Pannon Egyetem, Veszprém Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék Tanári mesterképzési szak Informatikatanári szakképzettségi terület Digitális tananyagfejlesztés GeoGebra programmal Czirók Ottó Témavezető: Lipovits Ágnes Veszprém 2010
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés... 1 2. Matematikai segédprogramok csoportosítása... 2 2.1. Speciális szoftverek... 2 2.2. Általános célú szoftverek... 2 2.3. Dinamikus szoftverek... 2 2.4. Dinamikus szoftverek jellemzői... 2 3. A GeoeGebra jellegzetességei... 4 4. A GeoGebra általános jellemzői... 5 5. GeoGebra használata síkgeometria feladatokban... 8 5.1. Adott tulajdonságú ponthalmazok... 8 5.1.1. Szakaszfelező merőleges... 8 5.1.2. A Szögfelező... 11 5.1.3. Adott tulajdonságú pont(ok) szerkesztése... 13 5.2. A háromszög... 14 5.2.1. Általános háromszög... 14 5.2.2. A háromszög köré-és beírt köre... 15 5.3. Egybevágósági traszformációk... 16 5.3.1. Tengelyes tükrözés... 16 5.3.2. Középpontos tükrözés... 18 5.3.3. Eltolás... 18 5.3.4. Forgatás... 19 5.4. Középpontos hasonlóság... 21 6. Összefoglalás... 23 Hivatkozott irodalomjegyzék... 24 Ábrák jegyzéke... 25
1. Bevezetés Jelenleg Szombathelyen egy általános iskolában tanítom a matematika és informatika tantárgyakat. Iskolánk jól felszerelt az IKT eszközök területén. Három informatika termünkben a számítógépeken kívül az interaktív tábla is az oktatás részévé vált. Ezeken kívül minden tanterembe van számítógép, internetes hozzáféréssel, és van még 3 mobilizálható projektorunk is. Mindig szerettem volna az informatika tantárgy eszközrendszerét integrálni a matematikaoktatásba. Sok időt töltöttem olyan oktatóprogramok kereséséve, tesztelésével melyek segítségével érdekesebbé, látványosabbá, és ez által hatékonyabbá, tehetem a matematika órák néha, visszafogott, száraz hangulatát. Sajnos általános iskola felső tagozatában csak kevés ilyen program létezik, melyek általában interaktív táblára vannak optimalizálva, és meglehetősen borsos az áruk. Nagyon örültem mikor ráakadtam egy olyan programra mellyel geometriai és algebrai feladatokat lehet megoldani, modellezni mindezt interaktív módon, és kis gyakorlással bárki el tudja a program használatát sajátítani. Ez a program nem más, mint a GeoGebra. A dolgozatom az informatika alkalmazásának lehetőségeit mutatja be a GeoGebra matematikai segédprogram segítségével. A célom az, hogy a program adta lehetőségeket bemutassam mintapéldákon keresztül, ezzel kedvet és egyben segítséget adva mindenkinek - főleg a matematika tanároknak - ahhoz hogy megismerjék és alkalmazzák ezt a programot, mellyel színesebbé, változatosabbá tehetik a matematika óráikat. - 1 -
2. Matematikai segédprogramok csoportosítása A matematikai segédprogramokkal sokféle matematikai probléma megoldható. Ezek a rendszerek egyszerű és összetett feladatok megoldására is alkalmasak, és segítségükkel egyszerűsíthetjük, felgyorsíthatjuk a megoldásokat, ezzel nem kevés időt megspórolva. A matematikai programokat csoportosíthatjuk aszerint, hogy milyen problémák megoldására tervezték őket. Így beszélhetünk speciális, és általános, illetve az általánoson belül a dinamikus programokról. 2.1. Speciális szoftverek A speciális rendszerek csak bizonyos feladatok megoldására alkalmasak, nagyon hatékonyak, így inkább kutatási területeken használják őket. 2.2. Általános célú szoftverek Viszonylag nagyobb területet ölelnek fel, több probléma megoldható segítségükkel. Ezek a programok azok, amiket jól használhatunk az oktatásban is. Ilyen matematikai segédprogramok pl.: Derive, Euklid és ide tartozik a GeoGebra is. 2.3. Dinamikus szoftverek A dinamikus geometriai szoftverek segítségével geometriai szerkesztéseket végezhetünk el ugyanolyan módon és elven, mintha azt hagyományosan végeznénk. A géppel elkészített szerkesztések bázispontokra épülnek és az elkészített szerkesztések a bázispontok mozgatásával megváltoztathatók, a változások nyomon követhetők. 2.4. Dinamikus szoftverek jellemzői Interaktivitás A szerkesztés bázispontjai megfoghatók és szabadon áthelyezhetők a síkon és a szerkesztett ábra úgy változik, hogy az objektumok közötti kapcsolat - 2 -
megmarad. Segít a következtetésk levonásában, a megoldások számának meghatározásában. Animáció A bázispont végigfut egy előre meghatározott objektumon és minden egyes fázisban megjelenik az aktuális szerkesztésnek megfelelő ábra. Látványos, nagyon jó motivációs tényező az oktatásban. Nyomvonal megjelenítés A bázispont végigfut egy alakzaton és a tőle függő másik pont által megjelenített vonalat nevezzük nyomvonalnak. A mértani hely meghatározásán alapuló feladatoknál vehetjük jó hasznát. Szerkesztés visszajátszása A már elkészített szerkesztést akárhányszor visszanézhetjük és elemezhetjük. Lényeges lehet az új ismeretek megértésénél, az összefüggések keresésénél. A dinamikus segédprogramok közé tartozik a GeoGebra is. Sokoldalúsága mellett, könnyű kezelhetőségével és grafikájának jó minőségével is kiemelkedik a többi program közül. - 3 -
3. A GeoeGebra jellegzetességei A szoftver nagy előnyei közé tartozik, hogy mindenki számára ingyenesen, van magyar nyelvű változata, és a Windows, a Mac és a Linux operációs rendszereken is fut. A www.geogebra.org oldalon, a nyelvet és a platformot kiválasztva gyorsan letölthető a mindössze 4,5 MB-os program. Telepítése után, a működéséhez Java plugin-re van szükség, ami szintén ingyenesen letölthető. A GeoGebra programhoz bárki hozzáférhet és bármelyik oktatási intézményben szabadon lehet használni. A dolgozat elkészítésekor a GeoGebra 3.2.41.0-ás verzióját használtam, ami jelenleg legfrissebb verzió. A GeoGebra a matematika három lényeges területéhez kapcsolódik, melyek a következők: algebra, geometria, függvények. Neve is a geometria és algebra szavak összevonásából ered. Egyaránt alkalmas a geometriai problémák és az algebrai és számítási feladatok megoldására, ezért nagyszerűen használható a legtöbb matematikai témakörök feldolgozásának segítésére, szemléltető ábrák, digitális tananyagok készítésére. Megadhatóak benne pontok, vektorok, szakaszok, egyenesek éppúgy, mint kúpszeletek vagy akár függvények. Ezek az alakzatok a szerkesztés során, vagy akár utólag is dinamikusan megváltoztathatóak. Ugyanakkor nemcsak grafikus módon lehet az alakzatokat megadni. Arra is lehetőség van, hogy parancssorban adjuk meg a koordinátákat vagy az alakzatokat leíró egyenleteket, képleteket. Ezáltal lehetőség nyílik arra is, hogy számokat, pontokat, vektorokat változóként kezeljünk. Ha megrajzolunk a programban egy alakzatot, akkor automatikusan megjelenik a hozzá tartozó algebrai kifejezés is, és ez megfordítva is igaz. Ami igazán a sokoldalú felhasználhatóságát jellemzi, hogy az elkészített munkalapokat exportálhatjuk, dinamikus weblapokká, ezzel lehetőséget adva, akár a diákoknak is hogy felhasználják a tanulási segédanyagként a munkájukhoz, anélkül hogy ismerni, vagy telepíteni kellene nekik a GeoGebra programot. Ezek a igazi jellegzetességei. - 4 -
4. A GeoGebra általános jellemzői A dolgozatomban a programnak csak a használatához szükséges általános funkcióit mutatom be melyekre a feladatok megoldása során, többször hivatkozom. A bemutatott feladatok elkészítését részletesen elmagyarázom, így ha valaki a dolgozat alapján a mintafeladatokat elkészíti, hamar belejön a GeoGebra használatába. A program részletes megismeréséhez, ajánlom a magyar nyelvű felhasználói kézikönyvet, mely a 2.5-ös verzióhoz készült, és szintén ingyenesen letölthető pl.:www.geogebra.org/help/docuhu.pdf. A program az elindulás után a következő képernyővel jelentkezik be. Menüsor Eszköztár Geometria ablak Algebra ablak Parancssor Navigációs eszköztár Parancslista Szerkesztő protokoll 1. ábra Bejelentkező képernyő - 5 -
A program induló ablakának részei: Menüsor a program által elérhető funkciókat tartalmazza. Eszköztár az adatok, objektumok geometriai úton való bevitelére szolgál. Az eszköztár ikonjait kattintással tudjuk kiválasztani a megfelelő csoport legördülő listából, melyet az ikonok sarkán található kis háromszög jelez. Az aktuálisan kiválasztott ikon keretezetten jelenik meg. Algebrai ablak a program objektumainak értékét, vagy képletét tartalmazza. Megkülönböztetünk szabad alakzatokat, függő alakzatokat és segéd alakzatokat. A Szabad alakzatokat mi vesszük fel és ezeket a síkon, szabadon mozgathatjuk, míg a Függő alakzatokat nem tudjuk mozgatni, hanem a szabad alakzatok függvényében változnak. A Segéd alakzatok közé mi helyezhetünk tetszőlegesen különböző alakzatokat. Geometriai ablak vagy Rajzlap az alakzatok megjelenítésére szolgál. A rajzlap beállításait a Beállítások menü Rajzlap almenünél tudjuk megváltoztatni. Navigációs eszköztár segítségével a már elkészült szerkesztés lépésein tudunk oda-vissza lépegetni. A Lejátszás gombra kattintva pedig a teljes szerkesztés menetét tudjuk visszajátszani a megadott sebességgel. Szerkesztő protokoll, ami a szerkesztés lépéseit mutatja sorrendben, feltüntetve, táblázatba rendezve, és mutatja még az adott alakzatok definícióját is. Parancssor pedig az adatok, objektumok közvetlen, algebrai bevitelére szolgál. A parancsok szintaktikáját a kézikönyv tartalmazza. Láthatjuk, hogy objektumokat a rajzlapon közvetlenül, parancsok segítségével is felvehetünk, vagy az eszköztár ikonjainak segítségével is megjeleníthetünk. Mindkét esetben megkapjuk magát az alakzatot a rajzlapon és az alakzat képletét az algebra ablakban. Parancslista egy kényelmi szolgáltatás, a parancssorba írható parancsok listáját tartalmazza. A legördülő lista egy parancsára kattintva az automatikusan beíródik a parancssorba. - 6 -
Ha az alakzat képletére kattintunk jobb egérgombbal az algebra ablakban, vagy magára az alakzatra a geometriai ablakban, akkor megjelenik az adott objektumhoz tartozó Gyorsmenü, ami alakzatonként kissé módosulhat. A menü segítségével tudjuk az alakzatot újra definiálni, meg tudjuk határozni az alakzat és a felirat láthatóságát. A Tulajdonságok menüpont alatt az alakzat formátumait tudjuk módosítani: alakzat színe, vonalstílus, vonalvastagság. Itt tudjuk még beállítani, hogy az alakzat fix legyen, vagy nem, illetve, hogy a felirat mellett az érték is látható legyen. - 7 -
5. GeoGebra használata síkgeometria feladatokban A program indítása után célszerű a Nézet menüben kikapcsolni a Tengelyek és a Rács menüpontokat, hogy a Geometria ablakban, a szerkesztések közben ne legyenek ezek az elemek láthatóak, és ugyanitt bekapcsolni Navigációs eszköztárat. A geometriai feladatok megoldásában is igen sokrétűen használhatjuk a programot. Alkalmazhatjuk geometriai szerkesztések bemutatására, ahol a szerkesztés lépéseit visszajátszhatjuk, használhatjuk bizonyítási feladatok szemléltetésére, és geometriai számítások elvégzésére is. Felhasználhatjuk a programot az új anyag bemutatásánál és természetesen konkrét faladatok megoldásánál is. Ezekre mutatok példát, az általános iskolai geometria tananyag egyes anyagrészeit bemutatva mintapéldaként. A feladatok forráskódját, és a dinamikus weblapformátumát a Síkgeometria mappa tartalmazza. 5.1. Adott tulajdonságú ponthalmazok 5.1.1. Szakaszfelező merőleges A Szakaszfelező_merőleges.ggb munkalap (1. ábra) a szakaszfelező merőleges tulajdonságát mutatja be. Használható teljes bemutatásra, valamint lépésenként lejátszva követi szakaszfelező szerkesztésének lépései. 2. ábra Szakaszfelező merőleges Ennek a feladatnak az elkészítésével részletesebben foglalkozom, hogy a szerkesztési lépések megvalósítása érthető legyen, mert van egy-két GeoGebrás rutinlépés, amit a későbbi felhasználás során sokszor kell alkalmazni. - 8 -
A feladat elkészítését az AB szakasz létrehozásával kezdtem, az eszköztár Szakasz ikonjával. Az algebra ablakban látható hogy létrejött koordinátáival egy A és B pont, valamint az a szakasz, ami egyben egy változó is, a szakasz hosszát dinamikusan tárolja. Az A és B szabad alakzatok, tehát tetszőlegesen mozgathatók a lapon de előtte a Mozgatás ikont kell kijelölni. Az a szakasz függő alakzat, mert hossza függ az a A és B helyzetétől. A GeoGebra automatikusan, alfabetikus sorrendben betűzi a pontokat nagy, más alakzatokat kisbetűvel. Természetesen a neveket meg lehet változtatni a környezeti menüben, de erről egy kicsit később. Ezután beírtam a parancssorba: Szakaszfelező[A,B] parancsot, melyet egérrel is szerkeszthettem volna a Szakaszfelező ikon segítségével. A program berajzolta a szakaszfelezőt. Az algebra ablakban létrejött egy b egyenes az egyenletével, mely szintén függő alakzat. Tehát a GeoGebra minden alakzatot a koordináta-rendszerben helyez el, de mivel kikapcsoltuk ezért nem látjuk, hisz itt zavaró lenne. A szakasz felezőpontját C-t a Felező vagy középpont ikont kijelölve, vagy a Szakaszfelező[A,B] paranccsal tudom megjeleníteni. A következő lépés a derékszög jelölése. Ehhez a b szakaszfelezőn elhelyezek egy D pontot, amit csak arra fogok használni, hogy a derékszöget be tudjam rajzolni, de a későbbiek során nem szeretném a munkalapon megjeleníteni. A létrehozás után az algebra ablakban jobb egérrel a D pontra kattintva megjelenik környezeti menüje, melyben a segéd alakzatok pontot kipipálom. Ezzel átkerült a D a segéd alakzatokba. A derékszög berajzolását a Szög ikon kiválasztása után sorrendben rákattintok a D-C-A pontokra. 3. ábra Tulajdonságok ablak - 9 -
Berajzolódik az szög. Itt térnék ki a Környezeti menü Tulajdonságok menüpontjára, mely az alakzatok különböző formázási lehetőségét kínálja fel. A 2. ábra az szög tulajdonságait mutatja. Kiveszem a pipát a Derékszög kiemeléséből, és a Felirat megjelenítésénél az Értéket választom. A többi beállítási lehetőségekre nem térnék ki, mert mindenki maga választja meg ezeket a lehetőségeket, ízlése szerint. Az előbb ismertetett módszerrel átneveztem a b-t f-re - f-nek piros színt állítottam -, a C-t F-re, az E-t M-re. Bármikor át lehet nevezni, a képletekben a GeoGebra dinamikusan kicseréli a neveket. Következik AM és BM szakaszok berajzolása, pl.: Szakasz[A,M] és a Szakasz[B,M] parancsokkal. Tulajdonképpen a rajzzal kész vagyunk. Most elrejtjük azokat az objektumokat melyekre nincs szükségünk. Több lehetőség is van, én most a legegyszerűbbet írom le. Az Algebra ablakban minden objektum előtt van egy szürke kör. Ha rákattintunk, fehérre változik, és a munkalapon eltűnik a kijelölt elem. Ezzel a módszerrel elrejtem a D pontot. Más a helyzet azokkal a rajzelemekkel, melyeknek csak a nevét szeretnénk elrejteni. A már megismert módon, az elem Környezeti menü Felirat megjelenítése elöl ki kell venni a pipát. Így rejtem el az a nevét. Hogy a tanulók lássák, hogy ha mozgatjuk az M pontot, az ugyanakkora távolságra lesz az A és a B pontoktól is a b, c szakaszok neve helyett a tárolt hosszértéküket jelenítem meg, ugyanúgy, mint ahogyan a 90 -os értéknél tettem. Még egy dolog van hátra, a szöveges szabály megjelenítése. Az Eszköztár ABC ikonjának kiválasztása után a munkalapon kattintva a szerkesztő ablak jelenik meg. Ez egy egyszerű szövegszerkesztő, beírva a szöveget nyugtázzuk, majd megjelenik a munkalapon. Ezután a Környezeti menü Tulajdonságok ablakban formázható. Ha értékeket szeretnénk megjeleníteni azt a következő képpen lehet: AB = + a. A + jel megjeleníti a változó értékét. Tehát a munkalapon (1. ábra) AB=5,22 jelenik meg. Készen is vagyunk a feladattal. Felvetődik a kérdés, hogy lehet a beírt vagy létrehozott parancsokat megjeleníteni, - mert az algebrai ablakban ezek nem láthatók-, illetve ha a létrehozott objektumok sorrendjét szeretnénk felcserélni azt hogy tehetjük meg. Erre szolgál a Navigációs eszköztár jobb szélén elhelyezkedő Szerkesztő protokoll (3. ábra) - 10 -
4. ábra Szerkesztő protokoll ablak A 3. ábra mutatja a Szakaszfelező feladat létrehozásának lépéssorrendjét, definíciókat, parancsokat, és értékeket. Ezek láthatóságát a nézet menüben tudjuk szabályozni. A szerkesztőprotokoll használatát maga a súgó menüje magyarázza (4. ábra). 5. ábra Szerkesztő protokoll súgó 5.1.2. A Szögfelező Ez a feladat (5. ábra) melyet a Szögfelező.ggb munkalap tartalmaz bemutató jellegű bizonyítási feladat, a tanórán jól alkalmazható, mind a tanárnak, mind a tanulóknak. Kész bemutatásra készült. A Félegyenes rajzolóval A kezdőpontú B-re illeszkedő a félegyenes, és szintén A kezdőpontú C-re illeszkedő b félegyenes megrajzolásával kezdtem a feladatot. Az általuk bezárt szöget a Szög[a,b] paranccsal jelenítettem meg, az értékét elrejtve. Következett a c szögfelező a Szögfelező[B,A,C] paranccsal. - 11 -
A Szögfelező[a,b]-t is használhatnám, de az két szögfelezőt rajzol be, mert a félegyeneseket mint egyeneseket kezeli ebben a parancsban a GeoGebra így itt ez nem használható. Felvettem a D pontot a szögfelezőn, majd merőlegest rajzoltattam D-ből mind a két szögszárra a Merőleges[D,a] és Merőleges[D,b] parancsokkal. A két merőleges d és e jelölést kapta. A szögszárak és a merőlegesek metszéspontjait a Metszéspont[d,a] ez az E pont és Metszéspont[e,b] ez a G pont parancsok határozták meg. A már ismertetett módon jelöltem a két 90 -os szöget. Már csak a merőleges szakaszok hosszát kell kiíratni. Itt viszont nem szakaszok szerepelnek ezért a meglévő két merőleges szakaszra rajzoltam két szakaszt. Az ED-re rajzolt az f, a DG-re rajzolt a g nevet kapta. Igy már ki let iratni a távolságokat, amit az f és a g Környezeti menü Tulajdonságok ablakában tehetünk meg. 6. ábra A szögfelező Kész vagyunk a feladat nyers munkaváltozatával. Most kell áttekinthetővé tenni a feladatot. El kell rejteni azokat az objektumokat melyekre nincs szükségünk a bemutató során. A szögfelezőre, c-re, illesztek egy A kezdőpontú h félegyenest. Ez fogja helyettesíteni az eredeti c szögfelezőt. Ha elrejtem a c-t akkor a szögfelező szögtartományon kívüli részét nem lehet majd látni. Ezek után elrejtettem a c, d és e egyeneseket, és a B, C, F pontokat, valamint az a, b, és h félegyenesek feliratát is kikapcsoltam. A szöveget az előző feladatban bemutatott módon kiírattam így jutottam a kész feladathoz. - 12 -
5.1.3. Adott tulajdonságú pont(ok) szerkesztése Feladat: Szerkessz 75 -os szögtartományba egy olyan pontot, mely az egyik szögszártól 3 cm-re, a másiktól 1,5 cm-re helyezkedik el. A feladatot a Feladat_ponthalmaz.ggb munkalap, a megoldását a 6. ábra mutatja. 7. ábra Adott tuljdonságú pont(ok) szerkesztése Először felvettem az A, B pontokra illeszkedő a félegyenest, majd a Forgatás[B,75,A] paranccsal A pont körül elforgattam 75 -al B-t, kaptam a B pontot. Megrajzoltam A, B pontokra illeszkedő b félegyenest. Az a szögszár D pontjába merőlegest szerkesztettem. Majd D pontból rajzoltam egy 3 cm sugarú kört a Kör középponttal és sugárral ikonjával és meghatároztam a kör és a merőleges metszéspontját F-et. Az F pontba kellett egy a szögszárral párhuzamos egyenest szerkeszteni a Párhuzamos ikon használatával. Ugyanezeket a lépéseket a másik szögszáron is végrehajtottam, de a kör sugara itt 1,5 cm volt. A két párhuzamos metszéspontja M az adott tulajdonságú pont. A szerkesztés nem minden lépése látható a 6.ábrán, mert az áttekinthetőségét befolyásolná. Viszont a Navigációs eszköztáron a Szerkesztő protokoll gombján a nem látható szerkesztési lépéseket is meg tudjuk nézni. Egy trükk ami nem látható sehol sem: a körök nem elrejtve vannak, hanem a színűket fehérre állítottam. - 13 -
Ezzel a feladattal igen jól tudjuk szemléltetni a bonyolultabb szerkesztéseket is. Megtehetjük, hogy a tanórán lépésenként végig megyünk a szerkesztés menetén, a Navigációs eszköztáron lépegetve, de akár többször is lejátszhatjuk az egész szerkesztést, a Lejátszás gomb segítségével. Tudjuk szabályozni a tanulók képessége szerint a lejátszás sebességét is. 5.2. A háromszög 5.2.1. Általános háromszög A Háromszög_jellemzői.ggb munkalap a háromszögek legfontosabb jellemzőit a mutatja be, a képét pedig az alábbi 7.ábra szemlélteti. 8. ábra Általános háromszög A feladat elkészítése során a GeoGebra néhány új parancsát illetve ikonját használtam. A háromszöget legegyszerűbben Sokszög ikonnal rajzoltam meg, kijelölve a rajzlapon a háromszög csúcsait. Ezt megtehetjük a sokszög[a, B, C] paranccsal is. Mindkét esetben a program automatikusan elnevezi a sokszöget, esetünkben a háromszöget és az algebra ablakban megadja a háromszög oldalainak hosszát és a területét is. A kerület kiszámításához a parancssorba beírtam a K=a+b+c. A háromszög belső szögeit, a legegyszerűbb módon a Szög[sokszögnév sokszög] paranccsal lehet meghatározni. - 14 -
A program egyből elnevezi, jelöli a háromszög belső szögeit és értéküket megadja az algebra ablakban. A már ismertetett módon a Szög ikonnal, határoztam meg az ábrán látható külső szögeket, amelyeket át kellett nevezni. A szöveg és a változók értékeit kiírattam a rajzlapra. Ez a feladat alapján látszik, hogy milyen egyszerűen tudunk a GeoGebrában geometriai alakzatokat, és jellemzőit megjeleníteni. 5.2.2. A háromszög köré-és beírt köre A két feladatot a H_köré_írt_köre.ggb (8.ábra) és H_beírt_köre.ggb (9.ábra) munkalap tartalmazza. A munkalapon az ABC háromszög és a VTZ háromszög csúcsai is mozgathatók. A csúcspontok változtatásának hatására változik a köré írt és a beírt kör középpontja és a kör maga is. Az ABC háromszög csúcsainak mozgatásával jól szemléltethető, hogy hol helyezkedik el a háromszög köré írt kör középpontja. Mivel a háromszög szögei az ábrán és a rajzlapon láthatóak, így az összefüggés világos: hegyesszögű háromszög esetén belül, derékszögű háromszög esetén az átfogón, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül van a kör középpontja. 9. ábra A háromszög köré írható kör - 15 -
A feladatok megvalósítása nem volt nehéz. A köré írt kört megszerkesztése a Köré írt kör ikonjának kiválasztásával, majd a háromszög csúcspontjainak megadásával történt. Ezzel azonos értékű megoldás lett volna a kör[a,b,c] parancs. Megszerkesztettem két oldalfelező merőlegest is. 10. ábra A háromszögbe írható kör A beírható kör megszerkesztése esetén a hagyományos szerkesztés lépéseit kellett végrehajtani. Megszerkesztettem a háromszög két szögfelezőjét, melyek metszéspontja a beírt kör középpontja. A középpontból egyik oldalra bocsátott merőleges kimetszi az oldalon a körvonal egy tetszőleges pontját. Ezeket, a szerkesztési lépéseket a már ismert módon végrehajtottam, majd végül a kört, a Kör középponttal és kerületi ponttal ikonjával megrajzoltam. 5.3. Egybevágósági traszformációk 5.3.1. Tengelyes tükrözés A tengelyes tükrözést bemutató feladatot a T_tükrözés.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 10.ábrán látható. A t tengely valamint az ABC háromszög csúcsai a rajzlapon mozgathatók. Ezek függvényében kapjuk a háromszög tengelyes tükörképét. - 16 -
11. ábra Tengelyes tükrözés A feladat megoldása az ABC háromszög valamint a t tengely felvételével kezdődött. Ezt a síkgeometriánál megismert módon oldottam meg. A feladat lényegi része a tükrözés elvégzése volt. Mindegyik tükrözést egyszerűen a tükrözés[ ] paranccsal egyetlen lépésben is el tudunk végezni. Csak arra kell figyelni, hogy mit és mire (pontra vagy egyenesre) akarunk tükrözni. A tükrözés[z,t] parancs a Z sokszöget jelen esetünkben az ABC háromszöget tükrözi a t tengelyre. Tükrözhetjük az alakzatokat az eszközsor megfelelő ikonjaival is. A tengelyes tükrözésnél a Tengelyes tükrözés ikont használhatjuk. Az ikonok alkalmazása esetén is van lehetőségünk pontok és alakzatok kijelölésére és tükrözésére. Arra kell csak figyelni, hogy az ikon kiválasztása után először a tükrözendő alakzatot jelöljük ki, majd azt, amire tükrözni szeretnénk. A tükrözött alakzatokat a program automatikusan elnevezi, amiket a szokásos jelölések szerint átnevezhetünk. A munkalap bemutatása a matematika órákon nagyban megkönnyíti a munkánkat. Egyrészt nem kell táblán szerkesztő eszközökkel szerkesztenünk, és ezzel sok időt nyerünk. Másrészt még jó eszközökkel sem tudunk, ilyen pontos és szép szerkesztéseket végezni. Természetesen z itt leírt tulajdonságok a középpontos tükrözésre is igazak. - 17 -
5.3.2. Középpontos tükrözés A középpontos tükrözést bemutató feladatot a K_tükrözés.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 11.ábrán látható. Az O középpont valamint az ABC háromszög csúcsai a rajzlapon mozgathatók. Ezek függvényében kapjuk a háromszög középpontos tükörképét 12. ábra Középpontos tükrözés A feladat végrehajtása szinte teljesen megegyezett a tengelyes tükrözés lépéseivel csak itt nem egy tengelyt vettem fel, hanem egy O középpontot. A középpontos tükrözést a Centrális tükrözés eszközzel végeztem el, mely helyettesíthető a Tükrözés[P,O] paranccsal is. 5.3.3. Eltolás A tanulóknak az eltolás nem jelent nehézséget, vektorok miatt érdemes neki figyelmet szentelni. Az eltolást bemutató feladatot a Eltolás.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 12.ábrán látható. Változtatható a k vektor nagysága, állása és iránya, valamint mozgatható az ABC háromszög mindhárom csúcsa. Ezek függvényében kapjuk a háromszög k vektorral eltolt képét. A megoldásban újdonság a vektor felvétele volt. Vektort rajzolni többféleképpen tudunk. A vektor[k,v] paranccsal, ahol K a kezdőpont, V pedig a végpont, vagy az eszköztáron kiválasztjuk a Vektor ikonját és a rajzlapon, pedig kijelöljük a vektor kezdő és végpontját. - 18 -
13. ábra Eltolás A vektor megrajzolása és a háromszög felvétele után az eltolást kell elvégezni, mely történhet parancs és ikon segítségével is. Egyik lehetőség az Eltolás[P,k] parancs, ahol P esetünkben az ABC háromszöget, k pedig az eltolás vektorát jelenti. A másik lehetőség az eszközsor Eltolás ikonjával, ahol az ikon kiválasztása után az eltolni kívánt alakzatra, majd az eltolás vektorára kell kattintanunk. Ha csak egy pontot szeretnénk eltolni, az használhatjuk Vektor pontból ikonját is. A munkalap előnye, hogy a szemléltetésen túl az eltolás tulajdonságait bemutatja, de a vektorokkal kapcsolatos alapfogalmak bevezetésére is alkalmas. 5.3.4. Forgatás Az egybevágósági transzformációk közül a forgatás elsajátítása megy legnehezebben a tanulóknak. A megértésében nagy szerepet játszik hogy a gyerekek nem tudják elképzelni a forgatott alakzat, hogy is mozog a síkban. Reményeim szerint ez a munkalap ebben nyújt segítséget a tanulóknak. A forgatást bemutató feladatot a Forgatás.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 13.ábrán látható. A rajzlapon a forgatás szögét egy csúszkán szabályozhatjuk, és ennek függvényében változik az eredeti ABC háromszög O pont körüli elforgatott képe. Természetesen az O középpont és az ABC háromszög csúcsai is mozgathatok. - 19 -
14. ábra Forgatás A feladat megvalósítását egy új elem a Csúszka létrehozásával kezdtem. Csúszka úgy tudunk létrehozni, hogy az Eszközsoron kiválasztjuk a Csúszka ikonját, és a rajzlapon kattintva megjelenik egy beviteli ablak, amiben be kell állítani, hogy a Csúszka szög, vagy szám legyen. Továbbá meg tudjuk határozni a Csúszka intervallumát, beosztását, helyzetét és szélességét. A beállítások után megjelenik egy Csúszka a rajzlapon, melyet tetszőlegesen mozgathatunk a rajzlapon és a csúszka környezeti menüje segítségével át tudjunk nevezni és formázni. Összefoglalva az előbb leírtakat, a rajzlapon a forgatás szögét a Csúszka szabályozhatjuk, és ennek függvényében változik az eredeti ABC háromszög O pont körüli elforgatott képe. Az O középpont és az ABC háromszög csúcsai mozgathatók. A munkalapon a Csúszka létrehozása után az szög megrajzolásával folytattam. Magát a szöget - két segédpont felvétele után - forgatással hoztam létre, viszont a forgatás szögének nem konkrét értéket, hanem az paramétert adtam meg. Ezután megrajzoltam az ABC háromszöget és kijelöltem az O középpontot. Az Eszközsor Pont körüli forgatás adott szöggel ikon kiválasztása után elvégeztem az szögű forgatást. Itt először meg kell adni a forgatandó alakzatot, majd a forgatás középpontját kell kijelölni és ezután megadni a forgatás szögét és irányát. Ez helyettesíthető a Forgatás[S,,O] paranccsal is. - 20 -
A parancs az S alakzatot (ABC háromszöget) a megadott szöggel O pont körül egy lépésben elforgatja. A munkalapon az óramutató járásával ellentétes irányú forgatás mutatható be. Természetesen hasonlóan megvalósítható lenne a másik irányú forgatás is. Az szög változtatásával, jól szemléltethető a forgatás, hogy az A pont OA sugarú körvonalon mozog és az elfordulás szöge pontosan. Megfigyelhető még az is hogy az =180 -os forgatás a középpontos tükrözésnek felel meg. Összegezve, ez a feladat is segítheti a tanórákon az anyag megértését, ezért ajánlom tanároknak és tanulóknak egyaránt. 5.4. Középpontos hasonlóság A Kp_hasonlóság.ggb munkalap tartalmazza a középpontos hasonlósági transzformáció bemutatására és megoldására is alkalmas bemutatót, a róla készült képet pedig a 14.ábrán szemlélteti. 15. ábra Középpontos hasonlóság A munkalapon a középpontos hasonlóság k arányát Csúszkán, (-4;4) intervallumban, 0,1-es finomítással lehet szabályozni, továbbá a hasonlóság O középpontját és az ABC háromszög csúcsait a rajzlapon mozgathatjuk. Ezek függvényében kapjuk az aktuális háromszög k arányú A B C hasonlósági képét. A munkalap létrehozását a Csúszka, az ABC háromszög és az O pont felvételével kezdtem. - 21 -
Ezután eszközsor Nyújtás ikonját kiválasztottam, majd rákattintottam először az ABC a háromszögre, utána az O középpontra, és a megjelenő ablakban megadtam k paramétert. Megkaptam az épp aktuális k értéknek megfelelő középpontosan hasonló A B C háromszöget. Ezek a lépések helyettesíthetők a Nyújtás[P,k,O] paranccsal, melynél a P sokszög neve. A munkalap sgítségével könnyen be lehet mutatni az alakzatok egyező állású vagy fordított állású képét, a nagyítást és a kicsinyítést, továbbá könnyen belátható a k=1 esetén az egybevágóság, illetve a k= -1 esetén középpontos tükrözés. A táblai szerkesztés elég hosszadalmas, emiatt rengeteg időt takaríthatunk meg ezzel a munkalappal. - 22 -
6. Összefoglalás Egy tantárgy oktatása akkor lehet igazán eredményes, ha folyamatosan fenn tudjuk tartani a tanulók érdeklődését, figyelmét.. A számítógéppel segített oktatás mindenféleképpen rendelkezik ilyen figyelemfelkeltő, motiváló hatással. Ma már szinte minden tantárgyhoz létezik olyan program, amivel az adott tantárgy tanítását tehetjük szemléletesebbé és színesebbé. A matematika oktatásában is több segédprogram közül választhatunk, de ingyenes, könnyen kezelhető, hamar elsajátítható, és dinamikusan alakítható. Dolgozatomban azért dolgoztam fel a GeoGebra programot, mert meggyőződésem, hogy egy kis informatikai háttértudással, minden matematika tanár könnyedén elsajátíthatja az alkalmazását, ami szinte már alapkövetelmény mai kor pedagógusai számára. Én a GeoGebrát a síkgeometria területén használom a legtöbbet, mert az általános iskolai tananyagban szinte az összes ilyen típusú feladat feldolgozható. Ugyanakkor a függvények témakör nem annyira hangsúlyos, mint a középiskolában, ezért is mutattam be ezt az oldalát a programnak. Természetesen, aki megtanulja GeoGebra használatát, akár a dolgozatom alapján - könnyedén tud majd a függvények témaköréből is bemutató feladatokat készíteni. Amióta megismertem a programot, egyre többet használom a saját munkámban és gyakrabban szemléltetek a matematika órán. Mindenkinek ajánlom a programot, aki színesebbé, élvezetesebbé szeretné tenni a matematika óráit. - 23 -
Hivatkozott irodalomjegyzék Sulik Szabolcs (2006): GeoGebra 2.5 kézikönyv http://www.geogebra.org/help/docuhu.pdf (utolsó hozzáférés dátuma: 2009.04.10.) - 24 -
Ábrák jegyzéke 1. ábra Bejelentkező képernyő... 5 2. ábra Szakaszfelező merőleges... 8 3. ábra Tulajdonságok ablak... 9 4. ábra Szerkesztő protokoll ablak... 11 5. ábra Szerkesztő protokoll súgó... 11 6. ábra A szögfelező... 12 7. ábra Adott tuljdonságú pont(ok) szerkesztése... 13 8. ábra Általános háromszög... 14 9. ábra A háromszög köré írható kör... 15 10. ábra A háromszögbe írható kör... 16 11. ábra Tengelyes tükrözés... 17 12. ábra Középpontos tükrözés... 18 13. ábra Eltolás... 19 14. ábra Forgatás... 20 15. ábra Középpontos hasonlóság... 21-25 -