Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77
Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Egybevágóság Párhuzamos egyenesek A sokszögek szögei Speciális négyszögek Kör A háromszög-geometria elemei Hasonlóság Térgeometria Térbeli alakzatok. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 2 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 3 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Bizonyítás. 1. Ha egy egyenes merőlegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak egy merőleges állítható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 3 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Bizonyítás. 1. Ha egy egyenes merőlegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak egy merőleges állítható. 2. Ha egy egyenes metszi a tengelyt és önmagának tükörképe, akkor merőleges a tengelyre, mert a metszéspontban keletkező mellékszögek egymás tükörképei, tehát egyenlők. Ha két mellékszög egyenlő, akkor azok derékszögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 3 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 4 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A 1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A 2 pont rajta van a keresett merőlegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett merőleges így az A 1 A 2 egyenes, hisz két különböző félsíkban levő pontot köt össze, metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát merőleges a tengelyre). Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 4 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A 1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A 2 pont rajta van a keresett merőlegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett merőleges így az A 1 A 2 egyenes, hisz két különböző félsíkban levő pontot köt össze, metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát merőleges a tengelyre). Adott a t egyenes. A sík minden P pontja egyértelműen meghatározza a P-ből t-re bocsátott merőleges egyenest. Ennek t-vel alkotott T metszéspontja a merőleges talppontja, P merőleges vetülete. A PT egyenes a P pont vetítőegyenese. A PT szakasz hossza a P távolsága a t egyenestől. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 4 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 5 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Egy a szimmetriatengelyt metsző szakasz akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezőmerőlegese. (A merőlegességet már bizonyítottuk.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 5 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Egy a szimmetriatengelyt metsző szakasz akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezőmerőlegese. (A merőlegességet már bizonyítottuk.) Bizonyítás. 1. Ha F az AB felezőpontja és t a felezőmerőlegese, akkor az FA tükörképe a merőlegesség miatt az FB félegyenesen van. FA = FB miatt A tükörképe B. Tehát AB önmagának tükörképe. 2. Ha AB szimmetrikus és a tengelyt az F pontban metszi, akkor a szimmetria miatt AB merőleges a tengelyre és FA = FB. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 5 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 6 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metsző egyenesétől való távolsága egyenlő, ennek az egyenespárnak két szögfelező egyenese alkotja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 6 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metsző egyenesétől való távolsága egyenlő, ennek az egyenespárnak két szögfelező egyenese alkotja. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két pontjától egyenlő távolságra vannak, a két pont összekötő szakaszának felezőmerőlegese. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 6 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 7 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögű háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból a szemközti oldalra két merőleges lenne bocsátható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 7 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögű háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból a szemközti oldalra két merőleges lenne bocsátható. Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala. (szár, alap, szárszög, alapszög) Egy háromszög szabályos vagy egyenlő oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 7 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlő szárú, ha két szöge egyenlő. Bizonyítás. Ha ABC egyenlő szárú és csúcsa C, akkor a háromszöget a csúcsnál levő szög felezőjére tükrözzük. Ekkor a csúcsnál levő szög szárai helyet cserélnek, továbbá CA = CB miatt A és B is helyet cserél. Ezért az A-nál levő szög fedi a B-nél levő szöget. Így az alapon nyugvó két szög egyenlő. Ha egy háromszögben két szög egyenlő (BAC, ABC), akkor a háromszöget AB felezőmerőlegesére türözzük. Az AC és BC egyenes helyet cserél, s így C metszéspontjuk helyén marad. Tehát CA és CB egymás tükörképei. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 8 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Ha egy egyenlő szárú háromszög síkjában levő egyenes rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: 1. áthalad a csúcson, s merőleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, 4. merőlegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 9 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Ha egy egyenlő szárú háromszög síkjában levő egyenes rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: 1. áthalad a csúcson, s merőleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, 4. merőlegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is. Ha egy háromszög valamelyik csúcsán olyan egyenes halad át, amely rendelkezik ketővel a következő tulajdonságok közül: 1. merőleges a szemközti oldalra, 2. felezi a szemközti oldalt, 3. felezi a csúcsnál levő szöget, akkor a háromszög egyenlő szárú, s ennek ez az egyenes szimmetriatengelye. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 9 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlő szárú háromszögként, ezért teljesülnek rá az előzőekben mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120 -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 10 / 77
Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlő szárú háromszögként, ezért teljesülnek rá az előzőekben mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120 -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus. Helytelen a szóhasználat, hogy a háromszöget osztályozhatjuk szögei és oldalai szerint. A legnagyobb szög szerinti és a szimmetriák szerinti osztályzásról beszélhetünk ezek helyett. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 10 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Szögek, oldalak A háromszög külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180 -nál kisebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 11 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Szögek, oldalak A háromszög külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180 -nál kisebb. A két háromszögnek egy oldala közös, s az egyik háromszög a másikat tartalmazza, akkor a közös oldallal szemben a tartalmazó háromszögben kisebb szög van, mint a tartalmazottban. Bizonyítás! Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 11 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor vagy a két oldal is és a két szög is egyenlő vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 12 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor vagy a két oldal is és a két szög is egyenlő vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el. Az AB szakasz felezőmerőlegese olyan két félsíkra vágja a síkot, amelyek közül az A pontot tartalmazó félsíknak belső pontjai az A ponthoz, a B pontot tartalmazóéi a B ponthoz vannak közelebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 12 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 13 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 13 / 77
Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál. Három (nem feltétlenül különböző) pont három távolsága közül egyik sem lehet a másik kettő összegénél nagyobb, sem pedig a másik kettő különbségénél kisebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 13 / 77
Egybevágóság Egybevágósági transzformáció A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) Minden mozgás egybevágóság. A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 14 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Minden egybevágóság szögtartó. Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 15 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Minden egybevágóság szögtartó. Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők. Következmények: Minden tükrözés szögtartó, hiszen minden tükrözés egybevágóság. Egybevágó síkbeli alakzatok mozgással fedésbe hozhatók. Két egybevágó síkbeli alakzathoz található a síknak olyan egybevágósága, amely a két alakzatot egymáshoz rendeli. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 15 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha két oldal, s az általuk közrefogott szög, vagy egy oldal s a rajta nyugvó két szög a két háromszögben páronként egyenlő. Két háromszög egybevágó, ha bennük egy oldal, a szemközti szög és egy az oldalon nyugvó szög páronként egyenlő. Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s ezek közül a nagyobbikkal szemben fekvő szögük páronként egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 16 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Három oldal és három szög a háromszög hat adata. Két háromszög egybevágósága következik abból, hogy három szögük és három oldaluk közül három-három megfelelő adat egyenlő, kivéve két esetet: 1. két oldal és a kisebbikkel szemközti szög egyenlő 2. három szög egyenlő. Általánosan egy háromszög ismeretéhez három független adatra van szükségünk. (Adatokat függetleneknek mondunk, ha nincs olyan összefügés, amelyet ezeknek az adatoknak teljesíteni kell.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 17 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a kettő egyszerre növekszik vagy csökken. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 18 / 77
Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a kettő egyszerre növekszik vagy csökken. Ha két derékszögű háromszög átfogója egyenlő, és e háromszögeknek egy-egy hegyesszögét tekintjük, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora e két szög, s az ezekkel szemközti két befogó, vagy ugyan abban a háromszögben van a két szög közül s a velük szemközti befogók közül a nagyobbik. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 18 / 77
Definíció Párhuzamos egyenesek Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 19 / 77
Definíció Párhuzamos egyenesek Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül fekő pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 19 / 77
Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 20 / 77
Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 20 / 77
Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többiből levezetni... Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 20 / 77
Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkező nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metsző egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlő legyen. Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindkettő merőleges ugyan arra a harmadik egyenesre. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 21 / 77
Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkező nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metsző egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlő legyen. Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindkettő merőleges ugyan arra a harmadik egyenesre. Ha a síkban egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikét metszi, akkor metszi a másikat is. Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikével párhuzamos, akkor párhuzamos a másikkal is. Ha a sík két egyenese párhuzamos ugyan azzal az egyenessel, akkor ez a két egyenes is párhuzamos egymással. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 21 / 77
Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 22 / 77
Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészítő szögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 22 / 77
Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészítő szögek. Ha a síkban két konvex szög szárai egymásra páronként merőlegesek, s az egyik szög száraiból a másik szög szárai ugyan olyan irányú 90 -os elforgatással keletkeznek, akkor a két szög egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 22 / 77
A sokszögek szögei A háromszög szögeinek összege A háromszög szögeinek összege 180. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 23 / 77
A sokszögek szögei A háromszög szögeinek összege A háromszög szögeinek összege 180. Derékszögű háromszög hegyesszögei pótszögek. A háromszögnek egy külső szöge a nem mellette fekvő belső szögek összegével egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 23 / 77
Sokszögek A sokszögek szögei Konvex n-szög szögeinek összege (n 2)π. Konvek sokszög külső szögeinek összege 360. n-szög szögeinek összege (n 2)π. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 24 / 77
Definíciók Speciális négyszögek Ha egy négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos, parallelogrammának nevezzük. Ha egy négyszög szögei mind egyenlők, téglalapnak nevezzük. Mivel a szögösszeg 360, a téglalap minden szöge derékszög, tehát a szemközti oldalak párhuzamosak. A téglalap is parallelogramma. Ha egy négyszög oldalai mind egyenlők, rombusznak nevezzük. A rombusz is parallelogramma. Ha egy négyszögnek oldalai és szögei is egyenlők, négyzetnek nevezzük. A négyzet is parallelogramma, olyan, ami téglalap is és rombusz is. Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük. A két párhuzamos oldala a trapéz két alapja, a másik kettő a két szára. Ha egy négyszög két-két szemközti szöge egyenlő, szimmetrikus trapéznak (húrtrapéz) nevezzük. Ha egy négyszögnek két-két szomszédos oldala egyenlő, deltoidnak mondjuk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 25 / 77
Parallelogramma Speciális négyszögek Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha: két-két szembenfekvő oldala párhuzamos, két-két szembenfekvő oldala egyenlő, két-két szembenfekvő szöge egyenlő, két szembenfekvő oldala párhuzamos és egyenlő, két átlója felezi egymást, a négyszög egy pontra nézve szimmetrikus. Ha egy négyszög e feltételek valamelyikét kielégíti, akkor kielégíti a többit is. Egy parallelogramma alakját két csatlakozó oldala, s az általuk bezárt szög egyértelműen meghatározza. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 26 / 77
Parallelogramma Speciális négyszögek Két párhuzamos egyenest összekötő szakaszok felezőpontjai a középpárhuzamusokon vannak. A parallelogramma szemközti oldalainak felezőpontját összekötő szakasz a parallelogramma középvonala. A parallelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő két prallelogramma oldallal, áthalad a parallelogramma középpontján, és ez a felezőpontja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 27 / 77
Téglalap Speciális négyszögek Ha egy négyszög három szöge derékszög, akkor az téglalap. Ha egy parallelogramma egyik szöge derékszög, akkor az téglalap. Egy téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy téglalapot egy étlója két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Egy parallelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 28 / 77
Rombusz Speciális négyszögek Ha egy parallelogramma két szomszédos oldala egyenlő, akkor az rombusz. A rombusz alakját egy oldalhossza és egy szöge egyértelműen meghatározza. A rombusz átlói a szögeit felezik. A rombusz nemcsak középpontjára, hanem átlóira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy parallelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek. Mivel a négyzet téglalap és rombusz is, ezért az előző megállapítások mind teljesülnek rá. A négyzet alakját oldalhossza egyértelműen meghatározza. A négyzet középpontjára, középvonalaira és átlóira is szimmetrikus. A négyzetet egy átló két, két átló négy, két átló és két középvonal nyolc egybevágó egyenlő száru derékszögű háromszögre bontja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 29 / 77
Trapéz Speciális négyszögek A parallelogramm is trapéz. Egy-egy száron kiegészítő szögek nyugszanak. A szárak felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival. és hossza azokénak számtani közepe. Ha egy trapéz egyik alapján két egyenlő szög nyugszik, akkor a másik két szög is egyenlő (kiegészítő szögek). Ilyenkor szimmetrikus trapézról besélünk. Egy szimmetrikus trapéz valóban szimmetrikus idom, szárai és átlói egymással egyenlőek, szimmetriatengelye merőlegesen felezi a párhuzamos oldalakat, áthalad az átlók metszéspontján, áthalad a szárak metszéspontján. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 30 / 77
Deltoid Speciális négyszögek Nem minden deltoid konvex, minden rombusz is deltoid. Az az átló, amelyiknek a végpontjaiban egyenlő oldalak találkoznak, a deltoidot két egybevágó háromszögre bontja fel. Ez az átló felezi az egyenlő oldalak által bezárt szögeket, s a deltoid szimmetrikus erre az átlóra nézve. Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha egyik átlója merőlegesen felezi a másikat. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 31 / 77
Kör Kör A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 köös pontja van aszerint, hogy a középpontnak az egyenestől való távolsága a kör sugaránál nagyobb, azzal egyenlő, vagy annál kisebb. szelő, húr, átmérő, középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 32 / 77
Érintő Kör Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) A kör bármely pontjában egyetlen érintő úzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 33 / 77
Érintő Kör Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) A kör bármely pontjában egyetlen érintő úzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Egy a körön kivül levő pontból a körhöz vont két érintőn e pont az érintési pontokkal együtt két egyenlő szakaszt határoz meg. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 33 / 77
Húr Kör Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 34 / 77
Húr Kör Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Egy kör átmérője minden rá merőleges húr felezőpontját tartalmazza, meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintők metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintők érintési pontjai. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 34 / 77
Kör Középponti és kerületi szögek A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot. A kerületi szög kétszerese egyenlő az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. Minden átmérőn nyugvó kerületi szög derékszög. Egy kör egybevágó körívein egyenlő kerületi szögek nyugszanak. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 35 / 77
Látószög Kör Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 36 / 77
Látószög Kör Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. (Thales) A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekből egy megadott szakasz derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait. (előző tétel speciális esete) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 36 / 77
A háromszög-geometria elemei háromszög köréírt köre, s annak sugara súlyvonal, súlypont háromszögbe írt kör, s annak sugara háromszöghöz írt kör, s annak sugara magasságvonal, magasságpont magasságvonal, magasságtétel befogótétel, Pythagoras tétele Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 37 / 77
Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 38 / 77
Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ OQ Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 38 / 77
Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ OQ Ha λ > 0, akkor a Q pont az OQ félegyenesen van. Ha λ < 0, akkor a Q pont az OQ egyenes Q-t nem tartalmazó félegyenesén van. A λ hányadost a középpontos hasonlóság arányának nevezzük. λ > 1 nagyítás 0 < λ < 1 kicsinyítés λ = 1 identitás λ = 1 középpontos tükrözés Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 38 / 77
Alaptételek Hasonlóság (Párhuzamos szelők tétele) Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. (Párhuzamos szelők tételének megfordítása) Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek az aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos. (Párhuzamos szelő szakaszok tétele) Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyes szárakból lemetszett szeletek arányával. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 39 / 77
Hasonlóság A középpontos hasonlóság tulajdonságai A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. Az O középpontra illeszkedő egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedő egyenes invariáns alakzat. Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. Ha egymás után két középpontos hasonlóságot alkalmazunk, akkor olyan középpontos hasonlósághoz jutunk, melynek aránya a két alkalmazott hasonlóság arányainak szorzata. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 40 / 77
Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 41 / 77
Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f g g f Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 41 / 77
Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f g g f Tulajdonságok: Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. A hasonlósági transzformáció aránytartó. Ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszúságát λ- szorosára (λ > 0) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció. Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 41 / 77
Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 42 / 77
Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 42 / 77
Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők két-két szögük páronként egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 42 / 77
Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők két-két szögük páronként egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők Két sokszög hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya egyenlő, megfelelő oldalaik aránya egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 42 / 77
Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 43 / 77
Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes metszők (síkot határoznak meg) kitérők - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 43 / 77
Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes metszők (síkot határoznak meg) kitérők - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak egyenes - sík illeszkedő - egynél több közös pontjuk van metsző - egy közös pontjuk van (döféspont) párhuzamos - nincs közös pontjuk Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 43 / 77
Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. sík - sík metszők párhuzamosak 1. Két egymást metsző sík közös pontjai egy egyenest alkotnak. 2. Egy egyeneshez illeszkedő sík az egyenessel párhuzamos síkot az egyenessel párhuzamos egyenesben metszi. 3. Egy egyenessel párhuzamos két sík metszésvonala az egyenessel párhuzamos. 4. Ha két sík olyan, hogy minden egyenes, mely az egyiket metszi, metszi a másikat is, akkor a két sík párhuzamos. 5. Ha két sík párhuzamos egy harmadikkal, akkor a kért sík egymással is párhuzamos. 6. két párhuzamos sík egyikét metsző sík metszi a másikat is, s a két metszésvonal egymással párhuzamos. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 44 / 77
Térgeometria Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 45 / 77
Térgeometria Két kitérő egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a hajlásszög nem függ a pont megválasztásától. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 46 / 77
Térgeometria Két kitérő egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a hajlásszög nem függ a pont megválasztásától. Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére. (Síkra merőleges egyenes tétele) Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra. Bizonyítás! (SDT) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 46 / 77
Térgeometria Egyenes és sík hajlásszöge Egy P pontból az α síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy e egyenes nem merőleges az α síkra, akkor két pontjának merőleges vetületére illeszkedő e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 47 / 77
Térgeometria Egyenes és sík hajlásszöge Egy P pontból az α síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy e egyenes nem merőleges az α síkra, akkor két pontjának merőleges vetületére illeszkedő e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével bezár. Egy síknak és a vele párhuzamos egyenesnek a halásszöge 0. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 47 / 77
Síkok hajlásszöge Térgeometria Két metsző sík hajlásszögének meghatározásához legyen P a két sík metszésvonalának egy tetszőleges pontja. P-ben a két sík mindegyikén egy-egy merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge megegyezik ezen két egyenes hajlásszögével. Két párhuzamos sík hajlásszöge 0. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 48 / 77
Térgeometria Térelemek távolsága Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévő merőleges vetületének a távolságát értjük. Sík és a síkkal párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól mért távolságát értjük. Két párhuzamos sík távolságán valamelyik sík egy tetszőleges pontjának a másiktól mért távolságát értjük. Két kitérő egyenes távolságán annak a szakaszak a hosszúságát értjük, amely a két kitérő egyenes mindegyikét metsző és mindkettőre merőleges egyenes, a két kitérő egyenes között van. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 49 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 50 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Értelmezés: Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek, az élek végpontjait csúcsoknak nevezzük. A csúcsokat összekötő, s az élektől különböző szakaszokat lapátlóknak, illetve testátlóknak nevezzük. Egy csúcsból kiinduló élek félegyenesei által képzett szögtartományok összessége a teret két részre osztja, amelyet testszögletnek nevezünk. A két testszöglet közül azt, amelyik a poliéderhez tartozik, a poliéder testszögletének nevezzük. A poliéder két élének szögét a poliéder élszögének, két lapjának szögét a poliéder lapszögének nevezzük. A határoló sokdzöget területének összege a poliéder felszíne. Ha a poliédert elég sok éle mentén felvágva síkba teríthetjük, a poliéder kifejtéséről beszélünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 50 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 51 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 51 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 51 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Félszabályos poliéder: minden lapja szabályos sokszög, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon veszik körül. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 51 / 77
Poliéder Térbeli alakzatok. Az egyszerű poliéder minden éle pontosan két laphoz tartozik. Egy csúcsból annyi él indul ki ahány lap alkotja a testszögletet. Az egyszerű poliéder két lapjának egy-egy A, B pontja mindíg összeköthető a felületen haladó töröttvonallal, amely nem megy át a csúcsokon. Az egyszerű poliéder két csúcsa mindíg összeköthető élekből álló töröttvonallal. (Euler poliédertétele) Az egyszerű poliéder éleinek száma kettővel kevesebb, mint a lapok és csúcsok számának összege. Azaz c e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 52 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 53 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 53 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Ha az alkotók merőlegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 53 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Ha az alkotók merőlegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 53 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 54 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 54 / 77
Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet. A paralelepipedon centrálszimmetrikus. Az egyenes hasáb palástjának kifejtése téglalap, amelynek alapja az alapsokszög kerületével, magassága a hasáb magasságával egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 54 / 77
Gúla Térbeli alakzatok. Gúlafelület: egy sokszögvonal minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvő pontból félegyeneseket húzunk. A félegyenesek a gúlafelület alkotói. Ha a gúlafelületet egy olyan síkkal metszünk, amely minden alkotót metsz, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt gúlának nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 55 / 77
Gúla Térbeli alakzatok. Ha a gúla alapja konvex, akkor a gúla is konvex alakzat. A gúla oldallapjai egybevágó, egyenlő szárú háromszögek. A szabályos gúla oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 56 / 77
Szabályos testek Térbeli alakzatok. Szabályos testszöglet: testszöglet, amelynek lapjai és lapszögei egybevágók Szabályos test: konvex poliéder, melynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők. A szabályos test lapjai egybevágó szabályos sokszögek, testszögletei egybevágó szabályos testszögletek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 57 / 77
Térbeli alakzatok. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 58 / 77
Öt szabályos test Térbeli alakzatok. Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel kijjebről nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 59 / 77