3. fejezet A hisztogram... a fölnőttek (...) szeretik a számokat. Ha egy új barátunkról beszélünk nekik, sosem a lényeges dolgok felől kérdezősködnek. Sosem azt kérdezik: Milyen a hangja? Mik a kedves játékai? Szokott-e lepkét gyűjteni? Ehelyett azt tudakolják: Hány éves? Hány testvére van? Hány kiló? Mennyi jövedelme van a papájának? És csak ezek után vélik úgy, hogy ismerik. A KIS HERCEG 1 (Rónay György fordítása) 1. BEVEZETÉS Hogyan oszlanak el a jövedelmek az országban? Mennyire megy rosszabbul a kisebbségekhez tartozók sora? Némi információval szolgálnak erről számunkra a rendszeres kérdőíves népességfelmérésből (Current Population Survey) nyert hivatalos statisztikák. Az amerikai családok mintegy ötvenezer fős, reprezentatív mintáját kérdezik meg a kérdezőbiztosok minden egyes hónapban (részletesen lásd a VI. fejezetben). Márciusban ezeket a családokat arra kérik, hogy számoljanak be az előző évi jövedelmeikről. Mi most az 1973-as adatokat fogjuk szemügyre venni. Természetesen előbb összesítenünk kell az adatokat, hiszen senki sem szeretne 50 000 számot átnézni. A statisztikusok az adatok összegzésére sokszor a hisztogram elnevezésű grafikus ábrázolást használják (1. ábra). 1. ÁBRA. Egy hisztogram. Az ábra az amerikai családok jövedelem szerinti megoszlását mutatja 1973-ban. Forrás: Current Population Survey 2
52 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Ebben a részben elmagyarázzuk, hogyan olvasandó a hisztogram. Mindenekelőtt, nincs függőleges tengely: a grafikus ábrázolások többségétől eltérően egy hisztogramhoz nincs feltétlenül szükség függőleges beosztásra. Most nézzük a vízszintes tengelyt. Ez a jövedelmeket mutatja ezer dollárban. A grafikon maga egyszerűen csak téglalapok sorozata. Az első téglalap alsó éle 0-tól 1000 dollárig terjed, a másodiké 1000-től 2000 dollárig, és így tovább az utolsóig, amely a 25 000 és 50 000 dollár közötti szakaszon fekszik. Ezeket a tartományokat osztásközöknek nevezzük. Az ábra úgy készült, hogy a téglalapok területe arányos legyen azoknak a családoknak a számával, amelyeknek jövedelme a megfelelő osztásközbe esik. Nézzük meg közelebbről is az 1. ábrát! A családok körülbelül hány százalékának volt 10 000 és 15 000 dollár közötti jövedelme? A teljes területnek nagyjából az egynegyedét teszi ki az erre az intervallumra emelt téglalap. Tehát a családoknak körülbelül negyede, azaz 25 %-a rendelkezett ebbe a sávba eső jövedelemmel. Vegyünk egy másik példát! Vajon az olyan családok voltak-e többen, ahol 10 000 és 15 000 dollár közötti jövedelmet értek el, vagy a 15 000 és 25 000 dollár között keresők? Az előbbi intervallumhoz tartozó téglalap magasabb, az utóbbihoz tartozó viszont szélesebb. A két téglalap területe körülbelül azonos, tehát a 10 000 és 15 000 dollár között kereső családok aránya nagyjából megegyezik a 15 000 és 25 000 között kereső családok arányával. Utolsó példaként nézzük a 7000 dollárnál alacsonyabb jövedelmű családok arányát! 10, 25 vagy 50%-hoz van közelebb a részarányuk? 0 és 7000 dollár között a hisztogram alatti terület szemmértékre a teljes területnek úgy az egynegyede, tehát 25%-hoz esik a legközelebb ez az arány. A hisztogramon a téglalapok területe képviseli az arányokat. A vízszintes tengely az 1. ábrán 50 000 dollárig tart. Mi van vajon az ennél többet kereső családokkal? A hisztogram őket egyszerűen figyelmen kívül hagyja. 1973-ban az amerikai családok mindössze 1%-a rendelkezett ennél magasabb jövedelemmel: a családok túlnyomó többsége tehát szerepel az ábrán. Ezen a ponton érdemes elvégeznünk néhány gyakorlatot a hisztogram jobb megismeréséhez. A 2. ábrán is az 1. ábra hisztogramja szerepel, csak függőleges tengelylyel ellátva. A függőleges beosztás hasznunkra lesz az 1. feladat megoldásánál. A 8. feladatban az 1973-as és az 1992-es jövedelmeket hasonlítjuk majd össze. 2. ÁBRA. Az 1. ábrán szereplő hisztogram, függőleges tengellyel
3. fejezet: A hisztogram 53 A feladatsor 1. A 2. ábrában szereplő családok körülbelül 1 %-ának esett 0 és 1000 dollár közé a jövedelme. Becsülje meg, hogy hány százalékuk jövedelme volt (a) 1000 és 2000 dollár között (b) 2000 és 3000 dollár között (c) 3000 és 4000 dollár között (d) 4000 és 5000 dollár között (e) 4000 és 7000 dollár között (f) 7000 és 10000 dollár között 2. A 10 000 és 11 000 dollár, vagy pedig a 15 000 és 16 000 dollár között kereső családok voltak-e többen a 2. ábra szerint? Vagy nagyjából ugyanakkora volt a számuk? A lehető legjobb tippet válassza! 3. Az alábbi hisztogram a félév során elért pontszámokat ábrázolja az egyik tantárgyból. (a) Melyik téglalap jelenti azokat, akik 60 és 80 pont között teljesítettek? (b) 10 százalék teljesítménye volt 20 és 40 pont között. Körülbelül hány százalék ért el 40 és 60 pont közötti eredményt? (c) Körülbelül hány százalék ért el 60 pontnál többet? 4. Három különböző tanulócsoport teszteredményeit vázoltuk fel az alábbi hisztogramokon. 0 és 100 közötti pontszámot lehetett elérni; 50 ponttal lehetett átmenni a vizsgán. A sikeresen vizsgázók aránya az egyes csoportokban 50% körül, jóval 50% fölött, vagy jóval 50% alatt alakult? 5. A 4. feladatban szereplő tanulócsoportok egyikében a hallgatók szétváltak két, egymástól erősen elütő csoportra. Az egyik csoport igencsak gyengén szerepelt a vizsgán, a másik viszont kiválóan. Melyik volt ez a tanulócsoport?
54 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 6. A 4. feladat (b) jelű csoportjában 40-50 vagy pedig 90-100 közötti pontszámot értek el többen? 7. Egy kutató három különböző munkáscsoport órabéreiről gyűjt adatokat. A B csoportban körülbelül a kétszeresét keresik az A csoportbeli béreknek; a C csoportba tartozók mintegy 10 dollárral keresnek többet az A csoportbelieknél. Melyik hisztogram tartozik az egyes csoportokhoz? 8. Az alábbi ábra az 1973-as és 1992-es családi jövedelmeket hasonlítja össze az Egyesült Államokban. Úgy tűnik, mintha 20 év alatt háromszorosára nőttek volna a jövedelmek. Vagy mégsem? Röviden válaszoljon! FORRÁS: Current Population Survey 3 2. HOGYAN RAJZOLJUNK HISZTOGRAMOT? Ebben a szakaszben a hisztogram elkészítését magyarázzuk el. Nem bonyolult az eljárás, de akad benne pár elkerülendő buktató is. Kiindulópontunk egy gyakorisági táblázat, mely az egyes osztásközökbe eső jövedelemmel rendelkező családok arányát mutatja (1. táblázat). Ezeket az arányokat úgy tudjuk meg, ha visszamegyünk az eredeti adatokhoz az 50 000 családhoz és számlálunk. Manapság az ilyesfajta munkát számítógépek végzik, valójában az 1. táblázat is számítógép segítségével készült a Népszámlálási Hivatalban. A számítógépnek meg kell mondanunk, mit tegyen az éppen két osztásköz határára eső családokkal. Ez a végpontokra vonatkozó konvenció. Az 1. táblázatnál követett szabályt a felirata jelzi: a bal oldali végpont beletartozik az intervallumba, a
3. fejezet: A hisztogram 55 jobb oldali pedig nem. A táblázat első soránál például a 0 beletartozik az intervallumba, az 1000 viszont nem. Az intervallum azokat a családokat tartalmazza, akik 0 dollárt vagy annál többet, de 1000 dollárnál kevesebbet keresnek. A pontosan 1000 dollár jövedelmű családok már a következő intervallumba kerülnek. 1. TÁBLÁZAT. A családok jövedelem szerinti megoszlása az USA-ban, 1973. Az osztásközök a bal oldali végpontot tartalmazzák, a jobb oldalit nem. Jövedelemkategória Százalék 0-1000$ 1 1000-2000$ 2 2000-3000$ 3 3000-4000$ 4 4000-5000$ 5 5000-6000$ 5 6000-7000$ 5 7000-10 000$ 15 10 000-15 000$ 26 15 000-25 000$ 26 25 000-50 000$ 8 50 000$ és afölött 1 Megjegyzés: A százalékarányok összege a kerekítés miatt nem pontosan 100%. Forrás: Current Population Survey 4 A hisztogram elkészítéséhez az első lépés egy vízszintes tengely felvétele. Egyesek a következőképpen látnak hozzá: Ez hiba. A 7000 $ és 10 000 $ közötti tartomány háromszor akkora, mint a 6000$ és 7000$ közötti, a vízszintes tengelynek tehát a következőképpen kell kinéznie: A következő lépés az oszlopok megrajzolása. Kísértésbe eshetünk, hogy olyan magasra rajzoljuk őket, amekkorák a táblázatban szereplő százalékok. A 3. ábrán megnézhetjük, mi is történik, ha elköveti valaki ezt a hibát. Ez az ábra igencsak rózsás képet fest a jövedelmek megoszlásról. Eszerint például sokkal több családnak lett volna 25 000 dollár fölötti jövedelme, mint 7000 dollár alatti. Gazdag ország volt az USA 1973-ban, de ennyire azért mégsem.
56 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 3. ÁBRA. Ne a százalékokat mérjük fel függőlegesen! A bonyodalom forrása az, hogy egyes osztásközök nagyobbak másoknál, így az 1. táblázatban szereplő százalékszámok nem egy az egyben felelnek meg egymásnak. A 25 000 és 50 000 dollár között kereső 8% például sokkal szélesebb jövedelemsáv mentén oszlik el, mint a 7000 és 10 000 dollár között kereső 15%. Figyelmen kívül hagynánk ezt a tényt, ha direkt módon a százalékarányokat mérnénk fel, és túl nagyok lennének a hosszabb intervallumokon fekvő téglalapok. Van egy egyszerű mód az osztásközök eltérő hosszának ellensúlyozására: használjunk egységként ezerdolláros intervallumokat. A 7000$-tól 10 000$-ig terjedő osztásközben például háromszor van meg ez az egység: 7000$-tól 8000$-ig, 8000-től 9000-ig és 9000-től 10 000-ig. Az 1. táblázat szerint a családok 15%-ának esett a jövedelme a teljes intervallumba. Az egyes ezerdolláros részintervallumokba így nagyjából 5% esik. Ezt az ötöt, nem pedig a tizenötöt kell a 7000 és 10 000 dollár közötti szakaszra felmérnünk. Második példának vegyük a 10 000$ és 15 000$ közötti intervallumot. Ez öt darab ezerdolláros intervallumból áll. Az 1. táblázat szerint a családok 26%-ának volt a jövedelme a teljes intervallumban. Az öt kisebb intervallum mindegyikébe nagyjából a 26 % ötöde: 26% / 5 = 5,2% esik. A 10 000 és 15 000$ közötti intervallumra felmérendő oszlop magassága tehát 5,2.
3. fejezet: A hisztogram 57 Elkészültünk az 1. táblázat első két sorával. A teljes hisztogram elkészítéséhez ugyanezt kell tennünk a többi sorra is. Az eredmény a 4. ábrán látható. Adott osztásköz fölé emelt oszlop magasságának kiszámításához osszuk el a százalékszámot az intervallum hosszával. Ilyen módon a téglalap területe egyenlő lesz az adott osztásközbe eső családok részarányával. A hisztogram a megoszlást úgy ábrázolja, mint ha az osztásköz mentén egyenletesen oszlana el ennyi százalék. Első közelítésnek ez azonban általában megfelel. 4. ÁBRA. A családok jövedelem szerinti megoszlása az USA-ban, 1973. Az eljárás egyszerű és világos, bár a függőleges tengely mértékegysége picit komplikáltabb. Vegyük, hogy hogyan kaptuk meg például a 7000 és 10 000 dollár közti intervallumon fekvő téglalap magasságát: a 15 százalékot elosztottuk 3 ezer dollárral. A kérdéses mértékegység tehát: százalék / ezer dollár. Gondoljunk a per jelre egyszerűen úgy, mintha azt hallanánk, hogy Tokió népsűrűsége 20 000 fő per négyzetkilométer: a város minden egyes négyzetkilométerére körülbelül 20 ezer ember jut. Ugyanez a helyzet a hisztogramnál is. A 7000 és 10 000$ közti intervallumon fekvő téglalap magassága 5% per ezer dollár: 7000 és 10 000 dollár között minden ezerdollárnyi intervallumba a családoknak körülbelül 5%-a esik. A 4. ábrán láthatjuk a teljes hisztogramot, a függőleges tengelyen ezzel az egységgel. B feladatsor 1. Az alábbi táblázat a 25 éven felüli amerikai népesség iskolázottsági szint szerinti megoszlását adja meg 1960-ban, 1970-ben és 1991-ben. (Az iskolázottsági szint az elvégzett iskolaévek számát jelenti.) Az osztásközökbe a bal oldali végpont beletartozik, a jobb oldali nem: a táblázat második sora szerint tehát 1960-ban az emberek mintegy 14%-a végzett 5-8 osztályt, amibe a 8 osztály elvégzése már nem tartozik bele; 1991-ben 4% esett ugyanebbe a kategóriába. Rajzolja meg az 1991-es adatok hisztogramját! A 16 és több kategóriát 16-17 év tanulásként értelmezhetjük; nem sokan
58 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA végeztek ugyanis 16 évnél többet, különösen nem 1960-ban és 1970-ben. Miért csúcsosodik ki hisztogramunk a 8, 12 és 16 évnél? Iskolázottsági szint (iskolaévek száma) 1960 1970 1991 0-5 8 6 2 5-8 14 10 4 8-9 18 13 4 9-12 19 19 11 12-13 25 31 39 13-16 9 11 18 16 és több 8 11 21 Forrás: Statistical Abstract, 1988, 202. táblázat; 1992, 220. táblázat 2. Rajzolja át az 1991-es adatok hisztogramját úgy, hogy az első két osztásközt egyesíti (0-8 év, az emberek 6%-a)! Nagyon megváltozott a hisztogram? 3. Készítse el az 1970-es adatok hisztogramját, és hasonlítsa össze az 1991-essel! Mi történt a népesség iskolázottsági szintjével 1970 és 1991 között megnőtt, lecsökkent vagy nagyjából ugyanolyan maradt? 4. Milyen változás következett be az iskolázottságban 1960 és 1970 között? 3. A SŰRŰSÉGSKÁLA Kényelmes dolog a függőleges beosztás, amikor területeket olvasunk le a hisztogramról. A jövedelem-hisztogram elkészítésekor az előző szakaszban mi az ún. sűrűségskálával dolgoztunk. 5 A vízszintes tengelyen 1000 dollárnyi családi jövedelem volt az egység, a függőleges tengely pedig az 1000 dollárnyi jövedelemre eső családok részarányát mutatta. Az 5. ábrán újabb példát láthatunk sűrűségskálával ellátott hisztogramra. Ez a 25 éven felüli amerikai népesség 1991-es iskolázottsági szintjét mutatja. Az iskolázottsági szint a befejezett iskolaévek számát jelenti; az óvoda nem számít bele. 5. ÁBRA. A 25 éven felüli népesség eloszlása az USA-ban iskolázottsági szint szerint, 1991. FORRÁS: Statistical Abstract, 1992, 220. táblázat
3. fejezet: A hisztogram 59 Az intervallum végpontjaira vonatkozó megállapodás ennél az ábránál kicsit körülményes: a 8-9 év szakaszához tartozó oszlop például azokat jelenti, akik befejezték a 8-adik osztályt, de a 9-ediket már nem; a kilencedik osztályból évközben kimaradtak beletartoznak. A vízszintes tengelyen az iskolaév az egység, a függőleges tengelyen tehát százalék per év. Vegyük például a 13-16 év szakaszát: a hisztogram magassága itt 6% per év. Másként fogalmazva, közelítőleg a népesség 6%-a fejezte be a főiskola első évét, másik 6% a másodikat, és újabb 6% a harmadik évet. Az 1. szakaszban láttuk, hogyan ábrázolják a területek az arányokat: ha az egyik oszlop területe nagyobb, akkor az esetek nagyobb százalékát képviseli. Mit jelent vajon az oszlop magassága? Nézzük az 5. ábra vízszintes tengelyét! Képzeljük el, hogy az emberek felsorakoznak a tengely mentén, mindegyikük a saját iskolai végzettségének megfelelő helyre áll. A tengely az iskolaévek bizonyos részein nagyobb lesz a zsúfoltság. A hisztogram magassága ezt a zsúfoltságot mutatja. A hisztogram a 12-13 év közötti intervallumon a legmagasabb, itt a legnagyobb tehát a sűrűsödés. Itt vannak mind a középfokú végzettségűek. (Az intervallumból egyesek esetleg beiratkoztak a főiskolára, de még az első évet sem fejezték be.) Két másik csúcsot is megfigyelhetünk: egy kisebbet 8-9 év között (a 8 általános végzettségűeket) és egy nagyobbat 16-17 évnél a felsőfokú végzettségűeket. A csúcsok azt mutatják, hogy az emberek jellemzően a három lehetséges végzettségi fokozat valamelyikénél fejezik be a tanulmányaikat, és kevésbé maradnak ki menetközben. Elsőre nem könnyű különválasztani a sűrűsödés fogalmát, melyet az oszlop magassága fejez ki, és az intervallumba esők számát, amit az oszlop területe mutat. Egy példa segíthet. Nézzük meg a 8-9 év és a 9-12 év közötti szakaszon álló oszlopot az 5. ábrán! Az első kicsivel magasabb, tehát ez az intervallum valamivel zsúfoltabb. A 9-12 év közötti intervallumban az oszlop területe azonban sokkal nagyobb, azaz jóval többen vannak itt. Persze a második szakaszon a hely is több háromszor olyan hosszú. A két oszlop úgy viszonyul egymáshoz, mondjuk mint Hollandia és az Egyesült Államok. Hollandiában nagyobb a népsűrűség, viszont többen élnek az Egyesült Államokban. A hisztogramon az oszlopok magassága a sűrűsödést mutatja: az egy vízszintes egységre eső százalékarányt. Az oszlop területe ezzel szemben a megfelelő osztásközbe eső esetek számarányát fejezi ki (1. szakasz). A sűrűségskála nagyon is hasznos, ha már elsajátítottuk a használatát. Vegyük például a 9-12 év közötti intervallumot az 5. ábráról! Itt azok az emberek találhatók, akik a középiskola első osztályát elvégezték, de nem érettségiztek le. Az intervallumhoz tartozó oszlop magassága közelítőleg 4% / év. Más szóval, a három egyéves intervallum (9-10, 10-11, 11-12) mindegyikébe az embereknek közel 4%-a tartozik. A teljes 3 év hosszúságú intervallumba így az emberek mintegy 3 4% = 12%-a esik. Tehát a 25 éven felüli népesség közel 12%-a elvégezte a középiskola első évét, de nem érettségizett le.
60 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA 1. példa. Az alábbi rajz a jövedelem-hisztogram egyik oszlopát mutatja egy bizonyos városra vonatkozóan. A családok körülbelül hány százalékának volt 15 000 és 25 000 dollár közötti jövedelme a városban? Megoldás: Az oszlop magassága 2% / ezer dollár; 15 000-25 000 dollár között minden egyes ezerdolláros intervallumba a város családjainak körülbelül 2%-a esik. 15.000 és 25.000 dollár között 10 darab ezerdolláros intervallum van. A válasz tehát 10 2%= 20%. A családok körülbelül 20%-ának volt 15 000 és 25 000 dollár közötti jövedelme. A példából látható, hogy a sűrűségskálát használva százalékban jön ki az oszlop területe. A vízszintes tengely egysége az ezer dollár kiesik: 2% / 1000 dollár 10 000 dollár = 20% 2. példa. Az alábbi hisztogramon emberek egy csoportjának testsúlyát vázolta fel valaki sűrűségskála alkalmazásával. Mi nem stimmel? Megoldás: A teljes terület 200%, holott 100%-nak kellene lennie. Következőképpen számolható ki a terület: a hisztogram közelítőleg háromszöget alkot, melynek magassága 4% /kg, alapja pedig 150 kg 50 kg = 100 kg. Területe így 1/2 alap magasság = 1/2 100 kg 4% / kg = 200%. Ha a függőleges tengelyen sűrűségskála szerepel, akkor az oszlopok területét százalékban kapjuk meg. A hisztogram alatti terület adott intervallumon egyenlő az intervallumba eső esetek százalékarányával. 6 A hisztogram alatti teljes terület 100%.
3. fejezet: A hisztogram 61 C feladatsor 1. Részmunkaidőben foglalkoztatottak havi jövedelmének hisztogramját láthatjuk alább (a sűrűségeket zárójelben közöltük). Havi 1000 dollárnál többet senki sem keresett. Az ábráról hiányzik a 200$-tól 500$-ig terjedő intervallumhoz tartozó oszlop. Mekkora ennek magassága? 2. Egy vizsgálatban részt vevő személyek testsúlyáról hárman is hisztogramot készítettek, sűrűségskálát használva. Közülük csak az egyik jó. Melyik ez és miért? 3. Egy kutató testmagasságokról készít hisztogramot a méter alapú mértékegységrendszerben. Centiméterekben dolgozik. A függőleges tengely a sűrűséget mutatja, a függőleges tengely legfelső pontja 10 százalék per centimétert jelent. Szeretné azonban milliméterbe konvertálni az ábrát. Egy centiméter az 10 milliméter. A vízszintes tengelyen 175 cm helyett mm-t kell írnia, 200 cm helyett mm-t. A függőleges tengelyen a 10 százalék per cm helyett százalék per millimétert, az 5 százalék per cm helyett százalék per millimétert. Egy egészségügyi kutatásban hisztogramon ábrázolták, hogy mennyi cigarettát szívnak naponta az egyes alanyok (jelenleg is dohányzó férfiak). A hisztogram a feladat végén látható, a sűrűséget zárójelben tűntettük fel. 7 Az osztásközök a jobb oldali végpontot tartalmazzák, a bal oldalit nem. (a) A napi 10 vagy annál kevesebb szálat szívók aránya 1,5% 15% 30% 50% körül van. (b) Az egy doboznál többet, de legfeljebb két dobozt szívók aránya 1,5% 15% 30% 50% körül van. (Egy dobozban 20 szál van.) (c) A napi egy doboznál többet szívók aránya 1,5% 15% 30% 50% körül van.
62 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA (d) A napi három doboznál többet szívók aránya 0,25% 0,5% 10% körül van. (e) A napi 15 szálat szívók aránya 0,35% 0,5% 1,5% 3,5% körül van. 4. VÁLTOZÓK A rendszeres kérdőíves népességfelmérésben a jövedelem mellett sok más változó is szerepel. A változó olyan jellemző vonás, amely emberenként különböző lehet. A felvételben közreműködő kérdezőbiztosok egy egész sor kérdést tesznek föl: Hány éves Ön? Hányan élnek együtt a családban? Mennyi az Önök összes jövedelme? Házas-e Ön? Van Önnek munkája? A megfelelő változók: az életkor, a családnagyság, a családi jövedelem, a családi állapot és a foglalkoztatottság. Bizonyos kérdésekre egy szám a válasz. A megfelelő változó ekkor kvantitatív, azaz számszerű. Kvantitatív változóra példa az életkor, a családnagyság, a családi jövedelem. Egyes kérdésekre valamilyen leírással (szóval vagy kifejezéssel) válaszolunk. A megfelelő változó ekkor kvalitatív, mint például a családi állapot (egyedülálló, házas, özvegy, elvált, különélő) vagy a foglalkoztatottság (munkában álló, munkanélküli, eltartott vagy inaktív). Egy kvantitatív változó lehet diszkrét vagy folytonos. A kettő megkülönböztetése nem szigorúan egyértelmű, ám hasznos. 8 A diszkrét változó értékei csak meghatározott mennyiséggel különbözhetnek egymástól. Ilyen például a családlétszám. Két család létszáma között nulla, egy, kettő stb. lehet a különbség. Köztes érték nem fordulhat elő. Az életkor viszont folytonos változó. Ez nem folyamatos öregedésünkre utal; pusztán annyit jelent, hogy két ember kora között tetszőlegesen kicsi lehet a különbség egy év, egy hónap, egy nap, egy óra.. Végezetül, a kvalitatív, kvantitatív, diszkrét, folytonos kifejezéseket az adatok leírására is használjuk kvalitatív adatokat nyerünk egy kvalitatív változóval kapcsolatban, stb.
3. fejezet: A hisztogram 63 A 2. szakaszban láttuk, hogyan lehet felrajzolni egy hisztogramot a gyakorisági táblázatból kiindulva. Sokszor a nyers adatokból kell kiindulnunk, az esetek (egyének, családok, iskolák stb.) és a változó hozzájuk tartozó értékeinek felsorolásából. A hisztogram megrajzolásához előbb el kell készítenünk a gyakorisági táblázatot. Az első lépés az osztásközök kijelölése. Ha túl kevés vagy túl sok osztásközt veszünk fel, hisztogramunk nem lesz kellően informatív. Szabály nincs erre, megítélésünkre kell hagyatkoznunk, vagy különféle megoldásokkal kell próbálkoznunk. Általában tíz-tizenöt osztásközzel szokás kezdeni, majd tovább dolgozni rajta. Könyvünkben mi mindig megadjuk majd a használandó osztásközöket. 9 Egy folytonos változó hisztogramjának felrajzolásakor a végpontokról is döntenie kell a kutatónak: mi legyen a pontosan a határra eső esetekkel. Diszkrét változó esetén van olyan megoldás, mely elkerüli ezt a kellemetlenséget: az osztásközök közepe essen a lehetséges értékekre. Például a családnagyság 2, 3, 4 stb. lehet. (A népszámlálás az egyedülállókat nem tekinti családnak.) A gyakorisági táblázat osztásközei ennek megfelelően a következők lesznek: Középpont Osztásköz 2 1,5 2,5 3 2,5 3,5 4 3,5 4,5...... Mivel egy család nem lehet 2,5 tagú, a végpontokkal nincs semmi probléma. A 6. ábrán láthatjuk a családlétszám hisztogramját. Az oszlopok 8-nál mintha megszűnnének; ez azért van, mert nagyon kevés családban élnek együtt 9-en vagy még többen. 6. ÁBRA. A családlétszám megoszlását ábrázoló hisztogram, 1993. Diszkrét változó esetén a lehetséges értékekre tesszük az osztásközök középpontját. FORRÁS: Current Population Survey, 1993 márciusa; az adatokat CD-n a U.C. Survey Research Center közvetítésével a Bureau of the Census bocsátotta rendelkezésünkre.
64 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA D feladatsor 1. Kvalitatív avagy kvantitatív változók-e a következők? Kvantitatív változó esetén: diszkrét vagy folytonos? (a) foglalkozás (b) lakóhely régiója (c) testsúly (d) testmagasság (e) gépjárművek száma a családban 2. A Current Population Survey márciusi népességfelmérésében a nőktől gyermekeik számát is megkérdezik. Alább láthatjuk a 25-39 éves nőkre vonatkozó eredményeket iskolai végzettség szerint bontva. (a) Diszkrét vagy folytonos változó a gyermekek száma? (b) Rajzoljon hisztogramot az adatokból! (az 5 vagy több kategóriát 5-nek tekinthetjük, nagyon kevés nőnek volt ötnél több gyermeke.) (c) Milyen megállapításokat tehetünk? A 25-39 éves nők megoszlása iskolai végzettség és a gyermekek száma szerint (százalék) Gyermekek száma Középfokú végzettségű nők Felsőfokú végzettségű nők 0 25,4 49,3 1 24,5 18,8 2 32,0 23,0 3 13,2 7,1 4 3,7 1,5 5 vagy több 1,1 0,4 MEGJEGYZÉS: A középfokú végzettségűek nem rendelkeznek további végzettséggel. Felsőfokú végzettségnek a B.A., B.Sc. vagy ennél magasabb fokozat számít. Saját, 18 éven aluli, nőtlen, ill. hajadon gyermekek száma. A kerekítés következtében a százalékszámok összege eltérhet a 100%-tól. FORRÁS: Current Population Survey, 1993 márciusa; az adatokat CD-n a U.C. Survey Research Center közvetítésével a Bureau of the Census bocsátotta rendelkezésünkre 5. KONTROLLVÁLTOZÓ BEVEZETÉSE Az 1960-as években sok nő kezdett fogamzásgátló tablettát szedni. A fogamzásgátlók azonban megváltoztatják a szervezet hormonháztartását, ezért fontos megismerni mellékhatásaikat. A kaliforniai Walnut Creekben működő Kaiser Clinic végzett kutatást e kérdéskörben (Contraceptive Drug Study). Walnut Creek körzetében több mint 20 000 nő veszi igénybe a Kaiser Alapítvány szolgáltatását. Havi biztosítási díjat fizetnek az alapítványnak, és a Kaiser biztosítja egészségügyi ellátásukat. Része a szolgáltatásnak egy ún. sokszempontú rutinkivizsgálás is. Az 1969-1971 közötti időszakban mintegy 17 500 nő vett részt ezen a szűrésen, és így a gyógyszerek mellékhatását kutató vizsgálatban.
3. fejezet: A hisztogram 65 A kutatók a szűrővizsgálat eredményeit összehasonlították a nők két csoportjára: a tablettaszedőkre (kezelt csoport) és a nem szedőkre, akik nem szednek fogamzásgátlót (kontrollcsoport). 7. ÁBRA. A fogamzásgátló tabletták hatása. A felső ábra a Contraceptive Drug Studyban résztvevő 1747 tablettaszedő és 3040 nem szedő 25-34 éves nő szisztolés vérnyomását mutatja. Az alsó ábrán a nem szedők hisztogramját 5 hgmm-rel jobbra toltuk. Ez megfigyeléses vizsgálat. A nők maguk döntöttek, hogy szednek-e fogamzásgátlót vagy sem. A kutatók csak megfigyelték, mi történt. Az egyik vizsgált kérdés a fogamzásgátlók vérnyomásra gyakorolt hatása volt. Kézenfekvőnek tűnhet, hogy hasonlítsuk össze ehhez a tablettaszedők és nem szedők vérnyomását. Ez azonban félrevezethet bennünket. A vérnyomás az életkorral többnyire emelkedik, és a nem szedők összességében idősebbek voltak a tablettaszedőknél. Például a nem szedők mintegy 70%-a volt 30 év fölötti, a tablettaszedőknek pedig csak 50%-a. Az életkor hatása összezavarja a tabletta befolyását. Ahhoz, hogy a tabletta hatását teljes egészében láthassuk, külön összehasonlításokat kell tennünk az egyes korcsoportokra. Így kontrolláljuk az életkor hatását. 10 Most csak a 25-34 éves nőket fogjuk nézni. A tablettaszedők és a nemszedők hisztogramját eb-
66 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA ben a korcsoportban a 7. ábra mutatja. (A vérnyomást egy higanyoszlop magasságához viszonyítva mérjük, a mértékegység tehát hgmm, azaz higanymilliméter.) A 7. ábra fölső részén látható hisztogramok alakja nagyon hasonló. A tablettaszedők hisztogramja azonban magasabb 120 hgmm-től jobbra, alacsonyabb attól balra. A magas (120 hgmm fölötti) vérnyomás gyakoribb a tablettaszedők körében, az alacsony vérnyomás pedig kevésbé gyakori. Most képzeljük el, hogy 5 hgmm-t hozzáadunk minden nem szedő vérnyomásához. Így a nem szedők hisztogramja 5 hgmm-rel jobbra tolódik, amint az a 7. ábra alsó részében látható. Ez a két hisztogram szinte egybeesik. A hisztogramok alapján úgy tűnik, mintha a fogamzásgátló szedése mintegy 5 hgmm-rel megnövelné minden nő vérnyomását. Óvatosan kell azonban bánnunk ezzel a következtetéssel. A kutatás eredményei azt sugallják, hogy ha egy nő elkezd tablettát szedni, akkor vérnyomása megemelkedik mintegy 5 hgmm-rel. A bizonyítás azonban nem teljes. Nem is lehet az a kutatási elrendezés miatt. Megfigyeléses vizsgálat folyt, nem pedig kontrollos kísérlet. Az I. részben láttuk, hogy a megfigyeléses vizsgálatok félrevezetők lehetnek az ok okozati viszonyokkal kapcsolatban. Létezhetnek a tablettaszedésen és az életkoron kívül is olyan, pillanatnyilag azonosítatlan tényezők, amelyek befolyásolják a vérnyomást. A jelen vizsgálatnál azonban ez elég erőltetettnek tűnik. Jól meghatározhatók azok a fiziológiai mechanizmusok, amelyek útján a fogamzásgátlók a vérnyomást befolyásolják. A Drug Study adatai a hatás mértékét mutatják meg. E feladatsor 1. A Drug Study vizsgálatának keretében mellékszálként a különböző számú gyermekkel rendelkező nők vérnyomását is összehasonlították. Alább láthatjuk a két-, illetve négygyermekes nők hisztogramjáról készült vázlatot. Melyik csoportnak magasabb a vérnyomása? Megváltoztatja az anya vérnyomását a gyerekszülés? Vagy valamely más tényező számlájára írható a változás, amelynek hatása összezavarja a gyerekszám hatását? 2. (Kitalált adatokkal.) Ezek a vázlatok két másik, fogamzásgátlókkal foglalkozó vizsgálat eredményeit mutatják a 25-29 éves nők körében. Az egyik vizsgálat szerint a fogamzásgátlók mintegy 10 hgmm-rel emelik a vérnyomást, a másik szerint körülbelül 10 százalékkal. Melyik ábra melyik vizsgálathoz tartozik? Miért?
3. fejezet: A hisztogram 67 6. KERESZTTÁBLÁK Az előző szakaszban láttuk, hogyan lehet kontrollálni az életkor hatását: az volt a lényeg, hogy külön végezzünk összehasonlítást az egyes korcsoportokra. Az összehasonlítást grafikusan végeztük el a 7. ábra hisztogramjai alapján. 2. TÁBLÁZAT. A szisztolés vérnyomás életkor és fogamzásgátló tabletta szedése szerint a Contraceptive Drug Study vizsgálatában részt vevő nők körében, a terhes, illetve más hormonkészítményeket szedő nők kivételével. Az osztásközökbe a bal oldali végpont tartozik bele, a jobb oldali nem. Jelentése elhanyagolhatóan kicsi. A táblázatban százalékban szerepelnek a számok; az oszlopok összege a kerekítés miatt eltérhet a 100-tól. 17-24 éves 25-34 éves 35-44 éves 45-58 éves tablettát tablettát tablettát tablettát nem nem nem nem Vérnyomás szedők szedők szedők szedők szedők szedők szedők szedők (hgmm) (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) 90 alatt - 1 1-1 1 1-90-95 1-1 - 2 1 1 1 95-100 3 1 5 4 5 4 4 2 100-105 10 6 11 5 9 5 6 4 105-110 11 9 11 10 11 7 7 7 110-115 15 12 17 15 15 12 11 10 115-120 20 16 18 17 16 14 12 9 120-125 13 14 11 13 9 11 9 8 125-130 10 14 9 12 10 11 11 11 135-135 8 12 7 10 8 10 10 9 135-140 4 6 4 5 5 7 8 8 140-145 3 4 2 4 4 6 7 9 145-150 2 2 2 2 2 5 7 9 150-155 - 1 1 1 1 3 2 4 155-160 - - - 1 1 1 1 3 160- - - - - 1 2 2 50 Összesen 100 98 100 99 100 100 99 99 Esetek száma 1206 1204 3040 1747 3494 1028 2172 437
68 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA Egyes kutatók jobban szeretik táblázatos formában összevetni az adatokat, úgynevezett kereszttáblákat (a kereszttáblázat rövidebb neve) használnak. A 2. táblázatban a vérnyomásról láthatunk kereszttáblát életkor és fogamzásgátlók szedése szerint. Az ilyen táblázatok mondhatni lenyűgözőek, szemünk természetes módon hajlamos átsiklani rajtuk, amíg nincs szükségünk valamely számadatra. Mindazonáltal az egész kereszttábla nem más, mint a vérnyomás gyakorisági táblázata, külön elkészítve a tablettaszedőkre és a nem szedőkre az egyes életkori csoportokban. Nézzük meg a 17-24 éves korcsoportra vonatkozó oszlopokat! 1206 volt a tablettát nem szedők és 1024 a szedők száma. A tablettaszedők 1%-ának volt 90 hgmm alatti vérnyomása; a nem szedőknél a megfelelő szám elhanyagolhatóan kicsi ezt jelenti a gondolatjel. Hogy milyen hatást gyakorol a tablettaszedés a 17-24 éves nők vérnyomására, azt úgy láthatjuk, hogy megnézzük a tablettát szedők és nem szedők oszlopában szereplő százalékokat a 17-24 éves korcsoportban. Az életkor hatását úgy láthatjuk, hogy először is végignézzük a nem szedők oszlopait a különböző életkori csoportokban, és megnézzük, hogy az életkor növekedésével hogyan tolódnak el a százalékarányok a magasabb vérnyomásértékek felé. Azután ugyanezt megteszszük a tablettaszedőkre is. F feladatsor 1. A 2. táblázat segítségével válaszoljon a következő kérdésekre: (a) A 17-24 éves tablettaszedők hány százalékának volt 140 hgmm vagy ennél magasabb a vérnyomása? (b) A 17-24 éves nem-szedők hány százalékának 140 hgmm vagy ennél magasabb a vérnyomása? (c) Milyen megállapítást tehetünk ennek alapján? 2. Rajzolja fel a 17-24 éves tablettaszedők és nem-szedők vérnyomás-hisztogramját! Milyen megállapítást tehetünk ennek alapján? 3. Hasonlítsa össze a 17-24 éves és a 25-34 éves tablettát nem szedő nők vérnyomásának hisztogramját! Milyen megállapítást tehetünk ennek alapján?
3. fejezet: A hisztogram 69 7. SZELEKTÍV TENYÉSZTÉS A pszichológus Charles Spearman 1927-ben publikálta az emberi intelligenciával kapcsolatos elméletét The Abilities of Man című könyvében. Röviden, azt állította, hogy az intellektuális képességek (mint az olvasásértés, a számtani készségek, a térbeli tájékozódás) tesztpontszámai két független komponens súlyozott összegeként állnak elő: van egy általános intelligencia komponens, melyet Spearman g -vel jelölt, valamint egy specifikus, az adott teszthez tartozó képesség-összetevő. Az elmélet nagy figyelmet váltott ki. A Berkeley egyetem pszichológiai intézetében folytatott Ph. D. kutatásának részeként Robert Tryon az elméletet állatpopulációkon próbálta tesztelni, itt ugyanis egyszerűbb kontrollálni a külső tényezőket. 11 Tryon a laboratóriumban könnyen szaporítható patkányokkal dolgozott. Az intelligencia méréséhez a patkányokat útvesztőbe tette. Az útvesztőn való átjutás során a patkányok hibákat követnek el: zsákutcákba is belefutnak. A teszt 19 futásból állt; az állat intelligencia pontszáma az összes elkövetett hibák száma volt. Tehát az alacsony pontszámot elérők az okos patkányok, a magas pontszámúak a buták. Tryon 142 patkánnyal kezdte meg a vizsgálatot, intelligencia pontszámaik megoszlását a 8. ábrán vázoltuk fel. 8. ÁBRA. Tryon kísérlete. Az intelligencia megoszlása az eredeti populációban. A kísérlet következő lépése az intelligenciát megcélzó tenyésztés volt. Minden generációban egymás közt szaporították az útvesztőben okos patkányokat (akik csak kevés hibát követtek el), és ugyanígy egymás közt az útvesztőben buta (magas pontszámú) állatokat is. Hét generációval később 85 patkány tartozott az intelligens törzsbe, 68 a lassú észjárásúakéba. A pontszámok egyértelműen elkülönültek. A 9. ábrán látható a két csoport intelligencia szerinti megoszlása: a hisztogramok között alig van átfedés. (Tryon a hetedik generáció után is folytatta a tenyésztést, de nem sokat változott az eredmény.) 9. ÁBRA. Tyron kísérlete. Hét generációnyi szelektív tenyésztés után világosan elkülönül az útvesztőben okos és az útvesztőben buta törzs.
70 II. RÉSZ: LEÍRÓ STATISZTIKA A Tyron által létrehozott törzseket ma is használják más kísérletekben a Berkeley pszichológiai intézetében. Sok generációval később, az intelligens törzsből származó patkányok továbbra is lepipálják buta társaikat az útvesztőben való eligazodásban. Tyronnak tehát sikerült egy bizonyos szellemi képesség mentén nemesítenie bizonyítékul arra, hogy egyes szellemi képességek legalább részben örökletesen meghatározottak. De mit mondott a kísérlet Spearman elméletével kapcsolatban? Tryon azt találta, hogy az útvesztőben okos patkányok más intelligencia tesztekben mint amilyen a geometriai alakzatok vagy a fényintenzitás megkülönböztetése nem nyújtottak jobb teljesítményt. Ez bizonyítékot jelentett Spearman általános intelligencia-faktorra vonatkozó elméletével szemben (legalábbis ami a patkányokat illeti). Tyron másfelől sajátos lélektani különbséget fedezett fel a két patkánypopuláció között. Úgy tűnt, hogy az okosok barátságtalan introvertáltak: jól alkalmazkodnak az útvesztőbeli élethez, de a többi patkánnyal való kapcsolatuk neurotikus; a butákra viszont épp ennek az ellenkezője jellemző. 8. ISMÉTLŐ FELADATSOR Az ismétlő feladatok az előző fejezetek anyagát is felhasználhatják. 1. Az alábbi ábrán férfiak egy reprezentatív mintájának testmagasság hisztogramja látható. A besatírozott terület azok arányát jelenti, akiknek magassága és között van *. Töltse ki az üresen hagyott helyeket! Forrás: Inter-University Consortium for Political and Social Research. * Az eredeti adatok hüvelykben (inchben) mértek. Ezeket itt és később is, hacsak lehet, átírtuk centiméterre. 1 hüvelyk kb. 2,54 cm. A szerk.