TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben http://zanza.tv/matematika/geometria/hegyesszogek-szogfuggvenyei-i http://zanza.tv/matematika/geometria/hegyesszogek-szogfuggvenyei-ii Derékszögű háromszög területe: T = ab = cm Pitagorasz tétel: Derékszögű háromszögben az átfogó hosszának négyzete egyenlő a befogók hosszának négyzetösszegével. c = a + b Thales tételének megfordítása: A derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja. Így a köré írt kör sugara az átfogó hosszának a fele. R = c Magasságtétel: Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. m p q Befogótétel: Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. a p c illetve b q c Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói: Egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinusza a szöggel szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. egy hegyesszög koszinusza a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. egy hegyesszög tangense a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának hányadosa. egy hegyesszög kotangense a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának a hányadosa. sin α = a c sin β = b c cos α = b c cos β = b c tg α = a b tg β = b a ctg α = b a ctg β = a b
) A megadott két adat alapján számolja ki az ábrán megjelölt hiányzó adatokat! (a,b befogók; c átfogó; α, β hegyesszögek; m átfogó magassága; T terület) ) Egy derékszögű háromszög átfogója 8, cm hosszúságú, egyik szöge. Számítsuk ki a megadott szöggel szemközti befogó hosszát! ) Egy derékszögű háromszög átfogója 6,7 dm, egyik szöge 9,. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. 4) Egy derékszögű háromszög egyik szöge 6,8 -os és ezzel a szöggel szemközt 8, cm hosszúságú befogó található. Számítsuk ki a háromszög átfogójának és a másik befogónak a hosszát! 5) Egy derékszögű háromszög átfogója 4 cm, míg egyik befogója cm hosszú. Határozzuk meg az adott befogóval szemközti szöget! 6) Egy derékszögű háromszög két oldala 6 cm, illetve 54 cm hosszú. Számítsuk ki a háromszög ismeretlen oldalával szemközti szögét! 7) Egy torony tetejét árnyékénak végpontjával összekötő szakasz a vízszintes talajjal 0 -os szöget zár be. Az árnyék hossza 5 m. Milyen magas a torony? 8) Egy díszlettervező olyan színpadi lépcsőt tervezett, amely a színpaddal 5 -os emelkedési szöget zár be, és egy m magas dobogóra visz. A dobogó szélétől számítva mekkora távolságra kell a lépcsőnek indulnia? 9) Egy egyenes szakasz emelkedése 000 méteren 80 m. Határozzuk meg az útszakasz vízszintestől számított emelkedési szögét! 0) Egy pincébe vezető lejárat mélysége cm, míg a lejárat vízszintesre való merőleges vetülete 44 cm. Mekkora a lejárat hajlásszöge a vízszinteshez képest? ) Egy 400 m hosszú egyenes útszakasz emelkedése 0 m. Mekkora az emelkedés szöge? ) Egy lejtő a vízszintessel 8 -os szöget zár be, a vízszintesre eső merőleges vetülete 4,6 m. Milyen magasról érkezik a lejtő? ) Egy téglalap alakú papírlap oldalai és 8 cm hosszúak. A szomszédos oldalak harmadolópontjait összekötve a lap négy sarkát egy-egy egyenes szakasszal vágjuk. (lásd.: ábra) Így az ABCDEFGH nyolcszöglapot kapjuk. Számítsa ki a nyolcszög B csúcsánál fekvő belső szög nagyságát! 4) Az ABCD rombusz egy oldala 6 cm hosszú, a BCD szög 0º. Mekkora a rombusz AC átlója? 5) Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) egyik alapjának hossza 7 cm, ezen az alapon fekvő szögei 60 -osak. A trapéz szárai 4 cm-esek. Számítsa ki a másik alap hosszát! Számítását részletezze!
Az egységkör a szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/legyen-minden-szamnak-szinusza-es-koszinusza http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/ne-csak-hegyesszognek-legyen-tangense Definíció: Az α szög koszinuszán értjük az α irányszögű egységvektor végpontjának x koordinátáját. Az α szög szinuszán értjük az α irányszögű egységvektor végpontjának y koordinátáját.. Az alábbi azonosságok következnek a definícióból: sin α = sin(80 α) cos α = cos(80 α) sin α = sin(60 α) cos α = cos(60 α) Definíció: Az α szög tangensén értjük az α szög szinuszának és koszinuszának hányadosát. tg α = sin α cos α 6) Számológép segítségével határozzuk meg az alábbi szögek, szinuszát, koszinuszát és tangensét. Ahol szükséges, ott kerekítsünk négy tizedes jegy pontossággal. a) sin 0 = cos 0 = tg 0 = b) sin 50 = cos 50 = tg 50 = c) sin 90 = cos 90 = tg 90 = d) sin 70 = cos 70 = tg 70 = e) sin 45 = cos 45 = tg 45 = f) sin 5 = cos 5 = tg 5 = g) sin 0 = cos 0 = tg 0 = h) sin 40 = cos 40 = tg 40 = i) sin 80 = cos 80 = tg 80 = j) sin 0 = cos 0 = tg 0 = 7) Számológép segítségével határozzuk meg az alábbi 0 és 60 közötti szögeket. Ahol szükséges, ott kerekítsünk két tizedes jegy pontossággal. (Segítség: A legtöbb helyen két megoldás van!) a) sin α = 0,5 sin β = sin γ = sin δ = 5 sin ε = 0 b) cos α = 0,5 cos β = cos γ = cos δ = cos ε = 0 c) tg α = 0,5 tg β = 5 tg γ = tg δ = tg ε = 0 Nevezetes szögek szögfüggvényei: Néhány nevezetes szögnek pontosan kell tudnunk megadni a szinuszát, koszinuszát, tangensét. A függvénytáblázatban ezek is megtalálhatók. 8) A tanult összefüggések és a megadott nevezetes szögek szögfüggvényei segítségével töltsük ki a táblázat hiányzó sorait. sin cos tg sin cos tg 0 0 0 0 45 0,866 0,577 0 0,707 0,707 5 60 0,866,7 40 90 0-70 0 00 5 5 50 0 80 0 0 60
Trigonometria alkalmazása hegyesszögű és tompaszögű háromszögek esetében http://zanza.tv/matematika/geometria/szinusztetel http://zanza.tv/matematika/geometria/koszinusztetel http://zanza.tv/matematika/geometria/kerulet-es-terulet-kiszamitasa-szinusztetel-es-koszinusztetel-segitsegevel Tétel: A háromszög területe két oldal hosszának és az általuk közbezárt szög szinusza szorzatának a felével egyenlő. T = ab sin γ Szinusztétel: A háromszögben két oldal hosszának aránya a velük szemközti szögek szinuszainak az arányával egyenlő. a sin α = b sin β = c sin γ Koszinusztétel: Egy háromszög egyik oldalhosszának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. c = a + b ab cos γ MINTAFELADAT - Adatok kiszámítása egy adott oldalból és két adott szögből. Egy háromszög egyik oldala 5 cm. A rajta fekvő szögek és 4. Számítsa ki a háromszög oldalait, és a háromszög területét. A háromszög harmadik szöge: α = 80 + 4 = 05 Szinusztétel segítségével kiszámolhatjuk a másik két oldal hosszát*: a sin α = b a sin β sin α = c sin γ 6 sin 05 = b 6 sin 4 sin 05 = c sin 6 sin 4 6 sin sin 05 = b sin 05 = c b 4, 4 cm c, 9 cm Az oldalak és szögek ismeretében pedig bármely két oldalból és közbezárt szögéből kiszámolhatjuk a területet. T = ab sin γ 6 4,4 sin 6, 74 cm * Megjegyzés: A harmadik oldal kiszámításához koszinusztételt is alkalmazhatunk. 4
MINTAFELADAT - Adatok kiszámítása két adott oldalból és közbezárt szögből. Egy háromszög két oldalának hossza 4 cm és 8 cm. A közbezárt szögük 55. Számítsa ki a háromszög harmadik oldalát és szögeit. A koszinusztétel segítségével kiszámíthatjuk a harmadik oldal hosszát. c = a + b ab cos γ = 6 + 64 64 cos 55 4,9 c 6, 58 cm Szintén a koszinusztétel segítségével pedig meghatározhatjuk az egyik ismeretlen szögét. a = b + c bc cos α 8 = 4 + 6,58 4 6,58 cos α 64 = 6 + 4,964 5,64 cos α 64 = 59,964 5,64 cos α 4,706 = 5,64 cos α 0,0894 cos α α 95, / 59,964 /: ( 5,64) Két szögének ismeretében pedig könnyedén meghatározható a harmadik. β 80 55 + 95, = 9, 87 MINTAFELADAT - Adatok kiszámítása két adott oldalból és hosszabbik oldallal* szemközti szögből. Egy háromszög két oldalának hossza 5 m és 6 m. A hosszabbikkal szemközti szög 80. Számítsa ki a háromszög harmadik oldalát és szögeit. Szinusztétel segítségével kiszámíthatjuk a rövidebb oldallal szemközti szöget. a sin α = b sin β 5 sin α = 6 sin 80 / sin α ; sin 80 5 sin 80 = 6 sin α /: 6 5 sin 80 = sin α 6 0,807 sin α α 55, 5 Két szögének ismeretében könnyedén meghatározható a harmadik. γ 80 55,5 + 80 = 44, 85 A koszinusztétel segítségével kiszámíthatjuk a harmadik oldal hosszát. c = a + b ab cos γ = 5 + 6 60 cos 44,85 8,467 c 4, cm *Megjegyzés: Amennyiben a rövidebbik oldallal szemközti szög van megadva, akkor nincs egyértelműen meghatározva a háromszög. A feladatnak két megoldása is lehet, vagy egyáltalán nincs megoldása. Negyedik típuspélda: Határozza meg a háromszög szögeit, ha a háromszög oldalai, 5, és 6 cm hosszúak. A szögek meghatározásához a koszinusztételt kell alkalmazni a -es mintafeladatban ismertetett módszerrel. A megoldást az alábbi ábrán találjuk. 5
9) Az ábrákon feltüntetett adatok felhasználásával határozzuk meg a háromszögek hiányzó szögeit, oldalait és területét. Válogatott érettségi feladatok: 0) Egy derékszögű háromszög átfogója 4,7 cm hosszú, az egyik hegyesszöge 5,5. Hány cm hosszú a szög melletti befogó? Készítsen vázlatot az adatok feltüntetésével! Válaszát számítással indokolja, és egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! ) Az ábrán látható háromszögben hány cm hosszú az 56 -os szöggel szemközti oldal? (Az eredményt egy tizedes jegy pontossággal adja meg!) ) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója cm hosszú. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? (Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!) ) Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal? A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg! 4) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei? A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! 5) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyben az átfogó hossza, az α hegyesszög melletti befogó hossza pedig sin α. Mekkora az α szög? Válaszát indokolja! 6) A vízszintessel 6,5 -ot bezáró egyenes út végpontja 4 méterrel magasabban van, mint a kiindulópontja. Hány méter hosszú az út? Válaszát indokolja! 7) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? 8) Melyek azok a 0º és 60º közé eső szögek, amelyeknek a tangense? 9) Hány fokos az a tompaszög, amelynek a tangense? 6
Összetettebb feladatok 0) Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 8 km. A rengés középpontja a sziget partjától 7 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? ) Egy függőleges tartórúdra a talajtól 4 m magasan mozgásérzékelőt szereltek, a hozzákapcsolt lámpa 40º-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé. Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével! a) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont? b) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 5 m távolságra van? ) Egy paralelogramma egyik átlója 6 cm hosszú. Ez az átló a paralelogramma egyik szögét 8 és 7 nagyságú szögekre osztja. Mekkorák egész számra kerekítve a paralelogramma szögei, oldalai, kerülete és területe? ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög 50º és 60º. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira. E három pont a háromszög csúcsaival együtt egy konvex hatszöget alkot. a) Mekkorák a hatszög szögei? b) Számítsa ki a hatszög azon két oldalának hosszát, amely a háromszög 60º-os szögének csúcsából indul! c) Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? 4) Tekintsük azt a háromszöget, amelynek oldalait az ábrán látható téglatest három különböző hosszúságú lapátlója alkotja. Mekkora ennek a háromszögnek a legkisebb szöge? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! 5) Egy négyzet és egy rombusz egyik oldala közös, a közös oldal cm hosszú. A négyzet és a rombusz területének az aránya :. a) Mekkora a rombusz magassága? b) Mekkorák a rombusz szögei? c) Milyen hosszú a rombusz hosszabbik átlója? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg! 6) Valamely derékszögű háromszög területe cm, az α hegyesszögéről pedig tudjuk, tgα =. a) Mekkorák a háromszög befogói? b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara? (A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát centiméterben szintén egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) 7) A következő kérdések ugyanarra a 0 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak. a) Mekkorák a sokszög belső szögei? Mekkorák a külső szögei? b) Hány átlója, illetve hány szimmetriatengelye van a sokszögnek? Hány különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból? c) Milyen hosszú a legrövidebb átló, ha a szabályos sokszög beírt körének sugara 5 cm? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg! 8) Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 4 cm, AC = cm, a BCA szög nagysága pedig 40. a) Számítsa ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! b) Számítsa ki az AB oldal hosszát! Válaszait cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja pedig legyen D. c) Határozza meg az AEDC négyszög területét! Válaszát cm -ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! 7
9) Az ábrán látható ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 4 mm, δ = 47. a) Számítsa ki az ABC háromszög területét! b) Számítással igazolja, hogy (egész milliméterre kerekítve) a háromszög BC oldalának hossza 60 mm! c) Számítsa ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! 40) Ervin és Frédi két magányos jegenyefa távolságát szeretnék meghatározni, de távolságukat közvetlenül nem tudták lemérni. A sík terepen a következő méréseket végezték el: Először kerestek egy olyan tereppontot, ahonnan a két fa derékszög alatt látszott. Ebből a T pontból Ervin az egyik fát és a T pontot összekötő egyenes mentén 0 métert gyalogolt a fával ellenkező irányba. Innen a két fa 40 -os szög alatt látszott. Frédi a másik fát és a T pontot összekötő egyenes mentén szintén 00 métert gyalogolt a fával ellenkező irányba. Ebből a pontból a két fa 7 -os szög alatt látszott. A mért adatok alapján készítsen el egy térképvázlatot, az adatok feltüntetésével! Számítsa ki, milyen messze van egymástól a két fa? (A távolságukat méterre kerekítve adja meg!) 4) Az alábbi ábrán egy négyszög alakú telekről készített vázlat látható. Hány négyzetméter a telek területe? Válaszát százasokra kerekítve adja meg! 4) Az ábrán egy vasalódeszka tartószerkezetének méreteit láthatjuk. A vasalódeszka a padlóval párhuzamos. Az egyik tartórúd 4 cm hosszú. a) Hány cm a másik tartórúd hossza? b) Hány cm magasan van a padlóhoz képest a vasalófelület, ha a vasalódeszka cm vastag? 8
Megoldások:.).) kb. 6,5 cm hosszú a szemközti befogó.) kb.5, cm hosszú a szög melletti befogó 4.) Az átfogó kb. 4,06 cm, a másik befogó kb.,5 cm. 5.) A befogóval szemközti szög pontosan 0. 6.) Ha az ezek egy befogó és átfogó a szög 6,4, különben 90. 7.) A torony kb. 0 m magas. 8.) 7,46 méterről kell indulnia. 6.) 7.) 8.) 9.) Az emelkedési szög kb. 4,57. 0.) A lejárat hajlásszöge 8,4..) Az emelkedése kb.,4..) A lejtő kb.,49 m-ről érkezik..) A B csúcsnál lévő szög kb.,7. 4.) Az AC átló 6 cm hosszú. 5.) A rövidebbik alap cm hosszú. a) 0,5 0,866 0,5774 b) 0,5 0,866 0,5774 c) 0 d) 0 e) 0,707 0,707 f) 0,707 0,707 g) 0,8660 0,5,7 h) 0,8660 0,5,7 i) 0 0 j) 0 0 a) b) c) α 4,48 α 65,5 α 75,5 α 84,8 α 66,04 α 46,04 β,58 β 56,4 β 70,5 β 89,47 β 78,69 β 58,69 γ = 90 γ = 0 γ = 45 γ = 5 δ = 60 δ = 0 δ = 45 δ = 5 δ = 60 δ = 40 ε = 0 ε = 80 ε = 90 ε = 70 ε = 0 ε = 80 sin cos tg sin cos tg 0 0 0 0 0,866 0,577 0 45 0,707 0,707 5 60 0,866,7 40 90 0-70 0-0 00 5 5 50 0 80 0 0 60 0 0 9
9.) 0.) A befogó hossza kerekítve:,9 cm..) Az oldal körülbelül 6, cm..) A hegyesszögek: és 67..) A keresett szög 7. 4.) Az alapon fekvő szögek 65º-osak. 5.) α = 45. 6.) 095 méter hosszú az út 7.) A keresett szög 60º. 8.) Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km. 9.) 60º és 40. 0.) A tompaszög: 5..) a),7 m-re van a legtávolabbi pont a lámpától. b) A 5 méterre levő pont már nincs megvilágítva..) A paralelogramma egyik szöge 65, a másik szöge 5. Oldalai körülbelül 8 és cm. Kerülete 8 cm, területe 80 cm..) a) A keletkezett hatszög szögei: 40º; 00º; 0º, 5º; 0º; 5º. b) A hatszög keresett két oldalának hossza egyaránt, cm. c) A hatszög területe 5,4 cm. 4.) A legkisebb szög 5.) a) A rombusz magassága 6,5 cm. b) A rombusz szögei 50 és 0. c) Az átló 5, cm. 6.) a) A befogók hossza 6 cm és 4 cm. b) Az α hegyesszög 56,, a másik hegyesszög,7 -os. A kör sugara,6 cm. 7.) a) A belső szögek 6 -osak, a külső szögek 8 -osak. b) Az összes átlók száma 70. Összesen 0 szimmetriatengelye van a sokszögnek. 9 különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból. c) A legrövidebb átló 9,8 cm. 8.) a) A keresett magasság 7,7 cm. b) A keresett oldal hossza 9, cm c) A négyszög területe 40,5 cm. 9.) a) A háromszög területe70 mm. c) A keresett szög 0. 40.) A fák távolsága méterre kerekítve. 4.) A telek területe (százasokra kerekítve) 0 900 m. 4.) a) A DE tartórúd 09 cm hosszú. b) A vasalófelület (90+=) 9 cm magasságban van a padló felett. 0