A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak hány %-a arany pénzérme? A dobozban lévő tárgyak 20 %-a golyó, ebből következik, hogy a tárgyak 80 %-a pénzérme. Mivel a pénzérmék 40 %-a ezüst, ebből következik, hogy a 60 %-uk arany. Tehát az egész 80 %-ának 60%-a arany pénzérme. 0,8 0,6=0,48, tehát a dobozban levő tárgyak 48 %-a arany pénzérme. 2. Számítsuk ki a COA szög nagyságát, ha a CEA szög 18, és AB=2 DE! Kössük össze D-t O-val! Mivel AB a kör átmérője, és OD, valamint OC a kör sugarai, ezért AB = 2OD = 2OC. Így OD = DE, tehát EOD egyenlő szárú háromszög, ezért DEB szög = DOB szög = 18 o. és EDO szög = 144 o. Mivel CDO szög EOD háromszög külső szöge, ezért CDO szög = 36 o. OD = OC, ezért CDO háromszög egyenlő szárú, így DCO szög is 36 o, DOC szög pedig 180 o -2 36 o = 108 o. Tehát COA szög = 180 o -108 o -18 o = 54 o. 3. Három diák: Gábor, Laci és Peti elosztják a közös papírgyűjtés során kapott pénzt. Gábor 100 Ft-tal kevesebbet kap, mint a teljes összeg fele. A maradék felénél 100 Fttal többet kap Laci. Így Petinek 800 Ft maradt. Mekkora volt a teljes összeg, és ebből mennyi Gáboré és mennyi Lacié?
Legyen x az összes pénz fele! Ekkor Gábor (x - 100) forintot, Laci pedig a maradék (x + 100) forint felénél 100 Ft-tal többet kapott. A teljes 2x forint a három fiú között oszlik meg, ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: x 100 2x ( x 100)+( 100) 800 2 A zárójelek felbontása és összevonás után kapjuk a következőt: 2x = 1,5x + 850. Rendezünk, majd 2-vel szorzunk: x = 3400. Tehát 3400 forint értékű papírt gyűjtöttek a diákok, ebből Gábor 1700-100 = 1600, Laci pedig 1800 / 2 + 100 = 1000 forintot kapott. Ellenőrzés: 3400 / 2 = 1700, 1700-100 = 1600 forint Gábor része. A maradék 1800Ft fele 900Ft, Laci 1000 forinttal gyarapodott. Petinek 1800-1000 = 800 forint maradt. 4. Egy ló 31 nap alatt eszik meg egy kocsi szénát. Egy kecske kétszer annyi, egy juh pedig háromszor annyi nap alatt eszik meg egy-egy kocsi szénát. Hány nap alatt fogyaszt el egy kocsi szénát 2 ló, 3 kecske és 5 juh? 6 31 = 186 nap alatt egy ló 6 kocsi szénát, egy kecske 3 kocsi szénát, egy juh pedig 2 kocsi szénát eszik meg. 186 nap alatt 2 ló 12, 3 kecske 9, 5 juh 10 kocsi szénát fogyaszt el, együtt ezen idő alatt 31 kocsi szénát esznek meg. Tehát ez az állatsereglet egy kocsi szénát 186 : 31 = 6 nap alatt eszik meg. 5. Egy egyenlő szárú, derékszögű háromszög oldalaira,,kiféle" négyzeteket írtunk. E négyzeteknek a háromszög csúcsaitól különböző csúcsai egy hatszög csúcsai. A hatszög területe hányszorosa az eredeti háromszög területének?
Az ábra jelöléseit használjuk. A négyzet tulajdonságait fogjuk használni. ADEB négyzetnek meghúztuk az átlóit, a négyzet 4 darab, az eredeti ABC háromszöggel egybevágó háromszögből áll. K, A és I pontok egy egyenesbe esnek, hiszen az A pontnál fekvő szögek összege 45 o + 45 o + 90 o = 180 o. KA = AC = AI, tehát KDI derékszögű háromszögben DA súlyvonal, így az ADI háromszög területe megegyezik KAD háromszög területével, azaz ABC területével. Hasonlóan látható be, hogy FBE területe is megegyezik ABC területével. BFGC és HIAC négyzetek egy-egy átlóját meghúzva látjuk, hogy két-két ABC-vel egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögből állnak, területük így ABC területének kétszerese. GCH derékszögű háromszög két befogója egyenlő, mindkettő hossza megegyezik AB hosszával, ezért egybevágó ABC-vel, tehát területük megegyezik. Tehát a hatszög 12 darab ABC háromszöggel megegyező területű háromszögből áll, területe így a háromszög területének tizenkétszerese. 6. Bizonyítsunk be, hogy bármely öt pozitív egész szám között van három olyan, amelynek összege 3-mal osztható! Három szám összege akkor osztható 3-mal, ha 3-as maradékaik összege osztható 3- mal, ez a feltétel kétféleképpen teljesülhet: vagy a három számnak ugyanaz a 3-as maradéka (0, 1 vagy 2); vagy a három szám 3-as maradéka különböző. Ha az öt szám között mindegyik maradék előfordul, akkor készen vagyunk: veszünk egy 0, egy 1 és egy 2 maradékú számot, összegük osztható 3-mal. Ha legfeljebb kétféle maradékú szám van az öt szám között, akkor a skatulya-elv szerint az egyikféle maradékkal legalább 3 szám rendelkezik, így ezek összege osztható 3-mal. Ezzel minden esetet megvizsgáltunk, tehát a feladat állítása igaz.
7. Egy pozitív egész számról tudjuk, hogy 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel vagy 6-tal osztva egyaránt 1 a maradék, viszont 7-tel osztva nincs maradék. A 10000-nél nagyobb számok közül melyik az a legkisebb, amely a fenti tulajdonságokkal rendelkezik? Vonjunk ki a keresett számból egyet! Ez a szám 2-nek, 3-nak, 4-nek, 5-nek és 6-nak egyaránt többszöröse, tehát legkisebb közös többszörösükkel, 60-nal osztható. Keressük meg 60-nak azt a legkisebb többszörösét, amelyik 10000-nél nem kisebb! Ez a 10020. Ettől kezdve a következő többszöröst úgy kapjuk, ha a meglévő számunkat 60-nal növeljük. (10080, 10140, 10200,... ) A megoldás elején levont 1-et most hozzáadjuk a többszörösökhöz. (10021, 10081, 10141, 10201,...) 10021 lehet a legkisebb szám, ami a feladat feltételeinek megfelelhet. Ellenőrizzük, hogy osztható-e 7-tel! Sajnos nem, 4 maradékot kapunk. A következő számokat sorban kipróbáljuk, végül azt kapjuk, hogy a feladat feltételeinek megfelelő szám a 10381. Megjegyzés Aki nem szeret osztani, az a feladat befejezését másként is megoldhatja. Láttuk, hogy 10021 maradéka 7-tel osztva 4. 60-nak a 7-es maradéka 4, tehát amikor 60-nal növeljük a keresendő számot, akkor a 7-es maradék 4-gyel nő. Így a hetes maradékok sorban: 4, 1, 5, 2, 6, 3, 0. Összesen 6-szor növeltük a számot 60-nal, tehát a keresett szám a 10021 + 6 60 = 10381. 8. Egy nyelviskola 40 tanulója négy nyelvet tanulhat: angolt, németet, franciát és olaszt. A tanulók 85%-a angolul, 80%-a németül, 75%-a franciául, 70%-a olaszul tanul. Legalább hány tanuló tanulja mind a négy nyelvet? Angolul 34, németül 32, franciául 30, olaszul 28 gyerek tanul. Minden tanfolyamon minden tanulónak adjunk egy,,ellenőrzőt"! Összesen 28 + 30 + 32 + 34 = 124 ellenőrzőt osztottunk ki a tanfolyamokon. Jelentse x i azt, hogy hány gyerek tanul pontosan i nyelvet. Mivel 40 gyerek van, ezért (1) x 1 +x 2 + x 3 + x 4 = 40. Most számoljuk meg tanulónként, hogy hány ellenőrzőt osztottunk ki! Aki i darab tanfolyamon vesz részt, az i darab ellenőrzőt kap. Így (2) x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 124. Ha az első egyenletből kifejezzük x 3 -at, majd behelyettesítjük a második egyenletbe, ezt kapjuk: x 1 + 2 x 2 + 3 (40- x 1 x 2 - x 4 ) + 4 x 4 = 124. Rendezve: -2x 1 - x 2 +x 4 = 4. Mivel x 1 és x 2 nem negatív egész, így x 4 4-nél kisebb értéket nem vehet fel. Elképzelhető, hogy 4 gyerek tanulja mind a négy nyelvet: az alábbi (nem méretarányos) ábra szemlélteti azt, hogy melyik nyelvet hányan tanulják. (Az ábrán gy, a, n, f, o rendre a,,gyerekek", illetve az angolt, németet, franciát, olaszt tanulókat jelentik)
9. Hány olyan 3 jegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege páratlan? A három számjegy között, hogy összegük páratlan legyen, vagy 1 vagy 3 páratlan kell szerepeljen. Ha mindhárom páratlan, akkor mindhárom helyi értéken állhat az 1, a 3, az 5, a 7 vagy a 9 bármelyike. Ez 5 5 5 = 125 lehetőség. Ha egy páratlan és két páros van, akkor figyelnünk kell arra, hogy 0-val nem kezdődhet a szám. Ha a páratlan számjegy a százasok helyén áll, akkor a párosok választására mind a tízesek, mind az egyesek helyén öt lehetőségünk van. (0, 2, 4, 6, 8) Mivel az egyes helyeket egymástól függetlenül választjuk, ezért ebben az esetben is 5 5 5 = 125 számot kapunk. Ha a páratlan számjegy a tízesek (vagy az egyesek) helyén áll, akkor a százas helyi értéken álló szám megválasztására csak 4, míg a másik helyen szereplő jegyre 5 lehetőségünk van. Ez 2 4 5 5 = 200 újabb szám. Összesen 125 + 125 + 200 = 450 megfelelő számot kaptunk. 10. Három testvér különböző életkorú és betöltött éveik számának arányában osztoztak meg 87 talléron. A legidősebb, aki 13. életévét éppen betöltötte, 18 tallérral kapott többet, mint a legfiatalabb. Hány évesek a testvérek? Legyen a(=13), b és c a testvérek életkorának száma nagyság szerint, és egyben annak az aránya, ahogyan szétosztják a 87 tallért. A testvérek rendre: 87a ; 87b ; 87c aranyat kaptak. Mivel a legidősebb 18 tallérral többet kapott, mint a legfiatalabb, ezért felírható az alábbi egyenlet: 87 13 13 b c 87c 18 13 b c 3-mal egyszerűsítünk, majd a nevezővel szorzunk: 29 13 = 29c + 6 (13 + b+c). Rendezés után kapjuk a következő egyenlőséget: 23 13 = 35c + 6b. b és c egészek, c pedig, mivel legalább 2-vel kisebb a-nál, legfeljebb 11 lehet. A bal oldalon páratlan szám áll, a jobb oldalon 6b páros, így c páratlan. Készítsünk táblázatot c és b lehetséges értékeiről! c 1 3 5 7 9 11 b 44 nem egész nem egész 9 negatív negatív Látható, hogy csak az a = 13, b = 9 és c=7 számhármas felel meg a feltételeknek. A testvérek rendre 39, 27 és 21 tallért kaptak.