Több szerveres Markov kiszolgálási modellek:

Átírás

1 Több szerveres Markov kiszolgálási modellek: számítási algoritmusok és infokommunikációs alkalmazások Do Van Tien PhD MTA doktori értekezés tézisei Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2009.

2

3 1. Motivációk Az elmúlt században Erlang alkalmazta először a sorbanállási elméletet telefonhálózatok méretezésére, majd az úttörő kezdeményezés óta számos munka építette tovább a sorbanállási elméletet [8, 16, 36, 37, 40, 42] és alapozta meg az eredmények széleskörű gyakorlati alkalmazását as években Kleinrock a sorbanállási elmélet segítségével igazolta a csomagkapcsolt hálózat hatékonyságát, amely eredmény kucsszerepet játszott az Internet fejlesztésében. A terület ennek megfelelően az elmúlt évtizedekben és az utóbbi években is a kutatók rendkívül széles körének figyelmét vonta magára [1]. A kérdések nagy része azonban még mindig válaszra vár, ugyanis a különböző tulajdonságú szolgáltatások eltérő, de meghatározott minőségű nyújtása ugyanazon hálózati erőforrásokkal, az új kérdések sokaságát vetette fel mind az igények jellemzése, mind egymásra hatásuk elemzése, mind pedig a megfelelő hálózati funkciók specifikálása területén. Az elméleti teljesítőképességi elemzések célja a még fel nem épített rendszer teljesítőképességének becslése. Az elemzés fő pontjai a következők [29]: a forgalomforrások modellezése sztochasztikus folyamatokkal, a modellparaméterek meghatározása, a rendszer viselkedésének elemzése, beleértve a hálózatelemek teljesítőképességi modellezését is, a rendszer teljesítőképességének értékelése a forgalmi igények és a hálózat kölcsönhatásának figyelembevételével. A fenti tevékenységeket [35]: zárt alakú végképleteket eredményező analízissel, a teljesítőképességi jellemzők numerikus kiszámítására alkalmas algoritmusokkal, számítógépes szimulációval, valamint a meglevő rendszer működtetési tapasztalatainak figyelembevételével felállított előrejelzések segítségével lehet végezni, melyek közül az értekezésben az első három technikára koncentráltam. 2. Témakörrel kapcsolatos fogalmak és eredmények Az általam elért eredmények a szakirodalomban közismert fogalomhoz (kvázi-születési-halálozási folyamat) és egy numerikus módszerhez (spektrális felbontás) kapcsolódnak. Azért, hogy képbe helyezzem az olvasót, röviden összefoglalom a kvázi-születési-halálozási folyamat és spektrális felbontáson alapuló módszer lényegét. Tekintsünk egy folytonos idejű, időben homogén, irreducibilis, végtelen állapotterű Markov láncot, amelyben a rendszer állapotát a t időpontban két véletlen változó írja le: I(t) (I(t) {0, 1,..., N}) és J(t) (J(t) {0, 1,...}). Egy szintnek szokták nevezni 1

4 az állapotok azon részhalmazát, amelyhez ugyanolyan J érték tartozik. A szint fogalmát használva a pozitív valószínűségű egylépéses átmenetek csak egy szinten belül illetve a szomszédos szintek állapotai között lehetnek. Az ilyen átmeneteket tartalmazó folyamatot nevezzük kvázi-születési-halálozásinak (QBD) [37, 39]. A rendszer változásai a három típusú átmenettel írhatók le: szinten belüli átmenetek: A j (i, k) az (i, j) állapotból az (k, j) állapotba (0 i, k N; j = 0, 1,..., L) való átmenetet jelöli. felfelé lépéses átmenetek: B j (i, k) az (i, j) állapotból az (k, j +1) (0 i, k N; j = 0, 1,...) állapotba való átmenetet reprezentálja. lefelé lépéses átmenetek: C j (i, k) az (i, j) állapotból az (k, j 1) (0 i, k N állapotba való átmenetet jelöli. A j, B j és C j az (N + 1) (N + 1) elemű mátrixok, amelyeknek elemei A j (i, k), B j (i, k) és C j (i, k). A kvázi-születési-halálozási folyamatok egyensúlyi eloszlásának kiszámolására több hatékony módszert is kidolgoztak. A módszerek a szabályos rész speciális szerkezetét (ahol A j = A, B j = B és C j = C, azaz nem függnek j-től) használják ki és a szabálytalan rész bármilyen szerkezetű felépítését is megengedik, például a szabálytalan részben lehetséges átmenet nem szomszédos szintek között is. A mátrix egyenlet sajátérték feladatként történő megoldását javasolta Mitrani és Chakka [8, 39]. Ebben a λφ = φ ( B + λa + λ 2 C ) sajátérték feladat (λ komplex szám és φ (N + 1) dimenziós komplex vektor) 2N + 2 darab megoldása közül az N + 1 darab legkisebb abszolútértékű sajátérték megoldását és a hozzátartozó N + 1 darab sajátvektort keresik meg és ezekből építik fel a megoldást. A kvázi-születési-halálozási folyamatok számos távközlési problémák elemzésére alkalmazhatóak [2 10, 12 15, 19, 24, 25, 27, 28, 30 34, 38, 39, 43, 44]. A kvázi-születési-halálozási folyamatok általánosítása valamint spektrális felbontáson alapuló módszer és alkalmazásai témakörében Prof. Ram Chakkaval (a módszer egyik kidolgozója) folytatunk közös kutatásokat több mint egy évtizede 1. Jelen értekezés foglalja össze az elért tudományos eredményeimet, amelyek három fő csoportban sorolhatók: 1. Több szerveres markovi sorbanállási rendszerek általánosítása [10] és különböző problémákra való alkalmazása [9, 10, 12, 22, 23, 27, 28, 41]: Kidolgoztunk egy módszert az ún. HetSigma sor (MM K k=1 CP P k/ge/c/l G) állandósult állapot-valószínűségeinek meghatározására. Bebizonyítottam 1 Tran Tuan Hung - volt doktoranduszomnak és Wolfner György- Jereb László volt doktoranduszának Ph.D disszertációja is szorosan kapcsolódik a QBD témakörhöz. 2

5 a HetSigma sor stacionárius állapotvalószínűségeinek meghatározásában fontos szerepet játszó tulajdonságokat. Megadtam a szerzőtársam javasolt transzformációkra alapozottan a karakterisztikus mátrix polinom együtthatóira vonatkozó zárt képletet. Felismertem, hogy a HetSigma sor alkalmas néhány kommunikációs hálózatokban és informatikai rendszerekben levő probléma (optikai börszt kapcsolt multiplexer, MPLS forgalomirányítás, HSDPA, Apache Web szerver) modellezésére és elemzésére. Megemlítendő az a tény, hogy az első eredmény-csoportban Ram Chakka társszerzővel közösen kidolgoztunk egy módszert a HetSigma sor állandósult állapot-valószínűségeinek meghatározására, amely az ő korábbi cikkében [6] megjelent MM CPP/GE/c/L G sor általánosítását jelenti. A közös cikkünkben [10] és a 3. fejezetben található transformációk alkalmazása Chakka ötlete volt, ugyanakkor a levezetések és alkalmazási példák a saját eredményeim. 2. Az újra-próbálkozási sorokkal (retrial queue) modellezhető rendszerek jellemzőinek hatékony meghatározása [17, 18, 20]: Az újra-próbálkozási sorok számos infokommunikációs rendszer (DHCP szerver, vezetéknélküli hálózat) elemzésére használhatóak, ugyanakkor legtöbb esetben matematikailag kezelhetetlenek. A témakörben közelítő modelleket javasoltam. A közelítő modellek fontos tulajdonságainak felhasználásával hatékony algoritmusokat származtattam a rendszer állandósult állapotvalószínűségeinek meghatározására. A valóságot követő szimulációs vizsgálatokkal megmutattam, hogy a javasolt módszerek képesek pontosan meghatározni a teljesítőképességi paramétereket. Az általam kidolgozott algoritmusok számítás-igénye O(c) (ahol c a szerverek száma), így azok nagyszámú erőforrással gazdálkodó rendszerek (DHCP szerver, mobil hálózat) méretezésére különösen alkalmasak. Az M/M/c/N+c visszacsatolásos és újrapróbálkozási sorbanállási sort vizsgáltam. Felismertem és bebizonyítottam, hogy a karakterisztikus mátrix polinomnak (N + c + 2)/2 db nulla értékű sajátértéke van. A Grassmann által kidolgozott algoritmust módosítottam a nulla értékű sajátérték kezelésére. Megmutattam, hogy az általam módosított eljárás a nagy kapacitású rendszer esetén a hagyományos algoritmusoknál gyorsabban tudja meghatározni a jellemzőket. 3. A vakációs sorbanállási modellekel kapcsolatos eredmények és azok alkalmazása [21, 26].: A virtuális gép-szolgáltatók vakációs alapú karbantartási politikájának elemzésére egy új CPP/M/c vakációs sorbanállási modellt, valamint egy újrapróbálkozási igényekkel és dolgozó vakációs szerverrel rendelkező új M/M/1 sorbanállási modellt vezettem be. Bebizonyítottam a rendszer stabilitási feltételére vonatkozó tételt, ennek következményeként a vakációs alapú karbantartási politika a túlterhelés veszélye nélkül alkalmazható a virtuális-szerver szolgáltatóknál. Levezettem a pontos képleteket a rendszer állandósult állapot-valószínűségeinek meghatározására. Megadtam a rendszer sztochasztikus dekompoziciójára vonatkozó tétel bizonyítását. 3

6 3. Tézisek Az értekezés eredményei három fő téziscsoportba 2 sorolhatók, nagyjából a disszertáció törzsét alkotó 2., 3. és 4. részek tagolásának megfelelően. 1. Tézis: Több szerveres Markovi sorbanállási rendszer általánosítása [10] és több problémára való alkalmazása [9 12, 22, 23, 27, 28, 41] Több szerveres Markovi sorbanállási rendszer (the MM K k=1 CP P k/ge/c/l G-Queue with Heterogeneous Servers- HetSigma) analízisét ismertettem a 3. fejezetben [10]. Felismertem, hogy a HetSigma sor alkalmas néhány kommunikációs hálózatokban és informatikai rendszerekben levő probléma modellezésére és elemzésére [10, 12, 27, 28]. Korlátozott terjedelme miatt a dolgozatban csak az Apache web szerver modellezésével kapcsolatos új eredményeket ismertettem. A témakörrel kapcsolatos, jelen értekezés 3. és 4. fejezetében megtalálható új saját tudományos eredményeim a következő pontokba foglalhatók össze: 1.1. Megadtam a transzformációk következményeként, a G K,c,m végső formáját, valamint a karakterisztikus mátrix polinom (3.1. tétel) együtthatóira (Q K m ) vonatkozó 3.22 és 3.23 képletet (lásd. a alfejezet) Bebizonyítottam a HetSigma sor tulajdonságaival kapcsolatos, a sorbanállási rendszer stacionárius állapotvalószínűségeinek meghatározásában szerepet játszó 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 és 3.5 tételt (lásd. a és alfejezet) Felismertem, hogy a HetSigma sor alkalmazható az Apache szerverben zajló kiszolgáló folyamatok modellezésére (lásd. 4. fejezet). Megfelelő változó (I 2 (t)) bevezetésével leírtam az Apache server MPM (Multi-Processing Module) folyamat-szabályozási mechanizmusát (lásd. a alfejezet) A három-dimenziós folyamat megfelelő rendezésével és a Kronecker műveletek segítségével levezettem, hogy a rendszer a kétdimenziós QBD-M folyamattal (Y = {[I(t), J(t)]; t 0}) megegyező módon jellemezhető, és állapot-valószínűségeinek meghatározására a HetSigma sor elemzésére kidolgozott módszer használható (lásd alfejezet) Megadtam a képleteket az Apache web szerver teljesítőképességi jellemzőinek meghatározására (4.3.5 alfejezet). A modellezés hatékonyságának vizsgálatára méréseket dolgoztam ki, és ezek segítségével igazoltam, hogy a modellre alapozott számítások jól közelítik a valóságos rendszerben mért jellemzőket ( alfejezet). 2 Az MTA műszaki tudományok osztályának követelményrendszerét figyelembevéve jelen tézisfüzet elsőleges célja, hogy egyértelműen segítse megállapítani az értekezésben ismertetett eredményeimet. 4

7 2. Tézis: Újra-próbálkozási sorokkal (retrial queue) modellezhető rendszerek jellemzőinek hatékony meghatározása [17, 18, 20] A témakörrel kapcsolatos, jelen értekezés 5., 6. és 7. fejezetében megtalálható új saját tudományos eredményeim az alábbiak: 2.1. A DHCP működés és a DHCP kliensek közötti kölcsönhatás elemzésére újra-próbálkozási sorbanállási modellt dolgoztam ki ( alfejezet). A modell beérkezési folyamatával kapcsolatos feltételezést (Poisson érkezési folyamat) a Híradástechnikai Tanszéken működő DHCP szerverben gyűjtött adatokkal validáltam (lásd ábra) A DHCP mechanizmus és a DHCP kliensek közötti kölcsönhatást leíró pontos matematikai modell kezelhetetlensége miatt egy közelítő modellt javasoltam. Levezettem, hogy a közelítő modell állandósult állapot-valószínűségei a karakterisztikus mátrix polinom egyetlen sajátérték-sajátvektor párjával és megfelelő együtthatókkal kifejezhetőek (5.3. képlet). Bebizonyítottam (5.1 tétel), hogy a sajátérték a karakterisztikus mátrix polinom LU-faktorizációjában szereplő L mátrix főátlójában levő utolsó elem gyöke a (0,1) intervalumban. Az 5.1 tétel felhasználásával egy hatékony algoritmust (lásd. az 5.1-es algoritmus) származtattam az egyetlen sajátérték, sajátvektor, együtthatók meghatározására és a rendszer állandósult állapotvalószínűségeinek meghatározására A kidolgozott megoldás hatékonyságának értékelésére vizsgálatokat végeztem a DHCP mechanizmus és a DHCP kliensek közötti kölcsönhatást pontosan leíró szimulációs modell segítségével. Az összehasonlítás (5.1 táblázat) megmutatja, hogy a számított és szimulációs eredmények nagyon jó azonosságot mutatnak. Összehasonlító tesztek futtatásával kimutattam, hogy az általam javasolt algoritmus nagyságrendekkel gyorsabban tudja meghatározni a szükséges eredményeket, mint a hagyományos módszerek (lásd. az 5.7 ábra). Az általam kidolgozott algoritmus számítás-igénye O(c) (ahol c a kiosztható IP címek száma), így nagy számú IP címekkel gazdálkodó szervezetekben (pl. Internet szolgáltatók) való használatra különösen alkalmas A vezetéknélküli hálózatban használt védőcsatorna mechanizmus elemzésére, a Tran-Gia és Mandjes által javasolt modellt vizsgáltam. Arra a következtetésre jutottam, hogy a védőcsatorna figyelembevétele miatt kicsi és nagy értékek egyaránt szerepelnek a kivonási műveleteket tartalmazó rekurzív számításokban, aminek következményeként az állapotvalószínűségek meghatározására javasolt Tran-Gia és Mandjes közelítő rekurzív módszer numerikusan nem stabil. A pontos matematikai modell kezelhetetlensége (mathematically intractable) miatt egy közelítő modellt javasoltam. Levezettem, hogy egy védőcsatorna alkalmazása esetén a közelítő modell stacionárius állapotvalószínűségei a karakterisztikus mátrix polinom két sajátértékével, két sajátvektorával és megfelelő együtthatókkal kifejezhetőek (6.6 és 6.7 képlet). 5

8 2.5. Bebizonyítottam, hogy a sajátértékek a karakterisztikus mátrix polinom LU-faktorizációjában szereplő L mátrix főátlójában levő utolsó két elem szorzatának gyökei a (0,1) intervalumban vannak. Ennek következményeként egy hatékony algoritmust (6.1 algoritmus) származtattam a két sajátérték, két sajátvektor, az együtthatók meghatározására és az rendszer állandósult állapotvalószínűségeinek meghatározására. A közelítő modell állapotvalószínűségeinek meghatározására kidolgozott algoritmus hatékonyságát a pontosan leíró szimulációs modell által szolgáltatott eredményekkel vetettem össze (6.3 táblázat). A vizsgálat megmutatja, hogy az eredmények nagyon jó azonosságot mutatnak. Az általam javasolt megoldás és a hagyományos algoritmusok futási idejének összehasonlításával megmutattam, hogy az általam javasolt algoritmus nagyságrendekkel gyorsabban tudja meghatározni a szükséges eredményeket mint a hagyományos módszerek (6.4 táblázat). Az általam kidolgozott algoritmus egy darab védő csatorna alkalmazása esetén számítás-igénye O(c) (ahol c a csatornák száma), így nagyobb kapacitású vezetéknélküli hálózatok méretezésére különösen ajánlott Az M/M/c/N+c visszacsatolásos és újrapróbálkozási sorbanállási sort vizsgáltam. Felismertem és bebizonyítottam, hogy a karakterisztikus mátrix polinomnak (N + c + 2)/2 db nulla értékű sajátértéke van (7.1 tétel). A Grassmann által kidolgozott algoritmust módosítottam a nulla értékű sajátérték kezelésére. Megmutattam, hogy az általam módosított eljárás nagykapacitású rendszer esetén a hagyományos algoritmusoknál gyorsabban tudja meghatározni a jellemzőket. 3. Tézis: a CPP/M/c vakációs sorbanállási modellel kapcsolatos eredmények és alkalmazásuk [26] A témakörrel kapcsolatos, jelen értekezés 8. fejezetében megtalálható új saját tudományos eredményeim a következő pontokba foglalhatók össze: 3.1. Bevezettem az új CPP/M/c vakációs sorbanállási modellt, amelynek segítségével a virtuális gép-szolgáltatók vakációs alapú karbantartási politikája elemezhető Bebizonyítottam a rendszer stabilitási feltételére vonatkozó 8.1 tételt, ennek következményeként a vakációs alapú karbantartási politika a túlterhelés veszélye nélkül alkalmazható a virtuális-szerver szolgáltatóknál Levezettem a pontos képleteket a rendszer állandósult állapot-valószínűségeinek meghatározására (8.7 képlet) Megadtam a rendszer sztochastikus dekompoziciójára vonatkozó 8.2 tétel bizonyítását. 6

9 4. Az eredmények hasznosítása Az értekezés elméleti eredményeinek különböző valóságos problémák (OBS Optical Burst Switching, MPLS többutas forgalomirányítás, vezetéknélküli technikák, Apache Web szerver, DHCP, MADCAP, virtuális szerverek karbantartási politikája, stb) elemzésére való alkalmasságát különböző publikációkban demonstráltuk, amely munkákban az igazi rendszerrel való összevetésre is került a sor. Az eredmények közvetlenül felhasználhatók az infokommunikációs szolgáltatások hatékonyságának növelésére. Hivatkozások [1] Jesús R. Artalejo and Antonio Gómez-Corral. Retrial Queueing Systems. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [2] R. Chakka. Spectral Expansion Solution for some Finite Capacity Queues. Annals of Operations Research, 79:27 44, [3] R. Chakka, T.V. Do, and Z. Pandi. Generalized Markovian queues and applications in performance analysis in telecommunication networks. In D. D. Kouvatsos, editor, the First International Working Conference on Performance Modelling and Evaluation of Heterogeneous Networks (HET-NETs 03), pages 60/1 10, July [4] R. Chakka and P. G. Harrison. Analysis of MMPP/M/c/L queues. In Proceedings of the Twelfth UK Computer and Telecommunications Performance Engineering Workshop, pages , Edinburgh, [5] R. Chakka and P. G. Harrison. The Markov modulated CPP/GE/c/L queue with positive and negative customers. In Proceedings of the 7th IFIP ATM Workshop, Antwerp, Belgium, [6] R. Chakka and P. G. Harrison. A Markov modulated multi-server queue with negative customers - the MM CPP/GE/c/L G-queue. Acta Informatica, 37: , [7] R. Chakka and P. G. Harrison. The MMCPP/GE/c queue. Queueing Systems: Theory and Applications, 38: , [8] Ram Chakka. Performance and Reliability Modelling of Computing Systems Using Spectral Expansion. PhD thesis, University of Newcastle upon Tyne (Newcastle upon Tyne), [9] Ram Chakka and Tien Van Do. The MM K k=1 CP P k/ge/c/l G-Queue and Its Application to the Analysis of the Load Balancing in MPLS Networks. In 27th Annual IEEE Conference on Local Computer Networks (LCN 2002), 6-8 November 2002, Tampa, FL, USA, Proceedings, pages ,

10 [10] Ram Chakka and Tien Van Do. The MM K k=1 CP P k/ge/c/l G-Queue with Heterogeneous Servers: Steady state solution and an application to performance evaluation. Performance Evaluation, 64: , March [11] Ram Chakka and Tien Van Do. Some New Markovian Models for Traffic and Performance Evaluation of Telecommunication Networks. In D. D. Kouvatsos, editor, Next Generation Internet: Performance Evaluation and Applications, volume LNCS, [12] Ram Chakka, Tien Van Do, and Zsolt Pandi. A Generalized Markovian Queue and Its Applications to Performance Analysis in Telecommunications Networks. In D. Kouvatsos, editor, Performance Modelling and Analysis of Heterogeneous Networks, pages River Publisher, [13] Ram Chakka, Enver Ever, and Orhan Gemikonakli. Joint-state modeling for open queuing networks with breakdowns, repairs and finite buffers. In 15th International Symposium on Modeling, Analysis, and Simulation of Computer and Telecommunication Systems (MASCOTS), pages IEEE Computer Society, [14] Ram Chakka and Isi Mitrani. Multiprocessor systems with general breakdowns and repairs. In SIGMETRICS, pages , [15] Ram Chakka and Isi Mitrani. Heterogeneous multiprocessor systems with breakdowns: Performance and optimal repair strategies. Theor. Comput. Sci., 125(1):91 109, [16] Robert B. Cooper. Introduction to Queueing Theory. North Holland, New York. Oxford, [17] Tien Van Do. An efficient computation algorithm for a multiserver feedback retrial queue with a large queueing capacity. Applied Mathematical Modelling, [18] Tien Van Do. An Efficient Computational Method for Retrial Queues to Cellular Mobile Systems with Guard Channels. submitted for publications, [19] Tien Van Do. Comments on multi-server system with single working vacation. Applied Mathematical Modelling, 33(12): , [20] Tien Van Do. An Efficient Solution to a Retrial Queue for the Performability Evaluation of DHCP. Computers & OR, 37(7): , [21] Tien Van Do. M/m/1 retrial queue with working vacations. Acta Informatica, [22] Tien Van Do and Ram Chakka. A New Performability Model for Queueing and FDL-related Burst Loss in Optical Switching Nodes. Computer Communications,

11 [23] Tien Van Do and Ram Chakka. Generalised QBD Processes, Spectral Expansion and Performance Modelling Applications. In D. D. Kouvatsos, editor, Next Generation Internet: Performance Evaluation and Applications, volume LNCS, [24] Tien Van Do, Ram Chakka, and Peter G. Harrison. An integrated analytical model for computation and comparison of the throughputs of the UMTS/HSDPA user equipment categories. In MSWiM 07: Proceedings of the 10th ACM Symposium on Modeling, analysis, and simulation of wireless and mobile systems, pages 45 51, New York, NY, USA, ACM. [25] Tien Van Do, Nam H. Do, and Ram Chakka. Performance evaluation of the high speed downlink packet access in communications networks based on high altitude platforms. In Khalid Al-Begain, Armin Heindl, and Miklós Telek, editors, ASMTA, volume 5055 of Lecture Notes in Computer Science, pages Springer, [26] Tien Van Do and Udo R. Krieger. A performance model for maintenance tasks in an environment of virtualized servers. In IFIP/TC6 NETWORKING 2009, pages , Aachen, Germany, [27] Tien Van Do, Udo R. Krieger, and R. Chakka. Performance modeling of an apache web server with a dynamic pool of service processes. Telecommunication Systems, 39(2): , [28] Tien Van Do, Denes Papp, Ram Chakka, and Mai X T Truong. A Performance Model of MPLS Multipath Routing with Failures and Repairs of the LSPs. In D. Kouvatsos, editor, Performance Modelling and Analysis of Heterogeneous Networks, pages River Publisher, [29] Do Van Tien, Jakab Tivadar and Telek Miklós. New Services and ATM. Hungarian PTT Journal, May [30] Steve Drekic and Winfried K. Grassmann. An eigenvalue approach to analyzing a finite source priority queueing model. Annals OR, 112(1-4): , [31] Enver Ever, Orhan Gemikonakli, and Ram Chakka. A mathematical model for performability of beowulf clusters. In Annual Simulation Symposium, pages IEEE Computer Society, [32] Enver Ever, Orhan Gemikonakli, and Ram Chakka. Analytical modelling and simulation of small scale, typical and highly available beowulf clusters with breakdowns and repairs. Simulation Modelling Practice and Theory, 17(2): , [33] Winfried K. Grassmann. The use of eigenvalues for finding equilibrium probabilities of certain markovian two-dimensional queueing problems. INFORMS Journal on Computing, 15(4): , [34] Winfried K. Grassmann and Steve Drekic. An analytical solution for a tandem queue with blocking. Queueing System, (1-3): ,

12 [35] L. Kleinrock. On the modeling and analysis of computer networks. Proceedings of the IEEE, 81(8): , August [36] Leonard Kleinrock. Queueing Systems. Vol I: Theory. John Wiley & Sons, Inc, [37] G. Latouche and V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. ASA-SIAM Series on Statistics and Applied Probability, [38] Isi Mitrani. Approximate solutions for heavily loaded markov-modulated queues. Perform. Eval., 62(1-4): , [39] Isi Mitrani and Ram Chakka. Spectral expansion solution for a class of Markov models: Application and comparison with the matrix-geometric method. Performance Evaluation, 23: , [40] M. F. Neuts. Matrix Geometric Soluctions in Stochastic Model. Johns Hopkins University Press, Baltimore, [41] Papp Dénes and Truong Thi Xuan Mai and Do Van Tien. MPLS többutas elvezetés teljesítőképességi elemzése. Magyar Távközlés, May [42] L. Takacs. Introduction to the theory of queues. Oxford University Press, New York, [43] Hung Tuan Tran and Tien Van Do. Computational Aspects for Steady State Analysis of QBD Processes. Periodica Polytechnica, Ser. El. Eng, pages , [44] Y. Zhao and Winfried K. Grassmann. A numerically stable algorithm for two server queue models. Queueing Syst., 8(1):59 79,

13 A dolgozat témakörében készült reprezentatív publikációk jegyzéke Folyóirat cikkek [J1] R. Chakka and Tien Van Do. The MM K k=1 CP P k/ge/c/l G-Queue with Heterogeneous Servers: Steady state solution and an application to performance evaluation. Performance Evaluation, 64: , March (IF=0.616) [J2] Tien Van Do, U. R. Krieger, and R. Chakka. Performance modeling of an Apache Web Server with a Dynamic Pool of Service Processes. Telecommunication Systems, 39(2): , (IF=0.40) [J3] Tien Van Do, R. Chakka. A New Performability Model for Queueing and FDL-related Burst Loss in Optical Switching Nodes, Computer Communications, accepted (IF=0.884 ) [J4] Tien Van Do. Comments on Multi-Server System with Single Working Vacation. Applied Mathematical Modelling 33 (12) (2009) (IF=0.931*) [J5] Tien Van Do. An Efficient Solution to a Retrial Queue for the Performability Evaluation of DHCP. Computers and Operations Research 37(7): , (IF=1.366*) [J6] Tien Van Do. An Efficient Computation Algorithm for A Multiserver Feedback Retrial Queue With A Large Queueing Capacity Applied Mathematical Modelling. (IF=0.931*) [J7] Tien Van Do. M/M/1 retrial queue with working vacations. Acta Informatica, accepted (IF=0.789*) [J8] Tien Van Do. Modeling a Resource Contention in the Management of Virtual Organizations. submitted to Information Sciences [J9] Tien Van Do. An Efficient Computational Method for Retrial Queues to Cellular Mobile Systems with Guard Channels. Submitted for publications [J10] Tien Van Do and Ram Chakka. Simulation and Analytical Approaches for Estimating the Performability of a Multicast Address Dynamic Allocation Mechanism. Submitted for publications [J11] Tien Van Do and Ram Chakka. An Efficient Method to Compute the Rate Matrix for Retrial Queues with Large Number of Servers. Submitted for publications [J12] Tien Van Do and Ram Chakka and Nam H. Do. A Markovian Queue with Varying Number of Servers and Applications to Performance Analysis of Wireless Networks Submitted for publications IF of

14 [J13] Tien Van Do. A Computational Algorithm for the CPP/M/c Retrial Queue. Annales Mathematicae Et Informaticae ( ) (2009). [J14] Tien Van Do. The steady state analysis of the CPP/M/1 queue with working vacations. Submitted for publications Könyvfejezetek [B1] D Papp, Tien Van Do, Ram Chakka, X M T Truong. Repair strategies on the operation of MPLS routing In: Nejat Ince, Arnold Bragg (szerk.) Recent Advances in Modeling and Simulation Tools for Communication Networks and Services. Berlin ; Heidelberg: Springer-Verlag, pp (ISBN: ) [B2] Tien Van Do, Nam H. Do, and Ram Chakka. Performance evaluation of the high speed downlink packet access in communications networks based on high altitude platforms. In Khalid Al-Begain, Armin Heindl, and Miklós Telek, editors, ASMTA, volume 5055 of Lecture Notes in Computer Science, pages Springer, [B3] Ram Chakka, Tien Van Do, and Zsolt Pandi. A Generalized Markovian Queue and Its Applications to Performance Analysis in Telecommunications Networks. In D. Kouvatsos, editor, Performance Modelling and Analysis of Heterogeneous Networks, pages River Publisher, [B4] Tien Van Do, Denes Papp, Ram Chakka, and Mai X T Truong. A Performance Model of MPLS Multipath Routing with Failures and Repairs of the LSPs. In D. Kouvatsos, editor, Performance Modelling and Analysis of Heterogeneous Networks, pages River Publisher, [B5] Tien Van Do and Ram Chakka. Generalised QBD Processes, Spectral Expansion and Performance Modelling Applications. In Next Generation Internet: Performance Evaluation and Applications edited by D. D. Kouvatsos, Lecture Notes in Computer Science, Vol. LNCS 5233, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany ISBN: [B6] Ram Chakka and Tien Van Do. Some New Markovian Models for Traffic and Performance Evaluation Telecommunication Networks. In Next Generation Internet: Performance Evaluation and Applications edited by D. D. Kouvatsos, Lecture Notes in Computer Science, Vol. LNCS 5233, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany ISBN: Konferencia cikkek [C1] H. T. Tran and Tien Van Do. A new iterative method for systems with batch arrivals and batch departures. In Proceedings of CNDS 00, pages , San Diego, USA,

15 [C2] Hung T. Tran and Tien Van Do. Comparison of some Numerical Methods for QBD-M Processes via Analysis of an ATM Concentrator. In Proceedings of 20th IEEE International Performance, Computing and Communications Conference, IPCCC 2001, Pheonix, USA, [C3] Ram Chakka, Tien Van Do. The MM K k=1 CP P k/ge/c/l G-Queue and its applications in load balancing of MPLS networks. In: IEEE LCN 2002 Conference., USA 2002., pp [C4] Ram Chakka, Tien Van Do, and Zsolt Pandi. Generalized Markovian queues and applications in performance analysis in telecommunication networks. In D. D. Kouvatsos, editor, the First International Working Conference on Performance Modelling and Evaluation of Heterogeneous Networks (HET-NETs 03), pages 60/1 10, July [C5] Tien Van Do, R. Chakka, and P. G. Harrison. An integrated analytical model for computation and comparison of the throughputs of the UMTS/HSDPA user equipment categories. In MSWiM 07: Proceedings of the 10th ACM Symposium on Modeling, analysis, and simulation of wireless and mobile systems, pages 45 51, New York, NY, USA, ACM. [C6] Tien Van Do and Udo R. Krieger. A performance model for maintenance tasks in an environment of virtualized servers. In IFIP/TC6 NETWORKING 2009, pages , Aachen, Germany, Egyéb folyóirat cikkek [J14] M Ajmone Marsan, A Bianco, T V Do, L Jereb, R Lo Cigno, M Munafo. ATM Simulation with CLASS. Performance Evaluation 24:(1-2) pp (1995) (IF: 0.513) [J15] Tien Van Do, Thong T Nguyen, Hung T Tran, G Kalvach, B Varga. Optimization of an Overlay ATM Network in an SDH Infrastructure. Networks. 34:(1) pp (2000) (IF: 0.390) Topology Computer 13