VEM A. gyakorlati anyagok. Dluhi Kornél és Baksa Attila 2004.

Átírás

1 VEM A gyakorlati anyagok Összeállíotta: Páczelt István Dluhi Kornél és Baksa Attila.

2 . gyakorlat Közelítő módszerek I... Ritz-módszer bemutatása példákon keresztül Egy u mező kinematikailag lehetséges, ha folytonos deriválható kielégíti a kinematikai peremfeltételt: A Π min. elvet használjuk: u = u, ha r A u. Az u kinematikailag lehetséges elmozdulás mezőt így közelítjük: N u = u + c i ϕ i ( r ) N e + c N+j ψ j ( r ) N e y + c N+k χ k ( r ) e z i= ϕ i = ψ i = χ i =, ha r A u, i =,..., N Π = Π (c, c,..., c N ) j= k= δπ = Π δc + Π δc + + Π δc N = c c c N δc i tetszőleges legyen! Ezáltal kapunk egy lineáris egyenletrendszert a paraméterekre nézve! δπ = δc T Π c = c T = [ c c... c N ] Π c = [ Π c Π c... Π c N ] T = Π c i =, i =,... N A. ábrán látható húzott-nyomott rúd terhelése p hossz mentén megoszló súlyterhelés, és F L koncentrált erő. A rúd pontjainak elmozdulása u (). z p L A, E = áll. F L c N p N + N.. ábra. Húzott-nyomott rúd; Kiragadott rúddarab

3 . GYAKORLAT: Közelítő módszerek I. Példa. Rúd differenciál egyenlete N + p = ţ ű N lim + p = dn d + p = ε = u = du d = u kinematikai egyenlet σ = E ε = E u Hook-törvény dn d + p = Kinematikai peremfeltétel: u ( = ) = egyensúlyi egyenlet (rúdra) Dinamikai peremfeltétel: N ( = L) = A E u L = F L + F c = F L c u L Teljes potenciális energia: Π (u) = A rúd belső alakváltozási energiája Π = { }}{ ε σ dv }{{} A d V L A E (u ) d Ennek képezve a variációját kapjuk, hogy L A külső terhelések munkája {}}{ L u p d u L F L + u p d u L F L + c u L rugóenergia {}}{ c u L L L δπ = A E u δu d δu p d + c u L δu L δu L F L = (δ (u ) = u δu ) L δπ = [A E u δu] L δπ = L (A E u ) δu d L δu p d + c u L δu δu L F L = N L [ ] {}}{ (A E u ) + p δu d + (A E u ) L (F L c u L ) δu L = }{{} =: egyensúlyi egy. } {{ } =: dinamikai peremfeltétel Példa. Közelítő megoldás keresése: u () = c + c + c ez kinematikailag lehetséges, ha deriválható u () teljesül a kinematikai peremfeltétel miatt u () = ha c =

4 .. RITZ-MÓDSZER BEMUTATÁSA PÉLDÁKON KERESZTÜL Tehát ezen feltételeket kielégítő függvény ş u ť Π = = Z L Z L A E ş u ť ZL d A E (c + c ) d = A E ů c L + c c L u () = c + c u p d + c ş ul ť ul F L = Z L + c ą c + c ć p d + c ąc L + c L ć ą c L + c L ć F L = ÿ ÿ L L p ůc + c L + + c č c L + c c L + c L ď ą c L + c L ć F L A variációképzéssel: azaz kifejtve: δ Π = Π c δc + Π c δc = = Π c =, Π c = Π = AELc + AEL c p L c + cl c + cl c LF L = Π = AEL c + c AEL c p L + cc L + cl c L F L = ugyanezt mátrios formában felírva kapjuk: ů ÿ ů ÿ L L c AE L L Speciális esetek c csak koncentrált erővel terhelt rúd ů L + c L L L ÿ ů ÿ c = c " # p L + LFL p L + L F L F L.. ábra. F L, c =, p = a kijelölt osztás után AE ą Lc + L ć. c = FL L : (AEL) AE ţl c + ű. L c = F L L : ą AEL ć c + Lc = F L AE c + FL Lc = AE melyből c = míg c = F L AE. Ebben az esetben a lehetséges elmozdulás a következő alakban adódik u = FL AE melyből látható, hogy a Π min. elv érvényben van! N = AEu = F L dn d dinamikai peremfeltétel = N = áll. NL = FL egyensúlyi egyenlet

5 . GYAKORLAT: Közelítő módszerek I. csak megoszló terheléssel terhelt rúd p.. ábra. F L =, c =, p AE ą Lc + L ć pl c = AE ţl c + ű L c = pl. : (AEL). : ą AEL ć a kijelölt osztás után c + Lc = pl AE c + Lc = pl AE melyből c = p AE, illetve c = pl AE. Ebben az esetben a lehetséges elmozdulás a következő alakban adódik u = pl AE p AE A kapott megoldás egzakt, mivel az egyensúlyi egyenletet, illetve a dinamikai peremfeltételt kielégíti. N = AEu = pl p = p (L ) ha koncentrált és megoszló terhelés is működik a testen, akkor az előző két eset szuperpozíciójáról van szó. Tehát p = áll., F L, de c =. Ekkor a szuperpozíció alapján a következő eredmény adódik: melyből a lehetséges elmozdulás c = p (FL + pl), c = AE AE u = (FL + pl) p AE AE

6 . gyakorlat Közelítő módszerek II... Projektív módszer (gyenge alakú megoldás) Húzott-nyomott rúd esete z p = áll. L F L Differenciál-egyenlet Peremfeltételek: u () = N L = AEu L = F L.. ábra. Húzott-nyomott rúd d d (AEu ) + p = kinematikai (vagy lényeges) peremfeltétel dinamikai (vagy természetes) peremfeltétel a.) Súlyozott maradékok módszere u közelítő mező ( ) d AEu + p = d L [ ( ) ] [ d w i AEu ] + p d w il AEu L F L = d ahol w i = w i () teszt (ellenőrző) függvény. u () = u + N c i ϕ i () ; ϕ i ( = ) = próbafüggvények. i= A próbafüggvények lineárisan függetlenek. b.) Bubnov-Galerkin módszer w i () = ϕ i () Tekintsük a következő statikailag lehetséges közelítő függvényt a fennti probléma meg- Példa. oldásához: u = c 5

7 6. GYAKORLAT: Közelítő módszerek II. azaz ebben az esetben Mely alapján felírható Z L ϕ = w = 6 d d (AEc) h ŕ i + p7 5 d L ŕŕl AEc F L = {z } = p L L (AEc FL) = c = AELc = p L + LFL pl AE + F L AE Az így kapott eredmény ţ ű pl u = AE + FL N = AEu = pl AE + F L mely azt jelenti, hogy a differenciál egyenlet pontonként nem teljesül, de közelíti a tényleges megoldást. N pl + F L N * F L.. ábra. A rúderő eloszlása az tengely mentén Példa. Vegyünk egy másodfokú statikailag lehetséges közelítő függvényt az előző probléma megoldásához u = c + c ϕ = w = ϕ = w = Ekkor két egyenlet írható fel ϕ = ϕ = Z L Z L melyből a két ismeretlen paraméter meghatározható ů ÿ d d AE (c + c ) + p d L [AE (c + c L) F L ] = ů ÿ d (c + c) + p d L [AE (c + c L) F L] = d AEc L + p L LAE (c + cl) + FLL = AE cl + p L L AE [c + c L] + L F L = Tehát a kapott elmozdulás mező c = F L + pl AE c = p AE FL + pl u = AE p AE N = AEu = F L + pl p = F L + p (L ) mely az egzakt megoldást jelenti minden pontban.

8 .. LEVEZETÉS 7.. Levezetés Mutassa meg, hogy egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőhöz tartozó potenciális energia mindig nagyobb vagy egyenlő mint az egzakt mezőhöz tartozó! azaz: Π ( u + δ u ) Π ( u ) Π ( u + δ u ) = V V ( A + δa ) D ( A + δa ) dv T V V A p ( u + δ u ) ρ k dv = {}}{ A D A dv u ρ k dv u p da } {{ } Π( u ): egzakt értékhez tartozó V T {}}{ δa D A dv V δ u ρ k dv A p δ u p da+ } {{ } δπ: a potenciális energia variációja δt {}}{ δa D δa dv V }{{} δ Π=U(δA), ez való energia, ha az egzakt megoldásnál vagyunk Π ( u + δ u ) = Π ( u ) + = {}}{ δπ + δ Π Stacionaritási feltétel: δπ = a virtuális munka elve szerint tehát Π ( u + δ u ) Π ( u ) A p ( u + δ u ) p da =

9 . gyakorlat Ismerkedés az I-DEAS programrendszerrel.. Áttekintés Az I-DEAS olyan általános célú programrendszer, melyet a tervezési folyamat különböző fázisainak megkönnyítésére alkalmazhatunk. Minden egyes gépészeti folyamat más-más alrendszer betöltését és használatát igényli. A program például a következő alkalmazásokat nyújtja: Design: Modeller, Assembly, Drafting Setup Simulation: Boundary Conditions, Meshing, Model Solution Test: Time History, Histogram, Model Preparation, Signal Processing, Modal Manufacturing: Modeler, Generative Machining, Assembly Setup, GNC Setup Főbb jellemzők A parametrikus modellezés. A tervezés során először egy vázlatot kell készíteni, mely nagy vonalakban hasonlít majd az elkészítendő darabhoz, és a méreteket ezután kell pontosan beállítani az igényeknek megfelelően. De természetesen a geometriai elemek pontos koordináták segítségével is megrajzolhatóak. Tulajdonság alapú modellezés. A bázis alak létrehozása után egyszerűen lehet definiálni kivágást, furatot, beszúrást, stb. Párhuzamos alkatrész fejlesztés. Az alkatrészek közös könyvtárakban helyezhetőek el, melyek a megfelelő tervezők által elérhetők, módosíthatók... A program elindítása A program elindítható parancssorból, menüből vagy ikon segítségével. Előfordulhat az is hogy speciális jogok beállítsa is szükséges a szoftver megfelelő használatához. A gördülékeny használathoz elengedhetetlen a minnél jobb grafikai hardver megléte is, mely OpenGL támogatással rendelkezik. A program indítása után egy dialógus ablak a következő információkat igényli:. Projekt neve: mely az adott munkát rendszerezi. Ezt ki is lehet választani a felkínált listából. Vagy behívható egy kiválasztó ablak, az ikon kiválasztásával.. Model file: a munka során létrehozott objektumhoz tartozó adatk itt tárolódnak el. Ezt segíti egy előhívható lista, mely a file megnyitásához, mentéséhez hasonló ablakot jelent, a megfelelő ikon kiválasztásával aktivizálható.. A használni kívánt alkalmazás kiválasztása: alapértelmezésként felkínálja a program az utoljára használtat, illetve a Design csomagot. Ez alatt található az adott alkalmazáson belüli feladat kiválasztására szolgáló legördülő listaablak. Ha az I-DEAS-t parancssorból indítottuk el, akkor lehetőség van megadni opciókat is. 8

10 .. HASZNÁLATHOZ SZÜKSÉGES ALAPOK 9 -h az indításhoz használható opciók. -d device a grafikus drivert lehet vele megadni induláskor. Ha nem adjuk meg egy listát kínál fel amiből lehet választani. -g a legutóbb végzett munka folytatását teszi lehetővé. -l language a használni kívánt nyelvet lehet megadni. Ha nem adjuk meg a nyelvet akkor az elérhető nyelvek listáját kapjuk... Használathoz szükséges alapok Ablakok Rajzterület itt készül minden... Ikon (A, B, C mátri) érdemes egy kicsit kisebbre venni Lista üzenetek, hibák jelzésére; ha nem használjuk sokszor el lehet rejteni, de hasznos dolog Prompt ide mindig nézni Lényeges Egér A program használatához a három gombos egér használata az ideális, ahogy ezt egy korszerű tervező szoftvertől elvárható. Minden gombnak saját funkciója van. Bal gomb parancskiválasztás, geometriai alakzatok kiválasztása a grafikus ablakban. A Shift gombbal együtt használva csoportos kijelölést tesz lehetővé. (ez pl. törlésnél, méretezésnél hasznos) Középső gomb ez az Enter vagy a Return billenytyűt helyettesíti. A parancs lezárására szolgál. Jobb gomb Popup menüt jelenít meg, ha a rajzterületen használjuk, feladattól függően más és más parancsok aktivizálást gyorsítja. Funkció billentyűkről Számtalan billentyűkombináció előre definiált az I-DEAS-ban, melyek felsorolása túl nagy feladat. Most elsősorban az F - F billenytűkre gondolunk. Ezek szerepe természetesen átdefiniálható (ideas.ini) de alapértelmezésben a következő feladokat gyorsítják F - F5: eltolás, nagyítás, forgatás, kívánt nézet, reset F6: az előző 5 funkcióbillentyű szerepét határozza meg a feladatbank kiválasztással F7: Zoom All (AU Ctrl-A, ZM ablakkal nagyít) F8: Reconsider F9: Deselect All F: F: Filter F: Redisplay (Ctrl-R) Menü: elérése Ctrl-M kombinációval kapcsolható ki/be Kilépés: eit paranccsal, vagy menüből kiválasztva, vagy Ctrl-e kombinációval.

11 . GYAKORLAT: Ismerkedés az I-DEAS programrendszerrel.. Rajzolást megkönnyítő néhány funkció Dynamic Navigator érintő középpont végpont metszéspont párhuzamos függőleges vízszintes egybeesés Align, Focus, Grid, Snap (Workplace Apperiace) Select menü elemei alaphelyzetben a jobb egérgomb rajzterületen történő lenyomásával aktiválhatjuk ezt a popup menüt: Visible Label Egy-egy konkrét elem kijelölésére szolgál (pl. C curve, E edge, F face, P wireframe points, stb.) Filter... egy dialógus ablak segítségével szükíthetjük a kiválaszható objektumok típusát Area Options... kijelölési terület jellemzőit állíthatjuk itt be, (Auto Shift) Reconsider F8 Deselect All F9 Related To

12 . gyakorlat Szingularitás vizsgálat I-DEAS használata síkfeladatok megoldására.. csomópontú izoparametrikus elem vizsgálata Példa. Adott az elem az y síkon, állítsa elő a megadott alakfüggvények segítségével az elem leképzését a ξ η koordinátarendszerbe! Döntse el, hogy kölcsönösen egyértelmű-e ez a leképzés? Ha nem mutassa meg, hogy hol nem az! N = ( + ξ) ( + η) N = ( + ξ) ( η) N = ( ξ) ( η) N = ( ξ) ( + η) Megoldás: A koordináták leképzése: = y = i= y.. ábra. csomópontú elem az y és a ξ η KR-ben X N i i = ( + ξ) ( + η) + ş ( + ξ) ( η) + + = ( + ξ) η ť X N i y i = ( + ξ) ( + η) + + ţ ( ξ) ( + η) = ( + η) ξ ű i= A leképzés megfordíthatóság vizsgálatához számítsuk ki a J mátriot. " # " # y ξ ξ η ( + η) J = y = η η ( + ξ) ξ melyből Kérdés, hogy hol teljesül a detj = ξ η + ξη ( + ξ + η + ξη) = ( ξ η) detj = η = ξ összefüggés, mert ott nem kölcsönösen egyértelmű az elem leképzése! η ξ η ξ η = ξ.. ábra. Elfajuló a leképzés a saffozott területen

13 . GYAKORLAT: Szingularitás vizsgálat I-DEAS használata síkfeladatok megoldására.. I-DEAS használata síkfeladat megoldására Adott a következő C -állvány feladat: y p b.6.5 F..8 Az állvány anyaga általános acél... ábra. C állvány b =.5 m p = 6 P a F = N Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a C állvány veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Polylines A(, ) kontúrok rajzolása Physical Property A(5, ) lemezvastagság megadás Delete B(, ) nem kívánt rajzelemek, méretek törlése Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Dimension A(, ) méretezés Define Shell Mesh A(, ) háló generálás Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása (All) Mentés Ctrl-S Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Surface by Boundary A(5, ) felület definiálás Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Sketch in Plane A(, ) rajzfelület kiválasztás Force A(, ) DPF előírása Polylines A(, ) Points A(, ) a kör közép kijelölése Force from Point A(, ) körön megoszló terheléshez Circle Center Edge A(, ) kör rajzolás Simulation Model Solution Trim at Curve A(, ) kivágások a felületről Solution Set A(, ) megoldások tárolására Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solve A(, ) megoldás Mentés Ctrl-S Visualizer A(6, )

14 5. gyakorlat Numerikus integrálás - I-DEAS használata csomópontú elemek η y 7 (ξ, η) = y (ξ, η) = 8 N i (ξ, η) i i= 8 N i (ξ, η) y i i= ábra. 8 csomópontú izoparametrikus elem 5 6 ξ f = ( ξ) ( η) f 5 = ( ξ ) ( η) f 8 = ( η ) ( ξ) η η η η ξ = ξ ξ ξ N f f 5 f ábra. A 8 csomópontú izoparametrikus elemhez tartozó alakfüggvények előállítása N (ξ, η) = f f 5 f 8 = ( ξ) ( η) ( ξ ) ( η) ( η ) ( ξ) = = ( ξ) ( η) ( ξ η) Alakfüggvények: N (ξ, η) = ( ξ) ( η) ( ξ η ) N (ξ, η) = ( + ξ) ( η) (ξ η ) N (ξ, η) = ( + ξ) ( + η) (ξ + η ) N (ξ, η) = ( ξ) ( + η) ( ξ + η ) N 5 (ξ, η) = f 5 = ( ξ ) ( η) N 6 (ξ, η) = f 6 = ( η ) ( + ξ) N 7 (ξ, η) = f 7 = ( ξ ) ( + ξ) N 8 (ξ, η) = f 8 = ( η ) ( ξ)

15 5. GYAKORLAT: Numerikus integrálás - I-DEAS használata 5.. Numerikus integrálás Itt a Gauss-kvadratúra alapján végezzük el. F( ξ) NG F (ξ) dξ w i F (ξ i ) i= 5.. ábra. F (ξ) függvény képe ξ ±ξ i NG w i, 577, 77, 555, 888 A numerikus integrálás hasonlóan elvégezhető két, vagy három változóra is gondolva itt a D-s, illetve a D-s izoparametrikus elemekre. Példa 5. Tekintsük a következő függvény, és határozzuk meg analitikusan és numerikusan is a következő integrált: y y = = = ábra. y = Tehát Továbbá ξ függvény képe I = Z d Analitikusan meghatározva a 5. ábrán megadott integrál értéke: I = Numerikusan Z 6 d = (ln 6 ln ) =.869 transzformáljuk a függvény független változóját a ξ koordinátarendszerbe: ahol (ξ) = X N i (ξ) i i= N (ξ) = ( ξ), N (ξ) = ( + ξ) (ξ) = ( ξ) + ( + ξ) = ( ξ) + ( + ξ) 6 = ( + ξ) d = ţ ξ dξ = + 6 ű dξ = dξ Ekkor az I integrálra a pontos Gauss kvadratúrát alkalmazva a következőt kapjuk: I = Z 6 Z d = (ξ) dξ = Z (ξ) dξ X i= w i (ξ) = (ξ ) = ( ) = (ξ ) = ( + ) = 9 =.5 (ξ ) = (.7759) =.85 = =.86

16 5.. I-DEAS HASZNÁLATA SÍKFELADAT MEGOLDÁSÁRA I-DEAS használata síkfeladat megoldására Adott a következő fogasszerű síkfeladat. F 5 6 R R b F Az alkatrész anyaga általános acél ábra. b = mm F = N F = 5 N Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a fogas veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Workplane Appearance B(, ) Grid, Snap Physical Property A(5, ) lemezvastagság megadás Lines A(, ) kontúrok rajzolása Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Dimension A(, ) méretezés Define Shell Mesh A(, ) háló generálás Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása Mentés Ctrl-S Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Circle Center Edge A(, ) kör rajzolás Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Lines A(, ) Points A(, ) a kör közép Force A(, ) DPF előírása Surface by Boundary A(5, ) felület definiálás Force from Point A(, ) körön megoszló terheléshez Trim / Etend A(, ) rajzelemek módosítása Simulation Model Solution Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solution Set A(, ) megoldások tárolására Mentés Ctrl-S Solve A(, ) megoldás Visualizer A(6, )

17 6. gyakorlat I-DEAS használata rugalmasságtani térbeli feladatra Adott a következő C -állvány feladat: ábra. C állvány Az állvány anyaga bronz, a következő anyagjellemzőkkel: Modulus of Elasticity: E = GP a Poissons ratio: ν =.7 Mass Density: ρ = 87 kg m A C állvány az alsó furatok segítségével van rögzítve. A felfelé mutató terhelés pedig a felső furatban működik, melynek nagysága F = kn Határozzuk meg a fenti ábrán jelzett peremfeltételek mellett a C állvány veszélyes helyét (helyeit), továbbá azon helyeken a maimális feszültségek értékét! 6

18 7 A feladat végrehajtásához használandó főbb funkciók, parancsok: Simulation Master Modeller Simulation Meshing Options Units mm[newton] Create FE Model... B(, ) VEM modell definiálás Polylines A(, ) kontúrok rajzolása Materials B(5, ) anyagjellemzők beállítása Delete B(, ) nem kívánt rajzelemek törlése Solid Mesh A(, ) háló generálás Dimension A(, ) méretezés Mentés Ctrl-S Modify Entity B(, ) méretek megváltoztatása Mentés Ctrl-S Simulation Boundary Conditions Etrude A(5, ) térbeli obj. definiálása Displacement Restraint A(, ) KPF előírása Sketch in Place A(, ) rajzfelület kiválasztás Force A(, ) DPF előírása Polylines A(, ) vonal rajzolása Mentés Ctrl-S Circle Center Edge A(, ) kör (Options) Simulation Model Solution Etrude A(, ) kivágások a testből (Cut) Solution Set A(, ) megoldások tárolására Name Parts... B(, ) alkatrész elnevezés Solve A(, ) megoldás Mentés Ctrl-S New Visualizer A(6, )