MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1
TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények, az analízis elemei (20 óra)... 4 4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria (83 óra)... 4 5. Valószínűségszámítás, statisztika (14 óra)... 5 6. Vizsgára készülés (6 óra)... 5 12.osztály (224 óra)... 6 1. Gondolkodási műveletek (15 óra)... 6 2. Számelmélet, algebra (23 óra)... 6 3. Függvények, az analízis elemei (75 óra)... 6 4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria (45 óra)... 6 5. Valószínűségszámítás, statisztika (15 óra)... 7 6. Felkészülés az érettségire (51 óra)... 7 2
11.osztály (222 óra) 1. Gondolkodási műveletek (35 óra) Halmazelmélet Logika Logikai műveletek Bizonyítások a matematikában Kombinatorika Gráfok Halmazelméleti alapfogalmak. Halmazműveletek, műveleti tulajdonságok. A halmazfogalom és a halmazműveletek használata a matematika különböző területein (pl. számhalmazok, ). Halmazműveletek alkalmazása feladatokban. Véges és megszámlálhatóan végtelen halmazok számossága. A negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia ismerete, alkalmazása. A minden, van olyan logikai kvantorok ismerete, alkalmazása. A nyelv logikai elemeinek tudatos alkalmazása. A tárgyalt tételek pontos megfogalmazása. Tétel, tétel megfordítása. Egyes tanult tételek bizonyításának ismerete. A matematikában használt néhány bizonyítási típus ismerete és tudatos alkalmazása (pl. skatulyaelv, direkt és indirekt bizonyítás). Szükséges és elégséges feltételek helyes alkalmazása. Bizonyítási feladatok megoldása. Permutációk, variációk, kombinációk (ismétlés nélküli és ismétléses). Kombinatorikai feladatok megoldása. Binomiális tétel ismerete, alkalmazása. A gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai. Gráfelméleti alapfogalmak. 2. Számelmélet, algebra (64 óra) Számfogalmak Számelmélet Algebrai kifejezések, műveletek A valós számkör. Alapműveletek, műveleti tulajdonságok ismerete, alkalmazása a valós számkörben. Az adatok és az eredmény pontossága, számolások közelítő értékekkel. Abszolútérték fogalma. Számok normálalakja. Számrendszerek, a helyiértékes írásmód. Osztó, többszörös, összetett szám fogalma. A számelmélet alaptétele. Számok prímtényezőkre bontása, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Oszthatósági feladatok. Diophantoszi egyenletek fogalma, egyszerűbbek megoldása. Műveletek egyszerű algebrai kifejezésekkel. Másod- és harmadfokú nevezetes azonosságok és alkalmazásuk. a n n b szorzattá alakítása, alkalmazása. 3
Hatvány, gyök, logaritmus Egyenletek, egyenlőtlenségek Definíciók, műveletek, azonosságok (egész kitevőjű hatványok, racionális kitevőjű hatványok). Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma. Logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságainak alkalmazása. Különböző alapú logaritmusok. Első- és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Paraméteres egyenletek. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek megoldása. Az egyenletmegoldás alkalmazása szöveges feladatokban. Gyökös, algebrai törtes, abszolútértékes és egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek. Egyszerű algebrai törtes, exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek. A középértékek, nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazása. Többismeretlenes egyenletrendszerek. Egy- és kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek. 3. Függvények, az analízis elemei (20 óra) Függvények A függvény matematikai fogalma, megadásának módjai. Függvények grafikonjai, függvénytranszformációk Az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, hatvány- és gyökfüggvények, két lineáris függvény hányadosa, exponenciális és logaritmusfüggvény, trigonometrikus függvények, abszolútérték függvény) és egyszerű transzformáltjaik: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(c x) Egészrész-, törtrész- és előjelfüggvény. Függvények jellemzése Zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, szélsőérték, periodicitás, paritás, konvexitás. Szélsőérték-feladatok megoldása. 4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria (83 óra) Alapfogalmak, Térelemek Nevezetes Geometriai transzformációk Térelemek távolsága, szöge síkban és térben. Szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, gömb, parabola, ellipszis, hiperbola. Szakaszfelező merőleges sík, szögfelező sík. A geometriai transzformáció mint függvény. Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása. A hasonlósági transzformáció fogalma. A merőleges vetítés fogalma. Az egybevágóságra és a hasonlóságra vonatkozó ismeretek alkalmazása számításos és bizonyítási feladatokban. 4
Síkgeometriai alakzatok Háromszögek Négyszögek Sokszögek Kör Vektorok Trigonometria Koordinátageometria Tételek az oldalakra, szögekre, nevezetes pontokra, vonalakra, alkalmazásuk bizonyítási és szerkesztési feladatokban. Thalész-tétel, Pitagorasz-tétel ismerete. Arányossági tételek derékszögű háromszögben. Nevezetes négyszögek (trapézok és deltoidok) és tulajdonságaik. Szabályos sokszögek. A kör részei. Középponti és kerületi szög, látókör ismerete, alkalmazása. A kör érintője. A vektor fogalma. Vektorműveletek (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) és tulajdonságaik. Vektor koordinátái. Vektorok alkalmazása. Szögfüggvények fogalma. Nevezetes szögek szögfüggvényei. Egyszerű összefüggések a szögfüggvények között, egyszerű trigonometrikus egyenletek. Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Két kör kölcsönös helyzete. A kör érintőjének egyenlete. A parabola egyenlete. 5. Valószínűségszámítás, statisztika (14 óra) Leíró statisztika Matematikai statisztika Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz). Szórás.Átlagtól való eltérés 2 3 szórásnyi intervallumban. Statisztikai sokaság, paraméter, minta, relatív gyakoriság fogalma és kapcsolatuk. A relatív gyakoriság intervallum becslése. A közvélemény-kutatás elemei. 6. Vizsgára készülés (6 óra) 5
12.osztály (224 óra) 1. Gondolkodási műveletek (15 óra) Az ismeretek rendszerezése 2. Számelmélet, algebra (23 óra) Rendszerező összefoglalás 3. Függvények, az analízis elemei (75 óra) Sorozatok Az analízis elemei Számtani sorozat, mértani sorozat a n, S n ismerete és használata. Kamatos kamat számítása. Járadékszámítás. Végtelen mértani sor fogalma, összege. Racionális számok végtelen tizedes tört alakja. A határérték szemléletes fogalma. A folytonosság szemléletes fogalma. Differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése. A deriváltfüggvény alkalmazása (érintő egyenletének felírása, szélsőértékfeladatok, harmadfokú polinomfüggvények vizsgálata). A kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma. A primitív függvény fogalma. A Newton-Leibniz-tétel. Határozott integrál alkalmazása grafikon alatti terület számítására. 4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria (45 óra) Alapfogalmak, Térelemek Nevezetes Térbeli alakzatok Kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás Térelemek távolsága, szöge síkban és térben. Szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, gömb, parabola, ellipszis, hiperbola. Szakaszfelező merőleges sík, szögfelező sík. Henger, kúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp. Egyszerű síkidomok és részeik kerülete, területe. Háromszög területének különböző kiszámítási módjai. Hasonló síkidomok területe. Testek felszínének és térfogatának számítása. Hasonló testek térfogata. 6
5. Valószínűségszámítás, statisztika (15 óra) Valószínűségszámítás Relatív gyakoriság, valószínűség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Visszatevéses mintavétel, a binomiális eloszlás, várható értéke és szórása. Visszatevés nélküli mintavétel, a hipergeometrikus eloszlás. Eseményalgebra. Események függetlensége. 6. Felkészülés az érettségire (51 óra) 7