A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá Az axiómaredszer alapfogalmai: a természetes szám, a ulla (0), a ráövetezés. Az axiómá: () A 0 természetes szám. (0 N) () Mide természetes száma va egy egyértelme meghatározott ráövetezje, mely szité természetes szám. ( N N) () Nics olya természetes szám, melye a 0 ráövetezje lee. (0 N) () Külöböz természetes számoa a ráövetezje is ülöböz.(m m ) () Ha a 0 redelezi valamely T tulajdosággal, és a tulajdoság átöröldi az természetes számról az ( =+) ráövetezjére, aor mide természetes szám redelezi a T tulajdosággal. Az utolsó axióma tulajdoéppe a matematiai iducióval törté bizoyítás alapelve is. Ezeet az axiómáat Giuseppe Peao 89-be alotta meg. A természetes számo (em egatív egész számo) halmazát N-el jelöljü. N* = N - {0} A természetes számo tulajdoságai belátható az axiómá alapjá. A 0 a legisebb természetes szám. A természetes számo halmaza végtele, a halmazba ics utolsó elem: a sorba étszer ugyaaz a szám em szerepelhet, de a továbbszámlálással em erülhetü vissza a sor elejére. A mvelete értelmezése: Elször is = + mide természetes szám eseté. () A +: N N N összeadást így értelmezzü: a) +0=, N eseté b) +m = (+m),, m N eseté () A : N N N szorzást így értelmezzü: a) 0=, N eseté b) m = m+m,, m N eseté () A redezési relációt így értelmezzü: m N úgy, hogy =m+
Tulajdoságo: ) (m+)+p=m+(+p) ) (m ) p=m ( p) asszociativítás ) +0=0+= ) = = semleges elem létezése ) m+= +m ) m = m ommutativítás ) m+= + m= ) m = m= egyszersítési szabály ) (m+)= m + a szorzás disztributív az összeadásra A redezési reláció, mert: a) reflexivítás b) Ha m és m aor m= atiszimmetria c) Ha m és m p aor p trazitivítás vagy lácszabály A trichotomia elve is teljesül: Bármely m, N eseté (i) m < vagy (ii) m= vagy (iii) m > Az N redezett halmaz bármely ét eleme összehasolítható A redezési reláció összefér a + és a mveleteel, mert: (i) m m+ + (ii) m m m,, pn Az N jólredezett halmaz az N bármely részhalmazáa va egy legisebb eleme Tehát (N, +,, ) jólredezett ommutatív félgy strutúra. ) A természetes számo értelmezése evivalecia osztályo segítségével. Értelmezés: Az A és B halmazoat evivalese modju, és A~ B módo jelöljü, ha az A és B halmaz elemei özött létezi egy-az eggyel való megfeleltetés, vagyis, létezi egy f: A B függvéy amely bijetív. Értelmezés: Egy A halmaz elemeie a számát az illet halmaz számosságáa evezzü. Jele A vagy carda. Értelmezés: övetez ét ijeletés egyeérté: A ~ B A= B. Értelmezés: Egy halmaz véges (véges számosságú), ha létezi természetes szám, amelyre A~ {,,, } Például: A= {a, a, a } eseté A= mert létezi a úgy, hogy f(a )=, f(a )=, f(a )= és ez bijetív függvéy f: A {,,}.. Értelmezés: Az N számossága vagy ardiálisa N 0 (alef zéró) 6. Értelmezés: Egy végtele A halmazt megszámlálhatóa végtele halmaza evezü, ha számossága egyel a természetes számo halmazáa számosságával (vagyis a halmaz és N özött va egy bijetív megfeleltetés). Tehát A~ N. Például: Aa elleére, hogy N N, mégis N = N vagyis ugyaayi páros szám va mit ameyi természetes szám. Értelmezés szerit N={x x=, N}.
Ee az igazolására eleged N és N elemei özött létrehozi egy ölcsööse egyértelm megfeleltetést. Ez a övetez: 0 6 8 0 Vagyis létezi olya f: N N függvéy amelyi bijetív, éspedig f()= éppe megfelel. Az elbbiebe láttu, hogy: def Az A N halmaz evivales a B N halmazzal ha az A halmaz bármely eleméhez hozzáredelhet a B halmaz egy és csais egy eleme és fordítva. Jele: A ~ B. Továbbá A ~ B A= B Tehát az A és B halmazo evivalese, ha ugyaayi elemet tartalmaza. Ez az ugyaayi reláció (jele: ~ ) egy evivalecia reláció, mert: a) Reflexív, hisze A ~ A b) Szimmetrius, mert ha A ~ B, aor B ~ A c) Trazitív, mert ha A ~ B és B ~ C, aor A ~ C Ez az ugyaayi evivalecia reláció az N halmazt osztályora botja! Ezeet az osztályoat evivalecia osztályoa evezzü. Egy osztályba azo az eleme tartoza, amelye evivalese, vagyis amelye özött létesíthet egy ölcsööse egyértelm megfeleltetés.
Ha a szemlélethez folyamodu, aor belátható, hogy csa azo a halmazo tartoza egy evivalecia osztályba, amelye ugyaayi elemet tartalmaza. Értelmezés Az evivalecia osztályoat, illetve az azoa megfelel szimbólumot, ardiális száma, száma evezzü. A feti osztályo ardiálisai redre az, illetve számo. Megjegyzed, hogy az szimbólum, szám, számjegy, iejtve az szám hagalaja, betel leírt alaja: egy. A számhoz hozzátartozi ee a számépe is:,,, vagy bármilye más jel. Az üres halmaz szemléletese egy olya halmaz, amelybe egyetle elem sics, szimbóluma a 0. Tehát a természetes szám, az ugyaayi evivalecia reláció által geerált osztályoa a reprezetása. Például: a a a * * * A feti evivaleciaosztály egy reprezetását jelölje, de lehete az osztály bármelyi eleme. A jelölése egységesítése: Ø {Ø} - megfelel a 0 szimbólum - megfelel az szimbólum (egy eleme va: az üres halmaz.) {Ø, {Ø}} - megfelel a szimbólum, mert a halmaza ét eleme va: az üres halmaz és az üres halmazt tartalmazó halmaz {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} - megfelel a szám szimbólum, vagyis Tehát: 0= card (Ø), = card ({Ø}), = card({ø, {Ø}}), = card({ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}), stb. És így tovább. Az így apott halmazredszer végtele so halmazból fog álli. Bármely véges halmaz evivales az elbbi halmazo valamelyiével. Két természetes számot egymásutáia evezü, ha az elbbi sorozatba ét egymás utá övetez halmaz számosságát jelöli. Jele az ráövetezje. Tehát a természetes számo ét értelmezése azoos.
velete a természetes számo halmazába Összeadás Értelmezés Legye A és B ét halmaz. Jelölje halmazo. Eor a+b természetes számo az a b A B. Elevezés: a, b tago, a+b összeg. Pl. + =? a, b, B c, d e A,. Látható, hogy A a, B b a, b N és A B O, vagyis A és B diszjut A B halmaz számosságát értjü. Tehát a, b, c, d, e. A és B és A B O. A B Tehát A B A B. Tulajdoságo: Bármely a, b, c természetes szám eseté: () a + b = b + a az összeadás ommutatív, azaz egy összeadásba a tago felcserélhete. () (a + b) +c = a + (b + c) az összeadás asszociatív, vagyis az összeadásba a tago csoportosíthatóa () a + 0 = 0 + a = a egy számhoz 0-t adva összegét az eredeti számot apju, vagyis az összeadásba a 0 semleges elem. () ha a + b = a, aor b = 0 () ha a + b = 0, aor a = 0 és b = 0 (ez a tulajdoság csa a természetes számo halmazába érvéyes). (6) ha a + c = b + c, aor a = b. Szorzás Értelmezés Az A és B halmazo eseté legye A a, B b. Az a b (a szorozva b-vel) természetes számo az A B halmaz /A és B halmazo Descartes-szorzata/ számosságát értjü. Vagyis a b A B. Elevezés: a, b téyez (a szorzadó, b szorzó), a b - szorzat.
(Vaa ai jobbról, vaa ai balról szoroza, de a iolvasása a b : az a és b szorzata ) Pl.? a, b, B a, b c A, B. A B a, a a, b a, c b, a b, b b, c 6 A,. Így a b. Tulajdoságo Bármely a, b, c természetes szám eseté: () a b b a () ( a b) c a ( b c) () a ( b c) a b a c a szorzás disztributív (széttagolható) az összeadásra ézve () a a a az a szorzás semleges eleme () a 0 0 (6) ha a b =0, aor vagy a=0, vagy b=0, vagy midett 0. (7) ha a b a és a 0, aor b. (8) ha a b, aor a= és b=. Ez a tulajdoság yilvávalóa csa a természetes számo halmazába igaz. (9) ha a b a c és a 0, aor b c. (egyszersítési szabály). Értelmezés Adotta a, b természetes számo. b eseté az a b ( a szorozva b-vel) természetes számo egy b számú tagból álló összeget értü, ahol mide összeadadó a-val egyel. Vagyis a b b b b... b (a-szor véve b-t). Viszot a ommutativítás miatt a b b a a a a... a, vagyis b-szer véve a-t. Megjegyzés A szöveg (megfogalmazás, cselevés) szitjé a b és b a más-más tartalommal bír, de a szorzat értée ugyaayi. Ha idejébe rámutatu arra, hogy a szorzás ommutatív, aor a szorzótéyez eltér módo való megevezése (szorzadó, szorzó), már em hordoz ülöösebb jeletséget. A legjobb megevezés, már az elejé: szorzótéyez. 6
Kivoás Értelmezés Legyee A, B halmazo, A a, B b, A B, tehát a b. Eor az a-b természetes számo az A-B halmaz számosságát értjü. Elevezés: a issebbíted, b ivoadó, a-b ülöbség. Pl. A a, b, c, d, e B b, d, e. AB a, c vagyis a ülöbséghalmaza eleme va. Tulajdoságo () a b b a, (st a ivoás orlátozás élül em midig végezhet el N-be.) () a b c a b c () a b c a b a c, vagyis a ivoás em asszociatív, a szorzás disztributív a ivoásra ézve () a 0 = a, de em modju, hogy a 0 a ivoás semleges eleme, mert a 0 = 0 a = a em teljesül, potosa a ommutativítás meg em léte miatt. Osztás Értelmezés Adotta az a, b természetes számo, ahol b 0. Az a:b (a-ba a b) számo, azt a c természetes számot értjü, amelyre c b a. Elevezése: a- osztadó, b- osztó, c- háyados. Pl. 8:=? Mivel 8, ezért 8:= Megjegyzés A maradéos osztás tétele alapjá, ha a, b tetszleges természetes számo, ahol b 0, egyértelme léteze q, r természetes számo úgy, hogy a b q r, ahol 0 m b. Ha r = 0, aor a b, b a, vagy b többszöröse a-a. Ilye esetbe jeleti az osztható szó, hogy az a szám maradé élül osztható b-vel. 7
Az osztás tulajdoságai: Az osztás em végezhet el a természetes számo halmazá orlátozás élül. () a : b b : a, () a : b: c a : b : c () a:0 Ee az osztása ics értelme, mert ics olya c természetes szám, amelyre c 0 a, a 0. De matematiaelméleti megfotolásból a 0:0 osztás úgyszité értelmetle. () a : b: c a : b : c () 0:a=0 (6) a:a=, (7) a:=a, (Itt sem állítható, hogy az az osztás semleges eleme lee). (7) ha a:b=, aor a=b (8) (a+b):c=a:c+b:c az osztás az összeadásra ézve jobbról disztributív (Hasolóa a ivoásra ézve is jobbról disztributív az osztás.) Megjegyzése -Az értelmezés alapjá az osztás a szorzás fordított mveletée evezhet. Az alsó tagozat ét (halmazélméleti alapo értelmezett) osztása: a.) a befoglaló osztás Adott egy a elem véges halmaz. Ebbe a halmazba hozzu létre a lehet legtöbb, potosa b elemet tartalmazó részhalmazt (ameyibe lehetséges). Az így létrehozott részhalmazo számát a:b-vel jelöljü és azt modju, hogy a-ba a b megva Példa.: Hat ceruzát szétosztu a gyeree özött úgy, hogy mide gyere - ceruzát apjo. Háy gyere apott ceruzát? 6c : c =. (A itt darabszám.) b.) egyel részere osztás Adott egy a elem véges halmaz. Ezt a halmazt osszu fel (ha lehet) b darab egyel számosságú részhalmazra. Eor a részhalmazo számosságát a:b-vel jelöljü és azt modju az a b egyel részre osztva. Példa:Hat ceruzát osszu szét ét gyere özött úgy, hogy mid a ét gyere ugyaayit apjo. Háy ceruzát ap egy gyere? 6c : = c (A itt a ceruzá számát jelöli.) 8
A számfogalom bvítése - A megadott értelmezése szerit a természetes számo halmaza az összeadásra és a szorzásra ézve zárt: vagyis bármely ét természetes szám összege is és szorzata is természetes szám - Ugyaez em modható el a természetes számo halmazába értelmezett ivoásról és osztásról. - Az összeadás és szorzás léyeges tulajdoságai: a + b = b + a a b b a ommutativítás (a + b) +c = a + (b + c) ( a b) c a ( b c) asszociativítás a + 0 = 0 + a = a a a a a semleges elem léte a ( b c) a b a c a disztributivítás: a ét mveletet összeapcsoló tulajdoság () A természetes számo halmazá az egyelség: a = b, evivalecia reláció. () - A mideori számörbvítés feladata az, hogy a fetebb felsorolt tulajdoságo továbbra is érvéybe maradjaa ezt evezzü a permaecia elvée. - Továbbá: az N az új számhalmaza részhalmaza legye. - Aztá: a bvített halmazba a természetes számoal végzett mvelete eredméye ugyaaz legye, mitha csa az N-be dolgoztu vola. Értelmezés Az egész számo halmaza (Z) A természetes számoból alotott ülöbsége evivalacia osztályaia reprezetásai az egész számo. Vagyis egy osztályt egy egész számmal jelölü. Pl. - = 0 - = - = - = = 0 - = = - 0 = 6 - = 7 - = =0 - = 0= 0-0 = - = - = Z={x x=m- és m,n} és a reláció: (m,) (m, ) m+ =m + Az egész számo halmaza tehát Z = {, -,, -, -, -, 0,,,,,. } Z* = Z {0}, Z N,,,,...,...,,,,, Z. Mivel N Z, ezért az N-e végzett mvelet értelmezése és tulajdoságo tovább örölde. csupá a egatív számo eseté ell új értelmezéseet adu: Szabályo: ) 0+ (-a)= (-a) +a= -a ) 0 (-a)= (-a) 0= 0 ) (-a) + (-b)= - (a+b) ) (-a) (-b)= (-b) (-a)= a b ) a+ (-b)=(-b)+a= a-b ha a>b, 0 ha a=, -(b-a) ha a<b ) a (-b) = (-a) b= -ab 9
Tétel: A Z halmaza ugyaayi eleme va mit az N halmaza, vagyis Z= N= 0. Bizoyítás: A övetez egyértelm megfeleltetést hozhatju létre: 0 6 0 - - - Vagyis létezi az f: N Z, f()= és f(-)= - amely bijetív. A racioális számo halmaza (Q) A racioális számo bevezetését az a övetelméy teszi szüségessé, hogy az egész számo osztása mide esetbe elvégezhet legye ugyaazo a számhalmazo belül. (Nyilvá, ha az osztó ulla, az osztás továbbra sem értelmezett.) A racioális számo halmazától megöveteljü, hogy: - tartalmazza az egész számo halmazát ( Z Q) - ét racioális szám háyadosa szité racioális szám legye - az egész számoal végzett mvelete eredméye változatla maradjo, ha azoat a Q-ba megadott értelmezés szerit végezzü - a mvelete Z-be ismert tulajdoságai átöröldjee Q-ra is a A racioális számo halmaza: Q a, b Z, b 0. b -Tulajdoéppe az b a alaú szám is egy evivalecia osztály reprezetása. Pl.... 0,. 0 0 Vagyis egy-egy racioális száma soféle özöséges tört alaja va, eze viszot mid ugyaazt az értéet épviseli (ugyaahhoz az evivalecia osztályhoz tartoza), ugyaazt a racioális számot jeleti. ratio = aráy (lati). m Q m, Z, 0 a b c d ad=bc Ez egy evivalecia reláció! és a reláció: -Nyilvá, hogy Z a Q. a Z szám alaba már racioális szám. Racioális számo egyelsége: a b c a d b c. d 0
Adott racioális számmal egyelt vítéssel, vagy egyszersítéssel apu: ) a b a b bvítés, a b ( a b egyszersítés. Irreducibilis tört: tovább em egyszersíthet. 0 Pl.,,,,... 6 7 A bvítés megadja a lehetségét a özös evezre hozása: Pl. ), 6 ) 7 8 6 Eor a apott törte összehasolítható, összeadható, illeve ivoható. A pozitív racioális számo viszoya -hez: a egységyi tört, ha a=b b a valódi tört, ha a<b, (egységél isebb tort) b a áltört, ha a>b, (egységél agyobb tört) b Vegyes tört: egy egész szám és egy valódi tört összege, pl. A vegyes tört és az áltört özötti átalaítás az értelmezésbl adódi: 8 vagyis : =, ahol a maradé. velete racioális számoal: a c ) Összeadás: + b d = ad bc bd a c ) Kivoás: b d = ad bc bd a c () Szorzás: b d = a c b d a c () Osztás: : b d = a d b c A redezési reláció: a c b d ad bc 0 bd
Tétel: A Q halmaza ugyaayi eleme va mit az N halmaza, vagyis Q= N= 0 Bizoyítás: Felírju a pozitív racioális számoat a övetez módo:... 6 6 6... 6... 7... 7... 7 A övetez sorredet állítju föl:... 6 Látható, hogy a sor átlósa halad, eseteét egyet le, illetve egyet jobbra lépve szélesedi. Ha megtartju az ismétl számoat, (pl.... ) még úgy is a táblázatba ugyaayia vaa, mit a természetes számo. Tizedes törte A tizedes tört a özöséges tört egy mási írásmódja. Egy pozitív tizedes tört általáos alaja:, a a... a..., ahol az egész rész, a tizedes vessz utái rész a szám törtrésze. () Els megözelítésbe vesszü azoat a özöséges törteet, amelye evezje 0 alaú, vagy ilyeé alaítható. Jelölés: 0, (ez az új írásmód), iolvasása: tized = 0 egész tized. 0,, iolvasása: egész század. 00 0 0, 000 0,00, (0 egész ezred) Ez a jelölésmód ihaszálja a helyiértées számírás mide elyét, ami a mvelete végzéseor is jelets.
Nemcsa azo a özöséges törte végese, amelye evezje a 0 valamely hatváya, haem mide olya tört, amely bvítéssel ilyeé alaítható: ) 6 Pl. 0, 0, 06 0 0 00 ) (A tizedes jegye végérl a 0, vagy a ullá elhagyható.) A feti tizedes törteet véges tizedes törtee evezzü. Azo özöséges törte írható véges m alaba, melye evezje alaú, ahol, m N. () Azo a törte, amelye evezje téyezre botásába sem a, sem az hatváya em szerepel. Eze átalaított (osztással apott) alaja ( a a... a ),, ahol a ( )-be tett számjegye ismétlde. A zárójelbe tett számo eve: szaasz. 7 Pl. 0,... 0,(),...,() Ezeet a tizedes törteet végtele, tiszta szaaszos tizedes törtee evezzü. Kiolvasás:,(): egész, a szaaszba. () Olya özöséges törte, amelye evezje téyezje botásába a és/vagy hatváyai mellett más prímtéyez hatváyai is szerepele. Ezebl alaula i az ú. vegyes szaaszos tizedes törtee. 9 Pl. 0,666... 0,(6) 0,8... 0,8(). 6 Visszaalaításo: a) A véges tizedes törte visszaalaítása övetezi a jelölésbl, abból, ahogy iolvassu: 60, 0,60 00 00 000 b.) A tiszta szaaszos tizedes törte visszaalaítása Levezetés: Adott a T,( a a a... a ) tört. Az egyelség mid a ét oldalát megszorozzu el. T 0,( a a a... a ) / 0 0 0 T a a a... a, a a a... a Voju i a másodi egyelségbl az elst: 0 T aaa T... a 0 -
Az egyelség bal oldalából iemeljü a T-t: T 0 ) a a a... a ( A apott egyelségbl ifejezzü a szóba forgó T tizedes törtet: T a aa... a aaa... a 0 999...9, ahol a tört evezjébe db 9-es számjegy va. Pl. 0,(),(0),() 9 99 999 c.) A vegyes szaaszos tizedes törte átalaítása Levezetés: A lépése azoosa az el bizoyítás lépéseivel. l T 0, aa... a ( bb... b l ) / 0 / 0 Tehát az adott törte elször 0-e +l., másodszorra 0-e. hatváyával szorozzu és ezeet apju: l 0 T aa... abb... bl,( bb... bl ) 0 T aa... a,( bb... bl ) A feti ét egyelséget ivoju egymásból, és a övetezet apju: 0 0 l T 0 T (0 l T a a... a b b... b a a... a ) a a... a b b... b a a... a aa... abb... bl aa... a T, a evezbe l db 9-es va. 0 99...9 9 Pl.,(), 0,(9). 990 9900 l l Összefoglalva: - mide természetes szám, illetve egész szám ugyaaor racioális szám is ( evez törtét írható). - Mide özöséges tört racioális szám. - Mide véges, vagy végtele, de szaaszos tizedes tört mivel átalaítható özöséges törtté racioális szám is. - Ha egy tizedes szám végtele, de em szaaszos, aor az em racioális szám. Pl. 0,00000000000 - A racioális számo halmazába a égy alapmvelet elvégezhet, egyetle ivételt a 0-val való osztás jeleti.
Megjegyzése -Mide véges tizedes tört olya végtele tizedes törte teithet, amelybe csa véges számjegy em ulla. Pl., =, 00 0 - Az = 0,99 9 = 0,(9) felírás miatt bármely özöséges tört egyértelme átalaítható tizedes törtté, ellebe a szaasz e csa 9-est tartalmazzo. - A végtele emszaaszos tizedes számo em alaítható át özöséges törtté, mert eze em racioális számot, haem irracioális számot állítaa el. Pl., a irracioális számmal egyel.