MATEMATIKA NÉMET NYELVEN

Átírás

1 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 8. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 8. 8:00 Időtartam: 300 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika német nyelven írásbeli vizsga 1511

2 Wichtige Hinweise 1. Es steht Ihnen eine Arbeitszeit von 300 Minuten zur Verfügung, nach dem Ablauf der Zeit müssen Sie die Arbeit beenden. 2. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist beliebig. 3. Im Teil II müssen Sie nur vier der fünf gegebenen Aufgaben lösen. Schreiben Sie am Ende ihrer Arbeit die Nummer der nicht gewählten Aufgabe in das Kästchen! Wenn es für die Korrektoren nicht eindeutig erkennbar ist, welche Aufgabe Sie nicht wählen wollten, wird die letzte der aufgegebenen Aufgaben nicht bewertet. 4. Zur Lösung der Aufgaben sind Taschenrechner, die für die Speicherung und Darstellung von Texten nicht geeignet sind, und ein beliebiges Tafelwerk zugelassen. Weitere elektronische, gedruckte oder schriftliche Hilfsmittel sind nicht erlaubt! 5. Beschreiben Sie den Lösungsweg immer ausführlich, denn die meisten für die Aufgabe bestimmten Punkte werden dafür vergeben! 6. Achten Sie darauf, dass die wichtigsten Berechnungen anschaulich sind! 7. Während der Aufgabenlösung kann man den Gebrauch des Taschenrechners ohne weitere mathematische Begründung- bei den folgenden Rechnungen akzeptieren: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Wurzelziehen, Berechnen n von n!,, für die Ersetzung der Tabellen im Tafelwerk (sin, cos, tg, log und ihre k Umkehrfunktionen), zur Angabe des Näherungswertes von der Zahlen π und e, zur Bestimmung der Lösungen einer auf Null reduzierten quadratischen Gleichung. Weiterhin darf man den Taschenrechner ohne mathematischen Begründung verwenden, wenn der Durchschnitt und die Streuung berechnet wird, es sei denn der Text der Aufgabe verlangt eindeutig die Nebenrechnungen dazu. In anderen Fällen gelten die mit Taschenrechner durchgeführten Rechnungen als nicht begründete Schritte, für die keine Punkte verteilt werden können. 8. Sätze, die Sie in der Schule mit Namen gelernt haben (z. B. Satz von Pythagoras, Höhensatz), müssen nicht formuliert werden. Es reicht, wenn Sie den Namen des Satzes nennen und kurz begründen, warum der Satz hier verwendbar ist. Der Bezug auf weitere Sätze wird nur dann vollständig akzeptiert, wenn Sie den Satz mit allen Bedingungen genau formulieren (ohne Beweis) und seine Anwendung im konkreten Fall begründen írásbeli vizsga 2 / május 8.

3 9. Die Endergebnisse der Aufgaben (die Antwort auf die gestellte Frage), müssen Sie in einem Antwortsatz formulieren! 10. Schreiben sie mit Kugelschreiber oder mit Tinte, die Abbildungen können auch mit Bleistift gezeichnet werden! Außerhalb der Abbildungen werden die mit Bleistift geschriebenen Teile nicht bewertet. Wenn Sie eine Lösung oder einen Teil davon durchstreichen, kann dieses nicht bewertet werden. 11. Bei den einzelnen Aufgaben ist nur eine Lösung zu bewerten. Bei mehreren Lösungsversuchen markieren Sie bitte eindeutig, welchen Sie für richtig halten! 12. Bitte, beschreiben Sie die grauen Kästchen nicht! 1511 írásbeli vizsga 3 / május 8.

4 I. 1. Die folgende Tabelle gibt die Massen von vierzig männlichen Studenten auf ganze Kilogrammwerte gerundet an: Masse (kg) Häufigkeit a) Berechnen Sie anhand der Tabelle, mit Hilfe der Klassenmitten den Durchschnitt und die Streuung der Masse der 40 Studenten! (Klassenmitte: das arithmetische Mittel der unteren und oberen Grenze der Klasse) Für einen Werbefilm werden drei Studenten mit Federgewicht und zwei mit Schwergewicht gesucht. Die Masse im Federgewicht darf höchstens 64 kg sein, die Masse im Schwergewicht muss mindestens 77 kg sein. b) Auf wie viele verschiedene Weisen können die fünf Schauspieler ausgewählt werden, wenn alle aus den 40 Studenten kommen? Peter der eine Student hat im vorherigen Semester in Statistik fünf Noten bekommen. Der Median seiner Noten ist 3, der Modus ist 2, der Durchschnitt ist 3,2. (Die Noten können eine aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 sein.) c) Bestimmen Sie die durchschnittliche absolute Abweichung vom Durchschnitt der fünf Noten von Peter! a) 5 Punkte b) 3 Punkte c) 5 Punkte I.: 13 Punkte 1511 írásbeli vizsga 4 / május 8.

5 1511 írásbeli vizsga 5 / május 8.

6 2. a) Die Winkel eines Vierecks in der Ebene sind die aufeinanderfolgenden Glieder einer geometrischen Folge (in Grad gemessen), deren Quotient 3 ist. Bestimmen Sie die Winkel des Vierecks! b) Die Winkel eines konvexen Vielecks sind die aufeinanderfolgenden Glieder einer arithmetischen Folge (in Grad gemessen), deren erstes Glied 143 ist, ihre Differenz ist 2. Bestimmen Sie die Anzahl der Seiten des Vielecks! a) 4 Punkte b) 8 Punkte I.: 12 Punkte 1511 írásbeli vizsga 6 / május 8.

8 3. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen in der Menge der reellen Zahlen! 2 a) x 5x 50 2 b) log3( x ) log9(81x) 1 a) 4 Punkte b) 9 Punkte I.: 13 Punkte 1511 írásbeli vizsga 8 / május 8.

10 4. Der untere Teil eines Zirkuszeltes ist ein regelmäßiges, gerades zwölfseitiges Prisma, der obere Teil eine regelmäßige zwölfseitige Pyramide, dessen Grundseite auf die Deckseite des Prismas passt. Die Grundkanten sind 5 Meter lang, die Höhe des Prismas ist 8 Meter, die Höhe der Pyramide beträgt 3 Meter. In der Winterzeit wird das Zelt mit (gleichen) Heizkörpern geheizt, die einzeln für die Beheizung von 200 m 3 reichen. a) Mindestens wie viele solche Heizkörper braucht man? Titi und Jeromos sind Jongleure. In einer Nummer werfen sie sich mehrere Keulen einander zu. Beide sind sehr geschickt, denn sie begehen beide durchschnittlich nur dreimal aus 1000 Empfängen der Keulen einen Fehler (Das wird so betrachtet, dass die Wahrscheinlichkeit des Fehlers beim Empfangen 0,003 ist). In der neusten Nummer der Jongleure gibt es insgesamt 72 Empfänge. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in ihrer Nummer nur höchstens ein Keulenempfangsfehler begangen wird? Geben Sie Ihre Antwort auf zwei Nachkommastellen gerundet an! a) 8 Punkte b) 5 Punkte I.: 13 Punkte 1511 írásbeli vizsga 10 / május 8.

12 II. Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 2! 5. a) Für welche ganzen Zahlen ist die Ungleichung 1 cos x im Intervall [0; 2π] erfüllt? 2 b) Wie viele ganze Zahlen gibt es, für die die Ungleichung 2x 20 x erfüllt ist? x 4 1 c) Gegeben ist die Funktion f ( x) 1. Sie ist in der reellen Zahlenmenge definiert. Wie viele Gitterpunkte enthält die Figur im ersten Quadranten, die von den 2 Koordinatenachsen und vom Graphen der Funktion f begrenzt ist? (Auch die Grenzlinien der Figur gehören zur Figur.) a) 3 Punkte b) 8 Punkte c) 5 Punkte I.: 16 Punkte 1511 írásbeli vizsga 12 / május 8.

14 Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 2! 6. a) Man weiß über die nicht leeren Mengen A, B, und C die folgenden Dinge: Alle Elemente von A sind zugleich Elemente von B, weiterhin hat C auch solche Elemente, die auch Elemente von A sind. Entscheiden Sie für alle folgenden fünf Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind! (Die Antworten müssen nicht begründet werden.) (1) A hat auch solche Elemente, die zugleich Elemente von C sind. (2) C hat keine solchen Elemente, die zugleich Elemente von B sind. (3) Wenn etwas Element von B ist, dann ist es zugleich Element von A. (4) Wenn etwas kein Element von B ist, dann ist es zugleich Element von C. (5) Wenn etwas kein Element von B ist, dann ist es zugleich kein Element von A. Der Mathematiklehrer einer Klasse mit 34 Schülern lässt am Anfang einer Stunde einen kurzen Test schreiben, der fünf Aussagen enthält. Die Schüler müssen den logischen Wert der Aussagen bestimmen (richtig oder falsch). Die Aufgaben werden der Reihe ihrer Nummerierung nach immer schwieriger. Dementsprechend sind auch die Punktzahlen: bei der n-ten richtigen Antwort ist die Punktzahl n, für die falsche Antwort werden n Punkte abgezogen (n {1; 2; 3; 4; 5}). Man weiß, dass alle 34 Schüler alle fünf Testfragen beantwortet haben. b) Beweisen Sie, dass es zwei solche Schüler gibt, die das Testblatt ebenso ausgefüllt haben. c) Zeigen Sie, dass die erreichte Gesamtpunktzahl im Test nur eine ungerade ganze Zahl sein kann! Gut gelungene Tests haben drei Schüler, Adél, Béla und Csilla, geschrieben. Sie haben in ihren Tests insgesamt 39 Punkte erreicht. d) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man die 39 als Summe dreier ungerader ganzer Zahlen aufschreiben, die nicht größer als 15 sind, wenn man auch die Reihenfolgen der Summanden betrachtet? a) 3 Punkte b) 4 Punkte c) 4 Punkte d) 5 Punkte I.: 16 Punkte 1511 írásbeli vizsga 14 / május 8.

16 Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 2! 7. a) Berechnen Sie sie Werte von a, b und c, wenn man über die Funktion 2 f ( x) ax bx c (x R, a, b, c R und a 0 ) weiß, dass f ' ( 2) 6 und f ' ( 6) 2 sind, weiterhin f ( x) dx gilt. 3 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P(0; 35) geht und die Parabel mit der Gleichung y 1 x 2 8x 3 2 berührt! a) 7 Punkte b) 9 Punkte I.: 16 Punkte 1511 írásbeli vizsga 16 / május 8.

18 Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 2! 8. Eine quadratische Säule (ein quadratischer gerader Quader) hat genau vier Kanten, die 10 cm lang sind. Die Raumdiagonale der Säule ist 12,5 cm lang. a) Berechnen Sie die Oberfläche der quadratischen Säule! Wir haben ein Aquarium von der Form einer quadratischen Säule gekauft. Das gewählte Aquarium ist von oben offen. Seine quadratischen Seitenflächen sind senkrecht (vertikal, siehe Abbildung) und es fasst genau 288 Liter Wasser. Wir möchten wissen, ob unsere Wahl bezüglich der schädlichen Algenbildung auf den inneren Glasflächen günstig war. b) Berechnen Sie, wie viele Dezimeter die inneren Kanten des Aquariums lang sind, welches den obigen Bedingungen entspricht und über die möglichst kleinste innere Oberfläche verfügt! a) 6 Punkte b) 10 Punkte I.: 16 Punkte 1511 írásbeli vizsga 18 / május 8.

20 Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 2! 9. Otto veranstaltet ein Klassenlotto, in dem aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 fünf gezogen werden. Auf einem Lottoschein müssen dementsprechend genau fünf Zahlen markiert werden. (Die Abbildung unten zeigt einen leeren und einen gültig ausgefüllten Schein). a) András möchte mindestens 3 Zahlen treffen. Dazu möchte er die möglichst kleinste Anzahl der Scheine ausfüllen. Wie viele Scheine braucht er, um mindestens auf dem einen Schein mindestens 3 Zahlen treffen zu können? b) Sowohl Dóra als auch Zoli füllen zufälligerweise je einen (gültigen) Schein aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau vier gemeinsame Zahlen ankreuzen? c) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man den Klassenlottoschein ausfüllen, sodass das Produkt der angekreuzten fünf Zahlen durch 3780 teilbar ist? a) 4 Punkte b) 5 Punkte c) 7 Punkte I.: 16 Punkte 1511 írásbeli vizsga 20 / május 8.

24 I. Teil II. Teil Nummer Punktzahl der Aufgabe maximale erreichte maximale erreichte die nicht gewählte Aufgabe Punktzahl des schriftlichen Teiles 115 Datum Korrektor I. rész II. rész pontszáma egész számra kerekítve programba elért beírt dátum dátum javító tanár jegyző 1511 írásbeli vizsga 24 / május 8.