A MATEMATIKAI FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK KONVENCIÓI Kántor Sándor (Debrecen) Egy matematikai feladat megszövegezésénél, a megoldás leírásánál és a megoldás helyességének elbírálásánál nagyon sokszor szükség van a feladatszöveg és a megoldásszöveg olyan értelmezésére, ami eltér köznapi nyelvben használatos értelmezéstől, és speciálisan a matematikai szöveg értelmezésére való. Az ilyen szövegértemezés a matematika tanítása és tanulása során általában kialakul, de nem mindenütt alakul ki, és nem mindig azonosra alakul. Márpedig a tanár és a diák, a feladatkitűző és a megoldó, valamint a megoldás helyességét ellenörző (a dolgozatjavító) kell, hogy azonosan értelmezze a vizsgált szöveget. Az azonos értelmezést megállapodások (konvenciók) segítik, illetve teszik lehetővé, hiszen nem lehet mindig mindent részletesen leírni. Ezek a konvenciók zárt körben alakulnak ki, például akkor, ha évek során együtt dolgozik a tanár és a diák. De sok az eltérő értelmezés akkor, ha csak egyszeri a munkakapcsolat, pl. az írásbeli érettséginél, vagy a tanulmányi versenyeken. Jónéhány konvenciót sem a tankönyvek, sem a korábbi érettségi (felvételi) feladatsorok alapján nem lehetett rögzíteni. Példa erre az,,oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán feladatszöveg értelmezése, amiről 30 év anyagának vizsgálatával kiderült, hogy nemcsak a különböző évek példasoraiban, de egy példasoron belül is(!!) pontszámeltérést eredményező értelmezési különbségek voltak. Ezzel az írással, amelyet vitaanyagnak tekintek, a konvenciók tisztázását és rögzítését szeretném elérni. Általában határozott véleményem van arról, hogy mi legyen a konvenció, de néhányszor csak azt hangsúlyozom, hogy kell valamilyen konvenció, és azt szerintem több különböző változat közül lehet kiválasztani. A hozzászólásokkal, a vitákkal kialakított konvenciókat hivatalosan elfogadottnak tekinthetjük, hiszen a budapesti, szegedi és debreceni egyetem matematikai szakmódszertannal foglalkozó tanszékei kifejezetten vállalták az anyag véleményezését. Természetesen várjuk a vizsgaközpontok, a versenyszervaző intézmények, és minden érdeklődő bekapcsolódását ebbe a munkába. A konvenciók kidolgozásával el lehet érni egyrészt azt, hogy a diákok felkészítése során ne kelljen ezután azt mondani nekik, amit most mondunk: biztonság kedvéért ezt is, azt is célszerű leírni, mert egyszer így, máskor úgy kívánták meg. Másrészt így azt is elérjük, hogy a reklamációnál hivatkozni lehet az illetékes szakemberek véleményére.
Általános jellegű megállapodások. A 1. A feladat megoldása során - két kivétellel - mindig bizonyítani kell. Akkor is, ha a feladat szövege ezt nem tartalmazza. Az egyik kivétel a teszt. A másik kivétel az olyan feladat, amelynél tételesen ki van írva, hogy bizonyítást nem kell végezni. Megjegyzés. Ha a feladat szövegében mennyi, hol van, írja fel stb. kérdés szerepel, és nincs kiírva, hogy bizonyítani kell, akkor is be kell bizonyítani, hogy a kérdésre adott válaszunk helyes. A bizonyítás formája és részletei nagyon eltérőek lehetnek. A 2. A lehetséges esetek végigpróbálása is teljes értékű bizonyítás. A 3. A bizonyítást jelentő, egymás után következő állítások közül annyit kell feltétlenül leírni, amennyiből egy jó diák szemével nézve a következtetési lépések átláthatók. Megjegyzés. Döntő a lényeg világos kiemelése, a trivialitásokat nem kell leírni. A feladatmegoldás nem szőrszálhasogatás. Ha valamiből valami következik, és egy jó diáktól elvárható, hogy lássa azt, hogy hogyan következik, akkor csak azt kell leírni, hogy miből és mi következik, a hogyant már nem. Például: 3 f(n) és 8 f(n) -ből következik 24 f(n), tehát nem kell leírni, hogy,,mert 3 és 8 relatív prímek. Vagy 2 f(x) = 2 g(x) -ból következik f(x) = g(x), tehát nem kell leírni, hogy,,mert a 2 alapú exponenciális függvény szigorúan monoton. A 4. A bizonyítás során az elfajuló esetek tárgyalása nyilvánvaló esetben elhagyható. Megjegyzés. Egy példa: a bizonyítás során háromszöget mondhatunk akkor is, ha az bizonyos esetekben az szakasszá fajul el, de arra az esetre triviálisan igaz az állításunk. A 5. A feladatmegoldáshoz készített ábra nem bizonyít. Megjegyzés. A geometriában (leginkább a térgeometriában) sokszor elfogadható indokolás a szemléletre való hivatkozás, de nem az ábrára való hivatkozás. A 6. A szimmetriára való hivatkozást (például egyenletrendszernél vagy geometriai alakzatnál) részletezni kell. A 7. Egy halmaz egy tetszőleges elemére végzett bizonyítás a hamaz minden elemére érvényes, de ezt jelezni kell. Megjegyzés: Geometriai feladatoknál szokásos probléma ez. A 8. A fejben könnyen elvégezhető számításokat nem kell leírni. A 9. Ha a feladat számszerű végeredményét műveleti jelekkel és függvényjelekkel adjuk meg, akkor a nyilvánvaló egyszerűsítéseket el kell rajta végezni. Ha kalkulátor használata megengedett, akkor a közelítő értékét is meg kell adni. Megjegyzés. A közelítő értékeknél az értékes számjegyek számát vagy a tizedesjegyek számát szokták előírni. Ha a feladatszöveg ezt nem írja elő, akkor konvencióban kellene rögzíteni, hogy a részletszámolások során és a végeredménynél minimálisan milyen közelítéssel számoljon a feladatmegoldó. Itt nem arról a problémáról van szó, hogy a feladat egy mennyiség kiszámítását előírt pontossággal kéri. Abban az esetben a feladatban elejétől végéig figyelni kell 2
a közelítő értéknek a részletszámításoksorán bekövetkező torzító hatására. Ennek a ráfigyelésnek az elmaradása durva szakmai hiba. A 10. Közelítő érték megadásánál kettős hullámvonalat kell használni (ennél az egyenlőség használata durva szakmai hiba). A 11. Ha a feladat nyitott (többféle jó válasz van, és ezek különböző értékelést kapnak), akkor a feladatszövegben, vagy kiegészítésben jelezni kell a teljes értékű válasz kritériumát. Megjegyzés. Tipikusan nyitott feladatra jellemző szövegrészletek: hozzuk egyszerűbb alakra, mit mondhatunk róla. Szerintem a nyitott feladat az oktatás folyamatában nagyon hasznos, de tétre menő számonkérésnél nem szabadna adni. A 12. A feladat kérdésére a megoldásban mindig válaszolni kell. A 13. A helytelen szóhasználat, ha nem értelemzavaró, akkor következmény nélkül marad, tanárnál és diáknál egyaránt. Megjegyzés. Felvételi feladatban is sokszor előfordult már ilyen, pl. a CD szakasz felezi a γ szöget, egységoldalú kocka. Egy helytelen szóhasználat nem értelemzavaró, ha a kontaktusból (a környező szövegből) kiderül a szó jelentése. Ez a probléma gyakori a többértelmű matematikai fogalmaknál. Például a kör lehet körlemez vagy körív, de nyilván egy kör területéről beszélve mindenki tudja, hogy körlemezről van szó. A 14. A középiskolás anyagba nem tartozó, a felsőbb matematikából ismert tételre lehet hivatkozni a bizonyítás elvégzése, vagy a megtalálási hely megjelölése nélkül is. A 15. Az egyesszám és a többesszám szerepeltetése a feladat szövegében lényegtelen a megoldás szempontjából. Megjegyzés. Ez nagyon fontos konvenció, sokszor hangoztatni kell, mert nagyon is ellentétes a helyes szövegértéssel. Matematikában nem járatos, de értelmes felnőtt butaságnak véli ezt a konvenciót. Olyanféle szövegről van szó, hogy adja meg azt a C pontot, és történetesen két ilyen van, vagy mely számok elégítik ki, és történetesen egy sincs, ami kielégítené. Sokszor a diák is ideges, hogy hol rontotta el?! Viccnek is jó, pedig megtörtént eset írok le. Egy bölcsész egyetemi tanár középiskolás unokája matematikai házi feladatában bizonyos adatok alapján kiszámolva egy templom magasságát, két értéket kapott, és a megoldását az iskolában elfogadták. A nagyapa szerint buták a matematikatanárok, mert szerintük egy templomnak két magassága van! A 16. Ha feladat szószerinti értelmezéssel vagy konvenciók alkalmazásával (pl. az előző konvenció alkalmazásával) nem oldható meg (vagy a megoldás olyan nehéz, hogy nem várható el a megoldása), akkor emiatt a diákot nem érheti hátrány. Az ilyen helyzeteket, korábbi példákat tudatosítani kellene a tanárok és diákok előtt. Megjegyzés. Hátrány lenne az is, ha ő nem adván megoldást, nem kap pontot, egy másik diák pedig a feladatot módosítja, és annak megoldásáért pontot kap. A 17. Ha feladat szószerinti értelmezéséhez tartozó megoldás szokatlan vagy nehézkes, és emiatt valószínűleg nem ezt az értelmezést gondolta a feladatkitűző, 3
akkor a diák kötelessége megadni a szószerinti értelmezéséhez tartozó megoldást. Ezt a megoldást el kell fogadni teljes értékű megoldásnak. A 18. Ha a feladat többféleképpen érthető, akkor a diák választhat a lehetséges értelmezések közül. Azt a változatot is el kell fogadni, amihez triviális megoldás tartozik. Ekkor sem érheti hátrány a diákot. Megjegyzés. Erre az esetre tipikus példa a következő érettségi-felvételi feladat: Fejezze ki lg2 és lg5 értékét p segítségével, ha p = lg2 lg5. A hivatalos megoldás az, hogy a fenti egyenlet a 10 = lg2 + lg5 egyenlettel együtt olyan egyenletrendszer, amiből lg2 és lg5 értéke p segítségével kifejezhető. A feladat szövege alapján viszont az is jó megoldás, hogy lg2 = p és lg5 = p lg5 lg2. A 19. A megoldásban csak olyan betűt (jelölést) szabad használni, amit vagy a feladatszöveg már használt, vagy a megoldásban magyarázva (definiálva) van. Geometriai feladat megoldásánál ábra megadásával is lehet a jelöléseket definiálni, de ki kell írni, hogy az ábra jelöléseit használjuk. Konkrét témakörökhöz kapcsolódó konvenciók. K 1. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán feladatszöveg azt jelenti, hogy adjuk meg az egyenletet kielégítő számok halmazát (a gyököket), a többszörös gyököket multiplicitással együtt, és bizonyítsuk be, hogy pontosan ezek a gyökök. Megjegyzés. Sokan úgy vélik, hogy a megoldáshoz hozzátartozik a feltételek megadása (az egyenlet két oldalán levő függvények közös értelmezési tartományának megadása) abban az esetben is, ha ez a megadás nem része a feladatszöveg fenti értelmezése alapján készített megoldásnak. A konvenció szerint, ha ezt is elvárja a feladat kitűzője a megoldótól, akkor azt szerepeltetni kell a feladat szövegében. K 2. A megoldásban az egymás alá írt egyenletek (ettől eltérő kapcsolatot jelentő szöveg nélkül) következményesek a megoldó szerint. Másképpen: Ha a megoldó az egymás alá írt egyenleteket következményeseknek tartja, akkor azt nem kell kiírnia, de ha nem tartja következményeseknek, akkor ki kell írnia, hogy milyennek tekinti. K 3. A megoldásban az egymás alá írt egyenletek közé írt ún. töltelékszavak, mint pl.,,átalakítással kapjuk,,,rendezéssel kapjuk,,,négyzetre emelve, stb. nem oldják fel a K 2. konvenció érvényességét. K 4. Szövegből nyert egyenlet (szöveges egyenlet) felállítását az ekvivalencia bizonyításának hiányában úgy kell értelmezni, hogy,,..ha van a szövegnek megfelelő x érték, akkor erre fennáll, hogy.... Megjegyzés. Ez nyilván azt jelenti, hogy a szöveg és a felállított egyenlet külön vizsgálat nélkül következményes. Meg kell győződni, hogy a kapott értékek kielégítik-e a szövegben leírtakat. K 5. Ha egy egyenlet megoldása a feladatmegoldás során csak eszköz (nem ez volt a feladat), akkor el lehet tekinteni annak bizonyításától, hogy a megtalált érték valóban gyök, de ki kell mondani. Megjegyzés. Ezt a konvenciót nagyon óvatosan kell kezelni. Bizonyára pontosítani 4
kell. Különösen vigyázni kell a szöveges egyenletekre, ahol természetesen ugyanolyan részletesen kell a megoldás logikáját vágigvinni, mint a felállított egyenletnél. K 6. Egyenletek vagy egyenlőtlenségek összeadása, valamivel szorzása annyira pontatlan hogy hibának minősíthető. Megjegyzés. Tudom, hogy nehezen lehet elfogadtatni ezt a konvenciót. K 7. Grafikus egyenletmegoldás definiálatlan fogalom, nem adható tétremenő értékelésnél. K 8. Valós együtthatós másodfokú egyenletnek nincs egy valós gyöke, két egybeeső valós gyöke lehet. K 9. Szerkessze meg feladatszöveg esetén le kell írni a szerkesztés lépéseit, és bebizonyítani, hogy az adott eljárás valóban a keresett alakzatot adja. Megjegyzés. Sokan úgy vélik, hogy a megoldhatóság feltételének megadását és annak bizonyítását is le kell írni. De ha nehéz a diszkusszió, akkor mégse tartozik bele. Szerintem, ha diszkussziót kérünk, akkor az szerepeljen a feladat szövegében. K 10. Hol helyezkednek el azok a pontok azt jelenti, hogy adja meg azoknak a pontoknak a halmazát. K 11. Fejezze ki azt jelenti, hogy a középiskolában használt matematikai jelölésekkel adja meg az illető mennyiséget. Megjegyzés. Szerintem legjobb lenne, ha ez a szöveg nem is szerepelne feladatban! K 12. Pontos érték racionális számot jelent. Megjegyzés. Szerintem legjobb lenne, ha ez a szöveg nem is szerepelne feladatban! K 13. Geometriai alakzatok megadásánál a betűzési sorrend körüljárási sorrendet is jelent. Megjegyzés. Például az ABCD paralelogramma esetén A és C átellenes csúcsok. K 14. Egy függvény grafikonjának elkészítését kérő feladatban meg kell adni azt a halmazt (intervallumot), amelyen az ábrázolást végezni kell. Ha a függvény értelmezési tartománya véges intervallum, és ezen kell ábrázolni is, akkor nem szükséges külön is megadni ezt az intervallumot. K 15. Egy olyan függvény grafikonjának elkészítését kérve, amely grafikon nem egyenes, vagy nem áll véges sok egyenes szakaszból, akkor meg kell adni azokat a abszcissza értékeket is, amelyeket mindenképpen használni kell az ábra elkészítésénél. K 16. A mértani sor összegképletének felírásánál a q 1-et ki kell írni. K 17. A függvény jelölésére többféle módot (a régebben szokásosakat is) lehet használni (a feladatban és a megoldásban egyaránt). Megjegyzés. Például elfogadható így is: f(x) = x 2 + 1. K 18. A halmazokat (különösen az egyenlet megoldáshalmazát) egyértelműen és pontosan kell megadni. Megjegyzés. Például x 0 = π 4 + 2kπ esetében nem lehet arra hivatkozni, hogy a k egész szám szokott lenni, hanem k Z-t is ki kell írni. 5
Végül két kiegészítést fűzök a konvenció-javaslataimhoz, mert ezek megtárgyalását is szeretném elérni. Tudom, hogy sokan nem értenek velem egyet az alábbi témákban, de szeretném megismerni az ellenérveket is. Az egyik téma a részpontok adása. Én a jó diák pártján állok, és az ő szempontjait javaslom érvényesíteni. Ezt úgy lehetne összefoglalni, hogy az értékelés teljesítménycentrikus, és ne tudáscentrikus legyen. Egy jó diák nem ad be tisztázatként próbálkozásokat. Ha a megoldás közben rájön, hogy nem tudja folytatni, vagy hibázott, rosszul okoskodott, akkor nem ad be semmit, nem nevezi megoldásrészletnek addigi munkáját. Véleményem alátámasztására megemlítem, hogy tragikusnak tartom, hogy a diákot arra kell biztatni, hogy írja le mindazt (tételeket, lehetséges átalakításokat stb.), ami a feladattal kapcsolatban eszébe jut, amivel a megoldás során próbálkozott, hátha részpontot kap érte! Másrészt a tanár számára sokszor megoldhatatlan probléma annak eldöntése, hogy mit tekinthet befejezhető megoldás részé -nek. Indok lehet az is, hogy a tesztrendszerű értékelésnél sincs részpont. Azt javasolnám, hogy részpont csak akkor legyen, ha a diák jónak véli a megoldását, de téved. Négyféle pontlevonást javasolok: kis vagy nagy logikai hiba, kis vagy nagy számolási hiba esetére. Például 10 pontos feladatnál kis logikai hiba 4 pont, nagy logikai hiba 8 pont, kis számolási hiba 2 pont, nagy számolási hiba 4 pont levonásal járna, de nyilván legfeljebb 10 pont a levonás. A hiba mértékére a hivatalos megoldás példát mutathatna, de a javító tanár feladata a konkrét esetben a döntés. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a diák a dolgozatírás előtt megtudja az értékelés szempontjait (többletmegoldás jutalma, számolási hiba büntetése stb.). Jól szemlélteti ezt az alábbi történet. Még a közös érettségi-felvételi idejében az egyik egyetem javítója nem adott részpontot az elszámolás miatt hibás eredményt közlő feladatra, és a témáról szóló országos ankéton szóban meg is indokolta cselekedetét azzal, hogy a durván rossz végeredményt a diáknak fel kellett volna ismerni. Sajnos, nem volt alkalmam figyelmeztetni, hogy a diák nagy valószínűséggel felismerte, hogy a végeredmény rossz, de nyilván arra számított, hogy pl. számolási hibát vétett, így részpontot kap, ezért nem húzta át az egészet. A hiba keresésével pedig azért nem foglalkozott, mert más, még hátralevő feladat megoldásából több pontot remélt, mint a hiba megtalálásával szerezhető pontok. A másik téma a mértékegységek használata. Tényként kellene elfogadni az alábbiakat: 1.) A geometriában a mérték szám. A legtöbb középiskolás tankönyv is úgy definiálja a területet, hogy az bizonyos tulajdonságoknak eleget tevő szám. 2.) Fizikai mértékegység a fizikában és a köznapi életben van, a matematikában nincs. A téglalap alakú asztallap egyik oldalának hossza lehet 50 cm, de a téglalap oldalának hossza 50. 3.) A felsőbb matematika szakaszkalkulusában van egység, (amint a csoportalgebrában is van egységelem,) de az nem szakaszhossz, hanem maga a szakasz.) 4.) Minden fizikai mennyiségnek (mértéknek) van mértékegysége, a matematikában 6
egyiknek sincs. Egy háromszög területe éppúgy 2 és nem 2 területegység, mint ahogy egy függvény differenciálhányadosa egy pontban 2 és nem 2 differenciálhányadosegység. A mértékegységek matematikában való használatának lelkes híveit még az sem győzi meg, hogy a jelenlegi helyzet tarthatatlan, aminek egyik bizonyítéka, hogy a hivatalos megoldásban néha másképp használják a mértékegységet, mint a feladatban volt. Pedig legalább ennyit szeretnék elérni. 7