II.. DOMINÓ GRÓF Tárgy, téma Gráfok, számelmélet, kombinatorika. Előzmények Cél A feladatsor jellemzői Nagy előny, ha a dominójátékot már ismerik a diákok korábbról. A gráfmodell kialakítása képességének fejlesztése dominók segítségével. A dominókkal kapcsolatos problémák gráfmodellel való megfogalmazása és megoldása. A szövegértés és a modellalkotás fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Célszerű rendes vagy papírból készített dominókkal a gyakorlatban is kipróbálni a feladatokban felvetett problémák bizonyos elemeit. Az. feladat bemelegítés, ezért mindenkitől elvárhatunk önálló munkát. A feladatok megoldása próbálkozással, dominók rakosgatásával is történhet. Minél több manipulatív tevékenységet viszünk bele, annál szórakoztatóbb lesz a feladatmegoldás, és ennek következtében jobban rögzülhetnek a megfelelő ismeretek. A. feladatban kerül bevezetésre a gráfmodell, ezt tanári irányítással javasoljuk megoldani. A. feladatban már komolyabb összefüggésekre jöhetnek rá a gyorsabban gondolkodó és haladó tanulók. A megoldások szövegében vastaggal szedett megállapítások, illetve definíciók szerepelnek, melyek a gráfok bizonyos tulajdonságaira vonatkoznak. Javasoljuk, hogy a feladatok megoldása közben az adott pontra érve fedeztessük fel ezeket a diákokkal, ha nem sikerül, akkor ismertessük velük ezeket, és magyarázzuk el, hogyan kapcsolódnak ezek az adott feladat megoldásához. Fontos a feladatok szövegének alapos megértése. Figyeljünk a megoldás ütemére, az egyes egységek végén tartsunk megbeszélést, összefoglalást az addigi eredményekből. Ekkor lehet új fogalmakat is bevezetni, illetve a sejtéseket rögzíteni, belátni, esetleg felismerni, hogy mi az, amit a feladat megoldásával egyben már bizonyítottunk is. Figyeljünk rá, hogy II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf.oldal/9
mindig meglegyen a párhuzam a gráfmodell és a dominómodell között, sok ábrát és rajzot kérjünk, ellenőrizzük azokat. Az egyes feladatok első alkérdései általában könnyen megoldhatók, próbálgatással, rajzzal. A további kérdések megválaszolásához szükség esetén adjunk segítséget. A két modell közötti gördülékeny váltásból kiderülhet, hogy mennyire világosak az összefüggések. Ha jól megy a gráfmodellen a feladatmegoldás, esetleg más, szintén gráfmodellre visszavezethető feladatokat is elővehetünk ellenőrzésképpen. II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf.oldal/9
DOMINÓ GRÓF Feladat sor Bevezetés A klasszikus dominójáték A játékot dominókkal játsszák. A dominó egy két részre osztott lapocska, melynek mindkét felén egy-egy szám áll nulla és kilenc között (a megengedett lehetőségek közé értjük a nullát és a kilencet is). Vannak olyan változatok is, ahol nulla és hat, illetve nulla és nyolc között változhatnak a számok. A dominón a számokat általában megfelelő számú pöttyel jelöljük. Egy dominókészletben minden lehetséges számpáros előfordul, és mindegyik egyszer (így vannak úgynevezett dupla dominók is, amelyeknek mindkét felén ugyanaz a szám áll). A játékot két játékos játssza. A játék elején mindkét játékosnak öt-öt dominója van, és az asztalra kihelyeznek egy kezdő dominót. A játékosok felváltva lépnek. Egy lépés az asztalon lévő dominókhoz egy saját dominó hozzáillesztését jelenti. Két dominó egyforma számú pöttyöt tartalmazó részét lehet egymáshoz csatlakoztatni úgy, hogy a dominók egymás mellett álljanak, és el legyenek csúsztatva egymáshoz képest. Így mindig két szabad hely van, ahová a következő dominó csatlakozhat. Például: Az ábra a helyes kanyarodást is mutatja. (Ha balról jobbra, majd lefelé haladva tekintjük a dominók lerakásának irányát, akkor kapunk a szabályoknak megfelelő helyzetet. A lerakás sorrendje nem megfordítható, tehát ha lentről felfelé indulunk, majd balra kanyarodunk, akkor nem szabályos elrendezést kapunk.) Lentről felfelé történő haladás esetén a helyes kanyarodást az alábbi ábra szemlélteti: Ha egy játékosnak nincs olyan dominója, amit le tud rakni, akkor húznia kell a még ki nem osztott és le nem rakott dominók közül egyet. Az a játékos győz, akinek előbb elfogynak a dominói. Ha egyik játékos dominói sem fogytak el, rakni sem tudnak, de a dobozból elfogytak a dominók, akkor a játék döntetlen. II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf.oldal/9
A KÉSZLET Dominó gróf a hűvösebb napokon gyakran nem mozdul ki a kastélyából. Az egyik ilyen este jól begyújtott a kandallóba, és elővette kedvenc játékát, a dominót. Majd elgondolkozott.. a) Hány darabból áll egy teljes dominókészlet, amiben nullától kilencig változik a pöttyök száma? b) Hány darabból áll egy teljes dominókészlet, amiben nullától n-ig változik a pöttyök száma? DOMINÓ GRÓF GRÁFJAI Dominó gróf vidáman rakosgatta a dominólapokat a hosszú ebédlőasztalon, és azt játszotta, hogy az első lap a dominókígyó feje, az utolsó pedig a farka. Majd az is eszébe jutott, hogy a legszebb dominókígyókat lerajzolja, sőt kitalált ehhez egy gyors módszert, mellyel nem hozott szégyent a nevére. A dominókígyókat gráfok segítségével ábrázolta. A gráf csúcsai a dominókra írható számok, az őket összekötő élek pedig maguk a dominólapok. Például: = Ez a módszer csak úgy ontotta a kérdéseket.. a) Hogyan jelöljük a dupla dominókat? b) Rajzoljuk be egyetlen gráfba egy 0 5-ös dominókészlet alábbi dominóit! c) Rajzoljuk meg az alábbi, dominóból álló dominókígyóhoz a megfelelő gráfot! II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf.oldal/9
d) Lehet-e az ábrán látható gráfkörhöz olyan dominókígyót építeni, melynek eleje és vége összeér? (Segítségképpen az egyik dominót megadtuk.) Ha igen, rajzoljuk le vagy rakjuk ki dominókból a kígyókört! 6 5 Dominó gróf rájött, hogy a klasszikus dominójátéknak nem teljesen felel meg az általa kitalált gráf, hiszen a gráfba rajzolt körök nem mindig valósíthatók meg dominókkal, a dominók lerakásának szabályai miatt. Ezért grófunk úgy határozott, szakít családjának ősi hagyományaival (apjának és nagyapjának festménye a falon mindezt rosszallóan szemlélte), és a dominókat a megegyező pöttyös felükkel egymás mellé fogja rakni, akár úgy is, hogy a kígyó visszafordul. Például: Forradalmi ötlete újabb kérdéseket vetett fel.. a) Kör látható-e a következő ábrán? Ha nem, akkor hány pöttyöt tartalmazó dominókkal lehetne folytatni a játékot? Hogyan lehet rájönni a gráf alapján? 0 II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf 5.oldal/9
b) Rajzoljuk le a 0--es dominókészlet összes dominóját! Lehet-e ezekből egyetlen kört építeni? Ábrázoljuk gráfmodellen is! Más lesz-e a válasz, ha a dupla dominókat kiveszszük? c) Rajzoljuk le a 0--as dominókészlet összes dominóját! Lehet-e ezekből egyetlen kört építeni? Más lesz-e a válasz, ha a dupla dominókat kivesszük? A DOMINÓ GRÓFOK KÉSZLETEI Mielőtt nyugovóra tért volna, még aznap este elővette az apja és a nagyapja egy-egy saját készítésű dominókészletét, ami egy kicsit más volt, mint az övé.. Kétféle dominókészletet talált. A nagyapja készletében nullától nyolcig vannak pöttyök, és vannak duplák. Az apja készletében nullától kilencig vannak pöttyök, de nincsenek duplák. Vajon melyik típusú készletben van több dominó? Melyikben mennyi van? Már kicsit fáradt volt, de az utolsó kérdésére még azelőtt megtalálta a választ a gráfmodell segítségével és anélkül is, mielőtt elaludt a parázsló kandalló előtt álló kényelmes karosszékében. II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf 6.oldal/9
MEGOLDÁSOK. a) Egy dominónak két lapja van, melyek mindegyikén nullától kilencig lehetnek pöttyök. Egy lap esetén ez tíz különböző eset. Ha a tíz különböző lap mindegyike együtt szerepel 0 9 a dominókon egy másik, tőle különböző pöttyű lappal, akkor 5 -féle dominót kapunk. Ehhez jön még a tíz dupla dominó. Összesen tehát 55 db dominóból áll a teljes készlet. ( n ) n b) Az a) feladathoz hasonlóan nem dupla és n darab dupla dominó van a ( n )( n ) készletben. Azaz a teljes készlet dominóból áll.. a) A duplákat úgynevezett hurokéllel tudjuk ábrázolni. Ez az él ugyanabba a csúcsba ér vissza, amelyikből kiindult. b) Az alábbi ábrán láthatjuk a helyes rajzot: 0 5 c) 0 6 5 II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf 7.oldal/9
d) Lehet. A megfelelő kígyókör az ábrán látható: 6 5. a) Nem kör. Olyan dominókkal lehetne folytatni, melyeknek egyik fele hármas vagy négyes, mert összesen két db nullás, két db egyes, két db kettes, öt db hármas és három db négyes fél dominót használtunk fel eddig, azaz a hármas és a négyes felek közül egynek-egynek nincs párja. Az egy csúcsból kiinduló élek számát a csúcs fokszámának hívjuk. A gráfmodellről leolvashatjuk, hogy csak a négyes és a hármas csúcs foka páratlan. b) Igen lehet: 0 Ha a dupla dominókat kivesszük, akkor is. c) Nem lehet, hiába is próbáljuk, hiszen minden csúcs foka páratlan, és legfeljebb kettőnek lehetne. Ha a duplákat kivesszük, akkor sem lehet, hiszen egy-egy dupla kihagyásával kettővel csökken a megfelelő csúcs fokszáma.. A gráfok segítségével készített megoldás A nagyapa készlete Egy kilenc csúcsú teljes gráfról van szó, ahol minden csúcsból indul egy hurokél is. Az egy csúcsból kiinduló élek száma nyolc és a hurokél. Összesen kilenc csúcs van, tehát ennek a kilencszeresét kell venni, de akkor minden élt kétszer számolunk, azaz 8 9 9 5 éle van a gráfnak. Az apa készlete Egy tíz csúcsú teljes gráfról van szó, ahol nincsenek hurokélek. Az előzőek alapján 9 0 most is 5 él van. Tehát a két készlet azonos számú dominóból áll. II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf 8.oldal/9
A gráfok nélkül készített megoldás A nagyapa készlete Mindkét helyre kilenc lehetőségünk van, ez összesen 8 dominó, de a nem egyformákat 9 duplán számoltuk, ilyenekből 6 van [lásd. b) rész], így 5 dominóból áll a készlet. Az apa készlete Ebben az esetben a tízféle pöttyszám közül kell kettőt választani a dominóra, ez most is 0 5 féle dominót jelent. Tehát a két készlet azonos számú dominóból áll. II. Kombinatorika, gráfok II.. Dominó gróf 9.oldal/9