M A T E M A T I K A (A szerzők tapasztalt tanárok, mind a magyar, mind az IB rendszerét kiválóan ismerik. Dőlttel szedve és kiemelve jelenik meg a szövegben, ami jelentős eltérés az IB-ben, és ezért érdemes lenne a magyar rendszerbe is beépíteni.) A matematika kötelező tantárgy a Nemzetközi Érettségi (International Baccalaureate - IB) Programban, a számítástechnikával együtt alkotja az 5. tantárgycsoportot. Matematikát tehát minden diáknak tanulnia kell, de a tanulmányok szintjét a diákok megválaszthatják. 1. A különböző szintek Az IB a matematika tantárgycsoporton belül az alábbi 4 lehetőséget kínálja a tanulóknak. 1. Matematikai tanulmányok, középszint (Mathematical Studies, Standard Level), 2. Matematika, középszint (Mathematics Standard Level), 3. Matematika, emelt szint (Mathematics Higher Level), 4. További matematika (Further Mathematics). Az első három közül egyet kell választani. A negyedik csak a harmadik mellett tanulható kiegészítésként. Mi a Karinthy Frigyes Gimnáziumban a 2., illetve a 3. szintet oktatjuk. Mintegy 10 évvel ezelőtt még az 1. szintet is választhatták diákjaink. Mivel azonban ennek követelmény-színvonala jelentősen elmarad a hazai érettségitől, ma már a magyar egyetemek sem fogadják el az 1. szintet felvételiként, hasonlóan több más ország (pl. Svájc) egyetemeihez. A hazai rendszerhez hasonlóan a Nemzetközi Érettségi Program is megfogalmazza tantárgyanként az oktatási és nevelési célokat, valamint a diákok által elsajátítandó kompetenciákat. 2. Nevelési és oktatási célok A program feladatának tartja, hogy a diákok megértsék a matematika természetét, alapelveit, valamint a tantárgy erejét, eleganciáját; fejleszti a diákok világos és magabiztos kommunikációs és absztrakció-készséget; logikus, kritikus és kreatív gondolkodásra nevel; megtanítja a megszerzett készségeket kamatoztatni más területeken is; a matematika és alkalmazása által felvetett morális és szociális kérdéseket tudatosítja; a matematika univerzalitása által multikulturális és történeti perspektívát nyújt; a problémamegoldásban türelemre és kitartásra nevel; a technikai fejlődés következményeit felismerteti; megmutatja, hogy hogyan járul hozzá a matematika más tudományok fejlődéséhez.
3. Kompetenciák, célok és feladatok a matematika oktatásában (A különböző kompetenciák meghatározott súllyal szerepelnek az értékelésben, ezt veszik figyelembe a vizsgadolgozatok és javítókulcsok gondos összeállítása során.) tudja elolvasni, megérteni és megoldani a matematikai nyelven megfogalmazott feladatokat; tudja kiválasztani és felidézni ismert kontextusokban és ismeretlen helyzetekben a megfelelő ténybeli ismereteket, fogalmakat és technikákat; tudja megválasztani a feladatmegoldáshoz megfelelő stratégiát és technikát; értse, hogy mit jelent a matematikai modellalkotás; tudja alkalmazni a problémamegoldó gondolkodást, a matematikai készségeket, az ismert eredményeket és modelleket mind életből vett, mind absztrakt feladatokban; legyen tisztában a kapott eredmények jelentésével, kezelje őket kritikusan; ismerje fel a szabályosságokat és struktúrákat, tudjon általánosítani; tudja átültetni a valóságos problémákat a matematika nyelvére, tudjon táblázatokat, ábrákat készíteni, grafikonokat rajzolni technikai eszközökkel és anélkül, tudja alkalmazni a matematika terminológiáját és jelöléseit; alkalmazza a technikai eszközöket a pontos és hatékony új összefüggések felderítésében és a feladatok megoldásában; ismerje és használja a matematikai szakszókincset; állításait precízen fogalmazza meg, logikus deduktív következtetéseket vonjon le; felfedező szellemmel közelítsen ismeretlen (életből vett vagy absztrakt) problémákhoz, az információkat rendszerezze, elemezze, sejtéseket fogalmazzon meg, következtetéseket vonjon le és érvényességüket tesztelje; ismerje és értse a matematika gyakorlati alkalmazásait. 4. A tananyag a magyarral összehasonlítva A Karinthy Frigyes Gimnázium 20 évnyi gyakorlata is azt mutatja, hogy akárcsak a hazai érettségire való felkészítésben a nemzetközi érettségi esetében is abból kaphatja a tanár a legtöbb útmutatást, ha az elmúlt évek vizsgafeladatait tanulmányozza. Bármilyen részletes ugyanis az írásba foglalt követelményrendszer, a megkövetelt szintet a feladatok mutatják meg. Szerencsére az IB vizsgákból is bőséges feladatkincs halmozódik fel az évek során, és noha a tananyagot néhány évenként felülvizsgálják és kissé mindig megújítják, a feladatok túlnyomó többsége használható marad. Olyan mennyiség áll ma már rendelkezésre különböző komplexitású és nehézségű vizsgafeladatokból, hogy a tanítás során alig van szükség más forrásokból merített feladatokra. A matematika-tananyag mennyisége a Nemzetközi Érettségi Programban sokkal nagyobb, mint a magyarban. Ez középszinten első olvasásra egyértelmű. Emelt szinten, bár már a címszavak alapján is látható, különösen a feladatok ismeretében válik nyilvánvalóvá. A jelenlegi magyar kétszintű érettségivel összehasonlítva mindkét szinten megállapítható, hogy az IB feladatai általában nehezebbek és több ismeretet igényelnek. A kétéves oktatás folyamán ezért a hazai rendszernél sokkal nagyobb tempóban kell haladni, ami mind a diáktól, mind a tanártól több munkát követel. A tapasztalat szerint ennek a haszna is megvan: mind a hazai, mind a külföldi egyetemeken továbbtanuló diákok rendszeresen arról számolnak be, hogy az ottani matematika-kurzusokat társaiknál eredményesebben tudják teljesíteni. A konkrét témaköröket tekintve: a hazai kétszintű érettségiben meglévő témák közül az IB-ben hiányzik az elemi geometria, illetve a síkbeli koordinátageometriának a körökkel és parabolákkal foglalkozó része. Az utóbbi valóban nem szerepel az IB vizsgán, és ezzel ez az egyetlen ilyen téma. Ami az elemi geometriát illeti, valószínűleg az angolszász hagyományokból adódik, hogy mivel ők ezeket az ismereteket a középiskola alsóbb osztályaiban tanítják, az IB program meglévő tudásként tekint rájuk.
Noha nincs a vizsgán kifejezetten erre összpontosító kérdés, a feladatok megoldásához gyakran szükséges elemi geometriai ismeret. Az IB nem igényel tehát kevesebb geometriai ismeretet, mint a magyar érettségi. Az egyetlen kimaradó témával szemben az alábbi felsorolás számos olyan elemet tartalmaz, amely a hazai érettségiben nem szerepel, különösen a 4-6 témakörökben (lásd lent). Például itthon az integrálás nemigen jelenik meg másképp, mint görbe alatti terület formájában, és jellemzően még ez is csak polinom függvénnyel. A hazai érettségi analízis-feladatait így össze sem lehet hasonlítani az IB feladatainak sokszínűségével és komplexitásával. Ugyanez jellemző a valószínűség-számításra, amely itthon csak néhány éve került be a tananyagba, így nehéz kérdések még nem fordulnak elő. A hazai középszintű vizsgán egyáltalán nem szerepel a differenciál- és integrálszámítás, míg az IB középszinten ennek aránya jelentős. A tapasztalat azt mutatja, hogy ez az ismeret előnyt jelent a hazai egyetemeken azoknak a diákoknak, akik a matematikát nem főtantárgyként tanulják az egyetemen, hanem csak 1-2 féléves matematika tantárgyat kell tanulniuk. Az emelt szinten tanult választható témáknak pedig itthon mindegyike egyetemi tananyag. A vizsgakövetelményeket tartalmazó dokumentum valamivel részletesebb útmutatást ad a tanár számára, mint az itthoni változat. Három oszlopból áll. Az első oszlop (az alábbiaknál részletesebben) tartalmazza a témák felsorolását. A második oszlopban kiegészítő megjegyzések állnak, sokszor példákkal kísért magyarázatok arra nézve, hogy mi tartozik bele az adott témakörbe, és mi az, ami nem követelmény. Ugyanitt található számos kereszthivatkozás, amely más témakörökkel való kapcsolódási pontokra hívja fel a figyelmet. A harmadik oszlop alkalmazásokat sorol fel, valamint a tudáselmélet (TOK) nevű speciális IB-tantárgy szempontjából tekint az adott témára. A tananyag szerkezete közép- és emelt szinten hasonló. Az alábbi felsorolások témakörei sok helyen azonosak, a két szint között ilyenkor mélységbeli különbség van. 4.1. Középszint A tananyag fejezetei (ezen a szinten nincs választható témakör csak kötelező) 1. ALGEBRA számtani és mértani sorozat, végtelen mértani sor összege, alkalmazások hatvány és logaritmus binomiális tétel, a binomiális együtthatók kiszámítása a Pascal-háromszög segítségével, illetve kombinatorikusan 2. FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet összetett függvény, függvény inverze függvény grafikonja, hozzárendelési szabálya függvények elemi vizsgálata függvények ábrázolása grafikus kalkulátorral függvény-transzformációk másodfokú függvény reciprok függvény exponenciális függvény logaritmusfüggvény egyenletek analitikus és grafikus megoldása egyenletek megoldása kalkulátorral (analitikusan nem megoldható egyenletek megoldása is) másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet, diszkrimináns exponenciális egyenletek megoldása függvények ábrázolása és egyenletek megoldása gyakorlati problémák kapcsán
3. TRIGONOMETRIA radián, a kör és részei a trigonometrikus függvények általános definíciója trigonometrikus Pitagorasz-tétel kétszeres szögekre vonatkozó addíciós tételek trigonometrikus függvények elemi vizsgálata trigonometrikus függvények ábrázolása, transzformációi trigonometrikus függvények gyakorlati alkalmazása trigonometrikus egyenletek megoldása véges halmazon analitikusan és grafikusan másodfokúra vezető trigonometrikus egyenletek háromszögek trigonometriája, szinusztétel, koszinusztétel háromszög területe alkalmazások 4. VEKTOROK két- és háromdimenziós vektorok megadása vektorfogalom, vektorműveletek vektor hossza helyvektor skalárszorzat, két vektor szöge egybeeső és párhuzamos egyenesek megkülönböztetése két egyenes metszéspontja Berze András: Starter Pack 5. VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS STATISZTIKA mintavétel, gyakoriság, diszkrét és folytonos adatsokaságok adatok ábrázolása, oszlopdiagram, sodrófa-diagram statisztikai közepek, szórásnégyzet, szórás, alkalmazások kumulatív gyakoriság korreláció egyenes illesztése kísérlet kimenetel, esemény, eseménytér esemény valószínűsége, komplementer események Venn diagram, ágrajz, táblázat használata összetett események egymást kizáró események feltételes valószínűség független események diszkrét valószínűségi változók várható érték binomiális eloszlás normáleloszlás
6. DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS intuitív határérték- és folytonosság-fogalom derivált függvény meredeksége, érintő, normális speciális függvények deriváltja differenciálási szabályok második- és magasabbrendű deriváltak függvény szélsőértéke inflexiós pont függvényvizsgálat szélsőérték-feladatok a határozatlan integrál fogalma speciális függvények integrálja helyettesítéses integrálás integrálás adott peremfeltételekkel határozott integrál kiszámítása analitikusan és kalkulátorral görbék által határolt terület forgástest térfogata kinematika 4.2. Emelt szint Kötelező tananyag 1. ALGEBRA számtani és mértani sorozat, végtelen mértani sor összege hatvány és logaritmus kombinatorika teljes indukció komplex számok polinomok és algebrai egyenletek 2. FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK függvények megadása tulajdonságok kompozíció inverz függvényábrázolás, transzformációk másodfokú függvény polinomfüggvény racionális törtfüggvény exponenciális- és logaritmusfüggvény egyenletek analitikus és grafikus megoldása 3. TRIGONOMETRIA radián, a kör és részei trigonometrikus függvények és inverzeik pitagoraszi azonosságok nevezetes szögek addíciós tételek trigonometrikus egyenletek analitikus és grafikus megoldása háromszög területe, szinusztétel, koszinusztétel
4. VEKTOROK vektorfogalom, vektorműveletek skaláris és vektoriális szorzat egyenes paraméteres vektoregyenlete egyenes paraméteres egyenletrendszere sík paraméteres egyenlete sík normálvektoros egyenlete egyenesek és síkok koordináta-egyenletei szögek, távolságok, közös pontok 5. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÉS STATISZTIKA mintavétel, gyakoriság, diszkrét és folytonos adatsokaságok statisztikai közepek, szórásnégyzet, szórás kísérlet, kimenetel, eseménytér klasszikus valószínűségi modell eseményalgebra feltételes valószínűség, független események Bayes-tétel diszkrét és folytonos valószínűségi változók sűrűségfüggvény várható érték, módusz, medián, szórás binomiális eloszlás, Poisson-eloszlás, normális eloszlás 6. DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS intuitív határérték- és folytonosságfogalom derivált elemi függvények deriváltjai differenciálási szabályok érintő és normális második- és magasabbrendű deriváltak függvényvizsgálat szélsőérték-feladatok implicitfüggvény deriválása alkalmazások szöveges feladatokban primitívfüggvény, határozatlan integrál alapintegrálok határozott integrál görbék által határolt terület forgástest térfogata integrálási módszerek Választható témák (csak emelt szinten) Jelentős különbség, hogy a magyar rendszerrel ellentétben a nemzetközi érettségi emelt szintű programjában a kötelező tananyagrészek mellett egy választható témát is kell tanulni. Az alábbiak közül egyet kell feldolgozni, és a diákokat eszerint kell a vizsgára jelentkeztetni. 7. TOVÁBBI VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS STATISZTIKA 8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, CSOPORTELMÉLET 9. TOVÁBBI DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 10. DISZKRÉT MATEMATIKA
5. Az értékelés Az értékelés két részből áll: külső értékelés, azaz vizsga, illetve belső, azaz iskolai értékelés. 5.1. A külső értékelés mindkét szinten a végső jegy 80%-át teszi ki. Mindkét szinten két dolgozatot írnak a diákok a kötelező tananyagból, emelt szinten pedig egy harmadikat is, a választható témából. A két, illetve három dolgozat részaránya középszinten 40% + 40%, emelt szinten 30% + 30% + 20%. Ezeket a dolgozatokat két különböző vizsganapon írják a diákok, ellentétben a hazai rendszerrel, ahol egy délelőtt zajlik le a matematika érettségi egyetlen hosszabb vizsga formájában. A kötelező tananyagból írt két vizsgadolgozat időtartama emelt szinten 2 + 2 óra, középszinten 1,5 + 1,5 óra. Emelt szinten a választható témából írt harmadik dolgozat 1 órás. 5.2. A fennmaradó 20%-ot a nemzetközi érettségi minden tantárgyában meglévő, úgynevezett belső értékelésű komponens adja. Így a matematika esetében pontosan meghatározott szempontok szerint értékelt hosszú házi dolgozatokat kell írniuk a diákoknak. Ez a komponens most van átalakulóban: eddig központilag kiadott feladatok voltak, ezentúl a diák maga fogja megválasztani dolgozata témáját. 6. A vizsga A nemzetközi érettségire emlékeztet a hazai középszintű vizsgán is meglévő kétféle feladat: rövid kérdések és hosszabb, több egymásra épülő részből álló strukturált kérdések. Az utóbbiak a kétszintű érettségi mindkét szintjén megvannak. Ugyancsak megfigyelhető az a törekvés, hogy az IB-hez hasonlóan legyenek több témakörből származó ismeret szintézisét megkövetelő feladatok. Itthon azonban ez általában csak felszínes kapcsolat: bár az a) és b) feladat egyaránt például egy csokoládégyárról szól, tartalmilag semmi összefüggés nincs közöttük. Az IB-ben inkább előfordul, hogy ugyanahhoz a feladathoz kell például számolás független eseményekkel és a mértani sor összegzése. 6.1. Jó gyakorlatok a vizsgával kapcsolatosan,, melyek átvétele javíthatná a hazai érettségi-felvételi rendszerét: Számológép nélküli vizsga Követendőnek tartjuk, hogy a vizsga első (középszinten 90, emelt szinten 120 perces) részében (Paper 1) a diák nem használhat számológépet, így olyan tudás is számon kérhető tőle, amely a számológépből egyébként kinyerhető. (Például a szögfüggvények lényegét nem érti az, akinek nem evidens sin30 értéke, de ez géppel a kézben sosem derül ki.) Vastag könyv helyett tömör képletgyűjtemény A hazai rendszerben használható Négyjegyű függvénytáblázatok című segédanyagok helyett az IB-ben mindegyik vizsgán csak egy 12, illetve 14 oldalas képletgyűjtemény használható. Ez nyilván jóval kevesebb információt tartalmaz, így a tanuló tényleges tudásáról reálisabb kép kapható. Nálunk ez egyelőre csak az emelt szintű szóbeli vizsgán van így. Moderálás Mind a külső, mind a belső értékelés során szerzett pontszám a moderálás után válik véglegessé (lásd "A dolgozatok javítása" résznél). A moderálás lehetővé teszi, hogy a világszerte sok országban megírt és sok vizsgáztató által javított vizsgadolgozatok azonos szigorúsággal kerüljenek értékelésre. Hasonlóképpen a belső értékelés alapját képező házi dolgozatokat javító tanárok munkáját is felülvizsgálják és egységesítik.
6.2. A vizsga további jellemzői, hasonlóságok és különbségek a hazai rendszerrel A hazai érettségivel ellentétben egyik vizsgaszinten sincsenek választható feladatok, minden feladat megoldása kötelező. A kötelező tananyagból írt két dolgozat szerkezete azonos: először néhány viszonylag gyorsan megválaszolható, kevés megoldási lépést igénylő noha nem feltétlenül könnyű, ezt követően néhány hosszabb, több egymásra épülő strukturált kérdést tartalmazó feladat. A rövid válaszokat igénylő, rövid kérdéseknél elsősorban a helyes végeredmény számít, indoklás a feladatok zömében nem szükséges. Ez a dolgozatrész kiválóan alkalmas például arra, hogy az alapvető definíciók megértését ellenőrizze. A második részében szereplő hosszabb feladatok ismeretek szintézisét, részletesebb kifejtést és indoklást is igényelnek. Az IB-ben emelt szinten a vizsgákon olyan nagy mennyiségű feladatot kell megoldani, hogy a legfelkészültebb vizsgázó is könnyen kifut az időből, ha például sokáig tart megkeresni egy számolási hibát. A hazai rendszerben, aki képes megoldani a feladatokat, annak általában elegendő a rendelkezésre álló idő. A számológép magas szintű használata Míg nálunk a számológép csak az egyébként hosszadalmas számolások megkönnyítésére, illetve a trigonometrikus és logaritmus-függvények értékeinek kikeresésére szolgál, az IB-ben kiemelt szerepet kap a grafikus kalkulátorok magas szintű ismerete és használata. Minden diáknak rendelkeznie kell grafikus kalkulátorral az órákon és a vizsgákon is. Hangsúlyt kap minden témakör feldolgozásánál a gyakorlati felhasználás és a mindennapi életben, illetve a tudományos életben való alkalmazás bemutatása. A kötelező tananyagból írt, számológépet megengedő második vizsgadolgozat mindig tartalmaz legalább egy olyan feladatot is, amelynek megoldása számológép nélkül nem is lehetséges. (Például cos x = x megoldása, eloszlásfüggvények és inverzeik, elemi függvényekkel nem kifejezhető integrálok stb.) 7. A dolgozatok javítása A dolgozatokat egyik szinten sem a diák saját tanára javítja, hanem az IB Központ által kijelölt független vizsgáztató, ezért hívják külső értékelésnek. Míg azonban az IB-ben egy külső vizsgáztató 100-200 darab dolgozatot kap, itthon egy emelt szintű dolgozatokat javító vizsgáztatóra jutó mennyiség jellemzően mintegy 20 darab. Így a javító munkája nem elég produktív, hiszen mire belejönne a munkába és felgyorsulna, addigra a 20 dolgozatnak a végére is ér. Az itthoni javítók munkáját az is hátráltatja, hogy a dolgozatokat nem vihetik haza, a javításhoz el kell utazniuk egy központi helyszínre. A hazai rendszer ugyanis azáltal igyekszik egységesíteni a javítás szigorúságát, hogy a javítók egy kinevezett javításvezető felügyelete alatt dolgoznak, aki aztán a kijavított dolgozatokból néhányat szúrópróba szerűen ellenőriz, de beleszólási joga nincs, legfeljebb meggyőzni próbálhatja a javítót. A nemzetközi érettségi egységesítése (az ún. moderálás) sokkal eredményesebb és igazságosabb, ezért követendő példaként szolgálhatna. A kijavított dolgozatok összpontszámát a javító bevezeti egy e célra szolgáló táblázatba az interneten. Ekkor a program automatikusan kiadja, hogy mely dolgozatokat kell a javítónak moderálásra továbbítania. A minta kiválasztásában az a szempont, hogy egyenletesen lefedje az adott pontszámok teljes terjedelmét, vagyis legyen benne a gyenge dolgozattól a magas pontszámúig mindenféle. Ezeket a dolgozatokat néhány magasabb szintű vizsgáztató újrajavítja, és ha az első javító túl szigorúnak vagy túl engedékenynek bizonyult, akkor az általa javított összes dolgozat pontszámát egy megfelelő algoritmus alapján módosítják. Hasonló moderálási folyamatnak vetik alá a belső értékelés alapjául szolgáló, saját tanár által pontozott házi dolgozatokat is.
Az IB a javításban az utóbbi évben bevezette az elektronikus javítás, az e-marking rendszerét, azaz a javító nem kapja meg fizikailag a dolgozatokat, csak azok szkennelt változatát javítja egy internetes felületen. Ennek a rendszernek hátránya, hogy a dolgozatokat nem lehet feladatonként javítani. Előnye viszont, hogy nincs szükség a dolgozatok utaztatására, így a javítás és a moderálás ideje és postaköltsége csökken. A nemzetközi érettségi és a hazai érettségi értékelési és javítási útmutatóit összevetve eltérő hangsúlyok figyelhetők meg. Nem jár külön pont a kikötésért, ellenőrzésért és szöveges válaszért, sokkal nagyobb súllyal esik viszont latba a megfelelő módszer kiválasztása: például 1 pont jár annak felismeréséért, hogy egy részfeladatot koszinusztétellel kell megoldani, bonyolultabb esetben 1 pont a helyes felírásért, majd az összes számolási lépésért és a helyes eredményért összesen további 1 pont. Hasonló, sőt talán összességében szigorúbb is az elvi hibák kezelése, de kettős vonalak helyett ezt eltérő technikával valósítják meg: A javítókulcsban minden pontnak van egy betűkódja is, mégpedig M (method = módszer), A (answer = eredmény), illetve R (reason = magyarázat). Ha a vizsgázó az adott feladatrészben az M jelű pontot nem kapta meg, utána az A jelű pontokat is elveszíti. Ez különösen azért szigorú, mert sokszor az M pontot azzal is el lehet veszíteni, ha az általános eset helyett mindjárt a konkrét alkalmazást írja fel a vizsgázó, amely így hiába helyes. (Például nem jelenti ki, hogy a forgástest térfogata π-szer f 2 integrálásával kapható, hanem azonnal felírja a megfelelő integrált.) Sajnos hiányzik tehát a hazai érettségi javítókulcsában szereplő elv, mely szerint akkor is jár a pont, ha a helyes gondolatmenet a megoldásból derül ki. 8. Évközi értékelés, osztályzás Noha az IB vizsgára csak az a diák jelentkezhet, aki részt vett a kétéves IB kurzuson, az IB nem szabályozza a teljesítmény évközi és év végi értékelésének módját és szempontjait. Ezeket minden országban és iskolában az ottani rendszerbe illesztve határozzák meg. A Karinthy Frigyes Gimnáziumban az IB-ban tanulók a többi diákhoz hasonlóan felelnek, témazáró dolgozatokat írnak és hazai rendszerű évvégi bizonyítványt kapnak... 9. Hosszú esszé Időről időre akadnak diákok, akik a matematikát választják az IB-ben kötelező hosszú esszé tantárgyául. Más tantárgyakkal összehasonlítva azonban kevesebben vállalkoznak erre, hiszen a tantárgy természetéből adódik, hogy nehéz középiskolásként újszerűt alkotni. Felhasznált irodalom: International Baccalaureate Diploma Programme Mathematics Guide 2012. Argayné Magyar Bernadett és Gróf Andrea