3. FEJEZET. A hullámfüggvény és a Schrödinger egyenlet A hullámfüggvény fizikai értelmezése, normálása

Átírás

1 . FEJEZET A ulláfüggvén és a Scödng gnl.. A ulláfüggvén fka élés noálása A ulláfüggvénől ddg a kövkő dolgoka díük k: - a függvén ndn ogó l éscské oándljük - a saulajdonságok a a függvén g kol függvén kll lgn. - g sabad éscské n gln síkulláo an öbb síkullá össgkén gado ullácsoago kll oándln annak édkébn og a ulláfüggvén ébn lokalál lgn és a ullácsoag a éscsk sbsségnk gfllő sbsséggl aladjon.. Posuláu Fka él a ulláfüggvén odulus négénk van. E ükö a ado onban és ado dőllanaban a éscsk galálaóság valósínűségé. - n ndlünk fka él d F ükö a éscs oléénk valósínűségé. d P d. d ddd A ulláfüggvén noálása ala a éjük og a ulláfüggvén úg kll lgn gsksv og a éscskénk a sááa gngd ébn való galálaósága a bos sén lgn. Eé annak a sénnk a valósínûség og a éscsk valaol van a sááa gngd ébn - kll adjon. Ha a éscsk a gés ébn ooga aakalag a jln og: P [ ] [ ] [ ]. ddd d. A fn gnlõség ga kll lgn ndn "" dõllana. En osuláu kjlnés uán alán a s jobban géjük og sok sbn é n sncsés g sabad éscské síkulláo ndln: k ω A A.4 4

2 E a éék a gés ébn g konsans galálaóság valósínűség onosabban valósínűség-sűűség ad a síkulláal lí éscské. A éscsk k alaján ljsn "lokalálaalan" lnn. A ásk nag obléa l a függvénnl og klasskusan flí. noálás gnll n noálaó. Késõbb ajd glájuk og ln sbn g álalánosío kolkálabb noálás végünk. A ullácsoag sé gvsgálva: sn v k A v ω k sn v k 4A v.6.. ába:/6sn4-5/-5 függvén. E éldául g ullácsoago ndl ulláfüggvén odulus nég sabad éscsk galálaóság valósínûségsûûség l. an g on aol a éscsk a lgnagobb valósínűséggl van jln és a on a v éscsk sbsség csoosbsséggl oog A íg kao ulláfüggvén klasskusan a. sn noálaó a gés é : sn d.6.posuláu: A ulláfüggvén s ljsn jll a éscsk vag a öbb éscskéből álló nds állaoá. ncs sükségünk öbb s ao og a éscsk állaoá líjuk d uganakko n s ondaunk l öbb a éscskéől Hoga á gaduk a ulláfüggvéné: a éscskéõl lvõ össs nfoácó a ulláfüggvén á aalaa. Ennk analógája a klasskus cankában a ako g éscskéől udjuk a koodnáájá és a sbsségé g ado onban. 5

3 .. A ulláfüggvén sok éscskéből álló ndsk sé Hoga n csak g éscské akaunk lín a ulláfüggvénnl akko bvünk g olan kol ulláfüggvén al éscsk sén a dnós ébn van élv.... : R C.7 E a ulláfüggvén uganúg van élv n a géscsk-ulláfüggvén vags agának a ulláfüggvénnk nncs fka él d a odulus négénk van gadja a a valósínűség avl a nds alkoó éscskék a llő koodnáa-nvalluokban alálaók vags annak a valósínűség og a -s éscsk koodnáája a és d köö lgn és a -s éscsk koodnáája a és d köö lgn és íg ovább: d d... d P d ; d ;...; d A öbbéscsk ulláfüggvén a géscsk ulláfüggvénnl analóg ódon noáljuk: d d... d.8.. A koodnáaébl és ulusébl ulláfüggvén A. osuláu aa s ual og a ddg asnál ulláfüggvénünk sgíségévl lségs vala ondan n csak a éscsk léől an a ulusáól s. Tövén: Ha s a ulláfüggvén akko ksáolaok g ásk ulláfüggvén - al ulusébl ulláfüggvénnk nvk és al a ulusébn van dfnálva. Ennk a ulusébl ulláfüggvénnk a odulus nég gadja ndn dõllanaban annak a valósínűség-sűűség og a ulus g ado ulus nvalluban van ljsn asonlóan ao aogan a koodnáaébl ulláfüggvén odulus nég gada a a valósínűségsűűség avl a koodnáa g ado koodnáa-nvalluban vol. d P d.9 A ulusébl ulláfüggvén s noál kll lgn. A ulusébl ulláfüggvén a klasskus noálás: 6

4 ddd d.0 A ulláfüggvén aalaa a össs nfoácó a éscskéől á a - ből k kll lssn sáoln a - s. E valóban íg s van a ké ulláfüggvén kö össfüggés g Fou-ansfoácó adja g a kjlnés boníaó a boníás aonban g késõbb fjbn adjuk ajd g. d ddd. A ulusébl ulláfüggvénből a koodnáaébl ulláfüggvén g a nv Fou ansfoácóval kajuk g: d. A Fou-ansfoácó gaja a függvén noálságá. E a jln oga a koodnáaébl ulláfüggvénünk noál vol akko a ulusébl ulláfüggvénünk s auoakusan noál ls. d d. Mvl soka fogunk foglakon gdnós fladaokkal gjgük og gdnóban a Fou-ansfoácó a kövkőkén adajuk g: F G k F k d.4.4. Mgalálaóság valósínűségk ksáíása a ulláfüggvénnl Hoga ado a ulláfüggvénünk g éscské akko nnk sgíségévl ksáolajuk og a valósínűség annak og a éscsk koodnáája és köö koodnáája és köö és koodnáája és köö lgn. E a valósínűség abban a sbn oga a noál 7

5 d d d P.5 a íg abban a sbn oga n: d d d d P b Mgjgük oga a ulláfüggvén n noál és c d.6 aol c g végs éék akko a ulláfüggvén aonnal noálaó és a noál ulláfüggvén: c.7 A ulusébl ulláfüggvénnl s uganíg kll galálaóság valósínűségk sáoln csak bbn a sbn a kédés a a og a valósínűség annak og a éscsk uluskoonns és köö uluskoonns és köö llv uluskoonns és köö lgn: d d d P.8.5. A Scödng gnl sabad éscské A Scödng gnl a kvanucanka éscskék ogásgnl.. Posuláu: Hoga sjük a ulláfüggvén g ado llanban akko lék g gnl alll ksáolaó a ulláfüggvén g később dőllanaban. E a gnl a Scödng gnl.

6 E a osuláu a fj k og a kvanucanka g dnskus lél. vags oga ado a nds állaoa g dőllanaban gaáoa a nds állaoá később dőllanaokban. A klasskus cankával analog ódón oga sük a éscsk ocójá és sbsségé a ogásgnlkkl k uduk sáoln a új ocó és sbsség a kvanucankában sv a ulláfüggvén a Scödng-gnll ksáolajuk a új ulláfüggvén bál késõbb dõllanaban. 4.Posuláu: A suocó lv: oga ulláfüggvénk valós fka állaoo ínak l akko s g lségs fka állaoo í l. E a osuláuo á alkalauk ako galkouk a ullácsoago. A Scödng gnl álalában osuláukén vjük b. A osuláuoka udjuk og n boníjuk aonban gndokoljuk a Scödng gnl alakjá lõvíjük og n ls aonban boníás. Scödng gnl 0 asonló ao aogan a dnaka. gnlé asnáluk d d 0 v0 d F d v Tulajdonságok ak lváunk a Scödng gnlõl: A Scödng gnl lnás és oogén kll lgn bn vags - lsőfokon kll aalaa lnás és ndn agban uganaon a fokon kll sljn oogén An a 4. Posuláu kjln a kvanucanka ulláfüggvén ga a suocó lv: c c. Ebből aonnal kövkk og a Scödng gnl lnás és oogén kll lgn. A Scödng gnl dőbn au lsőndű dffncálgnl l csak g kd s nnség van a ulláfüggvén a kd dőllanaban. A kosondnca lv: a kvanucanka gnl foalag asonlók kll lgnk a klasskus canka gnl és a kvanucanka 9

7 aáskén nag ögk ulusok vssa kll kajuk a klasskus canka gnl. A Scödng gnl gndoklása gsksés: Sabad éscské flíajuk: E.9 c F d c E F j E d k E c F d.0. E c F d A klasskus cankában. E. és a.0-. gnlk alkalava E c 0 F E d.4 abõl kövkk og:.5 E a gnl ljsí nd a áo ksabo flél és a gnl ls a sabad éscské flí Scödng-gnl. 0

8 Ebbn a gnlbn a klasskus cankával lvõ analóga sn a lső ag a ngáo köődk íg a ásodk ag a uluso. E l a kavnucankában E Láaó og o aol a klasskus fkában nnségnk volak o a kvanucankában oáooka asnálunk. A oáo asonlí g függvén a különbség a og íg a függénk g sáala l vsk á g ásk sáalaba a oáook g függvéné l vsk á g ásk függvénéb. Függvénk ansfoálnak á. függén : sá oáook :függvén ujabb sá ujabb függvén Oáo éldául a dválás a aáoalan ngálás vag g függvénnl való bsoás. A sünkbn a Ê és a oáook dő llv ékoodnáa sn dválásoka jlnk. A áéés a klasskus cankáól a kvanucankáa foalag úg öénk á og a fka nnségk oáooka ndlünk. A klaskus canka gnl gaak lsnk a kbn a fka nnségk l a nkk gfllõ oáooknak a ulláfüggvén való aásá lsíjük b. A oáooka g "kalaal" fogjuk jlõln. A Â B B Ê ;.6 ;.6. Scödng gnl kölcsönaó éscskék A lél canka kébn ganuluk og konvaív kbn a Halonfüggvén sgíségévl flíaó a nga. Külső oncál jlnléébn udjukog a Halon függvén: E H T.7

9 Láuk og sabad éscské a Scödng gnl a EH / klasskus gnl ükö. Eg külsõ konvaív él kölcsönaó éscskék sén a Scödng gnl snén a EH gnl fogja ükön d a H Halonfüggvén alakja os a.7 ls. Ennk a gnlnk snénk gksn a kvanucanka gfllőjé. Mndn ago udjuk á og ulláfüggvén aó oáooka kll ndln a újdonság a ls og a oncálo ln oáo ndlünk Posuláukén lfogadajuk og a koodnáa és dõ bál függvéné g gsû soó oáo ndlünk. Ek alaján a oncálo ndl oáo s g gsû - vl soó oáo ls. A klasskus canka gnlévl analóg ódon flíajuk á a kvanucanka nds jllõ Scödng gnl E.8 E Ĥ.9 a a fn gfllõ oáo-alakok blsíés uán a Scödng gnl dén:.0 E a Scödng-gnl g éscské sőlgs külsõ ébn. A.0 gnl g lnás és oogén acáls dffncálgnl al és sn dválaka aaa. E a gnl úg knjük n g volúcós gnl gadja a og dőbn ogan válok voluál a ulláfüggvén. Elõvíjük aonban og a Ĥ. Scödng gnl sokkal öbb n g gsû volucós gnl..0 ncsak a ulláfüggvén dőbl váloásá fogja gadn an a s og lk a lségs ulláfüggvénk a kd dőllanaban. Hoga csak gdnóban dolgounk akko a Scödng gnl gdnós acáls dffncál gnl a gsû oncálok sén sok sbn analkusan goldaó. Kédnós obléák sén á nagon bonolul goldan a.0 Scödng gnl és a valós áodnós ébn csak nagon kvés sbn l analkus goldásoka kan.

10 A Scödng gnl ésbn osuláukén vük b. Hog sább lgn s flélünk os kjlnjük a uolsó osuláuunka. 5. Posuláu Posuláukén a fogadajuk l og a kvanucanka kébn a klasskus fka nnségnk oáook flnk g lk a ulláfüggvén anak. A klasskus fka gnl gaak aadnak a kvanucanka kébn a ulláfüggvén aó gfllõ oáooka. A fka nnségk a kövkõ ódón ndlünk oáooka: E E ; ; ; F F F A fn gnlbn F g sõlgs fka nnség a a é és uluskoodnáák sgíségévl fjünk k..7. Elkoágnss ébn ogó lkoosan ölö éscské flí Scödng gnl A Elkodnaka kébn ganuluk og lkoágnss ébn a A vkooncál és a ϑ skaláoncál sgíségévl udjuk flín a nds Halon függvéné: ] [ H E A ϑ. A fka nnségk a á s ódon oáooka ndlv E ; ; A A ; v ϑ ϑ gkajuk a kvanucanka nds vélõ Scödng gnl: ] [ A ϑ.

11 .8. A Scödng gnl öbb éscskéből álló ndsk sén A géscsk ulláfüggvén l os a öbbéscsk ulláfüggvén asnáljuk és a fka nnségk a s ódón újból a ulláfüggvén aó oáooka ndlünk.... A külsõ él kölcsönaó sokéscsk nds Halon függvén: E H....4 En klasskus glnk a oáook oándlés soán kao kvanucanka gfllõj: E a gnl a öbbéscsk nds Scödng gnl A dőől függln Scödng gnl Abban a sbn oga a oncál n függ a dőől d ; 0.6 d.7 a Scödng gnl gsűbb alaka oaó. Iln sbn a Scödng gnl goldásá a: Ξ.8 alakban kssük. E a goldás akko jogos oga ln foában valóban alálunk g lfogadaó goldás a valós fka obléáknak a aaka obléákól léõn ndg EGY sabl és lfogadaó goldása kll lgn: Ξ Ξ Ξ.9 éggosva Ξ vl: 4

12 Ξ E kons.40 Ξ Aonnal bláaó og a fn gnl ké gnll kvvalns ugans a lsõ ag csak -õl függ a ásodk csak -õl és ndkõ uganaal a E-konsanssal kll gnlõ lgn. Ξ E Ξ E.4 A fn gnlk lsõ gnlénk a élébn gaáoaó a ulláfüggvén dõõl függõ és: Ξ E E d d Ξ E ln Ξ c.4 Ξ A E A ulláfüggvén ébl koodnáákól függõ ésé g a kövkõ dffncál gnl kajuk E.4 a övdn a H E.44 alakban s flíaunk. E a saconáus Scödng-gnl. A gnl n ás n a Halon oáo Ĥ sajáéék-gnl a sajáéék gnlkõl bõvbbn a kövkõ fjbn fogunk ágaln. A gnlbn sln a függvén és a E éék. A gnlnk n ndn függvén sén van goldása. Aon függvénk alk a fn gnlnk van goldása sajáfüggvénknk nvük. Eg sajáfüggvén aoó E éék sajáééknk nvük. Mgoldan a saconáus Scödng gnl a jln og gkajuk a össs lségs sajáfüggvénk és a nkk gfllõ sajáéékk. Edlg a Scödng gnll csak a vol a célunk og gkajuk ogan válok a dőbn a ulláfüggvén a sjük nnk alakjá a kdbn. An lájuk aonban a Scödng gnl nnél öbb fog gondan nkünk: gondja a s ln foájúak lnk a lségs kd ulláfüggvénnk és 5

13 n állaooko aoó ngák éék. Mglájuk og van olan s ako a E sajáéékk folonosan válonak éldául g sabad éscsk sén vags folonos skuo adnak és van olan s éldául végln él oncálgödöb á éscsk s ako a sku dské. Elõfodula aon s s ko a dské és folonos su s jlnkk a E éékénk a függvénébn. Mndké sbn ga aonban og a lségs sajáéékk alaa végln sáosságú..0 A konnuás gnl A fluduok dnakájában vag a lkoosságan kébn á alálkounk a konnuás gnll ρ j 0.45 aol ρ ögsűűség llv öléssűűség j g áasûûség jln. A áasûûség a gségn dõ ala gségn kssû flüln a flül õlgs ánban áaladó anagnnség vag ölésnnség jln. A konnuás gnl n skbn a anag llv a ölésk gaadásának a övéné fj k. A kvanucankában valósínűségsűűségől llv valósínûség áasûúségõl bsélünk és a klasskus fkából s konnuás gnll analóg gnl íaunk fl. Ennk édkébn knsük a.0 Scödng gnl és nnk kol konjugáljá ajd k soouk b a ulláfüggvénnl llv nnk kol konjugáljával. /.46 / -.47 A fn ké gnl kvonva gásból: dv.50 A íg kao gnl foálsan gfll a konnuás gnlnk. P d.5 d 6

14 a valósínűség-sűűség és v j.5 a valósínűség-áasűűség. A kvanucanka konnuás gnl a kvanuos éscsk ébl galálaóság valósínûségénk a gaadásá fj k. A konnuás gnl g nagon fonos kövkén a og a a ulláfüggvén g ado dõllanaban noál akko a ulláfüggvén dőbn noál fog aadn. E könnn bláaó oga a konnuás gnl ngáljuk a gés é: d dv d 0.5 a ásodk ago Gauss-Osogask kél sn áalakíva g flül ngállá a kajuk og: d 0 jds..54 A fn kél ásodk agja a véglnbn v flüln van ngálva aonban j0. Eg noál ulláfüggvén a véglnbn 0-o kll ason és kko a ln ulláfüggvénből gsks j s 0-o kll ason. Ek alaján; d d d 0 d.55 vags a ulláfüggvén noája dőbn állandó. A Scödng gnl gaja á a ulláfüggvén noálságá... A Scödng gnl a ulusébl ulláfüggvén sgíségévl Célunk a og flíjuk a Scödng gnl a ulusébl ulláfüggvén sgíségévl. A valós ébl ulláfüggvén flí Scödng gnlből ndulunk k: E.56 An á ágaluk a valós ébl és a ulusébl ulláfüggvénk a Fou- ansfoácóval kajuk g gásból: 7

15 8 d ; d A fn kélk alkalaásával: d d.57 a sögls áójlbn lvő és blsíjük a d Scödng gnlből: d.58 d d.59 A.59 ngál ké ésé külön sáoljuk k. A lsõ és lõsö s acálsan ngáljuk: d d..60 A fn kél lső agjában sl a a a véglnbn 0. A ásodk ag gaad ég gs acálsan ngáljuk: d d d.6 A ngál ásodk flénk ksáolásáo d.6

16 9 flasnáljuk a kövkõ aaka gnlõség:.6 ; Hog jobban gésük a.6 ga volá knsük a kövkõ éldá: c c.64 c c c c c c c c A.64 alkalaásával.6- ovább gsûsíjük: d d d.65 A.59.6 és.65 alaján flíajuk á a Scödng gnl a ulusébl ulláfüggvénnl:.66 E a gnl aká csak a koodnáaébn flí Scödng gnl s a E klasskus gnlnk a kvanucanka gfllõj és bbõl úg sáaajuk og a klasskus fka nnségk oáooka ndlünk. E Ek a oáook os a ulusébl ulláfüggvén anak és n "ulusébl' alakjuk:

17 E ; ;.67 Láuk og a "koodnáaébn" ko koodnáaébl ulláfüggvénkkl dolgounk a uluso ndlünk dválás oáo és a ékoodnáako ndlünk gsû soó oáooka. A ulusébn ko a ulusébl ulláfüggvénkkl dolgounk a ékoodnááko ndlünk dválás oáooka a ulus-koodnááko g gsû soó oáooka ndlünk... Álagékk ksáíása a ulus s koodnaaébn flí ulláfüggvénk sgíségévl Eg fka nnség kísél éés soán ndg g ado kvanuállaoo ulláfüggvén aoó álag ééké éjük. Léngs á og léllg s k udjuk sáían g sõlgs kvanuállaban a álag éékk. Tknsünk lõsö g A fka nnség a csak a ébl koodnáák éékéõl függ: A A. Lgn a kvanucanka ndsünk a ulláfüggvénnl jll állaoban és bbn a állaoban k akajuk sáían a A fka nnség álagá <A> ééké. A noál ulláfüggvén éléséből ndulunk k: d P d.68 Tudjuk og g ado nnség álagééké a kövkőkén l ksáoln: < A > A P.69 aol P a A éék lőfodulás valósínűség. An a valósínûségsáíás soán ganuluk lásd. Függlék a a A lségs éék g folonos ala adnak akko a suáás l ngál asnálunk. A sünkbn flíajuk: < A > A P d d A d.70 A noál koodnáaébl ulláfügvénkkl á könnn l g kvanucanka állaoban olan nnségk álagá ksáoln alk csak a ébl koodnááknak a függvén annbn s a llő ngál könnn lvégő. Mgjgük og a a koodnáaébl ulláfüggvénünk n noál akko a <A> álago a kövkõkén sáíanánk: 40

18 4 d d A A > < Eg olan BB nnség sén n éldául a ogás nga alk csak a ulusól függ a <B> álag ksáíásának a édkébn lőnös a noál ulusébl ulláfüggvén asnáln: d B d P B B > <.7 Ig: a E d E > <..7 Aonnal blaó aonban og a <B> álago ksáíajuk a koodnáaébn flí noál ulláfüggvén sgíségévl s. Tknsük lõsö a lggsübb s ako B és asnáljuk fl a ulusébl és koodnáaébl ulláfüggvénk kö.-. gnlk: dd d / > <..7 Aonnal bláaó og a fn gnl ovább alakíajuk a kövkõ alakban: dd / > <.74 d d > < /.75 d d > <.76 A fnk alaján láaó og a <> kísáíása a koodnáaébl ulláfüggvénnl foálsan úg öénk og a ééké a nk gfllõ oáoal lsíjük:.77 Hasonló ódon gaolaó og bál B fka nnség álagééké s ksáíajuk a koodnáaébl ulláfüggvénnl a ééké a.77 sn nk gfllõ oáoal lsív: d B d B B v > <.78

19 Analóg ódón g olan A fka nnség álagéék al csak a ébl koodnálákól függ ksáíaó a ulusébl ulláfüggvén sgíségévl s a fka nnség a "ulusébn" nk gfllõ oáoal lsív. Példakén sáísuk k <> ééké flasnálva újból a koodnáaaébl és ulusébl ulláfüggvénk kö.-. össfüggésk > d < / > < / dd < > d d / dd < > d d.8 A fn kélk élébn ako a ulusébl ulláfüggvénnl dolgounk a ulusnak gsû soó oáo fllünk g a ébl koodnááknak aonban g dválás oáo fll g:.8 Ha g olan A nnségnk akajuk a álagééké ksáoln a ulusébl ulláfüggvén sgíségévl al csak a ébl koodnáákól függ akko a.78- o asonló ódon jáunk l: v < A > A d A d.84 A fnk alaján os á k udjuk sáían g sõlgs F fka nnség álagá g kvanuállaoban úg a koodnáaébl n a ulusébl ulláfüggvén sgíségévl. Ha a koodnáaébl ulláfüggvénnl dolgounk a ébl koodnááko gsû soó oáooka ndlünk a uluso g a.77 élébn ékoodnáák sn dválás flünk g. Ha a ulusébl ulláfüggvénnl dolgounk a ébl koodnááko a.8 élébn ulus-sn dválás oáo ndlünk a ulus koonnsk g gsû soó oáooka ndlünk. En gflésk ljs össangban vannak aon oáo gfllésknk alk a koodnáaébl és ulusébl ulláfüggvénk flí Scödng sén végünk < F > F d.85 < F > F d.86 4