MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK 2006. május 9. 8:00 EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA HÖHERES NIVEAU SCHRIFTLICHE PRÜFUNG Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Arbeitszeit: 240 Minuten Pótlapok száma / Anzahl der zusätzlichen Blätter Tisztázati / Reinschriftblätter Piszkozati / Konzeptblätter OKTATÁSI MINISZTÉRIUM MINISTERIUM FÜR BILDUNG Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0612

Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0612 2 / 24 2006. május 9.

Matematika német nyelven emelt szint Wichtige Hinweise Es stehen Ihnen 240 Minuten Arbeitszeit zur Verfügung, nach dem Ablauf der Zeit müssen Sie die Arbeit beenden. Die Reihenfolge der Ausarbeitung der Aufgaben ist beliebig. Im Teil II müssen Sie nur vier von den fünf gegebenen Aufgaben lösen. Schreiben Sie am Ende ihrer Arbeit die Nummer der nicht gewählten Aufgabe in das Kästchen! Wenn es für die Korrektoren nicht eindeutig erkennbar ist, welche Aufgabe Sie nicht wählen wollten, wird die neunte Aufgabe nicht bewertet. Zur Lösung der Aufgaben sind Taschenrechner, die für die Speicherung und Darstellung von Texten nicht geeignet sind, und ein beliebiges Tafelwerk zugelassen. Weitere elektronische, gedruckte oder schriftliche Hilfsmittel sind nicht erlaubt! Beschreiben Sie den Lösungsweg immer ausführlich, denn die meisten für die Aufgabe bestimmten Punkte sind dafür zu erhalten! Achten Sie darauf, dass die Berechnungen anschaulich sind! Sätze, die Sie in der Schule mit Namen erlernt haben (z. B. Satz von Pythagoras, Höhensatz), müssen nicht formuliert werden. Es reicht, wenn Sie den Namen des Satzes nennen und kurz begründen, warum der Satz hier verwendbar ist. Der Bezug auf weitere Sätze wird nur dann vollständig akzeptiert, wenn Sie den Satz mit allen Bedingungen genau formulieren (ohne Beweis) und seine Anwendung im konkreten Fall begründen. Die Endergebnisse der Aufgaben, die die gestellte Frage beantworten, müssen Sie in einem Antwortsatz formulieren! Schreiben sie mit Kugelschreiber oder mit Tinte, die Abbildungen können auch mit Bleistift gezeichnet werden! Außerhalb den Abbildungen werden die mit Bleistift geschriebenen Teile nicht bewertet. Wenn Sie eine Lösung oder einen Teil davon durchstreichen, kann dieses nicht bewertet werden. Bei den einzelnen Aufgaben ist nur eine Lösung zu bewerten. Beschreiben Sie bitte nicht die grauen Kästchen! írásbeli vizsga 0612 3 / 24 2006. május 9.

I. 1. Die Endpunkte der Basis einem gleichschenkligen Dreiecks haben die Koordinaten A(3; 5) und B(7; 1). Der dritte Eckpunkt des Dreiecks liegt auf der y-achse. a) Berechnen Sie die Koordinaten des dritten Eckpunktes! b) Bestimmen Sie die Gleichung des Umkreises! a) 4 Punkte b) 8 Punkte I.: 12 Punkte írásbeli vizsga 0612 4 / 24 2006. május 9.

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2. Gegeben ist ein blauer und ein roter Würfel. Der Oberfläche des roten Würfels ist um 25% kleiner als die des blauen Würfels. Um wie viel Prozent ist das Volumen des roten Würfels kleiner als das Volumen des blauen Würfels? 12 Punkte írásbeli vizsga 0612 6 / 24 2006. május 9.

2 3. Die reellen Lösungen der Gleichung x x + p = 0 sind um 1 kleiner als die reellen 2 Lösungen der Gleichung x + px 1 = 0. a) Berechnen Sie den Wert des reellen Parameters p! b) Berechnen Sie die reellen Lösungen beider Gleichungen, wenn p = 5 ist! a) 9 Punkte b) 4 Punkte I.: 13 Punkte írásbeli vizsga 0612 8 / 24 2006. május 9.

4. Eine 30-köpfige Gruppe von Wissenschaftlern untersucht die Rolle der Computer bei der Forschung, der Schulung und der Kommunikation. Von den Wissenschaftlern haben alle mindestens in einen Thema publiziert. 12 Mitglieder der Gruppe haben über die Rolle der Computer in der Forschung, 18 über die Rolle in der Schulung und 17 über die Rolle in der Kommunikation eine Studie veröffentlicht. In der Gruppe sind 7 Wissenschaftler die genau in zwei Themen Studien veröffentlicht haben. a) Zu einem Fernsehgespräch wird zufällig ein Wissenschaftler ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in alle drei Themen eine Studie veröffentlicht hat? b) Wie viele Wissenschaftler sind Spezialisten, also haben nur in einem Thema Studien veröffentlicht? a) 10 Punkte b) 4 Punkte I.: 14 Punkte írásbeli vizsga 0612 10 / 24 2006. május 9.

II. Von den Aufgaben 5-9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht ausgewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 5. Der Turm in einer mittelalterlichen, im romanischen Stiel gebauten Kirche hat als Dachboden eine vierseitige regelmäßige Pyramide, deren Grundkanten und Seitenkanten gleich lang sind! Bei der Renovierung wurde im Dachboden ein würfelförmiger Raum mit einen maximalen Größe ausgestaltet. Der Boden des Raumes ruht auf der Grundseite der Pyramide und die Ecken der Zimmerdecke liegen auf den Seitenkanten der Pyramide. a) Wie groß ist die Grundfläche des Raumes, wenn die Kantenlängen der Pyramide 8 m betragen? b) Wie weil Prozent des ursprünglichen Dachbodenluftraumes beträgt jetzt dieser Raum? a) 9 Punkte b) 7 Punkte I.: 16 Punkte írásbeli vizsga 0612 12 / 24 2006. május 9.

Von den Aufgaben 5-9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht ausgewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 2 6. Es sind die Funktionen f: R R, f ( x) = x + 10x 22 und g: R R, g ( x) = x + 6 gegeben. a) Lösen Sie die Gleichung f ( x) = g( x)! b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten der Kurve f ( x) Schnittpunkten der Figuren y = f ( x) und y = g( x)! y = bei den c) Stellen Sie die Graphen der Funktionen f und g dar! Berechnen Sie den Flächeninhalt von der ebenen Figur, die von den Graphen y = f ( x), y = g( x) und x = 6 begrenzt wird und der y-achse näher liegt! a) 3 Punkte b) 7 Punkte c) 6 Punkte I.: 16 Punkte írásbeli vizsga 0612 14 / 24 2006. május 9.

Von den Aufgaben 5-9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht ausgewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 7. Der Zug, der zwischen Szeged und Budapest fährt sollte am Montag zwischen Cegléd und Budapest wegen Bauarbeiten seine bisherige Durchschnittsgeschwindigkeit auf ein Drittel verringern. Am Wochenende konnte der Zug wieder eine Strecke von 19 km nach Cegléd mit der alten Durchschnittsgeschwindigkeit zurücklegen, aber danach konnte er bis Budapest wieder nur ein Drittel so schnell fahren wie üblich. So hatte der Zug am Montag 30 Minuten mehr Verspätung als am Wochenende. a) Wie groß ist die ursprüngliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges in km/h? Für die Bestimmung der Kosten macht der Ungarische Bundesbahn oft eine Statistik über dem Anteil der Ermäßigungen, die die Fahrgäste der einzelnen Linien beanspruchen. In einem Zug, der nur mit Wagen zweiter Klasse von Budapest nach Szeged fährt, waren 400 Fahrgäste, die die ganze Strecke benutzt haben (also sind von Abfahrtstation bis zu Endstation gefahren). Für diese Strecke kostet eine Fahrkarte zweiter Klasse zu vollen Preis ungefähr 2000 Ft. (Einfachheitshalber rechnen wir mit diesen Preis.) Die Schaffner hat bei jedem Fahrgast aufgeschrieben, welche Ermäßigung bei dem Kauf der Fahrkarte verwendet wurde. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zu sehen. (x%-ige Ermäßigung bedeutet, dass der volle Preis um x% verringert wird.) Art der Fahrkarte Voller Preis 20% Ermäßigung 33% Ermäßigung 50% Ermäßigung 67,5% Ermäßigung 75% Ermäßigung 90% Ermäßigung 95% Ermäßigung Frei Anzahl der Fahrgäste 84 18 44 110 11 35 31 29 38 Wahrer Fahrkartenpreis (Ft) b) Füllen Sie die Tabelle aus und bestimmen Sie, welcher Ermäßigung der durchschnittliche Fahrkartenpreis entspricht! a) 10 Punkte b) 6 Punkte I.: 16 Punkte írásbeli vizsga 0612 16 / 24 2006. május 9.

Von den Aufgaben 5-9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht ausgewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 8. a) Im dezimalen Zahlensystem ist a eine einstellige Zahl, ab eine zweistellige Zahl und bba eine dreistellige Zahl, in dieser Reihenfolge sind diese Zahlen die erste drei Glieder einer arithmetischen Folge. (Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern und verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern.) Berechnen Sie die Differenz und die Summe der ersten hundert Elemente der Folge! b) Beweisen Sie, dass die Summe der ersten n Elemente, die Summe der zweiten n Elemente und die Summe der dritten n Elemente einer geometrischen Folge auch aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge sind! a) 7 Punkte b) 9 Punkte I.: 16 Punkte írásbeli vizsga 0612 18 / 24 2006. május 9.

Von den Aufgaben 5-9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht ausgewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 9. Das Kuratorium der Stiftung eines Gymnasiums hat sich entschieden, ein Lottospiel zu starten, wobei ein Teil der Einnahmen für den Gewinn und der Rest für karitative Zwecken verwendet werden. In diesem Spiel wird wöchentlich, rein zufällig vier von den ersten 40 positiven ganzen Zahlen gezogen. András wählt folgenderweise die Zahlen für den Spiel aus: er bestimmt die ersten zwei Zahlen, dann als dritte nimmt er die Summe dieser Zahlen und als vierte die Summe der drei ausgewählten Zahlen. a) Höchstens welche Zahl kann András für die kleinste Zahl bestimmen? b) Welche Zahlen können auf dem korrekt ausgefüllten Schein vorkommen, wenn András für die kleinsten Zahl den größtmöglichen Wert nimmt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass András einen Volltreffer hat, wenn er nach diesem Regel an einer Woche genau einmal auf alle möglichen Viererkombinationen setzt? a) 4 Punkte b) 4 Punkte c) 8 Punkte I.: 16 Punkte írásbeli vizsga 0612 20 / 24 2006. május 9.

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I. rész Teil I. II. rész Teil II. A feladat sorszáma Die Nummer der Aufgabe Elért pontszám Erreichte Punktzahl Összesen Insgesamt Maximális pontszám Maximale Punktzahl 1. 12 2. 12 3. 13 4. 14 16 16 16 16 nem választott feladat nicht ausgewählte Aufgabe MINDÖSSZESEN INSGESAMT 115 Javító tanár Dátum Name des Fachlehrers, der Datum korrigiert I. rész Teil I. A feladat sorszáma Die Nummer der Aufgabe 1. 2. 3. 4. Elért pontszám Erreichte Punktzahl Programba beírt pontszám Im Programm eingegebene Punktzahl II. rész Teil II. Dátum Datum Javító tanár Name ders Fachlehrers, der korrigiert Jegyző Protokollführer der Prüfungskomission írásbeli vizsga 0612 24 / 24 2006. május 9.