IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ezek felhasználása szöveges feladatok megoldásánál. Előzmények Egyenletek, egyszerűbb algebrai törtes egyenletek megoldása, algebrai azonosságok használata. Cél Algebrai készségek fejlesztése. Szöveges feladatokra matematikai (algebrai) modell felállítása készségének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Tanórai feldolgozásra javasolt feladatsor. Az 1 4. feladatok kifejezetten alkalmasak egyéni munkára. Az 1. feladatot oldjuk meg visszafelé következtetéssel és egyenlet felírásával is. Szembesítsük a tanulókat azzal, hogy a 2. feladatnál a visszafelé következtetés már nem működik, mivel a gondolt számot ismét felhasználjuk a műveletek közben. A 3. feladat b) része izgalmas kihívás lehet az ügyesebbeknek, egyébként, ha túl nehéznek érezzük, ezt átugorhatjuk. A 4. feladat az előző feladatok gondolatmenetét megfordítva adott egyenlethez kéri a kérdés megfogalmazását. A feladatsor megoldását kicsit érdekesebbé teszi, ha itt nemcsak egy Gondoltam egy számot... típusú feladat kitalálását kérjük az egyenlethez, hanem egy normál szövegezésű feladatét is. A gyerekeket lehet versenyeztetni, ki készít szellemesebb szituációt, illetve szöveget. Az utolsó feladat leginkább csoportmunkában oldható meg, így a gyengébb képességű tanulóknak is sikerélményük lehet. Ez a feladat lazábban kapcsolódik a többihez, így ha a csoport képességeihez képest nehéznek tűnik, vagy ha nincs rá elég idő a feldolgozás során, akár ki is hagyható. A feladatot két változatban fogalmaztuk meg. A rejtvény megfejtésének alapjául mindkét változatban az egyenletek megoldása szolgál. Az 1. változatban egy híres matematikus nevét kell megfejteni (C. F. Gauss, hívjuk fel a gyerekek figyelmét arra, hogy a cfgauss megoldásban lehet rövidítve is a ke- IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 1.oldal/7
resztneve a megfejtendő tudósnak!) A második változat kissé bonyolultabb, de talán érdekesebb feladat elé állítja a diákokat. A megoldásokat kiolvasva kell a megfelelő betűket kihúzni egy betűtáblázatból, a megmaradó betűk pedig összeolvasva egy szellemes aforizmát eredményeznek. Ennek megtalálása talán jobban motiválja őket az egyenletek megoldására. Ahol természetesen adódik, érdemes szót ejteni az ellenőrzésről. Az itteni feladatoknál ez lényegében annak a megállapítása, hogy minden átfogalmazás (szövegből egyenletre) és az egyenletrendezés ekvivalens átalakítás volt. A megoldások keresése folyamán nyomon követhető a diákok szövegértelmezési készsége is. Mivel az 1. feladatban alkalmazható a visszafelé gondolkodás módszere, ezért a címet tréfásan visszafelé írva adtuk meg. A 2. feladat címe pedig egy betűrejtvény, megoldása: egyenlet ( 1-en let ). IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 2.oldal/7
GONDOLJ, GONDOLJ... Feladat sor ŰYNNÖK, MAJD SEPEZÖK 1. a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? b) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, majd megint megszoroztam 2-vel, és megint elvettem belőle 3-at, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? LET 1 2. Gondoltam egy nullától különböző számra. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, majd megint megszoroztam 2-vel, és megint elvettem belőle 3-at, majd a kapott eredményt elosztottam a gondolt számmal, végül megszoroztam 10-zel, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? GONDOLATOLVASÓ 3. a) Válassz egy kétjegyű pozitív egész számot! Adj hozzá 1-et, majd vond le belőle a gondolt szám számjegyeinek összegét! A kapott eredményt szorozd meg 4-gyel, majd vonj le belőle 4-et! Az így kapott számot oszd el a gondolt szám első számjegyével, és vonj ki belőle még 1-et! 35-öt kaptál. Honnan tudtam? b) Próbálj egy hasonló trükkös feladatot magad is kitalálni! TIÉD A PÁLYA! 4. a) Fogalmazzunk meg egy Gondoltam egy számot... kezdetű feladatot, mely az alábbi egyenlet segítségével oldható meg! Oldjuk is meg a feladatot! 5 ( x 6) 35 b) Fogalmazzunk meg egy Gondoltam egy számot... kezdetű feladatot, mely az alábbi egyenlet segítségével oldható meg! Oldjuk is meg a feladatot! 5 ( x 6) 32 35 x 1 IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 3.oldal/7
HANGYA (1. VÁLTOZAT) 5. Melyik egyenletnek melyik szám a megoldása? Írd a megfelelő betűket a táblázatba! A kapott betűkből egy híres ember neve olvasható ki. Ki volt ő, s mivel foglalkozott? 7 4 15 2,1 3 5 3 1 7 (s 7) (3s 2 a 3 + 2) = 0; 2 ; a 1 2c 5 c 2 ; 6 3 1 7 ; 2s 1 17s 10 u 3 15 6u 11 (2u 5)( u 2) 4 f 0 ; 6000 ; 0,0025 9 4g g 2. 6 HANGYA (2. VÁLTOZAT) 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! A megoldásként kapott számokat olvassuk ki a táblázatból (a számok kimondásával), és húzzuk ki a felhasznált betűket! Egy-egy kiolvasásnál vízszintesen vagy függőlegesen haladhatunk, átlósan nem, de lehet balról jobbra vagy fordítva is, fentről lefelé vagy fordítva is, és a szöveg derékszögben akár többször el is kanyarodhat. Egy betűt többször is felhasználhatunk a megoldások kiolvasásakor! A táblázatban megmaradt betűk összeolvasásával egy aforizmát kapunk. (a + 1) (a 2 b 3 2c 5 c 1 7 + 1) = 0; 1; 2 ; ; b 1 3 3 5 d 2d 1 e 3 14 6e 6 ( e 2)( e 7) 23 f 0; 2000 ; 0,0025 7 3g g 2. 7 K É T H A Ö B N O L O N E D D T A É G L M V G Y H A I T Y A Í T É G Y R M A D K N U S O Z O T L E Ő U G Z E G Y T I Z Y A N H E M Z T G Y T E S Á R O Z N É I! IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 4.oldal/7
MEGOLDÁSOK 1. a) Legyen a gondolt szám x. Ekkor a következő egyenlet írható fel: 2x 3 = 35. Az egyenlet megoldása x = 19, ez volt a gondolt szám. b) Legyen a gondolt szám x. Ekkor a következő egyenlet írható fel: (2x 3) 2 3 = 35. Az egyenlet megoldása x = 11, ez volt a gondolt szám. Megjegyzés: Az első két feladat megoldható visszafelé gondolkodva is: pl. 35 38 19 22 11. Ez a gondolatmenet azonban a következő feladattól kezdve már nem működik. 2. Legyen a gondolt szám x (x 0). Ekkor a következő egyenlet írható fel: (2x 3) 2 3 10 35. x Átalakítva (2x 3) 2 3 = 3,5x, innen 0,5x = 9. Az egyenlet megoldása x = 18, ez volt a gondolt szám. 3. a) A gondolt szám tízes számrendszerbeli alakja legyen ab, ekkor ennek értéke 10a + b, számjegyeinek összege pedig a + b, első számjegye a (a > 0). A feladatban leírt műveleteket felírva: (10a b) 1 ( a b) 4 4 (9a 1) 4 4 36a 4 4 36a 1 1 1 1 36 1 35. a a a a Látható, hogy a gondolt számtól függetlenül mindig 35 a műveletsor eredménye. b) Itt beszéljük meg a trükk működési elvét, és találjunk ki rá egyszerűbb példákat! A trükk lényege: ha a számjegyek összegét kivonjuk a számból, akkor az utolsó számjegy eltűnik, bármi is volt. Utána, ha az elsőt is eltüntetjük, akkor a kiindulási számtól függetlenül ugyanazt a számot kapjuk. Ez a gondolatmenet az előbbiekben felírt algebrai alakból is látszik. 4. a) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 6-ot, majd megszoroztam 5-tel, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? Az egyenlet megoldása x = 13, ez volt a gondolt szám. b) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 6-ot, majd megszoroztam 5-tel. A kapott eredményt elosztottam a gondolt számnál eggyel kisebb számmal, majd hozzáadtam 32-t, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? 5 ( x 6) 3 x 1 A nevezővel beszorozva (x 1): 5 (x 6) = 3 (x 1), ahonnan rendezéssel 2x = 27. Az egyenlet megoldása x = 13,5, ez volt a gondolt szám. IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 5.oldal/7
5. (1. változat) Először sorban megoldjuk az egyenleteket. s értékének meghatározása Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Itt a második tényezőben s 2 nem negatív, ezt 3-mal szorozva és ehhez 2-t hozzáadva a kapott érték biztosan pozitív lesz, tehát csak az első tényező lehet nulla. Ezért s = 7. a értékének meghatározása Beszorozva (a + 1) -gyel (ahol a 1); a + 3 = 2a 2, rendezve a = 3 5. c értékének meghatározása Beszorozva 6-tal; 2c + 5 = 12 2c, majd rendezve c = 4 7. s értékének meghatározása Beszorozva (17s 10) -zel és (2s 1) -gyel (s 10/17 és s 0,5); 17s 10 = 7 (2s 1) = 14s 7, innen 3s = 3, azaz s = 1. u értékének meghatározása Egy tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, tehát u = 3. Ellenőrizni kell még, hogy ekkor a nevező nem nulla-e. Nem nulla. f értékének meghatározása f = 6000 0,0025 = 15. g értékének meghatározása Beszorozva 7-tel; 6g 12 = 9 4g, rendezve g = 2,1. A kapott név C. F. Gauss, azaz Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német tudós, fizikus, csillagász, a matematika fejedelmének neve. A matematika szinte minden ágában jelentőset alkotott. Diákként megszerkesztette a szabályos 17-szöget, elsőként bizonyította az algebra alaptételét, ő vezette be a számsík fogalmát a komplex számok ábrázolására, számelmélettel, differenciálgeometriával foglalkozott. W. Weberrel megszerkesztette az első elektromágneses távírót, eljárást dolgozott ki a földmágnesség nagyságának mérésére. Meghatározta a Ceres kisbolygó pályáját. 5. (2. változat) Először sorban megoldjuk az egyenleteket. a értékének meghatározása Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Itt a második tényezőben a 2 nem negatív, ehhez 1-et hozzáadva biztosan pozitív lesz, tehát csak az első tényező lehet nulla. Ezért a = 1. IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 6.oldal/7
b értékének meghatározása Beszorozva (b + 1) -gyel (ahol b 1); b + 3 = b 1, rendezve b = 2. c értékének meghatározása Beszorozva 3-mal: 2c + 5 = 6 c, majd rendezve c = 3 1. d értékének meghatározása Beszorozva (5 d) -vel és (2d 1) -gyel (d 5 és d 0,5); 2d 1 = 7 (5 d ) = 35 7d 9d = 36, azaz d = 4. e értékének meghatározása Egy tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, tehát e = 3. Ellenőrizni kell még, hogy ekkor a nevező nem nulla-e. Nem nulla. f értékének meghatározása f = 2000 0,0025 = 5. g értékének meghatározása Beszorozva 7-tel; 7g 14 = 7 3g, rendezve g = 2,1. A táblázatból tehát az alábbi értékeket kell kiolvasni: mínusz egy, mínusz kettő, egyharmad, négy, mínusz három, öt, kettő egész egytized. A kiolvasott számokhoz felhasznált betűket pirossal jelöltük. K É T H A Ö B N O L O N E D D T A É G L M V G Y H A I T Y A Í T É G Y R M A D K N U S O Z O T L E Ő U G Z E G Y T I Z Y A N H E M Z T G Y T E S Á R O Z N É I! A megmaradt betűkből összeolvasható idézet: Ha bolonddal vitatkozol, ő ugyanezt teszi! (Jacob. M. Braude) IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek IV.3. Gondolj, gondolj! 7.oldal/7