Mottó: Ha a test a szellem kedvéért lenne, az csoda volna. De ha a szellem a test kedvéért - az volna csak a csodák csodája Davis-Hersch: A matematika élménye Hodkin-Huxley formalizmus. A HH model egyszerűsítése és további példák ELTE, 2006. október 13.
Tartalom A Nernst potenciál, GHK egyenlet Kapukinetikák: aktiváció, inaktiváció, deaktiváció, deinaktiváció HH egyszerűsítése, FitzHugh-Nagumo-Rinzel model, fázis sík anaĺızis I. és II. típusú membrán, Morris-Lecar modell, Börsztölés bifurkáció anaĺızissel
Szentágothai János (1912-1994) Sir John Eccles (1903-1997)
Kis ismétlés Nernst egyenlet E K + = RT zf ln [K+ in ] [K + out] (1) Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) egyenlet: V nyug = RT zf ln P K[K + belső ] + P Na[Na + belső ] + P Cl[Cl külső ] P K [K + külső ] + P Na[Na + külső ] + P Cl[Cl belső ] (2)
HH model ismétlés dg dt = α(v )(1 g) β(v )g (3) g = α(v ) α(v ) + β(v ) (4) τ g (V ) = 1 α(v ) + β(v ) (5) τ g (V ) dg dt = g (V ) g (6)
Hodgkin Huxley model
FitzHugh-Nagumo-Rinzel modell A HH modell egyszerűsítése. A cél az volt, hogy a n és h változókat egy darab w változóval helyettesítsük. n hasonló viselkedést mutat, mint a (1 h) Még általánosabban, legyen h = b an: vagy C du dt = ḡ Na[m (u)] 3 (b w)(u V Na ) ḡ K ( w a )4 (u V K ) ḡ L (u V L ) + I (7) dv dt = f(v) w w 0 (8) dw dt = v γw v 0 (9)
Hodgkin Huxley model egyszerűsítése
Hodgkin Huxley model egyszerűsítése
Hodgkin Huxley model egyszerűsítése
Hodgkin Huxley model egyszerűsítése
Hodgkin Huxley model egyszerűsítése
I. és II. típusú membrán Hogy kezdődik és hogy ér véget a tüzelés? az excitabilitások kombinatorikus osztályozása ld. Eugene M. Izhikevics, Dynamical Systems in Neuroscience, 2005. Milyen az I/f görbe?, (neurobiológiai motiváció pl. Lateral superior Olive) Milyen a PRC görbe? (Ermentrout 2003.) Rezonátor vagy integrátor? Egyes konduktanciák rezonátorok vagy erősítők-e?
I. és II. típusú membrán Larry R Squire and others: Fundamental Neuroscience 2nd Edition., Academic Press, 2002
Morris-Lecar modell I. és II. típusú excitábilitásra is példa (1981. barnacle izom elektromos aktivitása) delayed-rectifier K + (hasonló a HH) gyors inaktiválódó Ca 2+ (depolarizáló, hasonló az I Na áramhoz a HH modellben) C du dt = I ion(u, w) + I appl (10) du dt = ḡ 1m (u)(u V 1 ) ḡ 2 ω(u V 2 ) ḡ leak (V V leak ) + I app (11) dω dt = φ[ω (u) ω] τ ω (u) (12)
Az ω változó a nyitva levő K + csatornákkal arányos és lassú negatív feedback-et biztosít, ami szükséges az excitabilitáshoz m (u) = 1 2 [1 + tanh(u u 1 u 2 )] (13) ω (u) = 1 2 [1 + tanh(u u 3 u 4 )] (14) A FN és a ML modellek közti különbségek: b v hiányzik, h kapu! ω és m nem szerepel hatványon!
Börsztölés Börsztölés definíciója: csomagokban előforduló akciós potenciálok, melyek közt a membrán potenciál csak lassan változik Keener J, Sneyd J: Mathematical Physiology 1. Hasnyálmirigy β sejtjeiben (I. típusú börszt). 2. Parabolikus börszt (II. típusú börszt, Plant 1981., Aplysia R-15) 3. III típusú börszt 4. Ib típusú börszt 5. Klaszterekben történő börszt 6. Polinomiális model (módosított FN, (Hindmarsh és Rose (1982))) Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
I. típus Az aktív szakasz nyeregpont bifurkációval kezdődik, és homoclinikus bifurkációval ér véget. A gyors alrendszer bistabil, és csak egy lassú változó kell. A spike periódus monoton nő az aktív fázis alatt. II. típus Az aktív szakasz HC bifurkációval kezdődik és ér véget. A parabolikus börsztnél a HC bifurkáció egy nyeregpont b.-val egybeesik. A gyors alrendszernek egy stabil állapota van, és két lassú változó kell a börszthöz. A spike periódus parabolikus. III. típus Az aktív szakasz Hopf bifurkációval kezdődik, es nyeregpontbifurkációval ér véget. A gyors alrendszer bistabil, és csak egy változó kell. A spikefrekvencia alakulása nem jellegzetes.
Pancreas béta sejt 1. szérum cukor insulin szekréció a célszövetben cukorfelvétel 2. Ezen rendszer betegsége diabetes mellitus (I,II) 3. Börszt insulin szekréció 4. Atwater (1980) (kísérleti eredmények), Chay and Keizer (1983) (matematikai modell) Ca 2+ aktivált K + konduktancia feszültség-függő K + konduktacia feszültség-függő Ca 2+ konduktancia glucose-gated Ca 2+ eltávoĺıtás a plazmából 5. vércukor IC. Ca 2+ cc. csökkenés börszt oszcilláció inzulin szekréció Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
c g K,Ca = ḡ K,Ca K d + c (15) g K = ḡ K n 4 (16) g Ca = ḡ Ca m 3 h (17) C m dv dt = (g K,Ca + g K )(V V K ) 2g Ca (V V Ca ) g L (V V L ) (18) dc dt = f( k 1I Ca k c c) (19)
Fázissík-anaĺızis (Rinzel and Lee, 1986) m és h változók kihagyása A β sejtmodellt gyors, (V, n) és lassú (c) csoportokra osztjuk. A rendszert parametrizáljuk c a gyors alrendszert követi Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
A gyors alrendszer bifurkációanaĺızise, hysteresis, Hopf -, Homoclinic -, Saddle node - bifurkációk, c nullklin metszi a Z-alakú görbét a jobb oldalon c = k 1 k c I Ca (V ); c inverzen skálázott k c -val a cukorkoncentráció arányos k c -val, ami elmozdítja a c nullkint Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
Type I.A and Type I.B börsztölés Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
Börsztölés klaszterekben 1. 1083, Atwater, szupersejt-model, 2. (kérgi oszcillációk, agyszeletben is, szövetméret küszöb) 3. A véletlenszerű nagy kondukctanciájú K-Ca csatorna, és mivel kevés csatorna van egy db sejtben nem jelenik meg szinkronizált börszt. (Sherman et al, 1988) 4. Szinkronizált börszt akkor jelenik meg, amikor a klaszteren belül a sejtszám nő, és a kapcsolaś egyes sejtek között erősebb lesz. 5. Érdekes! Van egy olyan kapcsolási erősség, amire a börszthossz maximalizálódik. Keener Sneyd: Mathematical Physiology 2nd Edition., Springer, 1998
Börsztölés