Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér, 15 pedig nem fekete. a) Hány piros kockája van Katának? b) Legalább hány kockát kell kivenni a dobozból, hogy a kivettek között legyen 3 darab különbözı színő kocka? 2. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög BC alapjának C csúcsából induló szögfelezı az AB oldalt a D pontban metszi. Tudjuk, hogy BC = CD. Mekkora a CDA szög? 3. feladat A 0,149162536... számot úgy képezzük, hogy a tizedesvesszı után sorban leírjuk 1-gyel kezdve az egymást követı pozitív egész számok négyzetét. Melyik számjegy áll a tizedesvesszıtıl jobbra a 121. helyen? 4. feladat Egy téglalap oldalai 18 és 24 centiméteresek. Az egyik (párhuzamos) oldalpárját kétszer annyival változtattuk, mint a másik oldalpárt, és így egy négyzetet kaptunk. Mekkora a négyzet oldala? 5. feladat Ali, Béla, Csaba és Dani egyike csintalankodott. Errıl így vallottak: Ali: Csaba volt; Béla: Nem én voltam; Csaba: Dani volt; Dani: Csaba nem mond igazat. Ki a csintalan, ha a négy állítás közül pontosan egy hamis? ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT Egy-egy feladat jó megoldása 10-10 pont. Székesfehérvár, 2010. november 16.
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 2011. I. kategória 1. feladat Egy áruházban a Boci csoki darabja 75 Ft. Ha az ugyanilyen csokit 6 darabos csomagban vesszük, akkor egy csomag ára 410 Ft. Hány csokit vehetünk 2000 Ft-ért? (A legtöbb csokit szeretnénk venni és nem baj, ha marad pénzünk a 2000 Ft-ból.) 2. feladat Egy üvegtábla 22 cm széles és 24 cm hosszú téglalap. Ebbıl 6 cm széles és 8 cm hosszú téglalap alakú darabokat szeretnénk kivágni. Hány darabot lehet az üvegtáblából kivágni? 3. feladat Hány olyan háromjegyő pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 23? 4. feladat Melyek azok az x egész számok, amelyekre az x + 36, a 2 x és az 5x 6 egy háromszög oldalainak hossza? 5. feladat A hétfejő sárkány hét fejét megfelelı sorrendben egymás után levágva megmenekülhetünk. A fejek egyenkénti levágásakor - egyik fejet sem vághatjuk le annyiadikként, amennyi a sorszáma; - legelıször és negyedikként páratlan sorszámú fejet kell levágni; - a hatos sorszámú fej levágása után már csak ennek két, eredeti szomszédját kell levágni. Milyen sorrendben vagdossunk, ha a fejek balról jobbra 1-tıl 7-ig számozottak, és meg is akarunk menekülni? Székesfehérvár, 2011. január 11.
Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló 2011. II. kategória 1. feladat Egy Guiness - rekord kísérletben 1 dm 3 térfogatú kockákat ragasztanak össze 1 dm 2 alapterülető négyzetes oszloppá. Az oszlop felszíne egy kocka felszínének 2011-szerese lesz. Hány kockát kell összeragasztani? 2. feladat Egy egyenlı szárú háromszög két oldala centiméterekben mérve egész szám, és egyikük sem hosszabb 3 cm-nél. Hány ilyen különbözı háromszög van? (Két háromszög különbözı, ha legalább egy oldalhosszukban különböznek.) 3. feladat P az elsı 64 pozitív egész szorzata. Határozzuk meg a legnagyobb olyan n értéket, amelyre P osztható 12 n -nel! 4. feladat Az A-nál nem 60 o os ABC háromszög AB és AC oldalaira kifelé az ABD illetve ACE, a harmadik oldalára befelé a BCF szabályos háromszögeket rajzoltuk. Bizonyítsuk be, hogy az ADFE négyszög paralelogramma! 5. feladat Kata délben beállította a karóráját a pontos idınek megfelelıen. Egy óra múlva, pontosan 1 órakor Kata órája 12 óra 57 perc 36 másodpercet mutatott. Mennyi a pontos idı, amikor a karóra 10 órát mutat, ha tudjuk, hogy egyenletesen késik, azaz a déltıl eltelt tényleges idı, és a karóra által mutatott idı aránya állandó? Székesfehérvár, 2011. január 11.
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 2011. I. kategória 1. feladat Beának 18 pénzérméje van, mindegyik 20 vagy 50 Ft-os. Ha a 20 Ft-osokat 50 Ft-osokra, az 50 Ft-osokat 20 Ft-osokra cserélné, akkor pénzének értéke kétszeresére nıne. Mennyi pénze van Beának? 2. feladat Egy téglalap két szomszédos csúcsához tartozó szögfelezık a téglalap középvonalának egyik negyedelı pontjában metszik egymást. Mekkora a téglalap területe, ha a téglalap eme középvonalának hossza 10 egységnyi? 3. feladat A 24, 42 és k pozitív egészek bármelyike osztója a másik kettı szorzatának. Adjuk meg a legkisebb ilyen k pozitív egész számot! 4. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög AB szárán van a P és AC szárán van a Q pont úgy, hogy a PCB szög 40 o -os a QBC szög pedig 50 o -os. Mekkora a PQB szög, ha a BAC szög 20 o -os? 5. feladat Ebben a keretben pontosan 1 állítás hamis; Ebben a keretben pontosan 2 állítás hamis; Ebben a keretben pontosan 3 állítás hamis; Ebben a keretben pontosan 4 állítás hamis; A 4 állítás közül hány lehet igaz? Székesfehérvár, 2011. március. 29.
Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı 2011. II. kategória 1. feladat Egy urnában piros és sárga golyók vannak. Ha egy piros golyót kiveszünk, akkor az urnában maradt golyók hetede lesz piros. Ha viszont öt sárga golyót veszünk ki, akkor a megmaradt golyók hatoda lesz piros. Hány piros és hány sárga golyó van az urnában? 2. feladat Az ABCD téglalap CD oldalának C-hez közelebbi harmadoló pontja H. A H ponton keresztül húzott egyenes az AB oldalt M-ben metszi úgy, hogy a téglalap területét 1 : 3 arányban osztja. Mekkora az MB : AB arány? 3. feladat Ma 2011. 03. 29. van. A nyolc számjegybıl hány nyolcjegyő, 360-nal osztható szám képezhetı? 4. feladat Az ABC egyenlı szárú háromszög AB szárán van a P és AC szárán van a Q pont úgy, hogy a PCB szög 40 o -os, a QBC szög 50 o -os, a BAC szög pedig 20 o. Mekkora a PQ és a BC egyenesek szöge? 5. feladat Létezik-e olyan társaság, amelyben senkinek sincs 4-nél több ismerıse és pontosan 1 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 1, pontosan 2 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 2, pontosan 3 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 3 és pontosan 4 olyan társaságbeli ember van, akinek pontosan 4 ismerıse van a társaságban? Székesfehérvár, 2011. március 29.