Höhere Mathematik I HM I A. SoSe Variante A
|
|
- András Tamás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe 05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel, wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt. Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: Aufgabe I.-I.) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: Aufgabe II.-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung miteinbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: Aufgabe III.-III.4) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr W) oder falsch F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: Pkt.). = 6. + =. Antwort.. Punkte Antwort.. Punkte i) W W 0 v) F - 0 ii) W F vi) W - 0 iii) F W 0 vii) - F 0 iv) F F 0 viii) - W 0 Viel Erfolg!
2 Teil I Aufgabe I.: 6+9 Pkt.) a) Zeigen Sie, dass a n für ein beliebiges a >, a N und alle n N immer durch a teilbar ist. n b) Zeigen Sie + ) = für alle n N. n + k n + k= Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe der vollständigen Induktion. Lösung: a) Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe der vollständigen Induktion über n: An) Induktionsanfang: Es gilt für n = A) a n ist durch a teilbar. a = a ist durch a teilbar. Induktionsvoraussetzung: Es sei die Behauptung An) wahr für ein n N. Induktionsschluss: n n + Es gilt: An + ) a n+ = a a n = a + ) a n = a )a n }{{} durch a teilbar + } a n {{ } nach I.V. Der erste Summand ist durch a teilbar. Der zweite Summand ist nach der Induktionsvoraussetzung durch a teilbar. Also gilt mit dem Prinzip der vollständigen Induktion die Behauptung für alle n N. b) Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe der vollständigen Induktion über n: An) n + ) = n + k n + k= Induktionsanfang: Es gilt für n = A) k= + ) = + k = + Induktionsvoraussetzung: Es sei die Behauptung An) wahr für ein n N. Induktionsschluss: n n + Es ist zu zeigen: An + ) n+ k= + ) = n + + k n + ) +
3 Dazu: n+ ) + n + + k k= n+ = + ) n + k n = + ) ) ) n + k n + n + n + n + n + k= = ) n + n + n + n + ) n + n + n + n + = n + n + n + n + n + n + = n + = n + = n + ) + Index- verschiebung k= I.V. Damit gilt nach dem Prinzip der vollständigen Induktion die Behauptung für alle n N. )
4 Aufgabe I.: 9 Pkt.) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a, b R die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: x x x = 0 x x x = b x + ax = Lösung: Für das Gleichungssystem Ax = b stellen wir die zugehörige Koeffizientenmatrix A auf und bringen diese Matrix in HNF A = A b ) = b ) ) 0 b ) ) 0 b 0 a 0 a 0 0 a + b Um die Matrix weiter in HNF bringen zu können, brauchen wir die folgende Fallunterscheidung. Fall : a : Für diesen Fall ist der Rang der Matrix gleich und damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung b 0 b b 0 0 a + b 0 0 a+ 0 )+ ) 0 0 b b+) a+ )+) 0 0 b b+ )+) a+ 0 0 b b+ a b+ 0 0 b+ Die eindeutige Lösung ist x b b+) a+ x = b b+ a+, für alle a R \ { } und b R. a+ x b+ a+ Fall : a = : Für diesen Fall brauchen wir eine weitere Fallunterscheidung: Fall.: b : Dann ist b 0 b. 0 0 a + b b Das Gleichungssystem ist unlösbar, da 0x + 0y + 0z = 0 b gilt. Fall.: b = : Dann ist b a + b a+ Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. 4 Dann ist eine spezielle Lösung. Weiter ist eine Basis des zugehörigen homogenen 0 Gleichungssystems. 4
5 Der Lösungsraum für a = b = ist 4 L = + λ 0 λ R. Zusammenfassend ist das Gleichungssystem b b+) a+ ) eindeutig lösbar für a, die Lösung ist gegeben durch b b+ a+ ; ) unlösbar für a = b ; b+ a+ ) Es gibt unendlich viele Lösungen für a = b =. Der Lösungsraum ist gegeben durch 4 L = + λ 0 λ R. 5
6 Aufgabe I.: a) Es sei 0 A = R. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren der Matrix A Pkt.) b) Bestimmen Sie für die Matrix A aus Aufgabenteil a) eine Matrix V R und eine Diagonalmatrix D R mit c) Es sei Lösung V AV = D. 0 0 B = R Bestimmen Sie alle Eigenwerte inklusive algebraischer Vielfachheit der Matrix B. a) Das charakteristische Polynom von A ist λ P λ) = det λ λ = λ λ) + ) + ) λ) λ) ) λ) = λ + 6λ 9λ λ) 4 λ) + λ = λ + 6λ = + λ)4 λ). Die Eigenwerte von A sind λ = und λ, = 4. Die Eigenvektoren erhalten wir durch Lösen der folgenden Gleichungssysteme: Für λ = : v = Für λ, = 4: v =, v = b) A ist symmetrisch. Daher existieren nach dem Spektralsatz die Matrizen V, D mit D = diagλ, λ, λ ). Also ist A diagonalisierbar. Es gilt für die Matrizen: 0 0 D = diagλ, λ, λ ) = und V = v v v ) =
7 c) Das charakteristische Polynom von B ist λ 0 0 P λ) = detb λi 4 ) = det λ λ λ ) ) λ 4 λ 5 = det det = λ) 9) 4 λ) λ) λ 0 λ = 4 4λ + λ 9) 4 λ) λ) = λ 4λ 5) 4 λ) λ) = 5 + λ) + λ) 4 λ) λ) = λ 5) λ 4) λ + ) Die Eigenwerte von B sind λ = 5, λ =, λ = 4 und λ 4 =. Die Eigenwerte von B mit algebraischer Vielfachheit sind dann: λ = 5 einfach), λ,4 = zweifach), λ = 4 einfach). 7
8 Teil II Aufgabe II.: 4++ Pkt.) Es sei P der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R und bezeichne P n P den Unterraum der Polynome vom Grad höchstens n mit n N). Bestimmen Sie die Dimension der Unterräume von P, die von den angegebenen Mengen erzeugt werden. a) A = {p P 7 p0) = 0} b) B = {4, x, x +, πx } c) C = {x, x + x, x + x + x, x 4 + x + x + x} Lösung: a) A = {p P 7 p0) = 0}. Die Menge selbst bildet schon einen Unterraum. Also muss nur noch die Frage beantwortet werden, welche Dimension A hat. Nicht jedes Polynom aus P 7 liegt in A z.b. konstante Polynome nicht). Damit muss die Dimension echt kleiner 8 sein, der Dimension des gesamten Raumes P 7. Andererseits liegen die Polynome x, x,..., x 7 alle in A. Diese sind linear unabhängig und es sind 7. Damit hat A mindestens die Dimension 7. Insgesamt hat A also die Dimension 7. b) Die Menge B = {4, x, πx } bildet eine Basis von U B, dem von der Menge B = {4, x, x +, πx } aufgespannten Raum U B. Dies gilt, da B im Erzeugnis von B enthalten ist und damit auch alle Vektoren aus U B. Außerdem sind die Vektoren in B linear unabhängig. Deswegen hat U B die Dimension. c) Versucht man, aus der Menge C = {x, x + x, x + x + x, x 4 + x + x + x} das Nullpolynom linear zu kombinieren, gelangt man zu folgender Gleichung αx 4 + x + x + x) + βx + x + x) + γx + x) + δx = 0. Daraus erhält man das folgende Gleichungssystem in den Variablen α, β, γ, δ R welches nur die triviale Lösung besitzt. Damit sind die Vektoren aus C linear unabhängig und bilden eine Basis des von ihnen aufgespannten Raumes. Dieser hat die Dimension 4. 8
9 Aufgabe II.: ++)+ Pkt.) 0 { ) )} Es sei A = 0,, eine Basis des R und B =, eine Basis des R. Sei 4 f : R R eine lineare Abbildung definiert durch ) 0 ) 0 ) f 0 =, f = und f 0 0 =. 4 a) Berechnen Sie die folgenden Matrizen: i) ME, f, E ) ii) MB, id, E ) iii)mb, f, A) b) Weiter sei die lineare Abbildung g : R R gegeben, definiert durch die Abbildungsmatrix 0 MA, g, B) = 0. Lösung: Bestimmen Sie a) i) Aus MB, f g), B). ) 0 ) 0 ) f 0 =, f = und f 0 0 =, = 0 0 und = 0 sowie der Linearität von f folgt, dass 0 0 Damit ist ) 0 ) f 0 = und f =. 0 0 ME, f, E ) = ) 0. ii) Es gilt Invertieren der Matrix ergibt ) ) MB, id, E ) = ME, id, B)) ) =. 4 9 ) ).
10 Also gilt iii) Es gilt b) Es gilt 5 MB, id, E ) = ) = ). 5 4 MB, f, A) = MB, id, E ) ME, f, E ) ME, id, A) = ) ) = ) = ) ) = ) MB, f g), B) = [MB, f g, B)] = [MB, f, A) MA, g, B)] = ) [ )] 4 = 5 7 = )) ) det 5 7 }{{} = = )
11 Aufgabe II.: 6 Pkt.) Finden Sie alle Vektoren v R, welche die folgenden Bedingungen i), ii) und iii) erfüllen: i) v hat die Länge ; ii) v ist orthogonal zum Vektor a = ; iii) für den Winkel zwischen v und b = 0 gilt v, b) = π 4. Lösung: x Setze v = y R. Gesucht sind alle Vektoren v mit z i) Da v = x + y + z = gilt, ist i) v = ; ii) v a; iii) v, b) = π 4. x + y + z = 9. ) ii) Aus v a folgt v, a = 0, also x y + z = 0. ) iii) Aus b = 0 folgt b = ) =. Einerseits ist v, b = x z, andererseits gilt v, b = v b cos v, b) = cos π ) 4 = =. Daraus folgt aus ) folgt und aus ) folgt In ) eingesetzt ergibt das x z =, ) y = x + z x = z. Daraus folgt und insgesamt z ) + z + z) + z = 9 6z 8z + 9 = 0 z = ±. v = x = ±, y = ± + +, und v =.
12 Aufgabe II.4: a) Stellen Sie die komplexe Zahl z = 6 i in Polarkoordinaten dar. 6 b) Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil von 6 ) 5 6i z =. 4 + i c) Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung Lösung: z 6 = 8i + i) und tragen Sie die Lösungen in die Skizze im Antwortbogen ein. a) Für den Betrag von z gilt ) z = + = 6 6) =. Damit erhalten wir z = ) i = π ei Pkt.) b) Setze z = w 5, wobei w = 6 6i. Dann ist 4+i w = 6 + i)4 i) = i) = i)4 i) 0 + i) = ) i = e i 5π 4 und es folgt ) 5 ) 5 z = w 5 = e i 5π 4 = e i 5π 4 = 9 e i π 4 = 9 + i ). Damit ist der Realteil Re z) = 9 = 9 6 und der Imaginärteil Im z) = 9 = 9 6. c) Es gilt z 6 = 8i + i) = 8 i ) = 8 + i ) = 8e i π 4. Nach der Formel von De Moivre erhält man sechs Lösungen: Damit gilt: z 0 = e i π 8, z k = 6 8 e i π 4 +kπ 6 = e i π 8 + kπ ) für k = 0,,..., 5. z = e i π 8 + π ) = e i π 4, z = e i π 8 + π ) = e i 9π 4, z = e i π 8 + π ) = e i 9π 8, z 4 = e i π 8 + 4π ) = e i 5π 4, z5 = e i π 8 + 5π ) = e i 4π 4.
13 z z Imz) - z 4 - z ϕ 0 ϕ 0 = π 8 z 0 z 5 r = Rez)
14 Teil III Aufgabe III.: Gegeben sei die Matrix 0 A = a 0 0 a. 0 a 6 Pkt.) Bezeichne weiterhin M die Menge aller Werte a R, für welche die Matrix A positiv definit ist. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. M = 0, ). M =, 4 ) 4 +, + ). M =, ) 4. M = 6, ) 5. M = 6, 4 ) 6. M = 6, 4 + ) 7. M = 6, ) 8. M =, 4 ) Lösung: Berechne die Determinanten der Hauptminoren: det A = deta ) = > 0 für alle a R, ) det A = det = a > 0 a <, a det A = det a = a 5a + 6 > 0 a + 5a 6 < 0 6 < a <. 0 a Berechnen wir det A 4 = det A mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace. Hier: Entwicklung nach der. Spalte.) det A 4 = det A 0 0 = det a a det a = 8 6a) a 4 a) a a = a 6a + 6 > 0 a 8a + 8 > 0 a 4) > 8 a > 4 + a < 4. A ist genau dann positiv definit, wenn alle 4 Determinanten positiv sind. Es gilt < 4 <, da < <. Insgesamt folgt 6 < a <. 4
15 Aufgabe III.: +4 Pkt.) a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. x + y πz x. j : R R 4, y 0 z + y ist eine lineare Abbildung. z x y z x yz. k : R R, y xz ist eine lineare Abbildung. z xy x xy 5 + y)x. l : R R, y x + y + z ist eine lineare Abbildung. z z + 4y z)z 4yz x b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Die Komposition von linearen Abbildungen ist assoziativ.. Die Komposition von linearen Abbildungen ist kommutativ.. Seien V, W Vektorräume über R. Eine Abbildung f : V W ist genau dann linear, wenn für alle λ, λ R und alle v, v V gilt: λ fv ) + λ fv ) = fλ v + λ v ). 4. Sei V ein Vektorraum über R. Die konstante Abbildung fv) = 0 für alle v V ist linear. Hinweis: Eine Komposition von Abbildungen f, g und h heißt assoziativ, wenn f g) h = f g h) gilt. Eine Komposition von Abbildungen f und g heißt kommutativ, wenn f g = g f gilt. Lösung: a). Die Abbildung j ist linear, da x + y πz λx + λy πλz x λ j y = λ 0 z + y = 0λ x λz + λy = j λ y z z x y z λx λy λz und gilt. x x x + y πz j y + y = 0 z z z + y x y z = + x + y πz 0 z + y x y z x + x + y + y ) πz + z ) 0 z + z + y + y x + x ) y + y ) z + z ) x x = j y + y z z 5
16 x yz. k : R R, y xz. z xy Die Abbildung k ist nicht linear, da für λ R \ {, 0, } gilt x yz yz x k λ y = λ xz λ xz = λk y. z xy xy z. Die Abbildung vereinfacht sich zu der Form xy 5 + y)z 0x x + y + z = x + y + z. z + 4y z)z 4yz x x Analog zu Aufgabenteil. ergibt sich die Linearität. b). Eine lineare Abbildung lässt sich als Matrixmultiplikation darstellen und umgekehrt. Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, also auch die Komposition von linearen Abbildungen.. Eine lineare Abbildung lässt sich als Matrixmultiplikation darstellen und umgekehrt. Die Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ, also ist auch die Komposition von linearen Abbildungen i.a. nicht kommutativ.. Laut Definition ist eine Abbildung genau dann linear, falls i) für alle λ R, v V gilt ii) für alle v, v V gilt fλ v ) = λ fv ) fv + v ) = fv ) + fv ). Einsetzen von i) in ii) ergibt die gesuchte Aussage. Auf der anderen Seite folgt aus λ fv ) + λ fv ) = fλ v + λ v ) mit v = 0 bzw. λ = 0 die Bedingung i) und mit λ = λ = die Bedingung ii). 4. Es gilt für alle v, v V und λ, λ R die Bedingung aus Teil, d.h. fλ v + λ v ) = 0 = = λ fv ) + λ fv ). 6
17 Aufgabe III.: a) Sei t R und es seien die Vektoren 0 t a =, a = 0, a =, a 4 =, a 5 = 0 0 gegeben. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Die Vektoren a und a 5 sind genau dann linear abhängig, wenn t = ist.. Die Vektoren a und a sind linear abhängig.. Die Vektoren a, a und a 4 sind linear unabhängig. +4 Pkt.) b) Gegeben sei ein Vektorraum V und es sei W = {w, w,..., w n } V ein System von n Spaltenvektoren. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Es sei W = w w... w n ) die zu W gehörige Matrix. W ist genau dann ein linear unabhängiges System, wenn RangW ) = n ist.. Für jedes b spanw, w,..., w n ) existieren eindeutig bestimmte Koeffizienten β i, so dass b = n β i w i gilt. Lösung: i=. Nun sei W ein linear unabhängiges System. Weiterhin sei c V, c 0 ein Vektor mit c / spanw, w,..., w n ). Dann ist {w, w,..., w n, c} ein linear unabhängiges System. a) ) a und a 5 sind genau dann linear abhängig, wenn ein α R existiert, so dass a = α a 5 ist. Diese Gleichung ist erfüllt mit α = und t =. β ) Analog wie ): Falls ein β R existiert, so dass a = β = β a = ist, so β sind a und a linear abhängig. Aus der Gleichung folgt β = und β =. Das ist ein Widerspruch. Damit sind a und a linear unabhängig. ) Da a der Nullvektor ist, sind a, a und a 4 linear abhängig. b) ) Nach der Definition der linear Abängigkeit is W genau dann l.u., wenn das Gleichungssystem W λ = 0 die eindutige Lösung λ = 0, 0,..., 0) hat. Dies gilt genau dann, wenn die Koeffizientenmatrix W vollen Rang hat. ) ) ) ) Die Aussage ist falsch. Angenommen es sei w =, w = und b =. Dann ist b nicht eindeutig darstellbar, denn es gilt zum Beispiel b = w +w = w = w. ) Es gilt zu zeigen: Wenn γ 0 c+γ w +γ w + +γ n w n = 0 ist, dann gilt γ 0, γ,..., γ n = 0. Da c / spanw, w,..., w n ) muss γ w +γ w + +γ n w n = 0 und γ 0 c = 0 einzeln gelten. Mit c 0 folgt γ 0 = 0. Da w, w,..., w n l.u. sind, gilt insgesamt γ 0 = γ =... = γ n = 0. Also sind w, w,..., w n, c linear unabhängig. 7
18 Aufgabe III.4: a) Es seien z, w C. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Es gilt z = z z für alle z C.. Es gilt zw = z w für alle z, w C.. Für alle z C gilt: z = 0 z = 0. b) Es seien z, w C \ {0}, z = re iϕ und w = se iθ. Es ist r, s R mit r, s > 0. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.. Es gilt z = r e iϕ für alle z C \ {0}. Lösung:. Es gilt z w = r s eiϕ θ) für alle z, w C \ {0}.. Es gilt z w = r s)e iϕ θ) für alle z, w C \ {0}. a). Es gilt z z = z. Daher ist die Aussage i.a. falsch.. Die Aussage ist richtig nach Satz. des Skriptes.. Die Aussage ist richtig nach Satz. des Skriptes. b). Die Aussage ist falsch, da r = r gilt mit r R. Laut Satz. gilt z = re iϕ re iϕ.. Die Aussage ist richtig nach Satz. des Skriptes.. Die Aussage ist i.a. falsch. Seien z = + i und w = + i. Dann gilt z w = 0 = )e i π 4 7π 4 ) = r s)e iϕ θ). + Pkt.) 8
Public-Key Kryptography mit Diskreten Logarithmen
Public-Key Kryptography mit Diskreten Logarithmen Jan Schwarz Kristine Jetzke 11.01.2005 Gliederung Das ElGamal Kryptosystem Algorithmen zum Lösen von Diskreten Logarithmen Untere Komplexitätsgrenze Das
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN
Földrajz német nyelven középszint 0811 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 12. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM 1. Teil
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA HÖHERES NIVEAU SCHRIFTLICHE PRÜFUNG Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Arbeitszeit: 240 Minuten Pótlapok
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 30 perc
RészletesebbenKomplex tehetséggondozási program a Ceglédi kistérségben TÁMOP - 3.4.3-08/1-2009- 0002
Komplex tehetséggondozási program a Ceglédi kistérségben TÁMOP - 3.4.3-08/1-2009- 0002 A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg Név: Iskola:
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS
RészletesebbenMathematik A Prüfung Herbstsemester 2017
Mathematik A Prüfung Herbstsemester 017 Prof. Dr. Enrico De Giorgi 30. Januar 018 Mathematik A: Prüfung Herbstsemester 017 1 phantom Teil I: Oene Fragen (50 Punkte) Allgemeine Anweisungen für oene Fragen:
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN
Földrajz német nyelven középszint 1112 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 15. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA 1. AUFGABE
RészletesebbenMUNKASZERZŐDÉS. amely egyrészről az. név: S.C. NUMELE FIRMEI SR.L. székhely: STR., NR. _LOCALITATEA, JUDET, TARA. cégjegyzékszám: NR.REG.
MUNKASZERZŐDÉS amely egyrészről az név: S.C. NUMELE FIRMEI SR.L. székhely: STR., NR. LOCALITATEA, JUDET, TARA cégjegyzékszám: NR.REG.COMERTULUI adószám: CUI bankszámlaszám: COD IBAN képviseli: _NUME REPREZENTANT
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. október 15. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2018. május 8. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2018. május 8. 8:00 Időtartam: 300 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
RészletesebbenBUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH. Jahrgang 1999 Ausgegeben am 13. April 1999 Teil III
P. b. b. Verlagspostamt 1030 Wien WoGZ 213U BUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH Jahrgang 1999 Ausgegeben am 13. April 1999 Teil III 70. Abkommen zwischen der Österreichischen Bundesregierung
RészletesebbenDombóvár Város Önkormányzata Képviselő-testületének 2014. január 30-i rendes ülésére
9. számú előterjesztés Egyszerű többség ELŐTERJESZTÉS Dombóvár Város Önkormányzata Képviselő-testületének 2014. január 30-i rendes ülésére Tárgy: Önrész biztosítása a Dombóvári Német Nemzetiségi Önkormányzat
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
RészletesebbenÉRETTSÉGI VIZSGA május 6.
Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS
RészletesebbenMercedes-Benz : Six Sigma Black Belt, (135203 ) Six Sigma Black Belt, Werk Kecskemét, Ungarn (135203)
Oktober 2014 Kecskemét, Mercedes-Benz Manufacturing Hungary Kft. Mercedes-Benz : Six Sigma Black Belt, (135203 ) Six Sigma Black Belt, Werk Kecskemét, Ungarn (135203) Aufgaben Feladatok: Stellennummer
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS
RészletesebbenMATEMATIKA Német nyelven
F ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA Német nyelven MATHEMATIK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Mittleres Niveau Schriftliche Prüfung I. Időtartam/Prüfungszeit: 45 perc Pótlapok száma/ Anzahl der zusätzlichen
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. október 20. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 20. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
RészletesebbenEK-TípusVizsgálati Tanúsítvány EG-Baumusterprüfbescheinigung
ROBBANÁSBIZTOS BERENDEZÉSEK VIZSGÁLÓ ÁLLOMÁSA Prüfstelle für Explosionsgeschützte Betriebsmittel 1/5 Ungarn, 1037 Budapest, Mikoviny S. u. 2-4. tel/fax: 36 1 250 1720 E-mail: bkiex@elender.hu (1) EK-TípusVizsgálati
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 90
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2017. október 17. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2017. október 17. 8:00 I. Időtartam: 57 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA MITTLERES NIVEAU SCHRIFTLICHE PRÜFUNG 2005. október 25., 8:00 I. Időtartam: 45 perc Prüfungszeit: 45 Minuten
RészletesebbenSAT ist NP-vollständig (cont)
Komplexitätstheorie (4) (Wolfgang Slany) 1 SAT ist NP-vollständig (cont) Es gibt NP-vollständige Probleme. Reduktion L p SAT ist strukturerhaltend: löst zwar das Problem x L nicht, aber wandelt es in andere
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. október 18. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. október 18. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Részletesebben5. Zipernowsky Nyelvi Verseny NÉMET. 3. forduló: Quiz
5. Zipernowsky Nyelvi Verseny 2010-2011 NÉMET 3. forduló: Quiz Kedves Versenyző! Gratulálunk, hogy sikeresen megoldottad a Zipernowsky Nyelvi Verseny 2. fordulóját. A 3. forduló 6 feladatból (Aufgabe)
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN GEOGRAPHIE
Földrajz német nyelven középszint 0623 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 15. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN GEOGRAPHIE KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA MITTLERE STUFE SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI
RészletesebbenWiR gratulieren GRATULÁLUNK!
Reflexmat Seit der Gründung im Jahre 2000 steht der Name CaSaDa für hochwertige Produkte im Bereich Wellness und fitness. WiR gratulieren GRATULÁLUNK! Mit dem Kauf dieser Fußreflexzonen-Matte haben sie
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK
Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK 2007. május 8. 8:00 KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA MITTLERES NIVEAU SCHRIFTLICHE PRÜFUNG I. Időtartam / Prüfungszeit:
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 60 perc
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 14. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. október 14. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS
RészletesebbenWEIDINGKR GYÖRGY HURLER FERENC
WEIDINGKR GYÖRGY HURLER FERENC A budai vár 1687. és 1696. évi helyszínrajzai Tanulmányunkban három vártérképet ismertetünk. Haüy 1687- ben készített térképét, amelyen a házak egy a térképhez tartozó francia
RészletesebbenAuswandern Bank. Ungarisch
- Allgemeines Fel tudok venni pénzt külön díjak fizetése nélkül? Fragen, ob Gebühren anfallen, wenn man in einem bestimmten Land Geld abhebt Mennyi a költsége annak, ha nem a saját bankom automatáját használom?
RészletesebbenÜzleti élet Nyitás. Nagyon hivatalos, a címzettnek meghatározott rangja van, aminek szerepelnie kell
- Nyitás német magyar Sehr geehrter Herr Präsident, Tisztelt Elnök Úr! Nagyon hivatalos, a címzettnek meghatározott rangja van, aminek szerepelnie kell Sehr geehrter Herr, Hivatalos, férfi címzett, ismeretlen
RészletesebbenÜzleti élet Nyitás. Nagyon hivatalos, a címzettnek meghatározott rangja van, aminek szerepelnie kell
- Nyitás magyar német Tisztelt Elnök Úr! Sehr geehrter Herr Präsident, Nagyon hivatalos, a címzettnek meghatározott rangja van, aminek szerepelnie kell Tisztelt Uram! Hivatalos, férfi címzett, ismeretlen
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. október 16. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenNÉMET CSOPORTOS TANFOLYAMOK TEMATIKA
INVEST ENGLISH NYELVISKOLA 1147 BUDAPEST, Lovász utca 7. [XIV. kerület] +36 20 583 2208 info@investenglish.hu www.investenglish.hu NÉMET CSOPORTOS TANFOLYAMOK TEMATIKA TARTALOM I. ELSŐ SZINT... 2 II. MÁSODIK
RészletesebbenTUDOMÁNYOS ISMERETTERJESZTŐ TÁRSULAT
telc Deutsch B2-C1 Medizin für Prüfungsteilnehmende Telc Deutsch B2-C1 Medizin Fachsprachprüfung ist eine Prüfung auf den Kompetenzstufen B2 und C1. Im Gruppenprüfungsteil werden allgemeine, berufsorientierte
Részletesebbenvasárnap, 2010 május 23-án - a Pünkösd ünnepére egy közös energiameditációt szerveztem.
Kedves olvasó, vasárnap, május 23-án - a Pünkösd ünnepére egy közös energiameditációt szerveztem. Bárki ingyenesen részt vehet: 11:00 h - 15:00 h - 17:00 h - 19:00 h - 21:00 h- Ha valaki személyes fölhívással
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
RészletesebbenReisen Unterkunft. Unterkunft - Finden. Unterkunft - Buchen. Nach dem Weg zur Unterkunft fragen
- Finden Wo kann ich finden? Nach dem Weg zur fragen Hol találom a?... ein Zimmer zu vermieten?... kiadó szoba? Art der... ein Hostel?...hostel? Art der... ein Hotel?... egy hotel? Art der... eine Frühstückspension?...bed
RészletesebbenNémet nyelv 5-6.évfolyam. 1.forduló
Nyugat-magyarországi Egyetem Regionális Pedagógiai Szolgáltató és Kutató Központ Vasi Géniusz- Tehetségsegítı hálózat a Nyugat-Dunántúlon TÁMOP-3.4.4/B-08/1-2009-0014 Német nyelv 5-6.évfolyam 1.forduló
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK 2006. május 9. 8:00 EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA HÖHERES NIVEAU SCHRIFTLICHE PRÜFUNG Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Arbeitszeit:
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz NÉMET NYELV 2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Az írásbeli vizsga időtartama: 60 perc
RészletesebbenNémet nyelv 5-6. évfolyam 2.forduló
Nyugat-magyarországi Egyetem Regionális Pedagógiai Szolgáltató és Kutató Központ Vasi Géniusz- Tehetségsegítő hálózat a Nyugat-Dunántúlon TÁMOP-3.4.4/B-08/1-2009-0014 Német nyelv 5-6. évfolyam 2.forduló
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2017. május 9. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2017. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
RészletesebbenAlumínium bejárati ajtók Modell családokról általában. Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék Modell megnevezések széria P00 széria P00 széria P300 széria P400 3 széria P500 3 Méretfüggő kivitelek 3 Díszítő elemek iránya 4 Nemesacél lizénák 4 Fa dekor 5 Beton design 6 Szín logika
RészletesebbenORSZÁGOS ÁLTALÁNOS ISKOLAI TANULMÁNYI VERSENY NÉMET NYELV FELADATLAP. 8. osztály megyei forduló. Tanuló neve:... Iskola neve:... Címe:...
JÁSZ-NAGYKUN- SZOLNOK MEGYEI PEDAGÓGIAI INTÉZET PEDAGÓGIAI SZAKMAI ÉS SZAKSZOLGÁLAT, SZOLNOK OM azonosító szám: 102312 OKÉV nyilvántartási szám: 16-0058-04 Intézmény-akkreditációs lajstromszám: AL-1100
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN
Földrajz német nyelven középszint 1312 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA 1. AUFGABE
RészletesebbenMATEMATIKA NÉMET NYELVEN
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika
RészletesebbenMeghívó a gyermekkorcsoport 9. Nemzetközi Delphincupjára Simmeringen
Meghívó a gyermekkorcsoport 9. Nemzetközi Delphincupjára Simmeringen Idöpont: Szombat 24.10.2009 Verseny helye: Medence: Idömérés: Fedett uszoda Simmering A -1110 Wien, Simmeringer Hauptstraße/ Florian
RészletesebbenCsoportosítsd a szövegben található szavakat! / Ordne die Wörter aufgrund des Textes!
A. V. A házunk Hol van a ház? A Petőfi utcában. Hány óra (van)? Öt óra (van). Hol vannak a gyerekek? A szobában. B. Zsuzsa: A Petőfi utcában van a házunk. A házban négy szoba van. Egy nappali, egy hálószoba
RészletesebbenNémet nyelv 5-6.évfolyam. 4.forduló
Nyugat-magyarországi Egyetem Regionális Pedagógiai Szolgáltató és Kutató Központ Vasi Géniusz- Tehetségsegítı hálózat a Nyugat-Dunántúlon TÁMOP-3.4.4/B-08/1-2009-0014 Német nyelv 5-6.évfolyam 4.forduló
Részletesebbenactivity-show im Fernsehen
activity-show fast wie im Fernsehen Modultyp Projekte im Deutschunterricht Zielgruppe Schüler von 12 bis 15 Jahren Niveaustufe A1+ Autorinnen Grossmann Erika, Molnár Andrea A kiadvány az Educatio Kht.
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN
Földrajz német nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 13. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM 1.
RészletesebbenFÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN
Földrajz német nyelven középszint 1012 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 16. FÖLDRAJZ NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM 1. AUFGABE
RészletesebbenLátogatás a Heti Válasznál
Látogatás a Heti Válasznál Ulicsák Eszter (7.a) Mindenki belegondolhatott már, hogy ki is a mi szeretett újságunk és kedvenc cikkünk szülőanyja, de még inkább, hogy hogyan alkotnak egy hét alatt egy izgalmas,
RészletesebbenBrandschutz in der elektrotechnischen Gebäudetechnik. Tűzvédelem az elektrotechnikában. Baurechtliche Anforderungen an den Brandschutz-Fachplaner
Brandschutz in der elektrotechnischen Gebäudetechnik Baurechtliche Anforderungen an den Brandschutz-Fachplaner Budapest, 7. September 2012 Tűzvédelem az elektrotechnikában A tűzvédelmi tervezővel szemben
RészletesebbenEintritt mit der Familie familiäre Sportbewegung im Zeichen der gesunden Lebensweise
Eintritt mit der Familie familiäre Sportbewegung im Zeichen der gesunden Lebensweise Auf Grund meiner jahrzehntelangen Erfahrungen kann die Schule die Einbeziehung der Schüler und durch sie auch der Eltern
RészletesebbenAdott esetben születési név és korábbi házassági név Keresztnév Vorname ggf. Geburtsname und Name aus früherer Ehe
Családi pótlék sz. Kindergeld-Nr. Familienkasse Az igénylést benyújtó személy adóazonosító száma Németországban (feltétlenül kitöltendő) Steuer-ID der antragstellenden Person in Deutschland (zwingend ausfüllen)
RészletesebbenWirtschaftsdeutsch. Aufgabenmuster
BGF NYTK Wirtschaftsdeutsch Aufgabenmuster B2 Schreiben 50 Minuten 20 Punkte FÜR DIE LÖSUNG DER AUFGABE BENUTZEN SIE DAS LÖSUNGSBLATT! (Az alábbiakban a feladatlap után a javításhoz használt megoldási
RészletesebbenKG 51R F K. 1 Az igénylést benyújtó személy adatai. 2 Az igénylő személy házas- ill. élettársának adatai
Az igénylést benyújtó személy neve és keresztneve Name und der antragstellenden Person Családi pótlék sz. F K Kindergeld-Nr. KG 51R Külföld melléklet német családi pótlék igényléséhez, dátum:.. olyan személyek
RészletesebbenI. Olvasáskészség 1. Maximális pontszám: 15. Olvassa el figyelmesen az alábbi szöveget, majd annak alapján válaszoljon magyarul a kérdésekre!
I. Olvasáskészség 1. Maximális pontszám: 15 Olvassa el figyelmesen az alábbi szöveget, majd annak alapján válaszoljon magyarul a kérdésekre! Immer mehr Bürger lehnen die Sommerzeit ab Der Widerstand gegen
RészletesebbenIN ZIRKUS Themenbearbeitung Lehr- und Lernmaterialien Teil 2
IN ZIRKUS Themenbearbeitung Lehr- und Lernmaterialien Teil 2 Zielgruppe Schüler von 9 bis 10 Jahren Autorinnen Kuszman Nóra, Némethné Gálvölgyi Mária, Sárvári Tünde A kiadvány KHF/334-5/2009 engedélyszámon
RészletesebbenCarsten Kümmel Dipl. Tonmeister www.tonmeister-online.de
Carsten Kümmel Dipl. Tonmeister www.tonmeister-online.de Carsten Kümmel, Starenweg 8a, 82140 Olching DATUM: 23.10.13 Tel.: 08142 6551752 Fax.: 08142 4628228 carsten@tonmeister-online.de Betreff: Beurteilung
RészletesebbenTartalomjegyzék. Bevezetés/szervíz, oktatás 3-9. DK-kábelösszekötő dobozok 10-137 1,5-240 mm 2, IP 54-67
Tartalomjegyzék Bevezetés/szervíz, oktatás 3-9 -kábelösszekötő dobozok 10-137 1,5-240 mm 2, IP 54-67 -kiselosztók 138-197 63 A-ig, 3-54 osztásegység, IP 54-65 Elosztószekrények ajtóval 198-277 250 A-ig,
RészletesebbenVIZSGALEÍRÁS NÉMET NYELV. 8. évfolyamos vizsga
VIZSGALEÍRÁS NÉMET NYELV 8. évfolyamos vizsga A vizsga lebonyolítása: írásbeli április 15-30 között előzetes egyeztetés szerint szóbeli május elején, az írásbeli érettségi vizsga napjaiban A vizsga részei:
RészletesebbenORSZÁGOS ÁLTALÁNOS ISKOLAI TANULMÁNYI VERSENY 2008/2009. NÉMET NYELV FELADATLAP. 8. osztály iskolai forduló. Tanuló neve:... Iskola neve:... Címe:...
JÁSZ-NAGYKUN- SZOLNOK MEGYEI PEDAGÓGIAI INTÉZET PEDAGÓGIAI SZAKMAI ÉS SZAKSZOLGÁLAT, SZOLNOK OM azonosító szám: 102312 OKÉV nyilvántartási szám: 16-0058-04 Intézmény-akkreditációs lajstromszám: AL-1100
RészletesebbenZitruspresse orange. Fruit Jerky szárítógép
Zitruspresse orange Fruit Jerky szárítógép 10008166 10008167 10008168 10028436 10029750 Technische Daten Termékszám 10029750, 10028436 Tápcsatlakozás 220-240 V 50/60Hz Teljesítmény 630 W Elhelyezés és
RészletesebbenX. A város. A. Hova mész? A városba megyek. Hova mész? Katihoz, Petihez és Enikőhöz megyek. Honnan jössz? A városból, egy koncertről.
X. A város A. Hova mész? A városba megyek. Hova mész? Katihoz, Petihez és Enikőhöz megyek. Honnan jössz? A városból, egy koncertről. B. Szia, Zoli! Szia, Mária. Mit csinálsz ma délután? A városba megyek
RészletesebbenOsztályozóvizsga évfolyam SCHRITTE INTERNATIONAL 1. TANKÖNYV
Osztályozóvizsga 9.-10. évfolyam SCHRITTE INTERNATIONAL 1. TANKÖNYV 9. évfolyam írásbeli: 1. könyv - W-Frage - Aussage : Ich heiße/ich bin - Personalpronomen: ich, du, er.. - Verbkonjugation (ich. du.
RészletesebbenÓRATERV. Nevelési-oktatási stratégia Módszerek Tanulói munkaformák Eszközök
ÓRATERV A pedagógus neve: dr. Horváth Beáta Éva Műveltségi terület: Idegen nyelvek (Élő idegen nyelvek) Tantárgy: Német nyelv Osztály: 12/C Nyelvi előkészítő osztály Az óra témája: Zukunftspläne, Interview
RészletesebbenHasznos kifejezések nem csak kezdőknek Meinungsäußerung ( véleménynyilvánítás ):
Hasznos kifejezések nem csak kezdőknek 1.0 1. Meinungsäußerung ( véleménynyilvánítás ): Ich meine/finde/glaube/denke, dass... Úgy vélem/találom/gondolom, hogy... Ich bin der Meinung, dass... Az a véleményem,
RészletesebbenA U T O M A T A M O S Ó G É P WMB6510J BEKO
A U T O M A T A M O S Ó G É P WMB6510J BEKO Kérem először elolvasni! Tisztelt felhasználó, ennek a készüléknek a megvásárlásával, Önnek egy modern, kiváló minőségű mosógépe van, hosszú élettartammal, nagyfokú
RészletesebbenFOGLALKOZÁSTERV KOMPARATION DER ADJEKTIVE. Melléknév fokozás. 1. rész I. VORENTLASTUNG
FOGLALKOZÁSTERV A foglalkozás célja a melléknév fokozásának megtanítása és begyakoroltatása a kiskunmajsai Tomori Pál Gimnázium ún. 10.ABC1 csoportjában. Ez az elnevezés azt jelenti, hogy az intézményben
RészletesebbenHÍRLEVÉL INFORMATIONSBRIEF. az ÁFA irányelvhez kapcsolódó 282/2011/EU végrehajtási rendeletről
HÍRLEVÉL INFORMATIONSBRIEF az ÁFA irányelvhez kapcsolódó 282/2011/EU végrehajtási rendeletről Hírlevelünk célja, hogy tájékoztassuk Önöket a 282/2011/ EU végrehajtási rendelet fő tartalmi elemeiről, amely
RészletesebbenVizsgáztatói példány az emelt szintű szóbeli vizsgához A I.
Vizsgáztatói példány az emelt szintű szóbeli vizsgához A I. Kandidatenblatt Kleider machen Leute. Führen Sie mit Ihrem Prüfer über die obige Aussage ein Gespräch, in dem Sie Ihre Argumente dafür oder dagegen
RészletesebbenA KÜLFEJTÉSSEL KAPCSOLATOS FÖLDTANI ADATFELDOLGOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA MŰSZAKI-MATEMATIKAI MÓDSZE KEKKEL
A KÜLFEJTÉSSEL KAPCSOLATOS FÖLDTANI ADATFELDOLGOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA MŰSZAKI-MATEMATIKAI MÓDSZE KEKKEL MÁRIAI PÁL* (4 ábrával) Összefoglalás: Külfejtések tervezésének komplex, egymáshoz kapcsolódó
Részletesebbenmi és más népek - összehasonlításuk, karaktereik személyleírás: főként külső tulajdonságok alapján
8. évfolyam A 8. évfolyamon idegen nyelvet tanuló diákok A1 szintű, a Közös európai referenciakeret alapján alapszintű és ezen belül minimumszintű nyelvi ismeretekkel rendelkeznek. A 8. évfolyamon folytatódó
RészletesebbenProspektus GmbH. 8200 Veszprem, Tartu Str. 6. Ungarn Tel.: +36-88-422-914 Fax: +36-88-405-012 www.prospektusnyomda.hu info@prospektusnyomda.
LOGÓ 2 szín felhasználás PANTONE 143C PANTONE COOL Gray 11 Egy lekerekített hatszög formában a Probox P-betűje erősíti a márka nevét, megjegyezhetőségét. A forma térbeliségre utaló perspektívikus megjelenítése
RészletesebbenTalálkozó az általános iskolákkal Október 4.
Találkozó az általános iskolákkal 2012. Október 4. Témák Változások a felvételiben Német nyelvi verseny Adatok kérése Felvételi 1. Kevés információ-bizonytalanság Nem lesz tehetséggondozó felvételi, csak
RészletesebbenWirtschaftsdeutsch, Tourismus und Gastgewerbe 50
BGF NYTK B2 Wirtschaftsdeutsch, Tourismus und Gastgewerbe 50 Aufgabenmuster Schreiben Minuten 20 Punkte FÜR DIE LÖSUNG DER AUFGABE BENUTZEN SIE DAS LÖSUNGSBLATT! (Az alábbiakban a feladatlap után a javításhoz
RészletesebbenIhnen
NÉMET NYELV 2.feladatlap 1. Egészítsd ki a levelet személyes és birtokos névmások megfelelően ragozott alakjaival! A megoldásokat írd a táblázatba! Liebe Frau Müller, Berlin, den 10. November 2003 ich
RészletesebbenDie ungarische Sonntagszeitung Vasárnapi Ujság, Budapest
Abb. 2012-1/51-01 Vasárnapi Ujság, um 1854?, Titelvignette SG Februar 2012 Die ungarische Sonntagszeitung Vasárnapi Ujság, Budapest 1854-1922 Die Anzeigen von Elsö magyar üveggyár wurden gefunden von Dejan
RészletesebbenJEGYZŐKÖNYV / PROTOKOLL
JEGYZŐKÖNYV / PROTOKOLL amely készült 2011. szeptember 22-én, 19.00 órakor a Német Általános Iskola és Gimnázium Barátainak és Támogatóinak Egyesülete Vezetőségi ülésén. Helyszín: CHSH Dezső, 1011 Budapest,
RészletesebbenLead Partner Seminar. Berichte auf Projektebene / Projektszintű jelentések
Lead Partner Seminar Berichte auf Projektebene / Projektszintű jelentések Sopron, 18.04.2012 Projektänderungen / Projekt módosítások Lóránth Kinga Joint Technical Secretariat 18.04.2012 Reporting Seminar
RészletesebbenMAssAgEgERäT MASSZÍROZÓ KÉSZÜLÉK
Quattromed IV-S MAssAgEgERäT MASSZÍROZÓ KÉSZÜLÉK Ergonomische Massage mit WohlfühlgARAntie ERGONÓMIKUS MASSZÁZS A KÉNYELEMÉRZÉS GARANCIÁJÁVAL QUATTROMED IV-s MAssAgEgERäT MASSZÍROZÓ KÉSZÜLÉK Unsere Wirbelsäule
RészletesebbenLead Partner Seminar. Berichte auf Projektebene / Projektszintű jelentések
Lead Partner Seminar Berichte auf Projektebene / Projektszintű jelentések Sopron, 02.02.2011 Projektänderungen / Projekt módosítások Yvonne Brodda, Lóránth Kinga Joint Technical Secretariat 02.02.2011
RészletesebbenUtazás Szállás. Szállás - Keresés. Szállás - Foglalás. Útbaigazítás kérése. ... kiadó szoba?... ein Zimmer zu vermieten? szállásfajta.
- Keresés Hol találom a? Útbaigazítás kérése Wo kann ich finden?... kiadó szoba?... ein Zimmer zu vermieten?...hostel?... ein Hostel?... egy hotel?... ein Hotel?...bed and breakfast?...kemping? Milyenek
Részletesebben