Matematika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
Fontos tudnivalók Formai előírások:. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Tartalmi kérések:. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon!. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az így adott pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül egy, a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek ugyan hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 0. A vizsgafeladatsor II. B részében kitűzött 3 feladat közül csak feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga / 3 0. május 8.
. x 3 = 0 x = 3 I. Összesen: pont Az indoklás nélküli válasz is teljes értékű.. a + b pont Összesen: pont Ha a leírt válaszból nem derül ki, hogy a és b vektorok, akkor jár. 3. x = 3 pont Összesen: pont 4. A g függvény grafikonjának betűjele: B. pont A zérushely: ( x = ). 5. 6 5 féle lehetőség van. pont Fogadjuk el a -et is! 4 Összesen: pont 6. Helyes ábra. A z u x y v w B A B = {x; y} Összesen: pont 7. t t0 q = t = 50000, A befektetési jegy értéke: 60 500 Ft. Ez a két pont megadható, ha képlet nélkül felírja: 50000,. Ha jól kiszámolja az év múlva aktuális értéket, és aztán rosszul folytatja, kapjon ot! írásbeli vizsga 3 / 3 0. május 8.
8. y lehetséges értékei: ; 4; 7. pont Összesen: pont Egy vagy két jó érték megadása. Ha hibás y érték is szerepel a megoldásban, nem jár pont. 9. A maximumhely: 6. A maximum értéke: 3. Összesen: pont 0. Az ábrán pontosan egy harmadfokú, pontosan három másodfokú, pontosan egy elsőfokú pont van.. ( x ) + ( y + ) = 5 Összesen: 3 pont pont A középpont az O(; ) pont, a sugár 5. Helyes ábra esetén jár mind a 3 pont. Ez a pont akkor is jár, ha a függvénytáblázat megfelelő képleteit jól alkalmazza.. A: hamis. B: hamis. C: igaz. írásbeli vizsga 4 / 3 0. május 8.
II. A 3. a) 0 =, pont Pali állítása hamis. 3. b) 0 = a + 36 a = 6 Összesen: pont 3. c) első megoldás 6 + ( n ) 4 00 pont n 3,5 ; tehát 33-dik tagja a sorozatnak. A keresett tag a 33 = 0. Ha a reláció hiányos, jár. 3. c) második megoldás A sorozatban a 4-gyel osztva kettő maradékot adó számokról van szó. Ezek közül a legkisebb 3-jegyű szám a 0. 0 + k. 4 = 0 ; k = 3 Tehát a sorozat 0 + 3 = 33-dik tagjáról van szó. 3. d) Az első megfelelő tag a 0 = 0, az utolsó a 3 = 98, pont ezért a halmaznak +=3 eleme van. írásbeli vizsga 5 / 3 0. május 8.
4. a) k kedvező esetek száma p = = n összes eset száma 978 p = 30 Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 0,6 6,06% 4. b) 8 és 60 év közötti 8 év alatti 60 év feletti A 60 év feletti ápoltak száma: 978 38 633 = 07 fő. A 8 év alatti 38 fő a kördiagramon megfelel 38 o 360 5 -os középponti szögnek. 978 A 8 és 60 év közötti 633 fő a kördiagramon 633 megfelel 360 5 -os középponti 978 szögnek. A 60 év feletti 07 fő a kördiagramon megfelel 07 360 0 -os középponti szögnek. 978 A kördiagram helyes elkészítése (hozzávetőleges szögekkel, a körcikkek címkézésével). Összesen: 5 pont Ha a középponti szög kiszámításának helyes módszere egyszer sem jelenik meg, akkor jó adatok esetén is csak jár. Ha csak egy számítást részletez, de mindhárom adata jó, pontot kapjon. 4. c) A Nekeresden élők között 30 0, 4 = = 956,8( 957) fő 60 év feletti. 956 is elfogadható. A 60 év feletti és ápolásban részesülők száma 07, így a keresett valószínűség: ( 0,4) 957 A valószínűség 0,4 0,6 = 0, 5-dal emelkedett. írásbeli vizsga 6 / 3 0. május 8.
5. Az ABP háromszögben koszinusz-tételt alkalmazva: BP = 60 + 70 60 70 cos53, BP 605 pont* Az AQB szög 9º. Az ABQ háromszögben szinusz-tételt (kétszer) alkalmazva: 60 AQ =, sin9 sin08 AQ 8 * PQ 8 70 = 09 * Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár. Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 60 BQ =, sin9 sin53 BQ 5 * A távolságok méterre kerekítve: PQ = 09 m, BQ = 5 m és BP = 605 m. * Ez a pont a válaszul megadott mértékegységért (m) jár. Összesen: pont Amennyiben számítása közben, nyomon követhetően szabályos kerekítéseket alkalmaz a *-gal megjelölt pontokat akkor is megkaphatja, ha eredményei a megadottól legfeljebb éterrel eltérnek. írásbeli vizsga 7 / 3 0. május 8.
II. B 6. a) (Az A csapatnál mind a 7 játékos 6 nemzetbelijével mérkőzik, így a mérkőzéseket duplán számoltuk.) 7 6 Az A csapatnál = mérkőzés zajlott. (A B csapatnak n tagja van,) n ( n ) pont a lejátszott mérkőzések száma = 55. Az n n 0 = 0 egyenlet pozitív gyöke (a gyökök 0 és ). pont A B csapatnak tagja van. Összesen: 7 pont 6. b) Az A csapat mind a 6 játékosa 8 mérkőzést játszik. Összesen 6 8 = 48 mérkőzés zajlott a második héten. pont 6. c) (A klasszikus valószínűségi modell alkalmazható.) kedvező esetek száma p = összes esetek száma 8 A nyerteseket -féleképpen választhatjuk ki. 4 Az A csapat 7 tagjából -et 7-féleképpen, a B csapat tagjából 3-at -féleképpen 3 választhatunk ki. (A két kiválasztás egymástól független.) A kedvező esetek száma: 7. 3 7 A keresett valószínűség 3 p = = 8 4 7 65 = 3060 0,377 38%. Összesen: 7 pont Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár. Ezek a pontok akkor is járnak, ha csak a kedvező esetek számát írja fel helyesen. A helyes valószínűség bármely alakban megadva ot ér. írásbeli vizsga 8 / 3 0. május 8.
7. a) x > 0 és x 3 > 0, tehát x >, 5 A logaritmus azonosságai alapján: lg ( x )( x 3) = lg8 (A logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés,) ezért ( x )( x 3) = 8, azaz 4x 8x 5 = 0. Ennek gyökei: 5 x = és x =. 5 A értelmezési tartományba csak x = tartozik bele, és ez valóban megoldás. Összesen: 6 pont 7. b) Az egyenlet cosx -re kapott gyökei megegyeznek az a)-beli másodfokú egyenlet gyökeivel. 5 ( ( cos x ) = és ( ) pont cos x = ) 5 A cos x = nem ad megoldást. cos x = -hez tartozó egyetlen szög, ami egy o π háromszög szöge lehet x = 0 = 3 és ez valóban megoldás. Ez a pont akkor is jár, ha a végén behelyettesítés alapján szűri ki a hamis gyököt. Az x szög bármelyik helyes megadásáért jár a pont. Nem jár a pont, ha a vizsgázó több szöget is megad. 7. c) első megoldás Bevezetjük a y = z új változót, így 0 z ad csak megoldást. A 4z 8z 5 = 0 másodfokú egyenlet egyetlen nem 5 negatív gyöke z =. 5 Így az eredeti egyenlet megoldása y =, 4 és ez valóban megoldás. írásbeli vizsga 9 / 3 0. május 8.
7. c) második megoldás Mindkét oldalt négyzetre emeljük: 6y 40y + 5 = 64y A 6y 04y + 5 = 0 másodfokú egyenlet gyökei y = 5 4, y = pont 4 Behelyettesítés vagy az eredeti egyenletben a két oldal értékkészletének a vizsgálata mutatja, hogy csak az első gyök a megoldása az egyenletnek. 7. d) A középső számot rögzítjük. A többi számnak 6!-féle sorrendje lehetséges, tehát a hét számnak 70-féle kívánt leírási sorrendje van. Ha ez a gondolat csak a megoldás során derül ki, ez a pont jár. írásbeli vizsga 0 / 3 0. május 8.
8. a) A E F B 8 m D G C A feladat megértése. A tartály alsó részének felülete (egy r = éter sugarú félgömb felszíne): 4 r π A 3 = = r π = π = 8π ( 56,5) A tartály középső részének felülete (egy r = éter sugarú, m = 8 méter magas körhenger palástjának területe): A = rπ m = 3 π 8 = 48π 50,8 ( ) A tartály felső részének felülete (egy r = éter sugarú, m = éter magas forgáskúp palástjának területe): A kúp alkotója: AB = a = r ( 40) A 3= raπ = 3 3 π = 9 π A belső felület: A = 8π + 48π + 9 π = ( 66 + 9 ) π 47, 3 azaz mivel a feladat értelmezése szerint itt felfelé kell kerekíteni, hogy elég legyen az anyag, 48 m a helyes válasz. Összesen: 6 pont Ha csak a matematikai kerekítést végezte el, úgy a 47 m esetén is jár ez a pont. írásbeli vizsga / 3 0. május 8.
8. b) A A E F 0,9 m B E. ábra, m I r 0,9 m F H B 8 m A D G C E. ábra I F r H 0,9 m 0,9 m B J A tartály magassága: ( 3 + 8+ 3 = )4 méter. A magasság 85%-a: ( 4 0,85 = ), 9 méter, ami azt jelenti, hogy a félgömb és a henger tele van, valamint a kúpban 0,9 méter magasan áll a víz. A tartály alsó részének térfogata (egy r = éter sugarú félgömb térfogata): 3 3 4r π r π V = = = 3 3 3 3 π = ( = 8π 56,5). 3 A tartály középső részének térfogata (egy r = éter sugarú, m = 8 méter magas körhenger térfogata): V = r π m = ( = 7 6,) = 3 π 8 π. A tartály felső részének térfogata (egy csonkakúp térfogata). A csonkakúp fedőkörének sugarát kiszámolhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételével: (. ábra) * IH r', AI = = =, FB 3 3 AF r '=,. * π V 3= m( r + r' + rr' )= 3 π = 0,9 ( 3 +, + 3,) = ( 5,93π 8,6). 3 A tartályban lévő víz térfogata: V = 8π + 7π + 5,93π = 95,93π 30 m 3. Összesen: írásbeli vizsga / 3 0. május 8.
A másik megoldási mód a *-gal jelölt két pontra. A tartály felső részének térfogata (egy csonkakúp térfogata). A csonkakúp fedőkörének sugarát * kiszámolhatjuk észrevéve, hogy az AFB és a HJB is egyenlőszárú derékszögű háromszög, (. ábra) így r ' = ( FB JB = 3 0,9 = ),. * írásbeli vizsga 3 / 3 0. május 8.