése a fent bemutatottak alapján történik. 0

112 START Bemenõ adatok beolvasása Vizsgált értékek megadása (ρ ax ; K ; x) Mátrixok meghatározása d d M F, F ; M F, F; M F, F ; M F, F ; Pa dt dt n. v=0 alapján az érintkezési pontok meghatározása Az érintkezési pontok alapján a terület arány értékek meghatározása K A;K értékek és ( B β ) meghatározása B A β i Kell-e más értéket vizsgálni? A vizsgált változatok értékelés szerinti sorbarendezése és ábrázolása Az optimális megoldás kiválasztása Az eredmények kinyomtatása kirajzolása n STOP ; Pa Hordkép vizsgálat bemenő adatai axiális emelkedés körívprofil sugara körívprofil középpontjának távolsága a csigatengelytől koordináta-rendszerek axiális eltolása tengelyenként koordináta-rendszerek elforgatási szögei tengelyenként lábhenger átmérő fejhenger átmérő p ax ρ ax K a,b,c α,γ d fl d a profileltolási tényező x burkolási paraméter ϕ áttétel i menetemelkedés iránya (j/b) Hordkép vizsgálat kimenő adatai az érintkezési vonalak területe K A ; kapcsolódási csomópontok helyzete kapcsolódási csomópontok nyílásszöge a kenés szempontjából optimális érintkezési terület %-os aránya K B β ΑΒ H o 5.5. ábra A hordkép vizsgálatának folyamata

113 Az 5.6 ábrán látható módon csak a kerék fejhengerének és a csiga fejhengerének nagyságától függő η min és η max közé eső pontokat tekintjük, mint a hordkép részeit ábra A hordkép legszélső pontjai Ez a csigakerék működő fogfelületén lévő, érintkező pontok legszélső pontjainak halmaza, azaz a legszélső pontjait adják a hordképnek. Ezeket a pontokat az x koordinátatengellyel párhuzamos szeletelés esetében a legkisebb x koordinátájú, azaz balról határolópontokat, H bal, a legnagyobb x koordinátájú, azaz jobbról határoló pontokat, H jobb, kívánjuk egy interpolációs görbével leírni. A H bal η min paraméterű pontja P és η max paraméterű pontja P 3. A H jobb η min paraméterű pontja P és η max paraméterű pontja P 4. Ezen P( η, ϑ, ϕ ),pontok K F ( xf, yf, zf ), és KF ( x F, y F, zf ) koordinátái a (4..) és (4.3.) szerint számíthatók n n n n A H bal pontokat Ezekből az P P η, ϑ, ϕ, P η, ϑ, ϕ,..., P η, ϑ, ϕ P -nek nevezzük.,,, 3 r r F = rf ( η, ϑ) F = MF,F rf 0 segítségével a 0 0,, 0,,,, n n, n, n, 3 (5.9.) P P x, y, z, P x, y,z,..., P x, y, z P koordináták számíthatók. A pontokhoz az u i (i=0,,...,n), amelyekre u i u j, minden i j-re, és u i húrhossz szerinti paraméterezést rendeljük, ahol legyen u 0 =0, u n =. ( +,, ) ( +,, ) ( +,, ) n i i i i i i i= 0 L = x x + y y + z z (5.0.) u = u + i+ i ( xi+, xi, ) + ( yi+, yi, ) + ( zi+, zi, ) L (5..) Egy interpolációs görbét kell meghatározni [4, ], mely illeszkedik az adott H bal pontokra az adott paraméterezés szerint. Egy lehetséges megoldás a sok közül az interpolációs Béziergörbe.

114 Meg kell keresni azokat a b 0, b, b n kontrollpontokat, amelyek által meghatározott Bézier-görbe az adott P =p 0, P =p,..., P =p n pontokon halad át, azaz 0 A Bézier-görbe egyenlete n b (u i )=p i (i=0,,...,n) (5..) = n n u B j ( u) j j=0 b b, (5.3.) ahol n n j n j B j ( u) = u u j ( ) (5.4.) Bernstein polinomok. Felhasználva a (5.)-t és az (5.3.)-t a következő lineáris inhomogén egyenletrendszert kapjuk: p0 n B0 ( u0 ) p n B0 ( u) = n p B0 ( u n ) n B B B n n n ( u ( u ( u 0 n ) ) ) n B n ( u ) b 0 0 n Bn ( u n ) b n Bn ( u n ) bn (5.5.) Az ui u j feltétel egyértelmű megoldást biztosít minden b i -re. Így megkapjuk a b i kontrollpontjait a p 0, p,...p n pontokon áthaladó Bézier görbének. Ugyanígy járunk el a H jobb pontok esetén. A H jobb pontokat n n n n P P η, ϑ, ϕ,p η, ϑ, ϕ,..., P η, ϑ, ϕ P -nek nevezzük.az előzőekben 4 felvázolt eljárással meghatározzuk ezen pontok koordinátáit a K F-ben, a húrhossz szerinti paraméterezésüket, majd a rájuk illeszkedő Bézier görbének a b 0, b, b n kontrollpontjait, 0 n amelyek által meghatározott Bézier-görbe az adott P =p 0, P =p,..., P =p n pontokon halad át, azaz a Bézier-görbe egyenlete. = n n u Bj ( u) j j=0 b b 3

115 (y ) (y ) (O ) (x ) 5.7 a) ábra (O ) (y ) (x ) 5.7 b) ábra (O ) (x ) 5.7 c) ábra A hordkép szélső pontokra illesztett Bézier-görbe példája (M melléklet, 5..táblázat 6. sora) a) a hordkép és a burkoló Bézier-görbe, b) a Bézier-görbe pontsora, c) a Bézier-görbe és az eredeti görbe közti eltérés 4

116 Következtetések: A ρ ax paraméter növelésének hatása, és a K paraméter növelésének hatása meghatározó az érintkezési vonalak alakjára és a csomópontok elhelyezkedésére (lásd. M ábra). Numerikus számításokból megállapítható, hogy a profilkörív sugár középpontja K távolságának kis mértékű megnövelésével is jelentősen nőnek a β A és βb szögek értékei, s így a két szög összege is, amely a kapcsolókép szélességével van kapcsolatban. Ehhez képest csak nagyon kis mértékű a hatása a nagy értékű ρ ax profilsugárív változásának is. Tehát tervezéskor, a kapcsolókép növelése érdekében célszerű a profilsugár középpontjának a csiga tengelyétől való távolságát változtatni, növelni. A fentiek alátámasztására szolgál az M melléklet. Az M mellékletben bemutatott ábra, illetve az táblázat. Mindezen eredmények jól felhasználható a konstrukciós paraméterek optimálására ill. a hordkép lokalizálására, meghatározására. Paraméterek vizsgált értéktartománya az 5.3 táblázatban adottak. A tartomány magába foglalja a köszörülés gyártási hibáiból való eltérés lehetséges értékeit, illetve a konstrukciós optimálás eltéréseket. Hordkép Tervezett Lehetséges eltérés az optimum kereséséhez a 80 [mm] a 90 a 70 [mm] K 69,5 [mm] K 80 K 50 [mm] ρ ax 50 [mm] ρ ax 70 ρ ax 35 [mm] x x 0,8 x,5 β AB 55 [º] β AB 40 β AB 70 [º] X A X = (X A + X B ) [mm] X A 6 6 X X X 6 A 6 Összegzés 5.3 táblázat A hengeres és kúpos csiga fogfelületén lévő érintkezési pontok kiszámítására egy C nyelvű számítógépes program lett kifejlesztve. A kiszámított, szélső érintkezési pontokra Bézier görbét illesztettünk, melyek használatával az egész felületet analítikusan kezelhetőnek tekinthetjük. Ez azt jelenti, hogy a módszer tetszőleges kúpos és hengeres csigahajtások érintkezési felületének lokalizációjához és dimenzionálásához is új lehetőséget nyújthat a tervezés során. 5

117 5.5. Az új modell hasznosítása Az előzőekben ismertetett számítógépes eljárás lehetőséget biztosít arra, hogy a tervezés során a hajtópárok geometriai adatait, paramétereit az alábbi szempontok szerint határozzuk meg: A kapcsolódási vonalak alakja, a csomópontok elhelyezkedése mind a teherbírás, mind a kenés szempontjából optimális legyen. A hajtópárnak a gyártási és szerelési hibákra való érzékenysége minimális legyen. Az optimális paraméterekkel megtervezett hajtópár legyártásához az általános számítógépes modell eredményeit felhasználó CNC köszörűkorong lefejtő berendezést kellett kifejleszteni. Ez a berendezés a köszörűkorong tengelymetszetében szabályozza le a profilt a hajtás típusától függően megtervezett paraméterek felhasználásával. A hajtópárok tervezésének vonatkozásában célunk további hajtás és gyártásgeometriai vizsgálat elvégzése, az optimális geometriai paraméterek meghatározása a hordkép kedvező elhelyezkedésének biztosítása céljából, valamint a hajtópárok és szerszámaik gyártása és ellenőrzése számítógéppel vezérelt gyártócellában, mely tartalmaz egy CNC menetköszörű gépet CNC korongszabályozót és egy 3D-s mérőgépet a megfelelő szoftverekkel. 6

118 6. AZ ÉRTEKEZÉS EREDMÉNYEINEK ÖSSZEFOGLALÁSA, TÉZISEK. Tézis: Korábbi, hengeres csigák, és szegnyereg elállítása kúpos csigák megmunkálását kinematikailag leképező általános modell azon problémájának kiküszöbölésére, miszerint a menesztőszívvel történő forgásátadás az esetek többségében a munkadarabnál szögsebesség-ingadozást okoz, olyan új kinematikai modell matematikai leírását dolgoztam ki, amelyben a tengelyek távolsága megmunkálás közben változva teszi lehetővé a kúpos csigaalak követését, kiiktatva ezáltal a csiga forgásának szögsebesség ingadozását. A modell megfelelő paraméterválasztással alkalmas: -hengeres és kúpos csavarfelületek forgásfelülettel (például köszörűkoronggal (f 3 )) történő megmunkálásának elemzésére, -hengeres és kúpos csigák (f ) és csigakerekek (f ) kapcsolódásának vizsgálatára, -hengeres és kúpos lefejtőmaróval (f 4 ) történő csigakerék fogazás modellezésére, függetlenül a csavarfelület profiljától, -hengeres és kúpos lefejtőmarók (f 4 ) és az azt megmunkáló forgás felületű szerszám (például csapos korong (f 3 )) vizsgálatára. {5, 5, 9, 0,, 5}. Tézis: A szerszámfelületek direkt módszer (f csiga és a hozzá tartozó f 3 köszörűkorong) szerinti vizsgálata során a korábbi numerikus elemzéssel szemben analítikus eljárást alkalmaztam. A szerszámfelület leírására új összefüggést tártam fel. A felállított matematikai függvény lehetővé teszi az optimális sűrűségű pontsor előállítását tetszőleges koordináta tengelyen, ami a gyártási pontosság javulását eredményezi azáltal, hogy a profilpontokat egy interpolációs görbét leíró függvénnyel helyettesíti. Meghatároztam a kívánt közelítési pontossághoz az előnyös interpolációs görbe-típust, valamint a minimálisan szükséges profilpontok számát. {,, 3, 6} A korábban használatos módszerek nem adják mindig a kívánt pontosságot a CNC körív interpoláció esetében, mivel nincs lehatárolva a körív kezdő és végpontja, hanem az iterációs módszertől függően megtalált pontok határozzák meg azt. Az új eljárás nagyobb szabadságot biztosíthat az illeszkedő körívek végpontjainak oly módon történő megválasztására, hogy az illeszkedő körívek sugarának meghatározása a pontokra illesztett interpolációs görbe egyszerű másodrendbeli derivált függvényének alkalmazásával a profil geometriai pontosságának javítása érdekében történjen. Ez a módszer lehetővé teszi azt is, hogy adott pontsorból egy korszerű CNC gép számára programozható függvényt állítsunk elő. A pontokkal adott profil görbék helyettesítése Bézier-görbékkel történik. A szerszámprofil direkt eljárással történő pontsoronkénti meghatározása nem ad egyenletes pontsűrűségeloszlást egy megadott koordinátatengely mentén. Munkám során az NC-CNC vezérlések számára is jól alkalmazható függvényeket határoztam meg. Ezzel kiküszöböltem a korábbi eljárások hátrányait (pontsűrűségeloszlás egyenetlensége). A kidolgozott módszer a korszerű CNC gépek pályavezérléséhez nyújt megfelelő alapot, és tovább analítikus módszerek kifejlesztésére ad lehetőséget. 3. Tézis: Meghatároztam a direkt eljárás folyamatában a hengeres csigák (f ) megmunkálásakor a köszörűkorong (f 3 ) kopásából adódó változó tengelytáv -a korongprofil utánszabályozása miatt változatlan korongprofil figyelembevételével- a karakterisztikus görbe-változások vizsgálatának módszerét. Az ebből adódó karakterisztikus görbe-változások alapjul szolgálnak az alámetszés, illetve az elhordás elkerülésének vizsgálatához. {6, 8, 3, 6} Ennek a módszernek az ismeretében a köszörűkorong kopás határa vizsgálhatóvá válik. 7

119 Ezt a problémát az ismertett matematikai modell, illetve az általunk kifejlesztett számítógépes program révén konkrét esetek vizsgálatára alkalmasnak, azaz megoldottnak tekinthetjük. 4. Tézis Az. Tézis szerinti, változó tengelytáv kezelésére is alkalmas, új kinematikai modellt alkalmaztam az indirekt eljárás során a csigáról lefejtett korong (f 3 ) felületének, illetve az azzal köszörült, tengelymetszetben körív profilú csiga (f ) felületének meghatározására, mely összevetve az elméleti csavarfelülettel, a koronglefejtés paramétereinek optimálására ad alapot. A kidolgozott eljárás alapjául szolgál a csigaprofil torzulás elkerülése érdekében végzendő korongszabályozás beállításának meghatározásához. Ezáltal megválaszoltak a következő felvetések: - milyen sűrűségű lefejtés eredményez olyan korongalakot, amellyel megköszörült csiga a megadott tűrésen belül lesz, - mekkora tűrésmező megadása szükséges a csigáról való visszafejtéssel szabályozott korong számára ahhoz, hogy az azzal köszörült csiga felülete tűrésen belül legyen. {8, 6} 5. Tézis: Hordkép lokalizálás és geometriai paraméterek (a tengelytáv, p paraméter, a csiga tengelymetszetbeli görbéjét meghatározó paraméterek, úgymint körív esetén a körív középpontjának és a csiga tengelyének a K távolsága, a körív ρ ax sugara, x profileltolási tényező) kapcsolatát tártam fel. Matematikai eszközként Bézier-görbéket alkalmaztam. Megállapítottam a csavarfelület tervezési, geometriai paramétereit a helyes kapcsolódás érdekében. Jellegzetes görbék (érintkezési görbék), valamint a hordkép és a csigakerék fogfelülete arányának vizsgálatát végeztem el különböző paraméterértékek (emelkedési paraméterek, profilgörbe elhelyezkedése, tengelytáv) esetén. Érintkezési görbék esetében a hordkép lokalizálása vált lehetővé, az előírt kapcsolódási feltételek alapján. {, 7, 8,, 3, 4, 7, 9,} 8

120 7. TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK, LEHETŐSÉGEK A kúpos és hengeres csavarfelületek között létesíthető projektív transzformációs kapcsolat elemzése. További matematikai vizsgálat tárgya lehet a felület felírásának más módszerei és az alkalmazhatóság kapcsolatának vizsgálata. Ezen értekezésben említett módszertől eltérően egyéb szempontok szerint alkalmas, más spline-interpolációs-aproximációs görbe, illetve felület felírásaival lehetőség nyílhat a gyártás, majd a működés közbeni torzulás analitikus úton történő vizsgálatára. A gyártás folyamatában a megmunkáló szerszám és a csiga tűrésmezőinek folyamatos összehangolására vizsgálati módszerek kidolgozása különböző hajtások esetében. 9

121 8. IRODALOMJEGYZÉK. Albert, R.-Bilz, R.: Fertigung der Schaubflaechen aller Arten von Zylinderschnecken durch Wirbeln, Fraesan und Schleifen Machinenbautechnik, Berlin 37 (988) 0.pp Altmann,F.G.: Bestimmung des Zahnflankeneingriffs bei allgemeinen Schraubengetrieben VDI Forschung aus dem Gebiet des Ingenieurwesens, 937. No Bär,G.: Geometrie-Eine Einführung in die Analytische und Konstruktive Geometrie, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, Stuttgart, Bakondi, K.: Hátraesztergált marók és fogazószerszámok tervezése Tankönyvkiadó, Budapest, Balajti, Zs. Bányai, K. Dudás, I.: A New Method to Describing of the Bearing Pattern Of The Spiroid Driving, th International Conference on Tools, ICT-004, spet. 9-, 004, Miskolc, Hungary pp ISSN Balajti,Zs.: Moge-féle ábrázolás bijektivitásának vizsgálata, Egyetemi doktori értekezés, 995. Debrecen, Kossuth Lajos Tudományegyetem, 995., pp Balajti Zs. -Dudás, I.: A Development of a New Method to Descreption of the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, Production Processes and Systems, A Publication of the University of Miskolc, Volume 4 (004), Miskolc University Press 004., pp. 3-3 HU ISSN Balajti, Zs. Dudás, I.: Spiroid hajtások hordképének meghatározása és analitikus leírása Bézierfelülettel, Gépgyártás c. folyóirat, XLV. Évfolyam, szám, 0-4. oldal 9. Balajti, Zs.: Bijectivity of Monge projection of cubic curves Eger, Balajti Zs.: Examination for the Bearing Pattern of the spiroid Driving, Doktoranduszok fóruma, Szekció kiadvány, Miskolc, 004. november 9.; pp Bányai K.: Új típusú spiroid hajtások gyártásgeometriai és elemzése. Készülő PhD dolgozat., Bányai, K.: Hengeres csigák gyártásgeometriája és ellenőrzése, Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, Bercsey, T.: Csigahajtópárok kapcsolódási viszonyainak számítógépes szimulációja és optimálása. MicroCAD 90, Miskolc, Bercsey, T.: Globoid csiga és sík fogfelületű hengeres kerék kapcsolódási viszonyainak vizsgálata. Egyetemi doktori értekezés, Budapest, Bercsey, T.: Toroidhajtások elmélete. Kandidátusi értekezés, Budapest, Bercsey, T.; Horák, P.: A new tribological moldel of worm gear teeth contact. ASME 7th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 996. Proceedings, pp Bercsey,T. - Horák,P.: Error analysis of worm gear pairs 4th World Congress on Gearing and Power Transmission CNIT-PARIS 8. Bercsey,T. Groma I.: Csavarfelületek geometriai hibáinak modellezése. Géptervezők és Termékfejlesztők Országos Szemináriumának kiadványa, Miskolc, 006/8-9. kötet LVII évfolyam old. 9. Bilz,R.: Ein Beitrag zur Entwicklung des Globoidschneckengetriebes zu einem leistungsfähigen Element der modernen Antriebstechnik, Diss.B, TU Dreseden, Bluzat,J.P.: Rectification des surfaces heliocoidales d une visprofilage par meule annulaire eme Congres Mondial des Engrenages, Paris, 986. Vol.. p Bohle,F. - Saari,O.: Spiroid Gears-A New Development in Gearing, AGMA Paper , Bohle,F.: Spiroid Gears and Their Characteristics Machinery, Buckingham,E.: Design of worm and spiral gears The Industrial Press, New York, Capelle,J.: Theorie et calcul des engrenages hypoids Edition Dunod, Paris, 949. / Crain,R.: Schraubenräder mit geradlinigen Eingriffsflächen Werkstattstechnik, Bd Csibi,V.I.: Contribution to Numerical Generation of Helical Gearing with any Profils (in Romanian), Ph.D. dissertation, Technical University of Cluj-Napoca, Dietrich, H.: Weiterentwicklung der Theorie zur Ermittlung von Hertzschen Drücken und Reibungszahlen in Verzahnungen von Schneckengetrieben. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, Distelli,M.:Über instantane Schraubengeschwindigkeiten und die Verzahnung der Hyperboloidräder, Zeitschrift Math und Phys, Drahos I.: G.Monge's Darstellende Geometrie, ihre Unvollstandigkeiten und die Möglichkeiten ihrer Vervollstandigung, Kostruktive GeometrieVortragsomlung Debrecen, old. 30. Drahos István: A szerszámgeometria mozgásgeometriai alapjai Tankönyvkiadó, Budapest, Drahos, I.: A kinematikai gyártásgeometria alapjai. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, Drahos, I.: Annäherungsmodell zweiter Ordnung zum Kontakt konjugierten Zahnflächen für Berechnung, Versuch und Prüfung. Unveröffentlichte Kurzfassung zum Forschungsprojekt OTKA 5-36, Miskolc, 993 0

122 33. Drahos,I.: A hipoid kúpfogaskerékpárok geometriai méretezésének alapjai Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, Drahos,I.: A Litvin-féle csigahajtás érintkezési vonalseregének és kapcsolási felületének szerkesztése Különlenyomat a NME Magyar Nyelvű Közleményei, XII. kötet 35. Drahos,I.: Eine Systematik der Verzahnungen mit sich kreuzenden Achsen, vom Standpunkt der kinemtischen Geometrie aus betrachtet Wiss, Zeitschrift der TU Dresden, 98. Heft.4.p Drobni, J.: Az ívelt profilú hengeres csigahajtások számítása. NME Gépelemek Tanszékének Közleményei, 94. szám Drobni, J.: Köszörülhető globoid csigahajtások. Kandidátusi értekezés, Budapest, Drobni,J. - Szarka,Z.: A korlátozott fogérintkezési mező kialakítása különféle csigahajtásoknál, II. Fogaskerék Konferncia, Budapest, 969. Formation of restricted tooth contact region in case of different worm drives, nd Conference on Gears, Budapest, Dudás, I.: Ívelt profilú csigahajtások szerszámozásának és gyártásának fejlesztése Kandidátusi értekezés, Miskolc, 980. p mell 40. Dudás I.: Számjegyvezérlésű köszörűkorong profilozó berendezés, és eljárás annak szakaszos, illetve köszörülés közbeni folyamatos vezérlésére. NME Szolgálati találmány. 988.III.30. OTH 494/88. (88.IX.) 4. Dudás I.: The Theory and Practiceof Worm Gear Drives Penton Press, London, 000. (ISBN ) 4. Dudás, I.: Spiroid hajtások gyártásgeometriájának kérdései, MTA, Műszaki Tudományok Osztálya, Gépszerkezettani Bizottság, Hajtóművek Albizottsága ülésére készített korreferátum. Budapest, 986. május Dudás, I. - Ankli, J.: Ívelt profilú csigahajtás köszörűkorong profilozásának fejlesztése, Elfogadott és bevezetett újítás, Miskolc, 978. DIGÉP A Dudás, I. - Bányai, K. - Bajáky, Zs.: Koordináta méréstechnika alkalmazása a csavarfelületek minősítésére, VIII. Nemzetközi Szerszámkonferencia Miskolc, pp Dudás, I. - Bányai, K. - Varga, Gy.: Bearing Pattern Localization of Worm Gearing VDI-Gesellschaft Entwicklung Konstruktion Vertrieb, International Conference on Gears, Tagung Dresden, , pp Dudás, I. Bányai, K.: Manufacturing of helical surfaces in flexible production system, Singapore, pp Dudás, I. - Cser, I. - Berta, M.: Production of rotational parts in small-series and computer-aided planning of its production engineering Manufacturing Boston, Massachusetts USA, ISSN X; ISBN ; SPI - The International Society for Optical Engineering; pp Dudás, I. - Drobni, J. - Ankli, J. -Garamvölgyi, T.: Berendezés és eljárás főmetszetben ívelt profilú csigahajtópár geometriailag helyes gyártására alkalmas köszörűkorong profilozására 49. Dudás, I. - Dudás, L.: CAD/CAM system for geometrically exact manufacturing of helicoid surfaces ICED 90 Dubrovnik, proceedings of ICED 90 Vol p Dudás, I.: Csavarfelületek gyártásának elmélete. Akadémiai doktori disszertáció, Miskolc, Dudás, I.: Manufacturing of Helicoid Surfaces in CAD/CAM Systems, International Conference On Notion and Power Transmission, MPT 9, Hiroshima, November 3-6, pp Dudás, I.: Verfahrensmethoden zur Berechung und Herstellung von Hohlflakensckengetrieben 6. Vortragstagung Fertigung und Gütesicherung im Zahnradgetriebebau, Magdeburg, pp Dudás, I.: Design and manufacturing of Helicoid Surfaces and Their Tools Using a CAD/CAM System International Conference on Engineering DESIGN ICED 88, Budapest, p Dudás, I.: Die Analyse der Werkeug- und Fertigungsgeometrie von Spiroidgetrieben 7. Vortragstagung mit internationaler Beteiligung Fertigung und Gütesicherung im Zahnradgetriebebau Magdeburg, p Dudás, I.: Forming of Driving Pair Bearing Patterns for Worm Gears 4th International Tribology Conference-AUSTRIB Vol.II. pp Perth, Australia 56. Dudás, I.: Generation of Spiroid Gearing The 7th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, California, USA, pp Dudás, I.: Ívelt profilú csigahajtás egyszerűsített gyártása és minősítése Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, I. Dudás: Investigation of worm gear drive by simulation. th International Conference on Tools University of Miskolc, September 9-, 004., Pp Dudás, I.: Manufacturing and Analification of Drives With Good Efficiency and High Load Capacity Department of Production Engineering Technical University for Heavy Industry p

123 60. Dudás, I.: Manufacturing of Helicoid Surfaces in CAD/CAM System International Conference on Motion and Power Transmission MPT , Japan, Hiroshima, pp Dudás, I.: Optimization and manufacturing of the spiroid gearing. 4th World Congress on Gearing and Power Transmission, Párizs, 6-8 March, 999. pp Dudás, I.: Spiroid hajtások szerszám- és gyártásgeometriájának elemzése Gépgyártástechnológiai Köt. 6. sz: 4., 986. p Dudás, I.: The Theory and Practice of Worm Gear Drives. Kogan Page US., USA, Dudás, I.: Vereinfachte Herstellung und Qualitätsbeurteilung der Zylinderschneckengetriebe mit Bogenprofil Publ. TUHI. Machinery Vol p Dudás, I.; Bányai, K.; Varga, Gy.: Simulation of meshing of worm gearing. ASME 7th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 996. Proceedings, pp Dudás, I.; Varga, Gy; Bányai, K.: Bearing pattern localization of worm gearing. International Conference on Gears, Dresden, -4 April, 996. VDI Berichte Nr. 30, 996. pp Dudás László: Kapcsolódó felületpárok gyártásgeometriai feladatainak megoldása az elérés modell alapján kandidátusi értekezés, Budapest, TMB, 99.P Dudás László: New possibilites in Computer Aied Designof Gear Mesh Publ. Univ. of Miskolc, Series C, Mechanical Enginiering. Vol. 49. (999) pp Dudley D.W.: Gear Handbook, MC Graw Hill Book Co. New York-Toronto-London, Erney, Gy.: Fogaskerekek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 983. p Gansin, W. A.: Sintezu evolventnoj Spiroidnoj peredaci Mechanika Maschin, 97. p Garamvölgyi, T.: Ívelt profilú csigahajtás geometriai méretezése. Gép XXXIX. évf szám November, pp Georgiew, A. K. - Goldfarb,W.I.: Kisledovaniju ortogonalnoj spiroidnoj peredaci s cylyndriceskim cervjakom, Imejusim witki idealno-peremennowo saga, Mechanika Maschin, No.45., Moszkva, Gohman, H. I.: Theory of Gearing Generalized and Developed Analytically, Odessa (in Russian), Gyenge, Cs. - Chira, A. - Andreica, I.: Study and achievements on the Worm GearsProceedings of the International Congress - Gear Transmissions 95. Sofia - Bulgaria, Vol.3. p Hegyháti, J.: Untersuchungen zur Anwendung von Spiroidgetrieben. Dissertation, TU Dresden, Hoang, N. H.: Nem vonalfelületű helicoid-hajtások vizsgálata és optimalizálása a hidrodinamikai teherbírás szempontjából. Egyetemi doktori értekezés, Budapest, Horák, P.: Computer model of the contact relations of worm gear pairs. 4th World Congress on Gearing and Power Transmission, Paris, 6-8 March, 999. pp Horák, P.: Körívprofilú csigahajtópárok tribológiai vizsgálata, PhD értekezés Bp., Hoschek, J.: Zur Ermittlung von Hüllflächen in der räumlichen Kinematik Monh. Für Mathematik, 69., Hurth, H. - Schiefer, H.: Neue Hochleistungsverfahren für die Zahnradbear-beitung in der Serienfertigung eme Congres Mondial des Engrenages, Paris, 986. Vol.. p Juhász, I.: Számítógépi geometria és grafika. Miskolci Egyetemi Kiadó old. 83. Kawabe, S.: Generation of NC Commands for Sculptured Surface Machining from 3-Coordinate Measuring Data Fumihiko Kimura and Toshio Sata (), Faculty of Engineering, University of Tokyo, Annals of the CIRP Vol 9//980. p Kolchin, N. I.: Nekotorüe voproszü geometrii, kinematiki, raszcseta i proizvodsztva Leningrad, 968. p Kozma M.: Tribológia. Műegyetemi Kiadó, Budapest Krivenko, I. SZ.: Novüe tipü cservjacsnüh peredacs na szudah Izd. Szudoszrovenie, Leningrád, Lange,S.: Untersuchung von Helicon- und Spiroidgetrieben mit abwickelbaren Schneckenflanken (Evolventtenschnecken) nach der Hertzschen und der hydrodynamischen Theorie Diss, TH München Lévai Imre: Hipoidhajtások tervezésének alapjai, Egyetemi Kiadvány, Lévai, I.: Kitérő tengelyek közt változó mozgásátvitelt megvalósító egyenesélű szerszámmal lefejthető fogazott kerekek. Kandidátusi értekezés, Budapest, Lévai,,I.: Fogazatok kapcsolódásának kinematikai elmélete és alkalmazása hipoid-hajtások tervezésére Akadémiai doktori értekezés, Miskolc, 980. / Lierath,,F. - Dudás,,I.: The modern measuring technique as the device of the effective quality assurance of the machine production Fourth International Symposium on Measurement Technology and Intelligent Instruments, Miskolc, Lillafüred, Hungary, pp Litvin, F. L., De Donno, M.: Computer methods in applied mechanics and engineering, Gear Research Laboratory, Department of Mechanical Engineering, University of Illinois at Chicago, IL , USA, 997.

124 93. Litvin, F. L.: Development of Gear Technology and Theory of Gearing, NASA Reference Publication 406, Chicago, Litvin, F. L.: A fogaskerékkapcsolás elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Litvin, F. L.: Gear geometry and applied theory. Englewood Cliffs, Prentice Hall, NJ., Litvin, F. L.: Theory of Gearing. NASA Reference Publication Litvin,F.L. - Kim,D.H.: Computerized Design, Generation and Simulation of Meshing of Modified Involute Spur Gear With Localized Bearing Contact and Reduced Level of Transmission Errors, Journal of Mechanical Design, Transactions of the American SncieJy of Mechanical Engineers, Vol. 9, pp , Litvin,F.L. - Kin,V.: Computerized Simulation of Meshing and Bearing Contact for Single-Enveloping Worm-Gear Drives, Journal of Mechanical Design, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. Vol.4, pp , Litvin,F.L. - Seol,I.H.: Computerized Determination of GearTooth Surface as Envelope to Two ParameterFamily of Surfaces, Computer Methods in Applied Mechanics Engineering, Vol. 38, Nos. - 4., pp. 3-5., Litvin,F.L. - Wang,A., - Handschuh,R.F.: Computerized Design and Analysis of Face-Milled, Uniform Tooth Height Spiral Bevel Gear Drives;' Journal of Mechanical Design, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Vol. l8, No. 4, pp , Litvin,F.L.: Application of Finite Element Analysis for Determination of Load Share, Real Contact Ratio, Precision of Motion, and Stress Analysis, Journal of Mechanical Design, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Vol. 8, No. 4., pp , 996.a. 0. Livin, F. L.; Chen, J. S.; Seol, I. H.;Kim, D.; Lu, J.; Zhao, X.; Egelja, A.; Wang, A. G.; Handschuh, R. F.: Computerized Design and Generation of Gear Drives with Localized Bearing Contact and Low Level of Transmission Errors. VDI Berichte 30, International Conference on Gears, -4 April 996, Dresden, pp Magyar,J.: Csavarfelületű elemek kapcsolódása Kandidátusi disszertáció, Budapest, Maros,D. - Killmann,V. - Rohonyi,V.: Csigahajtások Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Minkov,K.: Mehano-matematicsno modelirane na hiperboloidni predavki Disszertacija (Doktor na technicseszkie nauki), Szofia, Molnár,J.: A megmunkáló rendszer elmozdulékonyságából származó megmunkálási hiba meghatározásának kísérleti-analítikai módszere Egyetemi doktori értekezés, Miskolc, 969. p Monge, G.: Géometrie descriptive. Lecon données aux Ecoles normales, l'an 3 de la République, Paris, Baudouin, an VII. 08. Müller,H.R.: Zur Ermittlung von Hüllflächen in der räumlichen Kinematik Monh für Mathematik, Niemann, G., Winter, H.: Maschinenelemente Band III., Berlin, Springer-Verlag, Niemann, G.; Weber, C.: Schneckentriebe mit flüssiger Reibung. VDI-Forscungsheft, 4., Berlin, 94.. Niemann,G. - Weber,G.: Profilbeziehungen bei der Herstellung von zylindrischen Schnecken, Schneckenfräsern und Gewinden Vieweg, Braunschweig, Olivier, Th.: Theorie geometrique des engrenages. Paris, Ortleb,R.: Zur Verzahnungs- und Fertigungsgeometrie allgemeiner Zylinderschneckengetriebe, Dissertation, TU Dresden, Páczelt, I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, 999, p.450 ISBN Patentschrift, Deutsches Patentamt, No h 3 No h 6. Pay, E.: Reductor melcat cu melc interiot, (Belső csigás hajtómű), Brevet de inventie nr. 905, 986., Bucuresti, Romania 7. Pay, E., Pay, G., Lobontiu, M., Cioban, H.: Contributii provond modelarea matematica a angrenajelor melcate onterioare, (A belső csigás hajtások általános matematikai modellje), In: Sesiunea Stiintifica Jubiliara Universitatea Pitesti, noiembrie 99., In.: Buletinol Stiintific al Universitatii din pitesti, Vol. Orange de masini. Mechanisme, pp Pay, G.: Belső csigás hajtások Ph.D disszetrtáció, Miskolc, Predki, W.; Holdschlag, A.: Vorausberechnung von Tragbildern für Schneckentriebe. Konstruktion 47 (995), pp Reuleaux,F.: Der Konstrukteur, Vieweg Sohn, Braunschweig, 98.. Rohonyi, V.: Fogaskerékhajtások. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Saari,O.E.: Mathematical Backround of Spiroid Gears Ind. Math. Series, Detroit (Mich.), Saari,O.E.: Speed-Reduction Gearing, U.S. Patent No.,696,5,

125 4. Seol,I.H. - Litvin,F.L.: Computerized Design, Generation and Simulation of Meshing and Contact of Worm-Gear Drives With Improved Geometry, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.38, Nos.-4., pp , 996.b. 5. Simon, V.: Characteristics of a new type of cylindrial worm gear drive. ASME 6th International Power Transmission and Gearing Conference, San Diego, 996. Proceedings, pp Simon, V.: Egy új típusú globoid csigahajtás jellemzői. Akadémiai doktori értekezés, Budapest, Simon,V.: Tooth contact analysis of mismatched hypoid gears Proceedings of the 7th International Power Transmission and Gearing Conferencee, San Diego, California, pp Siposs, I.: Globoid hajtások lefejtés nélkül készített csigakerékkel. Kandidátusi értekezés, Budapest, Stadtfeld,H.J.: Handbook of Bevel and Hypoid Gears: Calculation, Manufacruring, and Optimization, Rochester Institiute of Techno-logy, Rochester, New York., Stübler,E.: Geometrische probleme bei der Verwendung von Schraubenflächen in der Technik, Z.Math. und Phys. Band Su,D. - Dudás.I.: Development of an intelligent Integrated System approach for design and Manufacture of worm gears proceedings, 9th International Conference on Tools, Miskolc, Hungary 3. Szabó, J.: Adalékok a számítógépi grafika matematikai megalapozásához. Disszertáció a habilitált doktori fokozat megszerzéséhez. Debrecen, old. 4. fejezete. 33. Szeniczei,L.: Csigahajtóművek Műszaki Könyvkiadó,Budapest, T03888 sz. OTKA: Új geometriájú spiroid hajtások kutatása, gyártásgeometria kidolgozása, Miskolc, 005. (Témavezető: Dr. DUDÁS Illés) 35. Tajnafői, J.: Mechanizmusok származtatáselméletének alapjai és hatása a kreatív gondolkodásra. Akadémiai doktori értékezés, Miskolc, Váradi, K.; Molnár, L.; Kollár, Gy.; Gara, P.: Néhány gépészeti érintkezési feladat végeselemes megoldása. GÉP XXXIX. évf szám, Január, pp Vinh, N. D.: Evolvens fogazatú hengeres kerék - globoid csiga kapcsolódási viszonyainak vizsgálata és optimálása. Kandidátusi értekezés, Budapest, Weck, M.-Ernst, D.-Gogrewe, H.U.: Numerisch gesteuertes Abrichten von Profilschleifscheiben Industrie-Anzeiger Nr.54 v /03.pp Weinhold, H.: Zur Fertigungsgeometrischen Deutung technologischer Prozesse, Fertigungstechnik und Betrieb, 963. No Wildhaber,E.: Helical Gearing, U.S. Patent No.,60,750., Wilkesmann, H.: Berechnung von Schneckengetrieben mit unterschiedlichen Zahnprofilformen. Dissertation TU München, Willis,R.: Principles of Mechanism, Cambridge, London, Wittig, K.H.: Zur Geometrie der Zylinderschnecken, Maschinenmarkt, Zalgaller, V. A.: Theory of Envelopes, Nauaka, Moskow, 975. (in Russian) 45. Zotow, B.D.: Osi zaceplenija spirodnüh peredac, Izw. Wuz. Masinostrornijr, 96. No "Fogazott hajtópárok és hajtások optimálása, kapcsolódás elméletének és tribológiájának továbbfejlesztése "(OTKA T BME-ME). A kutatás időtartama: (Témavezető: Dr. Bercsey T. Dr. Dudás I.) 47. "Optimális kapcsolódás kialakulásának feltételrendszere" OTKA T A kutatás időtartama: (Témavezető: Dr. Dudás I.) 48. "CCD kamerás mérési rendszerek kifejlesztése a gépipari minőségbiztosítás területén" OTKA A kutatás időtartama: (Témavezető: Dr. Dudás I.) 49. Új geometriájú spiroid hajtások kutatása, gyártásgeometria kidolgozása. OTKA T A kutatás időtartama: (TémavezetőDr. Dudás I.) 50. Bali J.: Forgácsolás. Tankönyvkiadó, Budapest, Sasi Nagy I.: Fogazószerszámok tervezése. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sályi I.: Műszaki mechanika. Tankönyvkiadó, Bp., Tajnafői J.: Szerszámgépek mozgásleképező tulajdonságainak elvei és néhány alkalmazása Kandidátusi értekezés, Kézírat, Miskolc,

126 8/a. PUBLIKÁCIÓK AZ ÉRTEKEZÉS TÉMÁJÁBAN Idegen nyelvű folyóíratban megjelent szakcikk: {} Zs. Balajti, K. Bányai: A possibility method for the solve of 3d evaluation with ccd cameras, Production Process and Systems, A Publication of the University of Miskolc, Volume 4 (004)., pp HU ISSN {} Zs. Balajti, I. Dudás: A Development of a New Method to Descreption of the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, Production Processes and Systems, A Publication of the University of Miskolc, Volume 4 (004), pp. 3-3 HU ISSN {3} Zs. Balajti: Analaysis of the Reproduction of the Object Including Helices Ggained from Photos Taken by CCD Cameras, Production Processes and Systems, A Publication of the University of Miskolc, Volume 4 (004), pp. 5- HU ISSN {4} I. Dudás Gy. Varga- Zs. Balajti: Advantages of the CCD Camera Measurements for Profile and Wear of Cutting Tools, Journal of Physics: Conference Series 3, 005, pp. 59-6, Institute of Physics Publishing, doi: 0.088/ /3//037, London. {5} Zs. Balajti I. Dudás: Mathematical Model for Analysing of Helicoid Surfaces Having the Same Axis, International Journal of Mathematical Science Vol. 5 no.: (December 006) New Delhi, India. 006., pp Magyar nyelvű folyóiratban megjelent szakcikk: {6} Balajti Zs. I. Dudás: A Monge-féle projekció alkalmazása a gépgyártásban, Gépgyártás c. folyóirat, XLV. évfolyam, szám, o oldal {7} Balajti Zs. Dudás I.: Spiroid hajtások hordképének meghatározása és analitikus leírása Bézier-felülettel, Gépgyártás c. folyóirat, XLV. évfolyam, szám, 0-4. oldal {8} Balajti Zs.: Térbeli hajtások hordképének elemzése, meghatározása, GÉP c. folyóirat 005/5., LVI. évfolyam, pp {9} Balajti Zs. Bányai K. - Dudás I. :Spiroid hajtás végeselemes vizsgálata, Gépgyártástechnológia c. folyóirat, XLVI. évfolyam, szám, 4-3 oldal {0}Dudás I., Balajti Zs., Szingularitás és alámetszés elemzése helikoid hajtópárok felületein, Gépgyártástechnológiai c. folyóirat, XLVI. évfolyam, szám, 3-36 oldal {}Balajti Zs. Dudás I.: Továbbfejlesztett Változó Tengelytávú Gyártás Matematikai Modellje Azonos Tengelyű Hengeres És Kúpos Csavarfelületek És Szerszámaik Vizsgálatára Gépgyártástechnológia c. folyóirat. MEGJELENÉS ALATT! Tudományos közlemény, idegen nyelvű konferencia kiadványban: {} Zs. Balajti:, Bányai, K., Dudás, I.Up to date method for the determination of the grinding wheels profile for the manufacturing of the worm surfaces, microcad 00 International Scientific Conference, 7-8 March 00, University of Miskolc, Hungary, pp {3} Zs. Balajti, K. Bányai, I. Dudás: A New Descreption Method for the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, -th International Conference on Tools, Univresity of Miskolc, Hungary, 004. pp {4} Zs. Balajti: Examination for the Bearing Pattern of the spiroid Driving, Doktoranduszok fóruma, Szekció kiadvány, Miskolc, 004. november 9. pp. -7. {5} Zs. Balajti: Modelling a Develpoment of the New Method for Describing the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, 9th International Research/Expert Conference Trends in the Development of Machinery and Associated Technology TMT 005, Antalya, Turkey, 6-30 September, 005., pp

127 {6} Zs. Balajti I. Dudás Gy. Varga: Advantages of the CCD Camera Measurements for Profile and Wear of Cutting Tools, Huddersfield, 005. September {7} Zs. Balajti: Practical Application of the Monge Projection in the Production Process of Drive Pairs, Annals of MteM for 005 & Proceedings of the 7th International Conference Modern Technologies in Manufacturing 6th-8th October 005.pp {8} Zs. Balajti I. Dudás K. Bányai: Exact Production of Helicoid Surfaces, III. International Congress of Precision Machining Vienna-Austria (ICPM 005), October , pp.7-3 {9} Zs. Balajti I. Dudás: Modelling and development for describing the bearing pattern of the spiroid driving, Proceedings of the Sixth IASTED Internetional Conference on Robotics and Applications, 005. October 3. November , Cambridge, USA, pp ISBN {0} Zs. Balajti I. Dudás: New Model for Productional Geometrical analysis of Spatial Drivings, microcad 006. International Scientific Conference Miskolc, 6-7 March 006., pp. -4., ISBN {} Balajti Zs. Dudás I.:Mathematical model for analysing of helicoid surfaces having the same axis, microcad 007. International Scientific Conference Miskolc, MEGJELENÉS ALATT! Tudományos közlemény, magyar nyelvű konferencia kiadványban: {} Dudás I., Bányai K., Balajti Zs. : Szerszámprofil analitikus meghatározása menetfelületek előállításához, Doktoranduszok fóruma, Miskolci Egyetem, Gépészmérnöki Kar Szekciókiadványa, 00. November old. {3} Dudás I., Bányai K., Balajti Zs.: Kinematikai felületek előállításához szükséges szerszámprofilok meghatározása spline alkalmazásával, Kolozsvár, 00. március -3., Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszakának kiadványa, old. {4} Balajti Zs. Bányai K. Dudás I.: Csavarvonalakat tartalmazó alakzatok rekonstruálhatósága CCD kamerával készített képekből, Doktoranduszok fóruma, Miskolc, old. {5} Balajti Zs. Dudás I.: Új matematikai modell csavarfelületek elemzésére. XI. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka. Kolozsvár, 006. március 4-5., pp. 3-6., ISBN {6} Balajti Zs. Dudás I.: Csavarfelületek vizsgálata matematikai modellben. OGÉT, 006. április 4. Kolozsvár. Szakmai tudományos előadás idegen nyelven: {7} Zs. Balajti: Analaysis of the Reproduction of the Object Including Helices Ggained from Photos Taken by CCD Cameras, -th International Conference on Tools, Univresity of Miskolc, Hungary, 004. {8} Zs. Balajti, K. Bányai, I. Dudás: A New Descreption Method for the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, -th International Conference on Tools, Univresity of Miskolc, Hungary, 004. Pp {30} Zs. Balajti: Examination for the Bearing Pattern of the Spiroid Driving, Doktoranduszok fóruma, Miskolc, 004. {3} Zs. Balajti I. Dudás Gy. Varga: Advantages of the CCD Camera Measurements for Profile and Wear of Cutting Tools, Hudderfield, 005. szeptember Zs. Balajti: Examination for the Bearing Pattern of the spiroid Driving, Doktoranduszok fóruma, Szekció kiadvány, Miskolc, 004. november 9. {3} Gy. Varga Zs. Balajti I. Dudá: Advantages of the CCD Camera Measurements for Profile and Wear of Cutting Tools,ISMTII 005, 7 th International Symposium Series on Measuremant Technology & intelligent Instruments, 6-8 September 005, Huddersfield, UK {33} Zs. Balajti: Practical Application of the Monge Projection in the Production Process of Drive Pairs, Annals of MteM for 005 & Procedings of the 7th International Conference Modern Technologies in Manufacturing 6th-8th october

128 {34} Zs. Balajti I. Dudás K. Bányai: Exact Production of Helicoid Surfaces, III. International Congress of Precision Machining Vienna-Austria (ICPM 005), October {35} Zs. Balajti I. Dudás: Modelling and develpoment for describing the bearing pattern of the spiroid driving, Proceedings of the Sixth IASTED Internetional Conference on Robotics and Applications, 005. október 3. november , Cambridge, USA. {36} Balajti Zs. Dudás I.: Mathematical model for analysing of helicoid surfaces having the same axis, microcad 007. International Scientific Conference Miskolc Szakmai tudományos előadás magyar nyelven: {37} Balajti Zs. Bányai K. Dudás I.: Csavarvonalakat tartalmazó alakzatok rekonstruálhatósága CCD kamerával készített képekből, Doktoranduszok fóruma, Miskolc. {38} Balajti Zs.: Alakfelismerés a gyártási folyamatban, OGÉT 005, Szatmárnémeti. {39} Balajti Zs.: A spiroid hajtások analítikus hordképmeghatározásának vizsgálata, OGÉT 005, Szatmárnémeti. {40} Balajti Zs. Dudás I.: Új matematikai model csavarfelületek elemzésére. XI. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka. Kolozsvár, 006. március

129 M melléklet Ismertetjük a P a z átviteli mátrix elemeinek számítási részleteit: a = + cosα sin α sin γ sin ϕ sin ϕ + cos α + i cosα cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + i cos α + cosα cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ i sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ sin α sin γ ( cosα + i cos γ) cos ϕ sin ϕ sin α sin γ ( i cosα + cos γ) sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ cos ϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ cosα cos γ + i cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ ( ) i cosα cos γ + cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + i sin α sin γ cos γ cos ϕ cos ϕ i cosα cos γ + cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + i sin α sin γ cos γ cos ϕ sin ϕ + sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + cosα cos γ + i cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ ( i cos cos cos ) α + α γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + sin α cosα sin γ sin ϕ cos ϕ + cos α + i cosα cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + i sin α cosα sin γ + sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cos ϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ sin ϕ cosϕ cos ϕ ( sin α cosα sin γ + i sin α sin γ cos γ) cos ϕ cos ϕ sin α cosα sin γ sin ϕ + sin α sin ϕ cosϕ cos α sin γ sin ϕ cosϕ + sin α cosα sin γ cos ϕ = (3.7.) 8

130 = + cos α sin ϕ cosϕ sin ϕ + i cos α cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ i cosα cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ cos γ sin ϕ cos ϕ cos ϕ i cosα cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cos γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ + cos α sin ϕ cosϕ cos ϕ + i cos α cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ sin α sin γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + sin α sin ϕ cosϕ cos α sin γ sin ϕ cosϕ = = + cos α sin ϕ cosϕ + i cos α cos γ sin ϕ cosϕ sin α sin γ sin ϕ cosϕ i cosα cos γ sin ϕ cos ϕ cos γ sin ϕ cos ϕ + sin α sin ϕ cosϕ cos α sin γ sin ϕ cosϕ = = sin ϕ cosϕ cos α sin α sin γ cos γ + sin α cos α sin γ = sin α + cos α sin γ cos γ = a = 9

131 a = cos α + i cosα cos γ sin ϕ sin ϕ + sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + i sin α cos α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i cos α + cos α cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + ( sin α sin γ cos α + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin α sin γ cos ϕ sin ϕ i sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ ( i sin α cos α sin γ + sin α sin γ cos γ) cos ϕ sin ϕ cos ϕ + cos α cos γ + i cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ i cos α cos γ + cos γ cos ϕ cos ϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ i cos α cos γ + cos γ cos ϕ sin ϕ ( ) cosα cos γ + i cos γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin α sin γ cos γ cos ϕ sin ϕ cos ϕ i sin α cosα sin γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( ) i cos α + cosα cos γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos α + i cosα cos γ sin ϕ cos ϕ + sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + i sin α sin γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + ( i sin α cos α sin γ + sin α sin γ cos γ ) cos ϕ sin ϕ cosϕ + ( sin α cos α sin γ + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin α sin γ cos ϕ cos ϕ sin α sin ϕ sin α cos α sin γ sin ϕ cos ϕ sin α cos α sin γ sin ϕ cos ϕ cos α sin γ cos ϕ = (3.7.) 30

132 = cos α + i cosα cos γ sin ϕ sin cos ϕ + ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ sin cos ϕ + ϕ Kinematikai hajtópárok gyártásgeometriájának fejlesztése + cosα cos γ cosα cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ sin cos ϕ + ϕ sin α sin γ cos ϕ sin cos ϕ + ϕ + ( + ) cos ϕ sin ϕ cos ϕ + ( i cos cos cos ) cos cos sin α γ + γ ϕ ϕ + ϕ sin α sin ϕ sin α cosα sin γ sin ϕ cos ϕ cos α sin γ cos ϕ = = i cosα cos γ cos α sin ϕ sin α sin γ cos ϕ cos γ cos ϕ sin α sin ϕ cos α sin γ cos ϕ = = sin γ cos ϕ sin ϕ cos γ cos ϕ i cos α cos γ a = i cos α cos γ 3

133 a3 = + i cos α sin γ sin ϕ sin ϕ + i sin α cosα cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cosϕ sin ϕ i sin α sin γ cos γ cosϕ sin ϕ cos ϕ i sin γ cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ i sin α cos γ cosϕ cos ϕ i sin α cos γ cosϕ sin ϕ + i sin γ cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α cos α cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i cos α sin γ sin ϕ cos ϕ + i sin α sin γ cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cosϕ cos ϕ = (3.73.) = + i cos α sin γ sin ϕ i sin α sin γ cosϕ i sin α cos γ cosϕ = a3 = + i cosα sin γ sin ϕ i sin α cosϕ 3

134 a = + sin α sin γ sin ϕ sin ϕ + ( sin α cosα sin γ + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ cosϕ sin ϕ + ( i sin α cos α sin γ + sin α sin γ cos γ) sin ϕ sin ϕ cos ϕ i sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + cos α + i cos α cos γ cos ϕ sin ϕ ( ) + i cos α + cos α cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α cos α sin γ cos ϕ sin ϕ cosϕ + sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( i cos co ) + cos α cos γ + i cos γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + α s γ + cos γ sin ϕ cos ϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + i cosα cos γ + cos γ sin ϕ sin ϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cosα cos γ + i cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ ( i sin α cosα sin γ + sin α sin γ cos γ ) sin ϕ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + sin α sin γ sin ϕ cos ϕ + ( sin α cosα sin γ + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ cosϕ cos ϕ i cos α + cosα cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + i sin α cosα sin γ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + cos α + i cos α cos γ cos ϕ cos ϕ + cos α sin γ sin ϕ sin α cosα sin γ sin ϕ cos ϕ sin α cosα sin γ sin ϕ cos ϕ + sin α cos ϕ = (3.74.) 33

135 + sin α sin γ sin ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ + cos α + i cosα cos γ cos ϕ + i cosα cos γ + cos γ sin ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ cosϕ + cos α sin γ sin ϕ sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ + sin α cos ϕ = = i cosα cos γ sin γ sin ϕ cos α cos ϕ cos γ sin ϕ sin α cos ϕ = a = + i cosα cos γ 34

136 a = ( sin α cosα sin γ + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ sin ϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + ( i sin α cos α sin γ + sin α sin γ cos γ) sin ϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ cos α + i cosα cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ + sin α cos α sin γ cos ϕ sin ϕ + i sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + i cos α + cos α cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ cosα cos γ + i cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ cos γ sin ϕ cos ϕ + i cosα cos γ + cos γ sin ϕ cos ϕ cos ϕ + i sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ + i cosα cos γ + cos γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ + cos α cos γ + i cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( i sin α cosα sin γ + sin α sin γ cos γ) sin ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ ( sin α cosα sin γ + i sin α sin γ cos γ) sin ϕ cos ϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ cos ϕ i sin α cos α sin γ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ i cos α + cosα cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ cos α + i cosα cos γ sin ϕ cosϕ cos ϕ + sin α cos α sin γ cos ϕ cos ϕ + sin α cos α sin γ sin ϕ + cos α sin γ sin ϕ cosϕ sin α sin ϕ cos ϕ sin α cosα sin γ cos ϕ = (3.75.) 35

137 sin α cos α sin γ sin ϕ sin ϕ + sin α sin γ sin ϕ cosϕ + i cosα cos γ + cos γ sin ϕ cosϕ + sin α cosα sin γ cos ϕ cos ϕ + sin α cosα sin γ sin ϕ + cos α sin γ sin ϕ cos ϕ sin α sin ϕ cos ϕ sin α cos α sin γ cos ϕ ( cos α + i cosα cos γ ) sin ϕ cosϕ + sin α cosα sin γ cos ϕ sin ϕ sin α cos α sin γ sin ϕ cos ϕ = + sin ϕ cosϕ + sin α cosα sin γ sin ϕ cosϕ sin α cosα sin γ a = 36

138 a3 = + i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ + i sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i cos α sin γ cosϕ sin ϕ + i sin α cosα cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ + i sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i sin α cos γ sin ϕ cos ϕ + i sin α cos γ sin ϕ sin ϕ i sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ sin ϕ cos ϕ i sin α cos α cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ + i cos α sin γ cosϕ cos ϕ = (3.76.) + i sin α cos γ sin ϕ + i sin α sin γ sin ϕ + i cosα sin γ cos ϕ = a3 = + i sin α sin ϕ + i cos α sin γ cosϕ 37

139 a3 = + sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ + sin α cosα cos γ + i sin α cos γ cos ϕ sin ϕ ( ) + i sin α cos α cos γ + sin α cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( cosα sin γ + i sin γ cos γ) cosϕ sin ϕ cosϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) sin ϕ cos ϕ + i sin α sin γ cos ϕ cos ϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) sin ϕ sin ϕ + i sin α sin γ cos ϕ sin ϕ + sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + ( cosα sin γ + i sin γ cos γ) cos ϕ cos ϕ i sin α cosα cos γ + sin α cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ + sin α sin γ cos γ sin ϕ cos ϕ + sin α cosα cos γ + i sin α cos γ cos ϕ cos ϕ + cosα sin γ cos γ sin ϕ sin α cosα cos γ cosϕ = (3.77.) + sin α sin γ cos γ sin ϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) sin ϕ + sin α cosα cos γ + i sin α cos γ cos ϕ + i sin α sin γ cos ϕ + cos α sin γ cos γ sin ϕ sin α cosα cos γ cosϕ = a3 = i cos α sin γ sin ϕ + i sin α cos ϕ 38

140 a3 = sin α cosα cos γ + i sin α cos γ sin ϕ sin ϕ + sin α sin γ cos γ cosϕ sin ϕ + i sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ + iπ sin α cosα cos γ + sin α cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ + cosα sin γ + i sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin α sin γ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ sin ϕ cos ϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) cosϕ cos ϕ i sin α sin γ sin ϕ sin ϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) cosϕ sin ϕ ( cosα sin γ + i sin γ cos γ) sin ϕ sin ϕ cosϕ + sin α sin γ cosϕ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ i sin α cosα cos γ + sin α cos γ cosϕ sin ϕ cosϕ sin α cosα cos γ + i sin α cos γ sin ϕ cos ϕ + sin α sin γ cos γ cosϕ cos ϕ + sin α cos α cos γ sin ϕ + cos α sin γ cos γ cosϕ = (3.78.) sin α cosα cos γ + i sin α cos γ sin ϕ + sin α sin γ cos γ cosϕ i sin α sin γ sin ϕ ( i cosα sin γ + sin γ cos γ) cos ϕ + sin α cos α cos γ sin ϕ + cos α sin γ cos γ cosϕ = a3 = i sin α sin ϕ i cosα sin γ cosϕ 39

141 a33 = + i sin α sin γ cos γ sin ϕ + i sin α cos γ sin ϕ cos ϕ i sin γ sin ϕ cosϕ i sin α sin γ cos γ cos ϕ i sin α sin γ cos γ sin ϕ + i sin γ sin ϕ cosϕ i sin α cos γ sin ϕ cosϕ + i sin α sin γ cos γ cos ϕ = (3.79.) + i sin α sin γ cos γ i sin α sin γ cos γ = a 33 = 40

142 a4 = i z ax cosα sin γ + i c cosα cos γ pa sin α cosα cos γ + pr cos α sin ϕ sin ϕ + i p a cosα sin γ ϕ sin ϕ sin ϕ ( i pa sin cosα cos γ i p r cos α) ϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ pa cosα sin γ + i zax sin α cosα cos γ i ao cos α i c sin α cosα sin γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ + α + i z ax sin α sin γ + i c sin α sin γ cos γ pa sin α sin γ cos γ + pr sin α cosα sin γ cosϕ sin ϕ i p a sin α sin γ ϕ cosϕ sin ϕ + p a sin α sin γ + i zax sin α sin γ cos γ i ao sin α cosα sin γ i c sin α sin γ cos ϕ sin ϕ cosϕ ( i p a sin sin cos i pr sin cos sin ) cos sin cos ( i zax sin cos i c cos pa sin cos pr cos cos ) cos sin cos α γ γ α α γ ϕ ϕ ϕ ϕ + γ γ + γ α γ + α γ ϕ ϕ ϕ i pa sin γ cos γ ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + p a sin γ cos γ + i zax sin α cos γ i ao cosα cos γ i c sin α sin γ cos γ cosϕ cos ϕ ( i p a sin cos i pr cos cos ) cos cos ( i zax sin cos i ao cos cos i c sin sin cos pa sin c ) ( i p a sin cos i pr cos cos ) cos sin ( ) α γ α γ ϕ ϕ ϕ + α γ α γ α γ γ + γ α γ α γ ϕ ϕ ϕ os γ cosϕ sin ϕ + pa sin α cos γ pr cosα cos γ i c cos γ i zax sin γ cos γ cos ϕ sin ϕ cosϕ + i pa sin γ cos γ ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ + i z ax sin α cosα cos γ i ao cos α i c sin α cosα sin γ + pa cosα sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( i p a sin cos cos i pr cos ) sin sin cos α α γ α ϕ ϕ ϕ ϕ + p a sin α cosα cos γ pr cos α i c cosα cos γ i zax cosα sin γ sin ϕ cos ϕ + i pa cosα sin γ ϕ sin ϕ cos ϕ i z ax sin α sin γ cos γ i ao sin α cosα sin γ i c sin α sin γ + pa sin α sin γ cosϕ sin ϕ cosϕ ( i p a sin sin cos i pr sin cos sin ) cos sin cos ( pa sin sin cos pr sin cos sin i c si ) + α γ γ α α γ ϕ ϕ ϕ ϕ α γ γ α α γ i p a sin α sin γ ϕ cosϕ cos ϕ ( p a sin cos cos pr sin ) sin α α γ + α ϕ pa cos α sin γ cos γ + pr sin α cos α sin γ cosϕ + c cosϕ ao sin ϕ + pr ϕ sin ϕ = n α sin γ cos γ i z ax sin α sin γ cosϕ cos ϕ (3.80.) 4

143 ( i p a sin cos i pr cos cos ) cos ( i zax cos sin i c cos cos pa sin cos cos pr cos ) sin ( i zax sin cos i ao cos cos i c sin sin cos pa sin cos ) cos ( i zax sin sin i c sin ) α γ α γ ϕ ϕ α γ + α γ α α γ + α ϕ + α γ α γ α γ γ + γ γ ϕ + α γ + α sin γ cos γ pa sin α sin γ cos γ + pr sin α cos α sin γ cos ϕ + i pa cos α sin γ ϕ sin ϕ i p a sin α sin γ ϕ cos ϕ ( p a sin cos cos pr sin ao ) sin α α γ + α + ϕ pa cos α sin γ cos γ + pr sin α cosα sin γ c cos ϕ + pr ϕ sin ϕ = i pa sin α ϕ cosϕ + i zax sin α cos ϕ i a0 cosα cos γ pa sin γ cos γ cos ϕ pr sin ϕ + pr ϕ sin ϕ + i pa cos α sin γ ϕ sin ϕ i zax cosα sin γ sin ϕ i c cosα cos γ sin ϕ + i pr cosα cos γ ϕ cosϕ + pa sin γ cos γ cosϕ a o sin ϕ + c cosϕ = ( pr i pa cos sin ) sin ( i zax sin c i ao cos cos ) cos ( i p cos cos i p sin ) cos pr + i zax cosα sin γ + i c cos α cos γ + ao sin ϕ + + α γ ϕ ϕ + α + α γ ϕ + r α γ a α ϕ ϕ 4

144 a4 = i z ax sin α sin γ + i c sin α sin γ cos γ pa sin α sin γ cos γ + pr sin α cosα sin γ sin ϕ sin ϕ + i p a sin α sin γ ϕ sin ϕ sin ϕ ( i p a sin sin cos i pr sin cos sin ) sin sin cos ( i zax cos sin i c cos cos pa sin cos cos pr cos ) cos sin pa sin α sin γ + i zax sin α sin γ cos γ i ao sin α cosα sin γ i sin α sin γ c sin ϕ sin ϕ cosϕ + α γ γ α α γ ϕ ϕ ϕ ϕ α γ + α γ α α γ + α ϕ ϕ + i p a cosα sin γ ϕ cosϕ sin ϕ pa cosα sin γ + i zax sin α cos α cos γ i a o cos α i c sin α cosα sin γ cosϕ sin ϕ cos ϕ ( i p a sin cos cos i pr cos ) cos sin cos + α α γ α ϕ ϕ ϕ ϕ i i zax cos γ sin γ + i c cos γ pa sin α cos γ + pr cosα cos γ sin ϕ sin ϕ cos ϕ + i pa sin γ cos γ ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ p a sin γ cos γ + i zax sin α cos γ i ao cosα cos γ i c sin α sin γ cos γ sin ϕ cos ϕ ( i p a sin cos i pr cos cos ) sin cos ( i zax sin cos i ao cos cos i c sin sin cos pa sin ) ( i p a sin cos i pr cos cos ) sin sin + α γ α γ ϕ ϕ ϕ α γ α γ α γ γ + γ cos γ sin ϕ sin ϕ + α γ α γ ϕ ϕ ϕ pa sin α cos γ pr cos α cos γ i c cos γ i zax sin γ cos γ sin ϕ sin ϕ cosϕ i pa sin γ cos γ ϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ + i z ax sin α sin γ cos γ i ao sin α cosα sin γ i c sin α sin γ + p a sin α sin γ sin ϕ sin ϕ cosϕ ( i p a sin sin cos i pr sin cos sin ) sin sin cos ( ) α γ γ α α γ ϕ ϕ ϕ ϕ + p sin α sin γ cos γ p sin α cosα sin γ i c sin α sin γ cos γ i z sin α sin γ sin ϕ cos ϕ + i p a sin α sin γ ϕ cos ϕ cos ϕ ( i p a sin cos cos i pr cos ) cos sin cos ( pa sin cos cos pr co ) + i zax sin α cosα cos γ i ao cos α i c sin α cosα sin γ + pa cos α sin γ cosϕ sin ϕ cosϕ α α γ α ϕ ϕ ϕ ϕ + α α γ + i p a cosα sin γ ϕ cosϕ cos ϕ ( p a sin cos cos pr sin ) cos + pa cos α sin γ cos γ + pr sin α cosα sin γ sin ϕ α α γ + α ϕ c sin ϕ ao cosϕ + pr ϕ cosϕ = s α i c cos α cos γ i z ax cos γ sin γ cosϕ cos ϕ (3.8.) 43

145 i zax sin α sin γ + i c sin α sin γ cos γ pa sin α sin γ cos γ + pr sin α cosα sin γ sin ϕ + i p a sin α sin γ ϕ sin ϕ i zax cosα sin γ + i c cosα cos γ pa sin α cosα cos γ pr cos α cosϕ + i pa cosα sin γ ϕ cosϕ pa sin γ cos γ + i z ax sin α cos γ i ao cosα cos γ i c sin α sin γ cos γ sin ϕ ( i p a sin cos i pr cos cos ) sin ( pa cos sin cos pr sin cos sin c) sin ( pa sin cos cos pr sin ao ) cos + α γ α γ ϕ ϕ + α γ γ + α α γ ϕ α α γ + α + ϕ + pr ϕ cosϕ = i zax sin α + c sin ϕ + pa sin γ cos γ sin ϕ + α α γ ϕ ϕ ( i pa sin i pr cos cos ) sin ( pa sin cos i ao cos cos ) sin γ γ α γ ϕ pr + i zax cosα sin γ + i c cosα cos γ + ao cosϕ + pr ϕ cosϕ + i pa cosα sin γϕ cos ϕ = ( p i p cos sin ) cos + i ao cosα cos γ i zax sin α c sin ϕ + i pa sin α i pr cosα cos γ ϕ sin ϕ i zax cosα sin γ + i c cosα cos γ + pr + ao cos ϕ + r + a α γ ϕ ϕ 44

146 a34 = i z ax sin α sin γ cos γ + i c sin α cos γ pa sin α cos γ + pr sin α cosα cos γ sin ϕ i p a sin α sin γ cos γ ϕ sin ϕ + ( i p a sin α cos γ i pr sin α cosα cos γ ) ϕ sin ϕ cosϕ + ( i zax sin γ + i c sin γ cos γ pa sin α sin γ cos γ + pr cosα sin γ) sin ϕ cosϕ pa sin α sin γ cos γ + i zax sin α cos γ i ao sin α cosα cos γ i c sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ i p a sin γ ϕ sin ϕ cosϕ + p a sin γ + i zax sin α sin γ cos γ i ao cosα sin γ i c sin α sin γ cos ϕ ( i pa sin α sin γ cos γ i pr cosα sin γ) ϕ cos ϕ + i z ax sin α sin γ cos γ i ao cosα sin γ i c sin α sin γ + pa sin γ sin ϕ + ( i pa sin α sin γ cos γ i pr cosα sin γ) ϕ sin ϕ + pa sin α sin γ cos γ pr cosα sin γ i c sin γ cos γ i z ax sin γ sin ϕ cosϕ + i p a cos α sin γ ϕ sin ϕ cosϕ ( i p a sin cos i pr sin cos cos ) sin ϕ cosϕ ( p sin cos p sin cos cos i c sin cos i z sin sin cos ) cos + i zax sin α cos γ i ao sin α cosα cos γ i c sin α sin γ cos γ + pa sin α sin γ cos γ sin ϕ cosϕ α γ α α γ ϕ + a α γ r α α γ α γ ax α γ γ ϕ + i p a sin α sin γ cos γ ϕ cos ϕ + p a cos α cos γ + pr sin α cosα cos γ pa ϕ + zax = ( i z ) ax sin sin cos i c sin cos p a sin cos p r sin cos cos α γ γ + α γ α γ + α α γ + i pa sin α sin γ cos γ ϕ ( p ) a sin i z ax sin sin cos i a o cos sin i c sin sin + γ + α γ γ α γ α γ ( i p sin sin cos i p cos sin ) a α γ γ r α γ ϕ + p a cos α cos γ + pr sin α cos α cos γ pa ϕ + zax = (3.8.) 45

147 i c sin α + p a cos γ + p a sin γ i ao cosα sin γ i pr cosα sin γ ϕ pa ϕ + zax = [ i pr cos sin pa ] [ p i c sin i a cos sin z ] α γ + ϕ + a α o α γ + ax 46

148 M melléklet Az a 3, a, a jelöléssel ellátott karakterisztikus görbék pontjainak koordinátái: curv point η[mm] ϑ [º] φ [º] X F [mm] Y F [mm] Z F [mm] a ,7500-0,9004 0,0000 8,09,3 30,996 a 3 36,7500-0,903 0,0000 8,8604,757 30,537 a 3 37,7500-0,906 0,0000 9,73 3,850 9,3637 a ,487-0,9076 0, ,404 3,5483 8,9868 a ,7500-0,909 0, ,57 3,8 8,687 a ,7500-0,9 0,0000 3,4350 4,390 7,964 a ,7500-0,953 0,0000 3,3046 4,8390 7,544 a 3 7 4,7500-0,986 0, ,803 5,3404 6,6307 a 3 8 4,7500-0,99 0, ,063 5,836 6,0439 a ,6355-0,950 0, ,8489 6,605 5,5537 a ,7500-0,954 0, ,950 6,353 5,493 a 3 44,7500-0,990 0, ,8467 6,7877 4,9748 a 3 45,7500-0,938 0, ,7498 7,49 4,490 a ,7500-0,9366 0, ,6606 7,699 4,0375 a ,7500-0,9407 0, ,5799 8,364 3,66 a ,856-0,945 0, ,989 8,38 3,44 a ,7500-0,9449 0, ,5079 8,5603 3,5 a ,7500-0,949 0, ,445 8,9698,864 a ,7500-0,9538 0,0000 4,396 9,3635,535 a 3 9 5,7500-0,9586 0,0000 4,3508 9,740,300 a 3 0 5,06-0,9599 0,0000 4,674 9,840,55 a 3 5,7500-0,9636 0, ,304 30,0983,956 a 3 53,7500-0,9688 0, ,305 30,4360,73 a ,7500-0,9744 0, ,980 30,754,4950 a ,67-0,9774 0, ,886 30,905,3945 a ,7500-0,9803 0, ,308 3,04,3076 curv point η[mm] ϑ [º] φ [º] X F [mm] Y F [mm] Z F [mm] a 0 35,7500 -,666 0,349 6,0785 4, ,9830 a 36,79 -,694 0,349 6,4544 4,669 35,6533 a 36,7500 -,73 0,349 6,9737 4, ,65 a 3 37,7500 -,800 0,349 7,8798 5,455 34,4987 a 4 38,7500 -,868 0,349 8,7964 5,993 33,863 a 5 38,754 -,868 0,349 8,7987 5, ,847 a 6 39,7500 -,938 0,349 9,74 6,390 33,970 a 7 40,7500 -,009 0,349 30,6633 6,8389 3,6087 a 8 4,7 -,043 0,349 3,04 7,0439 3,3450 a 9 4,7500 -,08 0,349 3,653 7,678 3,0605 a 0 4,7500 -,56 0,349 3,5780 7,680 3,5490 a 43,564 -,7 0,349 33,37 8,005 3,60 a 43,7500 -,3 0,349 33,5546 8,074 3,0747 a 3 44,7500 -,30 0,349 34,5448 8, ,6360 a 4 45,7500 -,390 0,349 35,549 8, ,39 a 5 45,778 -,39 0,349 35,57 8, ,3 47

149 a 6 46,7500 -,473 0,349 36,568 9,6 9,867 a 7 47,7500 -,558 0,349 37,607 9,496 9,546 a 8 47,8473 -,566 0,349 37,704 9,4578 9,4935 a 9 48,7500 -,646 0,349 38,6533 9,7066 9,0 a 0 49,7500 -,737 0,349 39,709 9,955 8,948 a 49,7905 -,74 0,349 39,7645 9,9647 8,9377 a 50,7500 -,83 0,349 40, ,733 8,7080 a 3 5,6077 -,95 0,349 4,755 30,3343 8,574 a 4 5,7500 -,930 0,349 4, ,3585 8,4997 a 5 5,7500 -,303 0,349 43,038 30,508 8,333 curv point η[mm] ϑ [º] φ [º] X F [mm] Y F [mm] Z F [mm] a 0 35,7500 -,7088 0,698 30,867 8,994 46,489 a 35,9639 -,704 0,698 30,499 9, ,9850 a 36,7500 -,765 0,698 3,833 9,85 45,407 a 3 37,7500 -,74 0,698 3,87 9,560 44,7040 a 4 38,53 -,779 0,698 3,7569 9,683 44,3943 a 5 38,7500 -,73 0,698 33,986 9,883 44,0499 a 6 39,7500 -,7400 0,698 34,373 0, ,4379 a 7 40,455 -,7453 0,698 35,0095 0,8 43,047 a 8 40,7500 -,748 0,698 35,3460 0,787 4,8684 a 9 4,7500 -,7560 0,698 36,3763 0,4897 4,336 a 0 4,594 -,768 0,698 37,5 0,649 4,9098 a 4,7500 -,764 0,698 37,466 0,6776 4,8336 a 43,7500 -,773 0,698 38,4639 0,8469 4,3703 a 3 44,734 -,780 0,698 39,4796 0,997 40,9557 a 4 44,7500 -,7805 0,698 39,58 0, ,9404 a 5 45,7500 -,7889 0,698 40,5796,73 40,547 a 6 46,7500 -,7974 0,698 4,6478,374 40,76 a 7 46,7876 -,7977 0,698 4,688,4 40,69 a 8 47,7500 -,8059 0,698 4,78,366 39,8397 a 9 48,7500 -,846 0,698 43,8047,394 39,538 a 0 48,85 -,85 0,698 43,874, ,544 a 49,7500 -,834 0,698 44,8934, ,545 a 50,7500 -,833 0,698 45,9887,467 39,0043 a 3 50,7837 -,836 0,698 46,057,46 38,9963 a 4 5,7500 -,843 0,698 47,0906,460 38,786 a 5 5,705 -,8500 0,698 48,45, ,

150 M3 melléklet Paraméterek értéktartománya Paraméterek Eredmények Sorszám Változó értékek a K ρ ax α x p β Hordkép % X X Minősítés a 70 69, ,45 030,86 65,6 A kilépő oldal nem kedvező. a 80 69, ,66 -,07 49,47 Kitűnő hordkép. 3 a 85 69, ,36 -,67 38,4 Kicsi a hordkép. 4 a 90 69, Nincs hordkép. 5 p 80 69,5 50 6, Rossz. 6 p 80 69,5 50 8,75 57, Rossz. 7 p 80 69,5 50 0,75 08,6 98,48-35,33 83,54 Rossz. 8 K , Nem jó. 9 K ,75 3 0,9 8,89 5,99 Nem jó. 0 K ,75 57,9 5,55-9,89 5,09 Kitűnő. K ,75 76,49 69,54-35,47 64,6 Jó. ρ ax 80 69,5 45 8,75 57, 5,05 -,34 47,87 Kitűnő. 3 ρ ax 80 69,5 55 8, ,73-9,89 5,39 Nem jó. 4 ρ ax 80 69,5 75 8,75 59,9 54,8-7,3 59,5 Nem jó. 5 ρ ax 80 69,5 95 8,75 59,0 54,9-4,3 66,78 Rossz a kilépő oldal. 49

151 6 x 80 69,5 50 0,8 8, ,75 54,76 Jó. 7 x 80 69,5 50 8, ,07 49,47 Jó. 8 x 80 69,5 50, 8, ,6 44,63 Közepes. 9 x 80 69,5 50,5 8, ,09 34,39 Rossz. 5.. táblázat 50

152 β AB = 83 T % = 75,45% X A = -30,86 mm X B = 65,6 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 70mm x = 0,36 p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv <= 0,00 A kapcsolódási csomópontok közelebb kerültek a csiga tengelyvonalához, a hordkép helyzete módosult, nagyobb lett. A kilépő oldal nem kedvező ábra Az a tengelytáv hatása a hordképre 5

153 β AB = 57,98 T % = 5,66% X A = -5,65 mm X B = 53,5mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Kitűnő hordkép ábra Az a tengelytáv hatása a hordképre 5

154 β AB = 38, T % = 36,36% X A = -9,67 mm X B = 38,4 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 85mm x =,4 p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Kicsi a hordkép ábra Az a tengelytáv hatása a hordképre 53

155 β AB = - T % = -% X A = - X B = - i =0,08574 K = 69,5mm a = 90mm x =,8 p = 8,75mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Nincs hordkép. 5.. ábra Az a tengelytáv hatása a hordképre 54

156 β AB = - T % = -% X A = - X B = - i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 6,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Rossz. 5.. ábra A p paraméter hatása a hordképre 55

157 β AB = 57,9 T % = 5,66% X A = -,07 mm X B = 49,47 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra A p paraméter hatása a hordképre 56

158 β AB = 08,656 T % = 98,78% X A = -35,33 mm X B = 83,54 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 0,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Rossz ábra A p paraméter hatása a hordképre 57

159 β AB = - T % = -% X A = - X B = - i =0,08574 K = 50mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Horkép 0 %. Nem megfelelő, a csigakerék kihegyesedik ábra A K távolság hatása a hordképre 58

160 β AB = 3 T % = 0,9% X A = 8,89 mm X B = 5,99 mm i =0,08574 K = 60mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Nem jó 0 % horkép ábra A K távolság hatása a hordképre 59

161 β AB = 57,98 T % = 5,55% X A = -9,89 mm X B = 5,09 mm i =0,08574 K = 70mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Kitűnő ábra A K távolság hatása a hordképre 60

162 β AB = 76,49 T % = 69,54% X A = -35,47 mm X B = 64,6 mm i =0,08574 K = 78mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Jó ábra A K távolság hatása a hordképre 6

163 β AB = 57,504 T % = 5% X A = -,34 mm X B = 47,84 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 45mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Kitűnő ábra A ρ ax sugár hatása a hordképre 6

164 β AB = 58 T % = 5,73% X A = -9,89 mm X B = 5,39 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 55mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Jó 5.0. ábra A ρ ax sugár hatása a hordképre 63

165 β AB = 59,5937 T % = 54,8% X A = -7,3 mm X B = 59,5 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 75mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0,00 Nem jó. 5.. ábra A ρ ax sugár hatása a hordképre 64

166 β AB = 59,085 T % = 53% X A = -4,3 mm X B = 66,78 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 95mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra A ρ ax sugár hatása a hordképre 65

167 β AB = 65 T % = 60% X A = -3,75 mm X B = 54,76 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 77,5mm x = 0,8 p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra Az x profileltolás tényező hatása a hordképre 66

168 β AB = 57,99 T % = 5% X A = -,07 mm X B = 49,47 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 80mm x = p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra Az x profileltolás tényező hatása a hordképre 67

169 β AB = 49,367 T % = 45% X A = -6,6 mm X B = 44,63 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 8,5mm x =, p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra Az x profileltolás tényező hatása a hordképre 68

170 β AB = 33 T % = 0% X A = -7,09 mm X B = 34,39 mm i =0,08574 K = 69,5mm a = 86,5mm x =,5 p = 8,75 mm z ax = 0mm ρ ax = 50mm φ = η = 38,75 58,75mm ϑ = nv<=0, ábra Az x profileltolás tényező hatása a hordképre 69