Szigma, XXXVI. (2005) 1-2. 31 DERIVAT IV P ENZ Ä UGYI TERM EKEK ARDINAMIK AJA ES AZ UJ T IPUS U KAMATL ABMODELLEK 1 KIR ALY J ULIA { SZ AZ J ANOS Budapesti Corvinus Egyetem Ennek a cikknek az a c elja, hogy attekint est adjon annak a folyamatnak n eh any f}obb allom as ar ol, amit Black, Scholes es Merton opci o araz asr ol ³rt cikkei ind ³tottak el a 70-es evek elej en, es ami egyszerre forradalmas ³totta a fejlett nyugati p enzäugyi piacokat es a p enzäugyi elm eletet. A hazai t}okepiacra ugyanakkor mindez csak halov any hat ast gyakorolt, es szinte teljesen erintetlenäul hagyta a hazai käozgazd asz t arsadalmat. 2 Az itthoni käozäony politikai okokkal m eg magyar azhat o az elm ult 30 ev els}o fel ere vonatkoz oan, az utols o 15 ev erdektelens eg et ink abb azzal pr ob alhatjuk magyar azni, hogy e teräulet meglehet}osen matematikaig enyes, es a hazai matematikai käozgazdas agtan m}uvel}oinek gyelm et els}odlegesen az altal anos egyens ulyelm elet, a j at ekelm elet, az oper aci okutat as käoti le. Az opci o araz asi probl em ab ol kinäov}o irodalom homlokter eben a räovid t av u p enzäugyi sztochasztikus dinamika all. Legink abb a hazai Äokonom eter t arsadalom gyelm et ragadhatta volna meg mindez a m odszertan käozels ege folyt an, de h at a hazai derivat ³v piacon nem sok empirikus elemeznival o akad. A relev ans k erd esek A hat arid}os es opci os Äugyletek a deviza-, r eszv eny-, hitel- es arut}ozsdei Äugyletek kapcs an felmeräul}o piaci kock azat kezel es ere alkalmasak, mivel az alapäugyletek kock azatait täukräozik vissza valamilyen transzform alt form aban. Az azonnali (r eszv eny, vagy deviza) arfolyamban megjelen}o kock azat legegyszer}ubb täukräoz}od ese a hat arid}os arfolyam, mivel ez elvben csup an az arfolyamnak a lej arati id}opontra felkamatoztatott ert eke. A v eteli es elad asi opci ok araz asa veti fel annak a k erd es et, hogy mi a val osz ³n}us ege az opci o 1 Be erkezett: 2005. m ajus 11. A cikk az OTKA T 047193 kutat asi projekt keret eben k eszäult. 2 A megjelent hazai derivat ³v t em aj u ³r asok, ertekez esek zäome ink abb matematikusokt ol, zikusokt ol esazegyetemetnemr egbefejezettifj u käozgazd aszokt olsz armazik. Itt most megpr ob alunk egy täomäor illusztr aci ot adni eteräuletr}ol. Mivele t emakäornek csak a szakkäonyvei täobb olvas otermet täolten enek meg, ³gy csak a f}obb fogalmakra, m odszerekre, kiv alasztott term ekekrekoncentr alunk. Az altalunk felkin alt sajtban täobb aluk mint asajt, dehisszäuk, hogy az ³zehiteles. E teräulet attekint ese n elkäuler}osen hi anyos lenne e p enzäugyekkel foglalkoz o käuläonsz am. A felhaszn alt matematikai fogalmakat es t eteleket(wiener-folyamat,ohrstein-uhlenbeck-folyamat,ito-lemma,marting alreprezent aci os t etel, Girszanov-t etel, Kolmogorov-egyenletek stb.) nem ismertetjäuk, hasonl ok eppen mell}ozzäuk a szäuks eges p enzäugyialapfogalmak ismertet es et (arbitr azs, hedge, call esput opci o, forward, futures, swap Äugyletek). Ezekr}olld.: Medvegyev, Michaletzky, Varga, Sz az,hull,baxter-rennie,elliott-kopp käonyveket.
32 Kir aly J ulia { Sz az J anos leh ³v as anak, teh at mi a jäov}obeni arfolyam eloszl asa, ehhez pedig tudni kell, hogy milyen folyamatot käovet az arfolyam alakul asa. Az opci ok araz as anak probl em aja pillanatok alatt vezetett altal aban a sz armaztatott kock azat u term ekek araz as anak a vizsg alat ahoz. Sz eles käorben alkalmazott fogalom lett a dinamikus replik al as, az arbitr azs araz as. Magyarorsz agon most es a bel athat o jäov}oben a derivat ³v p enzäugyi term ekek araz as anak elm elete es m odszertana meggy}oz}od esäunk szerint nem a r eszv eny portf oli ok kock azat anak kezel ese, hanema käuläonbäoz}o futamidej}u kamatl abak v eletlen v altoz asai mäogäott megh uz od o szäuks egszer}u ÄosszefÄugg esek jelleg enek meg ert ese miatt fontos. Ez ut obbi k erd esfelvet es es szeml elet täok eletesen hi anyzik a mai magyar käozgazdas agi gondolkod asb ol. Ha a käotv eny araz as probl em aj at egy kamatl ab derivat ³v term ek araz asak ent käozel ³tjÄuk meg, akkor az ebb}ol ad od o legfontosabb felhaszn alhat o eredm eny a Heath-Jarrow-Morton (HJM) t etel, amelyet a cikk m asodik fel eben ismertetäunk, es azt mondja ki, hogy a kamatl abak v altoz as anak kock azatsemleges val osz ³n}us egek melletti trendj et egy ertelm}uen meghat arozza a kamatl abak volatilit as anak lej arati szerkezete. Az itt v azlatosan ismertet esre keräul}o, a derivat ³v term ekek araz as anak elm elet ere epäul}o kamatl ab modellek azt sz amszer}us ³tik, hogy a räovid lej arat u kamatl ab v eletlen ingadoz asaib ol Äosszetev}od}o lehets eges jäov}obeli p aly ai mik ent hat arozz ak meg a hozamgäorbe alakj at, azaz a käuläonbäoz}o futamidej}u kamatl abak egym ashoz val o viszony at. Megford ³tva: adott felt etelek mellett a hozamgäorbe alakja tartalmazza azokat az inform aci okat, hogy a räovid lej arat u kamatl ab a jäov}oben milyen p aly akat futhat be es milyen kock azatsemleges val osz ³n}us eggel. A cikkben felv altva haszn aljuk a folytonos es a diszkr et megkäozel ³t est, ut obbit hol az el}oz}o numerikus m odszerek ent, hol Äon all o modell-csal adk ent. Egy sz armaztatott term ek araz asa k et dologt ol fäugg: { mi a sz armaztatott term ek konstrukci oja, { milyen arfolyam-alakul asi folyamatot käovet az alapterm ek. El}oszÄor a mindk et szempontb ol legegyszer}ubb modellt mutatjuk be, ez a r eszv eny opci o araz as Black-Scholes modellje. Az Äosszetettebb term ekkonstrukci okra az egzotikus opci okat hozhatjuk p eldak ent, az alapterm ek aralakul asa kapcs an a sztenderd di uzi os folyamat felt etelez ese ut an az atlaghoz visszah uz o folyamatot vizsg aljuk. Az arfolyam-alakul as mint di uzi os folyamat azt jelenti, hogy a piaci hat ekonys ag hipot ezis enek szellem eben ugy tekintjäuk az arfolyam-alakul ast, hogy az arfolyamokat v eletlenszer}uen felle läokdäosik a folyamatosan megjelen}o uj inform aci ok a Brown-mozg ast v egz}o r eszecsk ek mozg as anak anal ogi aj ara. Amik ent biztosan tudjuk, hogy egy adott r eszecske most hol van, de csak bizonyos val osz ³n}us eggel all ³thatjuk, hogy itt vagy ott lesz a jäov}oben, a r eszv eny vagy deviza arfolyamr ol is most bizonyosan tudjuk, hogy mennyi az ert eke, azonban a jäov}obeli nagys ag ara vonatkoz o val osz ³n}us eg-eloszl ast megad o s}ur}us eg fäuggv eny ahhoz hasonl oan teräul sz et id}oben, amik ent az egyetlen pontj aban felhev ³tett vasr udban teräul sz et a h}o. A cikk käoz eps}o r esz eben taglaljuk azokat a zikai, illetve p enzäugyi
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 33 parci alis differenci alegyenleteket (PDE), amelyek le ³rj ak a folyamatokat es al at amasztj ak, hogy azonos val osz ³n}us eg sz am ³t asi appar atus ³rja le }oket (Kolmogorov-egyenletek). A cikk keret eben csak azokat a modelleket v azoljuk fel, amelyek a hozamok norm alis eloszl as an epäulnek fel. A gyakorlatban is kimutathat o a Gausseloszl ashoz k epesti vastag-sz el jelens eg, azonban ez a jelens eg es az extr em hozamok er}oteljesebb egyäuttmozg asa m ar käuläon cikk t em ai. A hozamgäorbe modellekben l enyeges elt er es van az egy, illetve täobb kock azati faktoros modellek käovetkeztet esei käozäott. Az egyfaktoros kamatl abmodellekben a hozamgäorbe pontjai mindig azonos ir anyba tol odnak el az uj inform aci o hat as ara (b ar elt er}o m ert ekben). A gyakorlati alkalmaz asokhoz szäuks eges tov abbi kock azati faktorok gyelembev etele. Az amerikai allamkäotv enyek arfolyam adatai alapj an f}okomponens elemz essel olyan 3 faktort szoktak beazonos ³tani, amelyben az els}o faktor a hozamgäorbe szintj ere, a m asodik a meredeks eg ere, a harmadik az alakv altoztat asaira (csavarod as ara) hat. Mia täobbfaktoros opci o araz asi modellekre (egyben az egzotikusopci okra) a csereopci ot (exchange option) hozzuk p eldak ent,amely egyfajta altal anos ³t asa a sima call opci onak. Az opci o araz as all ³totta re ektorf enybe a dinamikus replik al ason alapul o arbitr azs araz ast, ami elviekben käuläonbäozik a käozgazd aszok altal sz eles käorben haszn alt kereslet-k ³n alat elemz est}ol, mivel a relat ³v arak konzisztenci aj at vizsg alja. A piacok teljess ege (complete markets) alc ³m alatt t argyaljuk az arra vonatkoz o vizsg alatok eredm enyeit, hogy mik ent fäugg Äossze az egyes term ekek m as term ekekb}ol val o folyamatos kikombin alhat os aga az arak Äosszhangj aval, es mindez a val osz ³n}us egsz am ³t as nyelv ere val o atford ³that os aggal ( a marting alok l etez ese es egy ertelm}us ege). A sztochasztikus reprezent aci o j ol p eld azza, hogy amit a modern p enzäugy tankäonyvek speci alis p enzäugyi probl emak ent t argyalnak, azok a zikusok altal r egen kidolgozott ÄosszefÄugg esek (Feynman-Kac formula). Az opci ok es sz amos m as bonyolult p enzäugyi term ek ara explicit m odon fäugg az alapterm ek volatilit as at ol, ez altal lehet}ov e v alik piaci ad asv etelek form aj aban olyan elvont nagys agokra vonatkoz o fogad asok käot ese, mint a jäov}obeni bizonytalans ag m ert eke (volatility trading), vagy käuläonbäoz}o arfolyamok käozäotti korrel aci o nagys ag anak v altoz asa (trading correlation). A Black-Scholes modell A Black{Scholes{Merton modellben 3-f ele term ek van: { egy kock azatmentes, { egy kock azatos es { egy sz armaztatott kock azat u term ek (pl. bankbet et + r eszv eny + eur opai v eteli jog). K erd es, mi a harmadik term ek ara, ha ismerjäuk az els}o k et term ek arfolyam-alakul as at. FeltesszÄuk,
34 Kir aly J ulia { Sz az J anos hogy a bet et es a r eszv eny (alapterm ek) kumul alt loghozama a [0; t]id}oszakra: Y B (t) = rt Y (t) = N( t; ¾ 2 t) ; (1) ahol t folytonos v altoz o a [0;T] id}oszakban, r,, ¾ konstans, es a r eszv eny kumul alt loghozama minden id}opontra norm alis eloszl as u. 3 A kumul alt loghozam de n ³ci oja alapj an a bet et ert ek enek alakul asa konstans kamatl ab mellett, ill. a r eszv eny arfolyama konstans drift es volatilit as mellett: B(t) = B(0)e YB(t) S(t) = S(0)e Y (t) ; (2) azaz a bet et egy exponenci alis fäuggv eny ment en alakul, a r eszv eny arfolyam eloszl asa minden id}opontban lognorm alis. N ezzäuk a sz armaztatott term ekek azon käor et, amelyeket teljes m ert ekben meghat aroza T id}opontbeli ert ekäuk, mivel a [0;T] id}oszakban nem involv alnak p enzmozg ast (T-term ekek). 4 JelÄolje g(t) a sz armaztatott term ek t id}opontbeli ert ek et. A forward poz ³ci ot ill. az eur opai v eteli jogot de ni al o k epletek: g(t) = S(T) K g(t) = maxf 0;S(T) K g (3) ahol K a forward arfolyam ill. az opci o leh ³v asi arfolyama. Adott teh at a B(t) es S(t) (0 t T) es a g(t). K erd es, mennyi a g(t) ert eke (t < T), kiemelten: mennyi a g(0) ert eke? A legeleg ansabb v alaszt erre a k erd esre Merton adta 1974-ben az Ito-lemma felhaszn al as aval. 5 A r eszv eny kumul alt loghozama az (1) k epletben egy Ito-folyamat, amely SDE alakban fel ³rva: dy (t) = dlns(t) = dt + ¾dW(t) ; (4) ahol dw(t) a W(t) Wiener-folyamat näovekm enye. 6 Az arfolyam a kumul alt loghozam Ito transzform altja: ds(t) = ¹Sdt + ¾SdW(t) ¹ = + ¾2 2 : (5) A sz armaztatott term ek arfolyam-alakul asa az alapterm ek arfolyam-alakul as anak Ito transzform altja: dg(s; t) = µg t + g S ¹S + 12 g SS¾ 2 S 2 dt + g S ¾SdW ; (6) ahol az indexek a parci alis deriv altakat jeläolik. 7 A (6) egyenletb}ol kivonva az (5) g S -szeres et, elt}unik a kock azatot reprezent al o dw-s tag. Ez ekvivalens azzal, hogy ki ³runk 1 darab derivat ³v term eket es veszäunk g S darab 3 Alternat ³vmegfogalmaz asban: minden thossz uperi odusbanaloghozamokfäuggetlen norm alis eloszl as u val osz ³n}us egiv altoz ok konstans param eterekkel. 4 Ilyenp eld aulaforwardpoz ³ci o,vagyazeur opaiopci ok,denemilyenafuturespoz ³ci o a napi elsz amol as miatt, vagy az amerikai t ³pus u opci ok a T id}opont el}otti leh ³vhat os ag miatt. 5 1994-ben kapottnobel-d ³jatezen uttäor}omunk ass ag a ert. 6 Legalapvet}obb saj atoss aga,hogy[dw] 2 =dt. 7 Ap enzäugyesszakzsargonbanag S nevedelta,ag SS agamma,ag t atheta.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 35 alapterm eket. Ennek a portf oli onak az ert eke: V = g + g S S. E portf oli o ert ekv altoz asa: dv = dg + g S ds = µg t + 12 g SS¾ 2 S 2 dt : (7) Mivel a portf oli o kock azatmentes, ez ert a dt id}oszakra a kock azatmentes kamatl ab az elv arhat o hozam. dv = µg t + 12 g SS¾ 2 S 2 dt = V rdt = ( g + g S S) rdt : (8) A dt kiesik es a derivat ³v term ekek araz as anak alapegyenlet et, a Black-Scholes egyenletet (BS) kapjuk: g t = rg rsg S 1 2 ¾2 S 2 g SS : (9) A Black-Scholes (BS) egyenlet megold asa a g(t) = max(0; S T K) lej aratkori peremfelt etel mellett a Black-Scholes k eplet, ami a K leh ³v asi arfolyam u v eteli jog ert ek et adja meg: ahol d 1 = ln[s=(pk)] ¾ p T c = SN(d 1 ) PKN(d 2 ) ; (10) + 1 2 ¾p T ; d 2 = d 1 ¾ p T ; P = e rt : A (10)-es formula z art k eplettel adja meg a BS egyenlet megold as at, ami ritkas ag, es a call opci ot megad o speci alis peremfelt etelnek käoszäonhet}o. A (9) PDE egyenletet a folytonoss ag es a normalit as felt etelez es evel kaptuk, azonban täobbnyire nincs z art k eplettel megadhat o megold asa a BS parci alis di erenci alegyenletnek. A numerikus megold asra bevett gyakorlat a v eges di erenci ak m odszer enek alkalmaz asa. Bevezetve a szok asos x = ln S jeläol est, a BS egyenlet: g t = rg vg x 1 2 ¾2 g xx ; (11) ahol v = r 0:5¾ 2. Ennek a diszkretiz alt v altozata a forward di erenci akkal fel ³rva (explicit v eges di erenci ak m odszere): = rg ij v g i+1;j+1 g i+1;j 1 2 x g i+1;j g ij t = 1 2 ¾2 g i+1;j+1 2g i+1;j + g i+1;j 1 x 2 ; (12) ahol g ij a sz armaztatott term ek i t id}opontbeli es e j x arfolyamhoz tartoz o ert eke. Atrendezve: g ij = 1 1 + r t (p ug i+1;j+1 + p m g i+1;j + p d g i+1;j 1 ) ; (13)
36 Kir aly J ulia { Sz az J anos ahol p u = 1 µ ¾ 2 2 t x 2 + v ; p m = 1 t ¾2 x x 2 ; p d = 1 µ ¾ 2 2 t x 2 v : x (14) C elszer}u v alaszt as 8 a x = ¾ p 3 t, ekkor a (14) alakja: p u = 1 6 + 1 v t 2 x ; p m = 2 3 ; p d = 1 6 1 v t 2 x : (14b) A (13) k epletb}ol l athat o, hogy a sz amol as folyamata id}oben visszafel e halad. Az (i;j) pontok egy t eglalap r acspontjai, ahol a g ij t eglalap jobb oldal at a derivat ³v term ek lej aratkori ert ekei hat arozz ak meg, az als o es fels}o elek ert ekeit käuläon kell megadni. 9 A käozponti szerepet j atsz o (9) egyenlet levezet ese azon alapult, hogy az alapterm ek es sz armaztatott term ek arfolyam-alakul asa ugyanazt a Wienerfolyamatot täukräozi. Az (5)-(6) SDE-k a bemutatott m odon (p enzäugyes zsargonban: dinamikus delta hedge r ev en) a (9) PDE-v e alak ³that ok. Ennek explicit vagy numerikus megold asa adja a derivat ³v term ek keresett ert ek et. A kock azat folytonos kikäuszäobäol ese azt jelenti, hogy a k et kock azatosterm ek ar any anak folytonos v altoztat as aval szintetikusan el}o all ³that o a kock azatmentes term ek. Az ÄosszefÄugg es atrendezhet}o: a sz armaztatott kock azat u term ek el}o all ³that o az alapterm ek es a kock azatmentes term ek seg ³ts eg evel. Ez a replik al o strat egia Äon nansz ³roz o es el}orel athat o (previsible) folyamat. 10 AzÄon nansz ³roz as azt jelenti, hogy b ar j o es ellyel minden peri odus v eg en meg kell v altoztatni a replik al o portf oli o Äosszet etel et, az atrendez es sor an nem v altozik a portf oli o ert eke: ha eppen näovelni kell az alapterm ek mennyis eg et (adott esetben r eszv enyt kell v as arolni), akkor ezt hitelfelv etelb}ol tesszäuk, 11 ha el kell adni az alapterm ekb}ol, akkor azebb}olbefoly o Äosszeget hiteltäorleszt esre ford ³tjuk, vagy bet etbe helyezzäuk. Az el}orel athat os ag azt jelenti, hogy m ar ennek a t hossz u peri odusnak a v eg en tudjuk a portf oli o szäuks eges Äosszet etel et, annak ismerete n elkäul, hogy a käovetkez}o id}oszakban mik ent v altozik az alapterm ek arfolyama. A replik al as azt jelenti, hogy a käovetkez}o peri odus minden lehets eges alapterm ek arfolyam ert ekre megegyezik a sz armaztatott term ek es replik al o portf oli o ert eke. 8 R eszletesebben l asd Hull. 9 Az als o sz el az S(t) = 0 ert ekekhez tartoz o derivat ³v ert ekeket tartalmazza, a fels}o sz el pedig egy kell}oen nagynak v alasztott arfolyamszinthez tartoz o ert ekeket. Ha nem p otoln ankkiasz els}o ert ekeket,akkormindenl ep esbenelveszten enkegyals o esfels}o ert eket a t abl azatban, esegy balra keskenyed}oh aromszäogetkapn ank,amibalr oljobbran ezveegy trinomi alis fa (ld. k es}obb). A sz els}o ert ekek p otl asa egyszer}u line aris extrapol aci o, ha a feläuletfäugg}olegesgäorbäulete(g SS )nulla. AzS maxkell}oennagyrav alaszt as avaleztäobbnyire käonnyen el erhet}o. 10 Bizony ³t astld. pl. BjÄork. 11 Hapozitivnagys ag ubet etäunkvan,akkorennek terh erev as arolunk.
Arfolyamf ak Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 37 Az arfolyam-alakul as folyamat at nem csak a Black-Scholes egyenlet levezet ese ut an diszkretiz alhatjuk, hanemkiindul ask ent is. Erreszolg alnak a binomi alis es trinomi alis f ak. Az arfolyam adott ert ek eb}ol k et ill. h arom käuläonbäoz}o arfolyam ert ekhez l etezik käozvetlen atmenet egy t hossz u peri odus alatt. E v altoz asok fäuggetlenek, es ugy kell megv alasztani e f ak param etereit (a v altoz as m ert ek et es val osz ³n}us eg et), hogy a t id}oszak alatti hozam v arhat o ert eke t, varianci aja ¾ 2 t legyen. 12 TÄobb v alaszt asi lehet}os eg is van (2 felt etel van, es 3 ill. 4 param eter), täobbf ele modell haszn alatos. 13 TekintsÄunk egy peri odusta binomi alis modellben. Azalapterm ek arfolyama legyen S, ez vagy u-szoros ara n}o p val osz ³n}us eggel, vagy d-szeres ere (1 p) val osz ³n}us eggel [Su; Sd]. A k et felt etel teljesäul pl. az al abbi v alaszt as mellett: 14 u = e t+¾p t ; lnu = t + ¾ p t ; (15a) d = e t ¾p t ; lnd = t ¾ p t ; (15b) p = 0:5 : (15c) Egy tetsz}oleges sz armaztatott term ek ismert lej arati ( t id}opontbeli) ert ekeit jeläolje g u es g d, es a meghat arozand o jelenlegi ert ek et pedig g. A bet et ert eke mindenf elek eppen G = e r t -szeres ere n}o. JelÄolje x a szäuks eges r eszv eny sz amot, es y a bet et szäuks eges nagys ag at, hogy el}o all ³tsuk a sz armaztatott term ek lej arati ert ekeit. Ennek az (x;y) Äosszet etel}u portf oli onak az el}o all ³t asi käolts ege, azaz ert eke (V ) lesz a sz armaztatott term ek jelenlegi ert eke (g). A replik al o portf oli o lej arati ert ek et räogz ³t}o k et egyenlet: A k et ismeretlenre megoldva: x = g u g d Su Sd ; g u = xsu + yg ; g d = xsd + yg : y = g u xsu G 16a 16b : (17) A replik al o portf oli o, ill. a sz armaztatott term ek ert eke a jelenben: Behelyettes ³tve, es felhaszn alva a g = V = xs + y : (18) p = G d u d (19) 12 A fäuggetlens eg felt etelez ese miatt nemcsak a v arhat o ert ekek, hanem a varianci ak is Äosszeadhat oak, esmiazn( T;¾ 2 T)eloszl astakarjuk visszakapnia P t=t id}oszakra vonatkoz oan. 13 Ezekr}olkit}un}o attekint estadstrickland,,clewlow (2000)10-57.o. 14 Haa t ert ek etcsäokkentjäuk,akkorakumul altloghozamazn( T;¾ 2 T) ert ekheztart, ami azelemz esäunk kiindul opontja.
38 Kir aly J ulia { Sz az J anos jeläol est, a derivat ³v keresett ert eke a peri odus elej en: g = pg u (1 p)g d G : (20) Igy a binomi alis modellben b armely sz armaztatott term ek ert eke megegyezik a jäov}obeni ki zet es v arhat o ert ek enek jelen ert ek evel, ahol a v arhat o ert eket a kock azatsemleges val osz ³n}us eggel, a jelen ert eket a kock azatmentes kamatl abbal sz amoljuk. A (19) k epletet kock azatsemleges val osz ³n}us egnek nevezik, mert kiel eg ³ti a psu + (1 p)sd = SG (21) egyenletet es norm al esetben a d < G < u, ³gy 0 < p < 1. A (17)-(18) egyenletek alapj an az araz as menetea käovetkez}o: balr ol jobbra haladva fel ³rjuk az S ij arfolyamok t abl azat at, ennek utols o oszlopa es a sz armaztatott term ek T id}opontbeli ki zet es fäuggv enye alapj an a g ij t abl azat utols o oszlop at. Ezt käovet}oen l ep esr}ol l ep esre jobbr ol balra haladva az S es g t abl azatok j-edik oszlopa alapj an kisz am ³tjuk az x, y es g t abl azatok (j 1)- edik oszlop at [(17){(18)]. Ez a megkäozel ³t es megadja a sz armaztatott term ek arfolyam-alakul as anak Äosszes lehets eges p aly aj at es a hozz ajuk tartoz o (x;y) replik al o strat egi at. A (20) k eplet alapj an m ar csak k et t abl azat kell, az S es a g ut obbi most is az utols o oszlop ab ol kiindulva jobbr ol balra k eszäul. Ha a v arhat o ert ek jelen ert eke szab alyt (20) egy l ep esben alkalmazzuk, akkor a derivat ³v ert eke egy szorzatäosszeg: g = nx e rt p k g k = e rt k=0 n X k=0 p k g k ; (22) ahol S(n; k) = Su k d n k, p(n; k) = p k = n k p k (1 p) n k, es a p k ill. g k arra az allapotra utalnak, hogy az arfolyam n l ep es sor an pontosan k alkalommal ment fel. 15 A m ert ekcsere, marting alok Az el}oz}o alpont k et l enyeges mozzanata: ² a binomi alismodellben a l ep esenk enti (x;y) replik al as atfogalmazhat o a l ep esenk enti v arhat o ert ek sz am ³t asra a sz am ³tott p val osz ³n}us eg alapj an, ez pedig egy 1 l ep esben täort en}o v arhat o ert ek sz am ³t asra räovid ³thet}o, es mint l atni fogjuk, ezen az alapon lehet altal anos araz asi elm eletet fel ep ³teni; 15 Amennyiben a trinomi alis f ara fel ³rjuk a lok alis v arhat o ert ek es variancia felt etelt, akkorazegyiklehets egesmegold asta(14)egyenletekadj ak,aderivat ³v ert ek etpedig eppa (13). Ebbenakontextusbana(13)av arhat o ert ekjelen ert eke av egesdi erenci akeset en nemvoltilyen ertelmez ese, esatt olleszkock azatsemleges ert ekel es,hogy v=r 0:5¾ 2 esnemv=.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 39 ² a (20)-as araz asi k epletben nem az eredeti (15c) val osz ³n}us eg szerepel, ami mellett a v arhat o hozam, hanem a sz am ³tott (19) kock azatsemleges val osz ³n}us eg, ami mellett a v arhat o hozam r ¾ 2 =2. A binomi alis modellnek ez a saj atoss aga teljes m ert ekben megegyezik a folytonos Wiener-folyamaton fel epäul}o eredm ennyel. Amennyiben a (21) k epletben atosztunk a G-vel (a bankbet et näoveked esi egyäutthat oj aval), akkor l athatjuk, hogy a kock azatsemleges val osz ³n}us eg mellett a diszkont alt arfolyam-alakul as marting al. A S folyamat a Q m ert ek szerint marting al, ha minden j > i-re E Q (S j j F i ) = S i ; (23) azaz a folyamat j id}opontbeli felt eteles v arhat o ert eke megegyezik a pillanatnyi ert ek evel. K etf elek eppen kaphatunk marting al tulajdons ag u binomi alis f at: a) adott arfolyamf ahoz keresäunk olyan val osz ³n}us egeket, amelyekkel s ulyozva a fa adott pontj ahoztartoz o kimeneteket, pont a fa adott pontj anak arfolyam ert ek et kapjuk; 16 b) megadjuk a fa utols o oszlop at (a T id}opontbeli val osz ³n}us egi v altoz o lehets eges ert ekeit), es adott atmenet-val osz ³n}us egek seg ³ts eg evel jobbr ol balr ol haladva konstru alunk egy felt eteles v arhat o ert ek folyamatot. A sz armaztatott term ekek marting al araz as anak l ep esei: 1. diszkont aljuk az alapterm ek arfolyamf aj at a kock azatmentes kamatl abbal, 2. megkeressäuk az a) m odszer szerint a marting al m ert eket, 3. meghat arozzuk az opci o lehets eges lej aratkori ert ekeit [az S T K sz amol asn al mindk et ert ek jelenbeni p enzben ertend}o], 4. az opci o lej aratkori ert ekeib}ol k epezäunk egy felt eteles v arhat o ert ek folyamatot ennek minden eleme jelenbeni p enzben ertend}o, ennek a f anak a cs ucspontja a sz armaztatott term ek ert eke. A binomi alis reprezent aci os t etel uj megvil ag ³t asba helyezi a replik al o strat egi ak mibenl et et, l etez es et es egy ertelm}us eg et. Ez a t etel azt mondja ki, hogy ha k et binomi alis folyamat (X i es Y i ) ugyanazon Q m ert ek szerint marting al, es mindig ugyanabba az ir anyba mozdulnak el (csak elt er}o m ert ekben), akkor Y i = a i 1 X i ; ahol m ar az (i 1)-edik l ep esben meghat aroz odik az a i 1 ert eke, teh at nem szäuks eges tudni, hogy a k et folyamat felfel e vagy lefel e mozdul-e el. A 16 Felt eve,hogyapillanatnyi arfolyamak etlehets egeskimenetkäoz eesik.
40 Kir aly J ulia { Sz az J anos sz armaztatott term ekek replik al asa az alapterm ekkel nem m as, mint az egyik binomi alis marting al megfeleltet ese egy m asiknak. Hasonl o ÄosszefÄugg esek erv enyesek a folytonos esetben is. A Wiener-folyamat egy folytonos marting al, hiszen a näovekm enye egy z erus v arhat o ert ek}u norm alis eloszl as u val osz ³n}us egi v altoz o. A folytonos marting alok näovekm enyei is el}orel athat o m odon megfeleltethet}ok egym asnak az un. marting al reprezent aci os t etelnek megfelel}oen. 17 Teh at ekkor is kialak ³that o a,,v egtelenäul räovid peri odusokra" a megfelel}o replik al o (ill. fedez}o) strat egia. AGirszanovt etel ertelm eben a dx 1 (t) = a(t)dt + dw 1 (t) folyamatok dx 2 (t) = dw 2 (t) marting all a alak ³that ok bizonyos felt etelek mellett a val osz ³n}us egi m ert ek cser ej evel. 18 N epiesen sz olva a m ert ekcser evel eltäuntethet}o a drift, mikäozben a volatilit as v altozatlanul egys egnyi marad. Ezek ut an a sz armaztatott term ekek araz asa ugyanabban a 4 l ep esben täort enik a folytonos modellben, ak arcsak a binomi alisban, csup an a marting al tulajdons agot ad o val osz ³n}us egi m ert ek nem a kock azatsemleges val osz ³n}us eget de ni al o (21) k epletb}ol ad odik, hanem a Girszanov-t etelb}ol. Sztochasztikus reprezent aci o A binomi alis arfolyam-alakul as eset en a dinamikus replik al as val osz ³n}us egsz am ³t asi atfogalmaz asa egyfel}ol a marting al tulajdons aghoz es a marting alreprezent aci on keresztäulvisszavezetett a replik al ashoz, m asfel}ol a (22) v arhat o ert ek jelen ert ek szab alyra vezetett. A p enzäugyesek altal fel all ³tott egyenletek itt is egy sokkal altal anosabb, m ar r egebben kidolgozott matematikai elm eletbe torkolltak. A BS-f ele PDE-t kiel eg ³t}o g fäuggv enyhez tal alhat o egy olyan sztochasztikus di erenci alegyenlet (SDE), amelynek megold as at ad o X folyamat T id}opontbeli ert ek enek a (t; x) id}opontokb ol es allapotokb ol tekintett felt eteles v arhat o ert ekeit eppen a g(t;x) fäuggv eny adja meg. Ez a Feynman-Kac-f ele sztochasztikus reprezent aci o. Ez a megfeleltet es az SDE-vel le ³rt di uzi os folyamat saj atja. Ez alapj an a Black-Scholes PDE-nek megfeleltethet}o egy v arhat o ert ek jelen ert eke sz am ³t as, mivel a BS egyenlet kiindul opontja is egy di uzi os SDE, amelyre alkalmazhat o az Ito-lemma. N ezzäuk meg n emi formalizmussal. Cauchy a p enzäugyekt}ol teljesen fäuggetlenäul vizsg alta az al abbi PDE-t: g t + ¹(x;t)g x + 1 2 ¾2 (x; t)g xx = 0; g(t;x) = (x) : (24) TekintsÄuk a käovetkez}o X(t) di uzi os folyamatot, amely a kiv alasztott t id}opontban a räogz ³tett x ert eket veszi fel: dx(t) = ¹(t;X(t))dt + ¾(t; X(t))dW ; X(t) = x : (25) 17 Baxter-Rennie(2002)100.o. 18 Baxter-Rennie(2002)95.o.,Avellaneda-Laurence(2000)167.o.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 41 Ha vesszäuk az X folyamatnak a g fäuggv eny szerinti transzform altj at, akkor fel ³rva az Ito-formula integr al alakj at, 19 es felhaszn alva, hogy a g(t; x) fäuggv eny kiel eg ³ti a (24) egyenletet, a Feynman-Kac formul at kapjuk: Ha a käovetkez}o anal og probl em at vizsg aljuk: g(t;x) = E t;x [ (X T )] : (26) g t + ¹(x; t)g x + 1 2 ¾2 (x;t)g xx + rg = 0 ; g(t;x) = (x) ; (24b) akkor a (26) a käovetkez}o form at Äolti: g(t;x) = e r(t t) E t;x [ (X T )] : (26b) A Feynman-Kac formula adja meg a kapcsolatot a BS egyenlet es a v arhat o ert ek jelen ert ek szab aly käozäott folytonos esetben. A di uzi o A di uzi o egyszerre zikai, p enzäugyi es matematikai jelens eg. 20 K epzeljäunk egy mindk et ir anyban v egtelen vasrudat,ahol g(t;x) mutatja az x helyen a t id}opontban m ert h}om ers ekletet. A h}o araml as, vagy di uzi o g t = g xx (27) egyenlete egy alaposan megvizsg alt folyamat, ahol g t a h}om ers eklet v altoz asa egy adott pontban, g xx pedig a h}om ers eklet t erbeli m asodik deriv altja. Az egyenlet tartalma: bontsuk a rudat x hossz u kis intervallumokra. Ha egy adott intervallum bal szomsz edja melegebb, a jobb szomsz edja pedig hidegebb, akkor az adott intervallum h}om ers eklete akkor n}o, ha täobb h}o erkezik balr ol, mint amennyi t avozik jobbra. Ez pedig a h}om ers ekletkäuläonbs egek elt er ese pontosan a (27) egyenlet szerint,felt eve,hogy a szomsz edos intervallumok käozäotti h}ocsere ar anyos a h}om ers eklet käuläonbs eggel. Ez azt is jelenti, hogy a g(x) fäuggv eny in exi os pontjai v alasztj ak käuläon azokat az intervallumokat, amelyek pontjai melegszenek, azokt ol, amelyek pontjai h}ulnek. Ha a 0 id}opontban az x = 0 helyen koncentr al odik a teljes h}omennyis eg a r udban, akkor t id}ovel k es}obb a h}om ers eklet eloszl asa a r ud käuläonbäoz}o r eszein: 21 g(t; x) = 1 2 p ¼t e x 2 4t : (28) Miel}ott nagyon belemelegedn enk e kit er}obe, vegyäuk eszre: 1. a (27) di uzi os PDE hasonl os ag at a (9) Black-Scholes PDE-vel; 2. az id}obeni sz etteräul es a Gauss-fÄuggv ennyel ³rhat o le. 19 R eszletesenld. BjÄork(1998)58-62.o. 20 Es feltehet}oen m egtucatnyi tudom anyteräuletfel}ol beazonos ³that ojelens eg. 21 R eszletesenld.: Wilmott-Howison-Dewynne(1995)59-69.o.
42 Kir aly J ulia { Sz az J anos Az 1. pontbeli hasonl os ag teljesebb, mint gondoln ank. A v altoz ok (S;t; g) atsk al az as aval a (9) a j oval egyszer}ubb (27) form ara hozhat o. 22 A 2. pontbeli anal ogia j ol l athat o, ha az (1) es (2) k epletek seg ³ts eg evel abr azoljuk a jäov}obeli arfolyam eloszl as at, ha tudjuk a mai arat. 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.3 0.0 0.7 295 270 1.1 245 220 1.5 195 170 145 1.9 120 95 2.3 70 45 20 1. abra. Az arfolyam eloszl as anak v altoz asa az id}o fäuggv eny eben (S 0 = 100), Arf: 20-300, id}o: 0-3 ev Konzisztens araz as, komponens arak A hat arid}os poz ³ci o egy statikus replik aci oval ert ekelhet}o, az opci o egy dinamikus replik aci oval. Ezek a kiindul o alapesetei az arbitr azs araz asnak. Az arbitr azs araz as eset en elt}unnek a mikroäokon omia kereslet-k ³n alat gäorb ei, a helyäukre l ep}o egyszer}u alapelv: ha k et käuläonbäoz}o portf oli o ugyanazt a ki- zet essorozatot biztos ³tja a jäov}oben, akkor a jelenbeni ert ekäuknek isazonosnak kell lenniäok. Amilyen egyszer}uen hangzik az elv, annyira nem kedvelik a 22 Az atsk al az as l enyege, hogy dimenzi o n elkäuli v altoz okkal sz amolunk. Nem a forintban m ertderivat ³v arat keressäuk, hanem aleh ³v asi arfolyam sz azal ek aban [g=k], nem az arfolyam-alakul as aval sz amolunk,hanem az arfolyam es a leh ³v asi arfolyam logsz azal ekos t avols ag aval[ln(s=k)],nem az evekben m ert id}ovel,hanem a lej aratig h atralev}o varianciamennyis egav altoz o[0:5¾ 2 (T t)]. R eszletesebbenld.: Wilmott-Howison-Dewynne(1995) 76-81.o.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 43 hallgat ok vizsgafeladatnak a dinamikus arbitr azs egyszer}ubb eseteit sem. Arbitr azs lehet}os eg akkor van, ha l etezik olyan strat egia, amely r ev en egy nulla indul o poz ³ci ob ol indulva pozit ³v val osz ³n}us eggel nyeräunk, mikäozben kiz art, hogy b armely esetben is vesz ³tsÄunk. Ha az arak konzisztensek, akkor nincs arbitr azs lehet}os eg. A konzisztencia ellen}orz ese egyszer}u a diszkr et idej}u, diszkr et allapotter}u folyamatok eset en, käuläonäosen a T-term ekekre. A käuläonbäoz}o term ekek lej arati ert eke egy-egy n elem}u vektorral adhat o meg (felt eve hogy a T id}opontban n lehets eges allapot van). Ha be arazzuk ezt az n darab T-id}opontbeli egys egvektort, mint speci alis sz armaztatott term ekeket, akkor azarrow-debreu arakat (komponens arakat) kapjuk. B armely term ek ara ezek line aris kombin aci oja. Ellenkez}o esetben arbitr azs lehet}os eg van. A komponens arakat (AD arakat) a v arhat o ert ek jelen ert eke szab aly alapj an egyszer}uen megkaphatjuk: mivel a ki zet esvektor az egys egvektor, ez ert a v arhat o ert ek az adott allapot val osz ³n}us ege: ³gy az AD ar az allapotval osz ³n}us eg diszkont alt ert eke. Az Arrow-Debreu modell a kerete az el}obb felv azolt gondolatmenetnek. Azonban mi egy tetsz}olegesterm ek täobb peri odusut anilehets eges allapotaihoz rendelt komponens araib ol raktuk Äossze a term ek jelenbeni ar at, 23 az AD modell alapesetben egy 1 peri odusos elemz es, amelyben N ert ekpap ³r jelenbeni arait a p vektor tartalmazza, a peri odus v egi lehets eges allapotokat az (N M-es) V m atrix. A p vektor es a V m atrix minden inform aci ot tartalmaz, az ert ekpap ³rpiacminden jellemz}oj et line aris algebrait etelekb}ol kapjuk a probl ema ilyen megfogalmaz as aban. Az AD modellben a piac akkor es csak akkor arbitr azsmentes, ha a p arvektor a V oszlopvektorainak s ulyozott atlaga, ahol a s ulyok pozit ³vak es egy ertelm}uen meghat arozottak. 24 Amennyiben a V m atrixnak van egy olyan sora, amely azonos elemekb}ol all, akkor van egy kock azatmentes befektet esi lehet}os eg. Ez esetben, ha teljesäul az a felt etel, hogy az arvektor az oszlopvektorok s ulyozott atlaga (teh at nincs arbitr azslehet}os eg), akkor az arvektor kifejezhet}o a v arhat o ert ek jelen ert ek szab aly alapj an. Az AD modellben az arbitr azsmentess egb}ol es a korl atlan hitel/bet et lehet}os egb}ol käovetkezik a kock azatsemleges val osz ³n}us egek vektor anak l etez ese es a v arhat o ert ek jelen ert ek szab aly. 25 Az illusztr aci o kedv e ert legyen N =2, M =2 es p = µ µ 0:8 1 1 ; V = : 1:0 2 0:5 Ekkor a s ulyok: ¼ = ( 0:4 0:4), a kamatl ab 25%, es a kock azatsemleges val osz ³n}us egek: ¼ 0 = (0:5 0:5 ). 23 A (22) Äosszegk eplet tagjainak els}o k et komponens et Äosszez ar ojeleztäuk: e rt p k g k = e rt p k gk =AD k g k. 24 Abizony ³t astld. Avellaneda-Laurence(2000)3{5.o. 25 Uo. 6{8.o.
44 Kir aly J ulia { Sz az J anos 3.0 2.5 2.0 A 1.5 1.0 0.5 B 0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2. abra. Az Arrow-Debreu modell k et term ekre es k et allapotra A 2. abr an a v ³zszintes tengelyen az 1. term ek, a fäugg}oleges tengelyen a 2. term ek lehets eges ert ekei szerepelnek. A V m atrix egyes oszlopait az abra (A;B) pontjai reprezent alj ak. Az arbitr azsmentess eg felt etele, hogy az arvektor a 0A, 0B f elegyenesek käozäotti teräuletre essen. Az abr an a k et pont azonosfäugg}olegesegyenesen fekszik, mert az1. term ek kock azatmentes. Ennek ara (0.8) meghat arozza, hogy az arvektor mely fäugg}oleges egyenesre essen (P pont). KÄulÄon kihangs ulyozand o, hogy azad modellben semmi val osz ³n}us egsz am ³t asifelt etel nincsen, semmi a norm alis eloszl asr ol, vagy a Wiener-folyamat binomi alis käozel ³t es er}ol stb. A piac teljess ege TegyÄuk fel, hogy a V (N M) m atrix sorai az N kereskedett ert ekpap ³r lehets eges ert ekeit tartalmazza az1 peri odusm ulvaim lehets eges allapotokra. A piacot 26 akkor nevezik teljesnek, ha tetsz}oleges (M elem}u) ki zet es el}o- all ³that o a kereskedett pap ³rokb ol all o portf oli o seg ³ts eg evel, azaz tetsz}oleges M elem}u vektor el}o all ³that o a V m atrix soraib ol. Ez akkor teljesäul, ha a V m atrix rangja M. Ha van egy kock azatos r eszv enyäunk es egy kock azatmentes käotv enyäunk, es a r eszv eny arfolyam-alakul as at egy trinomi alis fa ³rja le, akkor a V m atrixunk 2 3-as m atrix es a piac nem teljes. Ha a piac teljes es arbitr azsmentes, akkor l eteznek es egy ertelm}uek az allapot arak (komponens arak), es ily m odon a kock azatsemleges val osz ³n}us egek. 27 A t etel megford ³t asa is igaz: ha a komponens arak egy ertelm}uek, akkor a piac (modell) teljes. 28 26 Az elnevez esi konvenci o a piac teljess eg er}ol besz el, azonban sokkal ink abb valamely modell teljess eg er}olvansz o,mintegyl etez}opiac(pl.argentin ert ekpap ³rpiac)teljess eg er}ol. VÄo. binomi alisvs.trinomi alismodell. 27 Atrinomi alismodellbental alhat okkock azatsemlegesval osz ³n}us egek,denemegy ertelm}uek. Ld. Avellaneda-Laurence16-18.o. 28 Bizony ³t astld. Avellaneda-Laurence15.o.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 45 Harrison es Pliska vizsg alta meg altal anosan, hogy mik ent fäugg Äossze ² a piacok teljess ege (replik alhat os ag), ² az arak Äosszhangja (arbitr azsmentess eg), ² a marting alm ert ek l etez ese es egy ertelm}us ege (kock azatsemleges ert ekel es). Az eszkäoz araz as alapt etele: 1. A piac akkor es csak akkor arbitr azsmentes, ha l etezik marting alm ert ek 2. A piac akkor es csak akkor teljes, ha ez a marting alm ert ek egy ertelm}u. Az alapt etel käuläonbäoz}o esetekre vonatkoz o v altozatai a Harrison-Pliska t etel, a Dalang-Morton-Willinger t etel, ill. a Delbaen-Schachermayer t etel. 29 A nem-teljes piacok alapesete, amikor maga az alapterm ek nem egy kereskedett befektet esi eszkäoz. Befektet esi eszkäoz traded security olyan term ek, amelyet kiz ar olag befektet esi c elb ol tart sz amos befektet}o. Ezek jellemz}oje, hogy ugyan ugy lehet short poz ³ci ot nyitni bennäuk, mint long poz ³ci ot, viszonylag alacsony a tranzakci os es t arol asi käolts egäuk, täobbnyire käonnyen transzfer alhat oak. Az olajnak van ugyan ara, de az armeghat aroz od asa nagyon elt er}o mechanizmus u, mint a befektet esi eszkäozäok e. Az olaj hat arid}os ara nem egyszer}uen az azonnali olaj ar felkamatoztatott ert eke (m eg akkor se, ha gyelembe vesszäuk a t arol asi stb. käolts egeket). Ugyanakkor az azonnali ar befoly asolja valahogy azoknak a befektet esi eszkäozäoknek az ert ek et ha nem is hat arozza meg egy ertelm}uen a kamatl abbal egyäutt amelyek ara az olajon alapszik (pl. olajra sz ol o futures kontraktus es v eteli jog). A kock azat piaci ara TegyÄuk fel, hogy egy nem kereskedett term ek arfolyam-alakul asa Ito-folyamat. Az erre sz ol o sz armaztatott term ekek arfolyam-alakul asa ugyanezt azid}obeli bizonytalans agot täukräozi, ez ert a kock azat kikäuszäobäolhet}o. Am ebben a kock azatmentes portf oli oban k et ismeretlen ar u sz armaztatott term ek szerepel, k et ismeretlen van, es egy egyenlet. Ez ert a sz armaztatott term ekek ara nem egy ertelm}u, de ha m ar ismerjäuk ak arcsak egyetlen sz armaztatott term ek ar at, akkor ismerjäuk az Äosszes täobbit. Ennek hi any aban a käuläonbäoz}o sz armaztatott term ekek ar anak konzisztencia krit eriuma: 30 = ¹ r ¾ (35) ert eknek azonosnak kell lenni minden sz armaztatott term ekre. A szok asos elnevez ese: a kock azatpiaci ara. Ha az alapterm ek kereskedett, akkor =0. 29 AkÄulÄonbÄoz}omegkÄozel ³t esekkäozäottl enyegeskäuläonbs eg,hogyavizsg altfolyamatid}oben diszkr etvagy folytonos, esalehets eges arfolyamokran ezveafolyamatdiszkr etvagy folytonos. R eszletesebben ld. Medvegyev (2002). A szerz}oittazalapt etel altalavizsg alt eset enek egy ujbizony ³t as atadja. 30 R eszletesenld: Hull(1999.) 365.o.
46 Kir aly J ulia { Sz az J anos Ha ismerjäuk a ert ek et (amit tudn ank, ha ismern enk a befektet}ok kock azattal kapcsolatos hasznoss agi fäuggv eny et), akkor tudjuk a sz armaztatott term ek ert ek et is. Megszabadulunk a meghat aroz as anak neh ezs eg et}ol, ha p eld aul nemcsak az olaj ar at ismerjäuk, hanem kiindul opontk ent ismerjäuk a hat arid}os olaj arat, es ez alapj an akarunk be arazni egy olajra sz ol o opci ot. A legfontosabb nem kereskedett p enzäugyi term ek a kamatl ab. A käotv eny egy kereskedett term ek, de a hozama nem. Egzotikus opci ok Eml ³tettÄuk, hogy egy sz armaztatott term ek be araz asa att ol fäugg, hogy mi a term ek de n ³ci oja (ki zet ese) esmiazalapfolyamat jellege. Alegegyszer}ubb eset: a T-term ek +GBM alapfolyamat konstans kamatl abbal es volatilit assal. N ezzäuk el}obb a käuläonbäoz}o term ek de n ³ci okat, az alapfolyamat kicser el es enek a hat as at pedig a käovetkez}o alpontban. Az amerikai opci okn al a T id}opontig b armikor leh ³vhat o az opci o, nem csak a T id}opontban, mint az eur opai opci o. Ert ekel es ere nincs z art formula, a probl ema matematikailag izgalmasnak sz am ³t, numerikusan viszont igen egyszer}u algoritmus haszn alatos: ugyan ugy kell elk esz ³teni a f at, de minden pontj aban meg kell vizsg alni, hogy az azonnali leh ³v as nem jelentene-e nagyobb ert eket, ha igen, akkor ezzel az ert ekkel kell tov abb sz amolni l ep esenk ent a v arhat o ert ek jelen ert eke szab aly alapj an. Az amerikai opci ok m eg nem sz am ³tanak egzotikusnak, ann al is ink abb, mert legal abb annyira elterjedtek, mint az eur opaiak. A T-term ekek eset en meg kell tudni mondani, hogy a kock azatsemleges (marting al) val osz ³n}us eggel sz amolva mi a T id}opontbeli arfolyam eloszl asa. A GBMfolyamat el eg egyszer}u ahhoz, hogy meg lehessen mondani nem csak az S arfolyam eloszl as at a T id}opontban, hanem a [0;T] id}oszak atlag arfolyam anak az eloszl as at, az id}oszak maximum, vagy minimum arfolyam anak eloszl as at, azt, hogy milyen val osz ³n}us eggel l ep at ez id}o alatt az S folyamat egy adott käuszäob arfolyamot 31 stb. Az ³gy transzform alt v altoz ok alapj an de ni alt sz armaztatott term ekeket nevezik egzotikus opci oknak. Ha rendszeresen (pl. hetente) szerzäunk be valamely term ekb}ol 1 even at, akkor az 1 ev m ulvai arfolyam eloszl as an al sokkal fontosabb az ev alatti atlag arfolyam eloszl asa. 32 Bevezetve I(t) = Z t 0 S( )d (36) allapotv altoz ot, azon sz armaztatott term ek ert eke, amelyek ert eke fäugg ett}ol 31 Az atlag arfolyameloszl asaaz azsiai,amaximum(minimum)eloszl asaavisszatekint}o opci o (lookback), adottkäuszäob arfolyam eloszl asaalimit aras (barrier) opci o araz as aban j atszik szerepet. A visszatekint}o opci o felfoghat o ugy is, mint egy olyan amerikai opci o, amit garant alt, hogy j o id}opontban h ³vunk le, mivel az id}oszak v eg en m ar tudjuk, hogy mivolt alegkedvez}obb arfolyam. 32 Ezaz atlaglehetaritmetikaivagygeometriai,folytonosmintav etellel,vagyid}okäozäonk entimint ab olsz amolt.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 47 a mennyis egt}ol is, eleget kell, hogy tegyen a g t = rg rsg S 1 2 ¾2 S 2 g SS Sg I (37) m odos ³tott Black-Scholes egyenletnek. Az eur opai call opci o k et egzotikus opci o käuläonbs egek ent is fel ³rhat o: 1. ingyen kapunk egy r eszv enyt, ha az arfolyam nagyobb, mint K (long asset or nothing option) 2. zetäunk K doll art, ha az arfolyam nagyobb, mint K (short cash or nothing option) Az ut obbit szok as bin aris, vagy digit alis opci onak is nevezni. Mindk et opci o ert ek eben ugr as van a T id}opontbeli ert ek eben, ³gy neh ez fedezni ATM esetben, käozel a lej arathoz. Ak et opci o ert eke nem m as, mint a (10)-es k eplet k et tagja, ami intuitive j ol erthet}o. Atlaghoz visszah uz as, ugr ofolyamat Az alap GBM folyamattal kapcsolatban legkäonnyebben a konstans kamatl ab feltev es oldhat o fel. Ha a kamatl ab id}oben el}orel athat o, determinisztikus m odon v altozik, 33 akkor a (26b) k epletben mindäossze a diszkontt enyez}o v altozik, az e r(t t) hely ere a R e T r( ) d t (38) kifejez es keräul, determinisztikusan v altoz o volatilit as eset en a ¾ 2 (T t) hely ere pedig az Z T t ¾ 2 ( )d (39) kifejez es. F ak haszn alatakor az u, d, p param eterek l ep esr}ol l ep esre v altozhatnak (a v alasztott modellt}ol fäugg}oen), es minden l ep esben m as es m as lesz a pillanatnyi kamatl abat täukräoz}oen a diszkontfaktor. Az id}oben v altoz o volatilit as diszkr et esetben m ar täobb probl em at tud okozni, hiszen a v altoz o u es d param eterek mellett a binomi alis fa csak akkor marad ÄosszeÄolelkez}o, ha u 1 d 2 = d 1 u 2 felt etel teljesäul (ahol az indexek az egym ast käovet}o id}oszakokra utalnak). A v altoz o volatilit as eppen azt jelenti, hogy a f ak egyes oszlopait elt er}o m odon h uzzuk sz et fäugg}olegesen. Annak erdek eben, hogy a f ak ÄosszeÄolelkez}ok maradjanak (ami l enyegesen kevesebb sz amol ast ig enyel), ink abb a sztenderd t id}obeli l ep eskäozt c elszer}u v altoztatni. 34 33 A sztochasztikus kamatl ab es volatilit as eset et ld. k es}obb, a täobb kock azati faktor t argyl asakor. 34 R eszletesebben ld. Clewlow-Strickland37.o.
48 Kir aly J ulia { Sz az J anos K et gyakran alkalmazott l enyegesm odos ³t as azalapfolyamaton az atlaghoz visszah uz as (mean reversion) ill. az ugr asok (jump process) bevezet ese. Az atlaghoz visszah uz as a drift m odos ³t asa: dx = a(b x)dt + ¾dW ; (40) ahol a b az X v altoz o hossz u t av u ert eke. 35 A matematik aban Orstein- Uhlenbeck n even ismert (40) folyamatot mindenekel}ott a kamatl abak alakul as anak le ³r as ahoz haszn alj ak ekkor a b a kamatl ab hossz u t av u egyens ulyi ert eke. A (40) egyenlethez tartoz o folyamat ert ekei pozit ³v val osz ³n}us eggel vesz fel negat ³v ert ekeket. Ez käuszäobäol}odik ki az un. n egyzetgyäok folyamatn al (square root process): dx = a(b x)dt + ¾ p xdw : (41) Azugr ofolyamatn al v eletlen id}opontokban meghat arozott nagys ag u ugr asokra keräul sor. Ezekr}ol az ugr asokr ol azt szokt ak feltenni, hogy Poisson-folyamatot alkotnak, teh at a k et ugr askäozäott eltelt id}o exponenci aliseloszl as u. A kevert modellben (jump-di usion) m ar k et kock azati forr as van, ekkor az ugr as fedez es ere nincs m od, ami sz amos probl em at vet fel. A Heath-Jarrow-Morton modell El}oszÄor n ezzäuk meg a räovid es hossz u kamatl abak v altoz asainak, ill. a kumul alt kamatl abak es a käotv eny arfolyamok v altoz asainak az ÄosszefÄugg es et egy diszkr et sz amp eld an. A logkamatl abak eset en az azonnali es a hat arid}os kamatl abak käozäotti ÄosszefÄugg es: G n = e f 1 e f 2 e f n = e f 1+f 2 + +f n = e nr n ; (42) amib}ol: r n = f 1 + f 2 + + f n ; (43) n ahol G n mutatja, hogy n peri odus alatt h anyszoros ara näovekedett az egys egnyi bet et ert eke. Az elemi käotv eny (zero coupon bond) arfolyama a hat arid}os logkamatl abakkal: P n = e (f1+f2+ +fn) t = e P f t : (44) A P f kifejez es a käotv eny lej arat aig h atralev}o id}oszak kamattartalma, egyben a lej aratig h atralev}o kumul alt hozam Y (t;t) = f = lnp n. A kamatl abf akn al fontos szerepe van az egy peri odusra vonatkoz o kamatl abnak, amit räovid kamatl abnak (short rate) neveznek. Legyen ennek ert eke a t id}opontban r(t). A folytonos modellekn el a peri odushossz t! 0. JelÄolje P(t;T) a T id}opontban esed ekes 1 Ft ert ek}u elemi käotv eny arfolyam at 35 Adriftel}ojelej oll athat om odonatt olfäugg,hogyafolyamat eppenalattavagyfelette van-eahossz ut av u ert eknek.
Derivat ³v p enzäugyi term ekek ardinamik aja... 49 a t id}opontban. Legyen az f(t;t 1 ; T 2 ) a [T 1 ; T 2 ] id}oszakra vonatkoz o, a t id}opontban räogz ³tett hat arid}os kamatl ab. Legyen az f(t; T) a [T;T + t] id}oszakra vonatkoz o, a t id}opontban räogz ³tett hat arid}os kamatl ab. Ez teh at egy k es}obbi id}oszakra vonatkoz o 1 peri odusos kamatl abat jeläol. Az 1. t abl azatban fäugg}olegesen a lej aratok vannak, v ³zszintesen a napt ari id}o telik. Az Y (t; T) a forward kamatl abak lej arat szerinti kumul alt ert ekeit mutatja: indul askor 4 evre Äosszesen 46% kamat esed ekes. Az r(t;t) = Y (t;t)=t a hosszabb futamidej}u azonnali kamatl abakat adja. Indul askor a 4 eves kamatl ab 46%=4 = 11:5%. A mindenkori n eves kamatl abat ebben t abl aban atl osan lefel e haladva lehet nyomon käovetni a T + t t = n ert ekek ment en, hasonl ok eppen a mindenkor eppen n eves käotv enyek arfolyam ahoz. A mindenkori räovid kamatl abak a bal fels}o sarok f}o atl oj aban vannak r(t) = f(t;t). A käozponti szerepet j atsz o r eszt abla a kumul alt kamat Y (t;t) igaz ab ol ennek a täukäork epe a m asik 3 t abla. Amit a portf oli oba be lehet tenni, azok a P(t;T) käotv enyek. Amir}ol az ujs agok ³rnak, az az r(t; T) hozamgäorbe alakul asa. r(t) 10.0% 12.0% 11.0% 12.0% d r(t) 2.0% -1.0% 1.0% f(t,t) 1 2 3 4 t d f(t,t) 1 2 3 4 1 10.0% 1 dt dt 2 11.0% 12.0% 2 1.0% 1.0% 3 12.0% 13.0% 11.0% 3 1.0% 1.0% -2.0% 4 13.0% 14.0% 12.0% 12.0% 4 1.0% 1.0% -2.0% 0.0% T T Y(t,T) 1 2 3 4 d Y(t,T) 1 2 3 4 1 10.0% 2 21.0% 12.0% 2 1.0% 3 33.0% 25.0% 11.0% 3 2.0% -2.0% 4 46.0% 39.0% 23.0% 12.0% 4 3.0% -4.0% 0.0% P(t,T) 1 2 3 4 dp/p 1 2 3 4 1 0.905 1.0 1 0.100 2 0.811 0.887 1.0 2 0.090 0.120 3 0.719 0.779 0.896 1.0 3 0.080 0.140 0.110 4 0.631 0.677 0.795 0.887 4 0.070 0.160 0.110 0.120 r(t,t) 1 2 3 4 d r(t,t) 1 2 3 4 1 10.0% 1 2 10.5% 12.0% 2 1.5% 3 11.0% 12.5% 11.0% 3 1.5% -1.5% 4 11.5% 13.0% 11.5% 12.0% 4 1.5% -1.5% 0.5% 1. t abl azat. Forward kamatl abak, kumul alt kamatl abak, hossz u kamatl abak, käotv eny arfolyamok Miut an felv azoltuk az r(t), f(t; T), Y (t;t), r(t; T), P(t;T) kapcsolat at, es ezek v altoz asainak kapcsolat at, bontsuk meg a v altoz asokat determinisztikus es sztochasztikus r eszre. A kiindul opont legyen a forward kamatl abak v altoz asa, ami folytonos esetben: df(t; T) = (t; T)dt + ¾(t;T)dW : (45)
50 Kir aly J ulia { Sz az J anos Heath, Jarrow es Morton vizsg alt ak a forward kamatl abak dinamik aj at es alapvet}o meg allap ³t ast tettek a (45) egyenlet driftje es volatilit asa käozäotti szäuks egszer}u kapcsolatr ol a kock azatsemleges elemz es keretei käozäott. A käotv enyek arfolyam-alakul as anak vizsg alatakor kiemelked}o fontoss ag u az az eset, amikor annyikäuläonbäoz}o lej arat u käotv eny van, hogy minden peri odus v eg en van lej ar o käotv eny. 36 Ekkor minden t id}opontban van tetsz}oleges T id}opontt ol kezd}od}o 1 peri odusos hat arid}os kamatl ab. Ha ismerjäuk a käotv enyek arfolyam anak alakul as at, es azok Ito-folyamatot käovetnek, akkor adott a hat arid}os kamatl abak alakul as anak a folyamata is. dp(t;t) P(t;T) Az Ito lemma seg ³ts eg evel: = r(t)dt + v(t;t)dw ; v(t; t) = 0 ; (46) P(t;T 2 ) = P(t;T 1 )e f(t;t 1;T 2 )(T 2 T 1 ) ; (47) f(t;t 1 ; T 2 ) = lnp(t;t 1) lnp(t; T 2 ) T 2 T 1 : (47b) d lnp(t;t 1 ) = d lnp(t;t 2 ) = µ r(t) 1 2 v2 (t; T 1 ) dt + v(t; T 1 )dw ; (48) µ r(t) 1 2 v2 (t; T 2 ) dt + v(t; T 2 )dw ; (49) df(t;t 1 ; T 2 ) = 1 v 2 (t; T 2 ) v 2 (t;t 1 ) dt v(t; T 2) v(t; T 1 ) dw : (50) 2 T 2 T 1 T 2 T 1 A T 2! T 1 hat ar atmenet r ev en: df(t;t) = v(t; T)v T (t; T)dt v T (t;t)dw ; (51) v(t; T) = v(t;t) v(t;t) = Z T t v T (t;u)du v(t; t) = 0 : (52) Ha es¾ jeläoli a forward kamatl ab alakul as anak egyäutthat oit, akkor az (51) alapj an: df(t;t) = (t; T)dt + ¾(t;T)dW : (53) A levezet es tartalma: (t;t) = ¾(t; T) Z T t ¾(t;u)du : (54) { a hat arid}os kamatl ab k et,,szomsz edos" elemi käotv eny kamattartalm anak a käuläonbs ege (47) { ha ismerjäuk a käotv eny arfolyam v altoz as at (46), akkor ismerjäuk a kamattartalom v altoz as at is az Ito-lemma seg ³ts eg evel (48){(49) { az (54) form ab ol kiolvashat o, hogy a forward kamatl ab driftj et egy ertelm}uen meghat arozza a volatilit as szerkezet. 36 EzfolytonosesetbenkontinuumsokkÄotv enytjelent.